LISTA DE EXERCÍCIOS ANÁLISE COMBINATÓRIA PROBLEMAS GERAIS PROF. GUSTAVO TONDINELLI Nome: Nº Turma 1. Quantos números naturais de 4 algarismos e divisíveis por 5 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 2. Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9? 3. Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no nosso sistema de numeração? 4. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos têm o algarismo da centena igual a 7? 5. Quantos números naturais pode-se escrever com os algarismos ímpares, sem repeti-los que estejam compreendidos entre 3000 e 7000? 6. Quantos números naturais, ímpares, de 4 algarismos distintos e menores que 3000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 7. (PUC) Chamam-se palíndromos os números inteiros que não se alteram quando a ordem se seus algarismos é invertida (por exemplo: 383, 4224, 74847). Qual é o número total de palíndromos de 5 algarismos que existem? 8. (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais? 9. (MACK) Atualmente, os veículos possuem placas com 3 letras, escolhidas dentre 26 possíveis, e 4 algarismos, escolhidos de 0 a 9. Dessa forma, qual é o número de veículos com placas A - 12? 10. (INSPER) O Código Morse usa palavras contendo de 1 a 4 letras. As letras são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (- ). Desse modo, qual é a quantidade de palavras possíveis a partir do Código Morse? 11. Quantos números naturais pares, maiores que 700 e com 3 algarismos distintos, podemos formar? 12. (GV) Uma pessoa vai retirar dinheiro em um caixa eletrônico de um banco, mas na hora de digitar a senha, se esquece do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. Qual é o número total de senhas que podem ser formadas seguindo esse critério? 13. (MACK) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre 300 e 500 que podemos formar, usando apenas os algarismos 3, 4 e 5? 14. (MACK) Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 16 3 diferentes senhas por minuto. A senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou,sem sucesso, 75% das senhas possíveis, qual é o tempo decorrido desde o início de sua execução? 15. (UNESP) Dispondo de 4 cores distintas temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se: a) os países P e S forem coloridos com cores distintas? b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor? 16. (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa e nem da palmeira, por uma questão de contraste, então qual será o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem?
17. (UNESP) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade C, havia quatro ferrovias e cinco rodovias. Qual é o número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e ferrovia, obrigatoriamente, mas em qualquer ordem? 18. (UNESP) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números de dois algarismos distintos são possíveis formar com os elementos do conjunto A, de modo que: a) a soma dos algarismos seja ímpar? b) a soma dos algarismos seja par? 19. (GV) Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a diretoria de um clube formada por um presidente, por um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a diretoria, onde Paulo é vice-presidente e Bento não é presidente e nem tesoureiro. 20. (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. Qual é o número máximo de palavras, com cinco letras ou menos que podem ser formadas com esse código? 21. (MACK) Considere todos os números de 3 algarismos formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Dentre eles, qual é a quantidade de números pares com exatamente dois algarismos iguais? 22. (ITA) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? 23. (UNESP) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. Qual é a quantidade total de cartões oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade? 24. (GV) No sistema de numeração de base decimal, quantos números pares existem com 3 algarismos distintos e maiores que 800? 25. (GV) Aconteceu um acidente : a chuva molhou o papel onde Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Teodoro lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, quantas ligações havia feito Teodoro? 26. (FUVEST) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 27. (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra : O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7, e apenas o 7, pode aparecer mais de uma vez. 28. Considere todos os anagramas da palavra UNIVERSO. a) Quantos anagramas possuem as letras U, N, I, juntas e nessa ordem? b) Quantos anagramas possuem as letras U, N, I, juntas? 29. Em uma prateleira existem 9 livros diferentes, sendo 4 de Matemática, 3 de Português e 2 de História. a) De quantos modos podemos ordenar esses livros, de forma a ter, da esquerda para a direita, os assuntos Matemática, depois Português e depois História? b) De quantos modos podemos ordenar esses livros, para que os livros de mesma matéria fiquem juntos? 30. Considere a palavra EDITORA. Quantos anagramas possuem vogais e consoantes alternadas? 31. (UNESP) Um casal viaja com seus 3 filhos em um automóvel de 5 lugares. Se apenas os pais dirigem, qual é o número de possibilidades de acomodação nos 5 lugares? 32. (MACK) Cinco doadores de sangue formam uma fila, porém, uma certa pessoa A, com muito medo, não quer ser o primeiro, nem o último doador. Qual é o número de formas de organizar a fila, aceitando a solicitação da pessoa A? 33. (UNESP) De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em um sofá de 5 lugares, se duas delas não admitem ficar uma ao lado da outra?
