Lógica de Predicados Prof. Dr. Silvio do Lago Pereira slago@ime.us.br 1 Introdução Há vários tios de argumentos ue não odem ser adeuadamente formalizados em lógica roosicional. Como exemlo, considere o argumento a seguir: Sócrates é homem. Todo homem é mortal. Logo, Sócrates é mortal. Intuitivamente, odemos ver ue esse argumento é válido. No entanto, usando lógica roosicional, a formalização desse argumento resulta em {, } = r e não há como mostrar ue a conclusão r é uma conseüência lógica das remissas e. Isso acontece orue a validade desse argumento deende do significado da alavra todo, ue não ode ser exresso na lógica roosicional. De fato, ara tratar argumentos desse tio recisamos da lógica de redicados [3]. 2 Sintaxe da lógica de redicados Além dos conectivos lógicos (,, e ), as fórmulas bem-formadas da lógica de redicados são comostas or objetos, redicados, variáveis e uantificadores. 2.1 Objetos e redicados Na lógica de redicados, a noção de objeto é usada num sentido bastante amlo. Objetos odem ser concretos (e.g., esse livro, a lua), abstratos (e.g., o conjunto vazio, a az), ou fictícios (e.g., unicórnio, Saci Pererê). Objetos odem ainda ser atômicos ou comostos (e.g., um teclado é comosto de teclas). Em suma, um objeto ode ser ualuer coisa a reseito da ual recisamos dizer algo [3]. Por convenção, nomes de objetos são escritos com inicial minúscula e assumimos ue nomes diferentes denotam objetos diferentes. A B C Figura 1. Blocos emilhados sobre uma mesa.
2 S. L. Pereira Um redicado denota uma relação entre objetos de um determinado contexto de discurso [3]. Por exemlo, no contexto ilustrado na Figura 1, odemos dizer ue o bloco a está sobre o bloco b usando o redicado sobre e escrevendo sobre(a, b); ara dizer ue o bloco b é azul, odemos usar o redicado cor e escrever cor(b, azul) e, ara dizer ue o bloco b é maior ue o bloco c, odemos usar o redicado maior e escrever maior(b, c). Por convenção, nomes de redicados são escritos com inicial minúscula. 2.2 Variáveis e uantificadores Grande arte da exressividade da lógica de redicados é devida ao uso dos conectivos lógicos, ue nos ermitem formar senteças comlexas a artir de sentenças mais simles. Por exemlo, considerando o contexto da Figura 1, odemos dizer ue o bloco a está sobre o bloco b e ue este está sobre a mesa escrevendo: sobre(a, b) sobre(b, mesa) Entretanto, o ue realmente torna a lógica de redicados mais exressiva ue a lógica roosicional é a noção de variáveis e uantificadores: usando variáveis, odemos estabelecer fatos a reseito de objetos de um determinado contexto de discurso, sem ter ue nomear exlicitamente esses objetos (or convenção, nomes de variáveis são escritos com inicial maiúscula); usando o uantificador universal ( ), odemos estabelecer fatos a reseito de todos os objetos de um contexto, sem termos ue enumerar exlicitamente todos eles; e, usando o uantificador existencial ( ) odemos estabelecer a existência de um objeto sem ter ue identificar esse objeto exlicitamente. Por exemlo, considerando novamente o contexto da Figura 1, odemos dizer ue todo bloco está sobre alguma coisa (bloco ou mesa) escrevendo: [bloco() Y [sobre(, Y )]] 3 Semântica da lógica de redicados O significado das fórmulas na lógica de redicados deende da semântica dos conectivos e da interretação de objetos e redicados [3,2]. Uma interretação na lógica de redicados consiste de: um conjunto D, denominado domínio da interretação; um maeamento ue associa cada objeto a um elemento fixo em D; um maeamento ue associa cada redicado a uma relação em D. O uantificador denota uma conjunção e o uantificador denota uma disjunção. Por exemlo, ara D = {a, b, c}, a fórmula [colorido()] denota a conjunção colorido(a) colorido(b) colorido(c) e a fórmula [cor(, azul)] denota a disjunção cor(a, azul) cor(b, azul) cor(c, azul). Além disso, como (α β) ( α β), é fácil ver ue [cor(, azul)] [ cor(, azul)]. De modo análogo, concluímos ue [cor(, roxo)] [ cor(, roxo)].
