Geometria Espacial Parte I 1. (Insper 014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura. As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm, é igual a a) 7(+ ). b) 6(6+ 5). c) 108(+ 5). d) 7(8+ 7). e) 54(4+ 7).. (Unicamp 014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 5%.. (Fuvest 014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é a) 1 8 b) 1 6 Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE, as retas AG e HI, e as retas AD e GK. As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente, a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. 5. (Fatec 01) O sólido da figura é formado por cubos de aresta 1 cm os quais foram sobrepostos e/ou colocados lado a lado. Para se completar esse sólido, formando um paralelepípedo retorretângulo com dimensões cm cm 4 cm, são necessários N cubos de aresta 1 cm. O valor mínimo de N é a) 1 b) 18 c) 19 d) 5 e) 7 6. (Fgv 01) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1:500, ou seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito? c) 9 d) 1 4 e) 1 4. (Espcex (Aman) 01) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. www.soexatas.com Página 1
7. (Epcar (Afa) 01) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede cm. Sendo 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a 0 a) b) 7 6 c) d) 8. (Fgv 01) Um poço cilíndrico circular reto, de profundidade 15 m e diâmetro 6 m, foi escavado por 18 trabalhadores em 5 dias. Admitindo-se sempre proporcionalidade direta ou inversa entre duas das três grandezas envolvidas no problema (volume escavado, número de trabalhadores e dias necessários para o serviço), para aumentar o diâmetro do poço já escavado em mais m, e com 4 trabalhadores a menos, serão necessários e suficientes mais a) 0 dias. b) 1 dias. c) dias. d) 4 dias. e) 5 dias. - a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo π 0< x ; - x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ; - o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m, em função do ângulo x, em radianos, é: a) b) c) Parte II 1. (Uerj 014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano α. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem: d). (Uerj 014) Uma esfera de centro A e raio igual a dm é tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F,A e T são colineares. Observe a ilustração: Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens: Considere as seguintes informações: - o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 www.soexatas.com Página
. (Fgvrj 01) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8dm de largura por 10dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir: O volume, em a) 80x 6x + 4x b) 80x+ 6x + 4x c) 80x 18x + x d) 80x+ 18x + x e) 0x 9x + x dm, da caixa assim obtida é 4. (Pucrj 01) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo arco mede 1. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB, como nas figuras abaixo. 6. (Ime 01) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 0. 7. (Fgvrj 01) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm, cabem exatamente três bolas de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata? 8. (Esc. Naval 01) Considere dois cones circulares retos, de altura H e raio da base 1cm, de modo que o vértice de cada um deles é o centro da base do outro. O volume comum aos dois cones coincide com o volume do sólido obtido pela rotação do setor circular, sombreado na figura abaixo, em torno do eixo l. O valor de H é, em cm, Não use aproximações para π e determine: a) o perímetro da base do cone; b) o raio da base do cone; c) o volume do cone. 5. (Uerj 01) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 1 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. a) ( + ) r b) r 4 c) r d) r e) 4r 9. (Esc. Naval 01) Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de motor de um navio da Marinha Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. do Brasil. Se o raio da esfera mede 5 5 cm, então seu volume vale a) 45 b) 0,45 10 πdm c) 60 www.soexatas.com Página
d) 0,15 e) 60 10. (Uerj 011) Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ângulo de 45º com o chão e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ângulo de 45º com a parede inicial. Observe a ilustração: face do prisma. Sabendo que o raio da esfera é r, qual é o volume do prisma? a) r. b) r. c) r. d) 6 r. e) 8 r.. (Ufjf 011) O prisma reto ABCDEFGH tem como base um quadrado ABCD de lado 10cm. Os pontos P, Q, R e S são coplanares e pertencem às arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente. Sabe-se que AP= 0cm, BQ= 0cme CR= 0cm. Determine o cosseno do ângulo PSR. Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, formado por suas duas partes. Parte III 1. (Ufjf 01) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 0 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1cm. 4. (Ufjf 011) Na figura a seguir, considere o cubo de aresta de medida cm e faces adjacentes BCDE e DEFG. Nesse cubo, o ponto A localiza-se no centro da face oposta à face BCDE, N e M são pontos médios das arestas DE e GF, respectivamente, e H pertence ao segmento MN. a) Calcule o volume da embalagem. b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em 1 (um quinto) quando passa do estado 5 líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde? a) Calcule a medida da área do triângulo ABC. b) Sabendo que AH é a altura da pirâmide HABCde base triangular ABC, determine o valor da medida do volume dessa pirâmide. 5. (Ufjf 007) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo.. (Ufjf 01) Uma peça de ornamentação confeccionada com vidro possui a forma de um prisma regular reto, cuja base é um triângulo equilátero. Em seu interior, há uma esfera representando o globo terrestre, que tangencia cada www.soexatas.com Página 4
b) 18ð m. c) 7ð m. d) 6ð m. e) 45ð m. O número de vértices deste poliedro é: a) 1. b) 14. c) 16. d) 0. e). 7. (Ufjf 006) Seja um prisma quadrangular regular de altura 4 e aresta básica. Considere uma pirâmide triangular inscrita nele, que tenha seu vértice coincidente com um dos vértices de uma base desse prisma, e sua base tenha vértices coincidentes com vértices da outra base dele. Nenhuma face lateral dessa pirâmide é perpendicular ao plano da base do prisma. Calcule a soma do comprimento de todas as arestas dessa pirâmide. 8. (Ufjf 00) Uma taça em forma de um cone circular reto estava cheia de vinho até a borda. Depois de se ter tomado metade do vinho, a figura que melhor representa a quantidade de bebida que restou na taça é: 6. (Ufjf 007) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é: a) 9ð m. Parte IV 9. (Ufjf 00) Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 1 cm e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabricante alterou a embalagem, aumentando em cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas manteve o preço por unidade. Então, na realidade, o preço do produto: a) diminuiu. b) se manteve estável. c) aumentou entre 10% e 0%. d) aumentou entre 0% e 0%. e) aumentou entre 0% e 40%. Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: 1. (Uerj 01) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas. Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: www.soexatas.com Página 5
a) b) c) d) πr πr πr 4 4πR. (Uerj 01) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a m. Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.. (Uerj 01) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos Â,, e da base superior mede 10º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m e que = 1,7. Na confecção de uma dessass embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85 Parte V 1. (Unicamp 01) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q > 1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = e a área total do paralelepípedo igual a 5 m.. (Fuvest 01) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-see AB=, AD= e AE= 4. Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: a) b) 4 c) 6 d) 8 4. (Uerj 011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?. (Unicamp 01) A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 5%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que: www.soexatas.com Página 6
a) R e H 16. r 4 h 9 b) R 9 e H 4. r 16 h c) R 4 e H 5. r 5 h 16 d) R 16 e H 5. r 5 h 4 4. (Unesp 01) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras. Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm e admitindo π, a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é a) 66. b) 64. c) 60. d) 6. e) 68. www.soexatas.com Página 7