: Variável Aleatória Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma eperiência aleatória. Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas. Eemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para cima. Esta eperiência aleatória tem 4 resultados possíveis: Cara-Cara; Cara-Coroa; Coroa-Cara e Coroa-Coroa. Seja a variável aleatória que representa o número de caras obtidas. Esta variável pode tomar os valores, 1, ou ; é uma variável aleatória discreta. 1
Eemplo : O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal per capita do agregado familiar dos seus empregados. O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso,, é uma v.a. contínua. Outros eemplos: peso de um indivíduo, em kg v.a. contínua. nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente v.a. discreta
Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades Distribuição de Frequências No conteto do Eemplo 1, suponha que se lançaram 1 vezes as duas moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados: Número de caras Frequência absoluta Frequência relativa Freq. relativa acumulada 6.6.6 1 5.5.76 4.4 1 A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas por cada lançamento de duas moedas, em 1 lançamentos. 3
Podemos calcular a média,, e a variância, s, do nº de caras obtidas por lançamento:.6 +.5 1+.4.98 1 n 1 s nii n ( 6 + 5 1 + 4 1.98 ). 55 n 1 i 1 99 Considere-se agora o Eemplo e suponhamos que foram seleccionados ao acaso 1 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar desses 1 empregados estão sumariados na tabela seguinte. 4
Rendimento (em Euros) Frequência absoluta Frequência relativa Freq. relativa acumulada [1, 3[ 15.15.15 [3, 6[ 4.4.55 [6, 9[ 3.3.87 [9, [ 13.13 1 A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal per capita do agregado familiar dos 1 empregados. Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra: 15 + 45 4 + 75 3 + 145 13 1 638.5 1 n ni n 1 i 1 s i n 1 ( 13 1 638.5 ) 366. 4 15 + L + 145 99 5
Distribuição de Probabilidades Nos eemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso n1). A distribuição de probabilidades da v.a. descreve o que se esperaria encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes. 6
Distribuição de probabilidades discreta Relacionando cada valor da variável aleatória discreta com a probabilidade de ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da v.a. discreta. A função de probabilidade de é uma função f que associa a cada valor possível de a sua probabilidade: f ( ) P( ). Tem-se que i f ( i ) 1. 7
Eemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no lançamento de duas moedas Número de caras i Probabilidade P( i ).5 1.5.5 8
Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ e são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira: µ E( ) i f ( i ).5 +.5 1 +.5 1 i σ Var( ) E(( µ ) ) E( ) ( E( )).5 +.5 1 +.5 1. 5 A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da chamada função de distribuição cumulativa F(), que, para cada, nos dá a probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a : F()P( ) probabilidade acumulada até 9
Para a v.a. do Eemplo 1, podemos completar a tabela introduzindo os valores das probabilidades acumuladas até, 1 e, isto é, apresentando os valores de F( 1 ), F( ) e F( 3 ). Número de caras i Probabilidade P( i ) F( i ).5.5 1.5.75.5 1 1
Para outros valores de R: Se <, tem-se ( ) P( ) F ; Se <1, tem-se ( ) P( ) P( ) f (). 5 F ; Se 1 <, tem-se F ( ) P( ) P( ) + P( 1) f () + f (1).5 +.5. 75 Se, F ( ) P( ) P( ) + P( 1) + P( ) f () + f (1) + f ().5 +.5 +.5 1. ; 11
Resumindo, se <.5 se < 1 F ( ).75 se 1 <. 1 se Na figura seguinte representa-se F graficamente. Função de Distribuição 1,75,5,5-1 1 3 1
Distribuição de probabilidades contínua A probabilidade de uma variável aleatória continua tomar um valor particular é zero (recorde que teoricamente uma v.a. contínua pode tomar um nº infinito de valores num intervalo de nº reais, logo, é evidente que a probabilidade de ela assumir um valor particular entre um nº infinito será zero). Consequentemente, uma variável aleatória contínua não pode ser epressa na forma tabular; usa-se então uma função para a eprimir. Uma função muito usada para descrever a distribuição de probabilidades é a função densidade de probabilidade (representada por f () fdp. ), abreviadamente 13
Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através da função de distribuição cumulativa F( ) P( ) f ( t) dt ' donde F ( ) f ( ) 14
Vamos recorrer ao Eemplo para ilustrar a utilidade destas funções. Eemplo : Suponhamos que a função densidade de probabilidade da v.a. - rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso é representada graficamente da seguinte maneira: 15
A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado (escolhido ao acaso) ser inferior ou igual a a corresponde à área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eio das abcissas e por a (à direita) [área sombreada]. [área sombreada]p( a)f(a) 16
A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado (escolhido ao acaso) estar compreendido entre dois valores, a e b, corresponde à área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eio das abcissas, (à esquerda) por a e (à direita) por b [área sombreada]. [área sombreada]p(a<<b)f(b)-f(a) 17
Obviamente, a área limitada superiormente pela função densidade e inferiormente pelo eio das abcissas é igual a 1, pois corresponde à probabilidade de se observar qualquer valor para o rendimento familiar per capita de um empregado (escolhido ao acaso). 18
Eemplo 3 : O director de compras da empresa Baratinho pretende definir uma política de aquisição de matéria-prima para o próimo ano. As necessidades de matériaprima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade de probabilidade: f ( ) 1 /,, outros valores µ E( ) + f ( ) d (1 / ) d / d [ / / 6] 3 3 19
σ Var ( ) E(( µ ) ) E( ) ( E( )) + f ( ) d 3 (1 / ) d 3 [ / 3 /8] 3 4 3 9 Função de distribuição cumulativa de : Se <, vem: F () P( ) f (t) dt dt
Se <, vem: F () P( ) f (t) dt f (t) dt + f (t) dt dt + 1 t dt + t t 4 4 Se vem: F ( ) f ( t) dt f ( t) dt + f ( t) dt + f ( t) dt dt + 1 dt + dt + 4 + 1 1
Resumindo, F ( ) 4 1 se < se se < Na figura seguinte representa-se F graficamente. F 1,8,6,4, -1 1 3
Em estudos de inferência estatística, em geral, estuda-se uma característica numa dada população, que é representada por uma v.a., digamos. Contudo, é através de uma amostra que esta característica é estudada (recorde o Eemplo ). A distribuição de probabilidades de é usualmente designada por distribuição populacional. A média e variância desta variável aleatória, µ e σ, dizem-se parâmetros populacionais, pois são os valores que se encontrariam se fosse possível observar todos os elementos da população. Ao observar uma amostra, temos acesso apenas a uma distribuição de frequências, e à média e variância amostrais, que nos dão uma ideia, respectivamente, da distribuição populacional e da média e variância populacional. 3
Propriedades da Esperança e da Variância: Sejam e Y variáveis aleatórias e a, b e c constantes reais. Então: E(c)c E(c)cE() E(a+bY)aE()+bE(Y) Var(c) Var(a+b)a Var() 4