Lógica de Predicados 3 4 Formalização de argumentos Usando a lógica de redicados, o argumento ue aresentamos inicialmente Sócrates é homem. Todo homem é mortal. Logo, Sócrates é mortal. ode ser formalizado como: { homem(socrates), [homem() mortal()] } = mortal(socrates) 4.1 Enunciados categóricos Para facilitar a formalização de argumentos na lógica de redicados, destacamos uatro tios de sentenças de esecial interesse, denominadas enunciados categórigos. (a) (b) (c) (d) Figura 2. Semântica dos enunciados categóricos em termos de conjuntos. Universal afirmativo: são enunciados da forma [() ()]. Em termos de conjuntos, um enunciado universal afirmativo estabelece ue o conjunto é um subconjunto do conjunto (Figura 2-a). Por exemlo, a sentença Todos os homens são mortais ode ser traduzida como [h() m()], ou seja, ara todo, se então m. Universal negativo: são enunciados da forma [() ()]. Em termos de conjuntos, um enunciado universal negativo estabelece ue os conjuntos e são disjuntos (Figura 2-b). Por exemlo, a sentença Nenhum homem é extra-terrestre ode ser traduzida como [h() e()], ou seja, ara todo, se h então e. Particular afirmativo: são enunciados da forma [() ()]. Em termos de conjuntos, um enunciado universal afirmativo estabelece ue os conjuntos e têm uma interseção não-vazia (Figura 2-c). Por exemlo, a sentença Alguns homens são cultos ode ser traduzida como [h() c()], ou seja, existe tal ue h e c. Particular negativo: são enunciados da forma [() ()]. Em termos de conjuntos, um enunciado universal negativo estabelece ue existem elementos ue estão no conjunto mas não estão no conjunto (Figura 2-d). Por exemlo, a sentença Alguns homens não são cultos ode ser traduzida como [h() c()], ou seja, existe tal ue h e c.
4 S. L. Pereira Reconhecer o tio de uma sentença facilita a sua tradução ara a linguagem da lógica de redicados. Veja outros exemlos: Toda cobra é venenosa : [cobra() venenosa()] Os remédios são erigosos : [remedio() erigoso()] Nenhuma bruxa é bela : [bruxa() bela()] Não existe bêbado feliz : [bebado() f eliz()] Algumas edras são reciosas : [reda() reciosa()] Existem lantas ue são carnívoras : [lanta() carnivora()] Alguns olíticos não são honestos : [olitico() honesto()] Há aves ue não voam : [ave() voa()] Exercício 1 Usando lógica de redicados, formalize as sentenças a seguir: Tudo ue sobe, desce. Nenhum leão é manso. Todo circo tem alhaço. Toda edra reciosa é cara. Nenhum homem é infalível. Ninguém gosta de imostos. Existem imostos ue não são bem emregados. 4.2 Euivalência entre sentenças Há sentenças ue odem ser escritas, euivalentemente, de mais de uma forma. Por exemlo, considere a sentença Nem tudo ue brilha é ouro. Ora, se nem tudo ue brilha é ouro, então significa ue exite alguma coisa ue brilha e não é ouro. Assim, a sentença Nem tudo ue brilha é ouro ode ser escrita como [brilha() ouro()] ou como [brilha() ouro()]. Para ver ue isso é verdade, verifiue as euivalências a seguir: [brilha() ouro()] [ brilha() ouro()] [ brilha() ouro()] [brilha() ouro()] Há também sentenças mais comlexas como, or exemlo, Nem todo ator americano é famoso. Nesse caso, o antecedente da fórmula condicional deve ser uma conjunção, veja: [ator() americano() f amoso()]. Uma interretação dessa sentença seria a seguinte: ora, se nem todo ator americano é famoso, então deve existir ator americano ue não é famoso. Assim, a sentença também oderia ser traduzida como [ator() americano() f amoso()]. A euivalência entre essas duas formas de traduzir a sentença é demonstrada a seguir:
Lógica de Predicados 5 [ator() americano() f amoso()] [ (ator() americano()) f amoso()] [ ator() americano() f amoso()] [ ator() americano() f amoso()] [ator() americano() f amoso()] Exercício 2 Verifiue se as sentenças a seguir são euivalentes: Nem toda estrada é erigosa e Algumas estradas não são erigosas. Nem todo bêbado é fumante e Alguns bêbados são fumantes. 5 Inferência na lógica de redicados Inferir conclusões corretas, a artir de um conjunto de remissas, é uma imortante característica de todo sistema lógico. Para entendermos como a inferência ode ser realizada na lógica de redicados, vamos considerar o argumento: {homem(socrates), [homem() mortal()]} = mortal(socrates) Normalizando 1 essas fórmulas, obtemos: {homem(socrates), homem() mortal()} = mortal(socrates) Observe ue a regra de inferência or resolução não ode ser alicada diretamente ara deduzir ue Sócrates é mortal, ois as fórmulas homem(socrates) e homem() não são comlementares. Entretanto, como a variável é universal, odemos substituí-la or ualuer constante do domínio. Então, fazendo = socrates, obtemos uma nova instância da fórmula homem() mortal() e, assim, odemos inferir a conclusão desejada. Veja: (1) homem(socrates) (2) homem(socrates) mortal(socrates) /=socrates (3) mortal(socrates) RES(1, 2) 5.1 Instanciação universal e variáveis existenciais Infelizmente, o rincíio de instanciação universal, ue nos ermite substituir uma variável or uma constante, só funciona corretamente ara variáveis universais [4]. Para entender o oruê, considere a sentença Todo mestre tem um discíulo, ue ode ser traduzida como: [mestre() Y [disciulo(y, )]] Sendo uma variável universal, odemos substituí-la or ualuer constante e a sentença obtida continuará sendo verdadeira. Particularmente, oderíamos fazer = xisto e obter a seguinte instância: mestre(xisto) Y [disciulo(y, xisto)]. 1 Na forma normal, todas as variáveis são universais.
