Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19

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Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar a distribuição de probabilidade. Essas quantidades podem ser utilizadas com resumo do comportamento da variável e servem como parãmetros para vários modelos. EXEMPLOS: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 2 / 19

Definição 10.1:(Valor Esperado de uma Variável Discreta) Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x 1,x 2,...,x n,... Seja p a função de probabilidade. O valor esperado, esperança matemática ou média de X, denotado por E(X) ou µ é definido como E(x) = x i p(x i ), i=1 se i=1 x i p(x i ) < (a série convergir absolutamente). Se essa condição não vale, diremos que o valor esperado não existe. O valor esperado pondera os valores assumidos pelas respectivas probabilidades e não precisa ser um dos valores possíveis da variável. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 3 / 19

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Exemplo 10.2: Suponha a seguinte regra de um jogo com um dado equilibrado: em cada rodada, o jogador paga a uma banca R$1 para jogar e ganha R$1, se der face 4 ou 5 e R$2 se der face 6. Nos demais resulatdos, ele não ganha nada. Esse jogo é interessante para quem? Seja X o saldo em uma jogada. x i 1 0 1 p(x i ) 1/2 1/3 1/6 E(x) = O valor esperado obtido não é um valor resultante de apenas uma jogada. Ele deve ser interpretado como a média dos resultados de uma longa repetição desse jogo. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 5 / 19

Exemplo 10.3: Seja X uma V.A.D. com função de probabilidade dada por i=1 p(x) = i=1 E(x) = 1 2 x ( x +1) 1 2x(x+1) i= 1, se x = 1, 2,..., se x = 1,2,... x i p(x i ) + x i p(x i ) x x i p(x i ) = 2x(x + 1) = 1 1 2 (x + 1) = 1 1 2 2 + 1 3 +... =, i=1 i=1 pois a soma acima é parte da série harmônica que diverge. Para a parte negativa, o cálculo é similar e resulta em. Logo, não existe valor esperado nesse caso. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 6 / 19

Exercício 10.1: Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição apresentada a seguir. Obtenha o valor esperado de X. 0, se x < 2 1/8, se 2 x < 1 F(x) = 5/8, se 1 x < 2 7/8, se 2 x < 4 1, se x 4 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 7 / 19

PROPRIEDADES DA ESPERANÇA: P1 Se X = c, em que c é uma constante, então E(c) = c. P2 Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante: E(cX) = ce(x). P3 A esperança da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é, respectivamente, a soma ou a diferença das esperanças. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X Y) = E(X) E(Y). Consequentemente, para X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias. Então n n E X i = E(X i ) i=1. Observação 10.1: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de X 2, 2X + 1, dentre outras. Por exemplo: E(X 2 ) = i=1 x 2 i p(x i ) i=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 13 / 19

DEMONSTRAÇÃO DAS PROPRIEDADES: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 14 / 19

Exercício 2.9 1) Considere a seguinte distribuição de probabilidade para o número de dias (X) que um livro fica emprestado, além da data de vencimento: x 1 2 3 4 5 p(x) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 a) Calcule o número esperado de dias de atraso. b) Suponha que o usuário atrasar a entrega em um prazo superior a µ+ σdias, onde µ = E(X) e σ= desvio padrão de X, fica em um cadastro de usuário devedor. Calcule a probabilidade dessa ocorrência. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 16 / 19

Exercícios 2.11 Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de livros vendidos por semana: x i 0 1 2 3 4 5 p(x i ) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10 i a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana. b) Calcule a Var(X). c) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros por semana. Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro. d) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X 2 +X-2. Qual o lucro esperado da livraria? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 18 / 19

Exercício : Uma loja de eletrodomésticos vende freezers verticais com 13.5, 15.9 e 19.1 pés cúbicos de espaço com as seguintes probabilidades: 0.2, 0.5 e 0.3. Calcule E(X). Se o preço de um freezer com X pés cúbicos de capacidade for 25X 8.5, qual será o preço esperado pago pelo próximo cliente a comprar um freezer? Qual a variância do preço pago pelo próximo cliente? Suponha que, apesar de a capacidade nominal de um freezer ser X, a capacidade real seja X 0.01X 2. Qual é a capacidade real esperada do freezer compradp pelo próximo cliente. Resolva usando as propriedades da esperança. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 20 / 19

Exercício : A função de probabilidade da variável X é P(X = k) = 1/5 para k = 1,2,...,5. Calcule E(X) e, usando esses resultados, determine E((X +3) 2 ) e Var(3X 2). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 21 / 19