6 S. L. Pereira Note ue se mestre(xisto) for verdade, a semântica da sentença original forçará Y [disciulo(y, xisto)] a ser verdade também e, como, concluímos ue a instância obtida é verdadeira. Por outro lado, se mestre(xisto) for falso, indeendentemente do valor da fórmula Y [disciulo(y, xisto)], a instância obtida também é verdadeira, ois e. Agora, substituindo a variável existencial, obtemos a instância: [mestre() [disciulo(xisto, )], ue estabelece ue Todo mestre tem um discíulo chamado isto. Evidentemente, o significado da sentença original foi alterado. Isso acontece orue o valor de Y deende do valor escolhido ara. 5.2 Skolemização Uma forma de eliminar uma variável existencial, sem alterar o significado da sentença original, é admitir a existência de uma função ue reresenta o valor correto ara substituir a variável existencial. Por exemlo, oderíamos substituir a variável existencial Y ela função seguidor(), veja: [mestre() [disciulo(seguidor(), )] Note ue, nessa instância, o significado da sentença original é mantido; já ue ela não se comromete com nenhum valor articular de Y. No rocesso de skolemização 2, cada variável existencial é substituída or uma função distinta, cujos argumentos são as variáveis universais, globais 3 à variável existencial em uestão [1]. Por exemlo, odemos eliminar a variável existencial em, Y [(, Y ) Z W [(Z, ) (W, Z)]] fazendo Z = f(, Y ). Caso não haja uma variável universal global à variável existencial a ser skolemizada, odemos usar uma função sem argumentos (ou uma constante). Por exemlo, ara eliminar a variável em Y [() (Y )] odemos fazer = f. Daui em diante, assumiremos ue todas as variáveis são universais (já ue as variáveis existenciais semre odem ser eliminadas) e, ortanto, os uantificadores (universais) ficarão imlícitos. Exercício 3 Formalize as sentenças e skolemize as fórmulas obtidas: Todo cão é fiel ao seu dono. Existe um lugar onde todos são felizes. 5.3 Unificação Como vimos, a inferência or resolução reuer ue as fórmulas atômicas canceladas sejam idênticas (a menos da negação ue deve ocorrer numa delas). O rocesso ue determina ue substituições são necessárias ara tornar duas fórmulas 2 Proosto e demonstrado elo matemático Thoralf Skolem. 3 Uma variável é global à outra se é declarada antes dessa outra.
Lógica de Predicados 7 atômicas sintaticamente idênticas é denominado unificação. Nesse rocesso, uma variável ode ser substituída or uma constante, or uma variável ou or uma função. Por exemlo, odemos unificar gosta(ana, ) e gosta(y, Z), fazendo Y = ana e = Z. Também odemos unificar ama(deus, Y ) e ama(, filho()), fazendo = deus e Y = filho(deus). Já as fórmulas atômicas igual(, ) e igual(bola, bala) não odem ser unificadas; ois, fazendo = bola, obtemos igual(bola, bola) e igual(bola, bala). Como bola e bala são constantes distintas, não existe substituição ue torne essas fórmulas atômicas idênticas. Também não é ossível substituir uma variável or uma função ue tenha essa mesma variável como arâmetro, como or exemlo, = f(). Para unificar duas fórmulas atômicas (sem variáveis em comum): 1. Comare as fórmulas até encontrar uma incorresondência ou atingir o final de ambas; 2. Ao encontrar uma incorresondência: (a) se ela não envolver elo menos uma variável, finalize com fracasso; (b) caso contrário, substitua todas as ocorrências da variável elo outro termo e continue a varredura (no asso 1); 3. Ao atingir o final de ambas, finalize com sucesso. Exercício 4 Unifiue (se ossível) as fórmulas atômicas a seguir: cor(saato(), branco) e cor(saato(suseito), Y ) mora(, casa(mae())) e mora(joana, Y ) rimo(, Y ) e rima(a, B) onto(, 2, Z) e onto(1, W ) (f(y ), Y, ) e (, f(a), f(z)) Referências 1. Amble, T. Logic Programming and Knowledge Engineering, Addison-Wesley, 1987. 2. Brachman, R. J. & Levesue, H. J. Knowledge Reresentation and Reasoning, Morgan Kaufmann, 2004. 3. Genesereth, M. R. and Nilsson, N. J. Logical Fundations of Artificial Intelligence, Morgan Kaufmann Publishers, 1988. 4. Rich, E. and Knight, K. Inteligência Artificial, 2 a ed., Makron Books, 1995.