34. (FUVEST) Em um programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Quantos anos serão necessários para esgotar todas as possíveis sequências dessas 10 músicas? (Considere 1 ano = 360 dias). 35. Listando-se, em ordem crescente, todos os números de cinco algarismos distintos, formados com os elementos do conjunto 1, 2, 4, 6, 7, o número 62417 ocupa o enésimo lugar (posição n). Calcule n. 36. De quantos modos podemos empilhar 7 tijolos de cores diferentes de modo que o verde e o amarelo fiquem sempre juntos? 37. (UNESP) Quatro amigos, Pedro, Luiza, João e Rita, vão ao cinema sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. Qual é o número de maneiras que os 4 podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luiza fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos? 38. (MACK) Três homens e três mulheres devem ocupar três bancos, cada banco com dois lugares numerados, de modo que, em cada um desses bancos, fiquem um homem e uma mulher. Qual é o número de formas de se ocupar os bancos? 39. (GV) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR, de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem? 40. (MACK) Qual é o número de filas diferentes que podem ser formadas com dois homens e três mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos? 41. (MACK) Sabendo-se que um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, sem repeti-las, e considerando a palavra MACK, qual é a quantidade de anagramas que podem ser formados com duas, três ou quatro letras dessa palavra, sem repetição de letras? 42. (FUVEST) Com as seis letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 palavras (anagramas) de seis letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, quais seriam as duas primeiras letras da 250ª palavra? 43. (UNIFESP) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de 5 letras em um dicionário. Qual será a 73ª palavra nessa lista? 44. (UNESP) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números iniciam com o algarismo 1? b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512.346 e que número ocupa a 242ª posição? 45. (GV) Colocando em ordem crescente os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, que posição ocupará o número 35241? 46. (UNESP) Dos 720 números formados com as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos estão entre 450000 e 620000? 47. (FUVEST) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais 4 pessoas. Além disso, - A família Sousa quer ocupar um mesmo banco; - Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, qual é o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação? 48. (UFSCAR) Num acampamento estão 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, será formada uma equipe com 2 paulistas, 1 carioca e 2 mineiros, escolhidos ao acaso. Qual é o número de maneiras possíveis para se formar essa equipe de limpeza? 49. (MACK) Seis refrigerantes diferentes devem ser distribuídos entre duas pessoas, de modo que cada pessoa receba 3 refrigerantes. Qual é o número de formas de se fazer isso? 50. (MACK) Nove pessoas desejam subir à cobertura de um edifício, dispondo, para isso, de dois elevadores, um com 4 lugares e outro com 5 lugares. Qual o número de formas de distribuí-las nos elevadores? 51. (UNESP) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, de quantas maneiras possíveis e diferentes podemos completar as chaves do torneio?
52. (GV) Um professor precisa elaborar uma prova de matemática com 5 questões, sendo uma de trigonometria, duas de álgebra e duas de geometria. Ele dispõe de 3 questões de trigonometria, 6 de álgebra e 5 de geometria. De quantas formas a prova pode ser elaborada, não se levando em conta a ordem das questões? 53. (UNIFESP) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e 4 membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre 10 moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer essas escolhas? 54. (PUC) No saguão de um teatro, há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre? 55. (FUVEST) Em uma primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga contra todos os demais. Nessa fase, foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores? 56. (UNESP) Considere os números 2, 3, 5, 7 e 11. Qual é a quantidade total de números distintos que se obtém multiplicando-se dois ou mais desses números, sem repetição? 57. (MACK) Uma padaria faz sanduíches, segundo a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de pães e 10 tipos diferentes de recheio. Se o cliente pode escolher 1 tipo de pão e, 1, 2 ou 3 recheios diferente, qual é o número de possibilidades de compor o sanduíche? 58. De quantos modos podem ser escolhidos 3 números naturais de 1 a 13, de modo que sua soma seja par? 59. Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 bolas azuis. De quantos modos é possível retirar 7 bolas das quais pelo menos 4 bolas sejam azuis? 60. Um grupo de estudos é formado por 4 rapazes e 6 garotas. Quantos grupos de 3 pessoas pode-se formar com a condição de que pelo menos um dos escolhidos seja homem? 61. (MACK) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. Qual o número de possíveis comissões? 62. (UNIFESP) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto à crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que um deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? 63. (FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses quatro itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produto de limpeza e 5 tipos de alimento não-perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não-perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitas? 64. (UNESP) O corpo de enfermeiros plantonistas de uma clínica compõe-se de 6 homens e 4 mulheres. Calcule quantas equipes de 6 plantonistas é possível formar com os 10 enfermeiros, levando em conta que em nenhuma delas deve haver mais homens que mulheres. 65. (MACK) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. Qual é o número de grupos, com três alunos, que pode ser formados, incluindo pelo menos um dos gênios? 66. (UNESP) Um repórter perguntou ao técnico de um time de futebol de salão se ele já dispunha da escalação de sua equipe. O técnico respondeu que jogariam Fulano, a grande estrela do time, e mais quatro jogadores. Supondo que o técnico disponha de um elenco de 11 jogadores (incluindo Fulano) e que qualquer jogador pode ocupar qualquer posição, quantas equipes diferentes podem ser formadas de maneira que a resposta do técnico seja verdadeira? 67. (ITA) Dentre quatro moças e cinco rapazes deve se formar uma comissão de cinco pessoas com, pelo menos, uma moça e um rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? 68. (GV) Um hospital dispõe de três médicos e de quatro enfermeiras para formar uma Comissão de Ética (CE) e uma Comissão de Controle de Infecções Hospitalares (CCIH). Cada comissão deve ser composta de um médico e duas enfermeiras e ninguém pode pertencer às duas comissões. Juntas, uma CE e uma CCIH constituem uma formação. Qual é o número de formações distintas que podem ser constituídas? 69. (UFSCAR) Considere o conjunto C = {2, 8, 18, 20, 53, 124, 157, 224, 286, 345, 419, 527}. Qual é o número de subconjuntos de três elementos de C que possuem a propriedade soma dos três elementos é um número ímpar? 70. (GV) Três números inteiros distintos de 20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. Qual é o número de maneiras diferentes de fazer essa escolha?
71. (UFSCAR) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sendo exatamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas: a) dentre todos os seus amigos no trabalho. b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos. 72. (FUVEST) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, dez garrafas de vinho de um lote constituído por quatro garrafas da Espanha, cinco garrafas da Itália e seis garrafas da França, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras é possível escolher dez garrafas desse lote? b) De quantas maneiras é possível escolher dez garrafas do lote, sendo duas garrafas da Espanha, quatro da Itália e quatro da França? 73. (FUVEST) Em uma classe de nove alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? 74. Dentre um grupo de 12 pessoas serão escolhidas 5 pessoas para viajarem juntas. De quantos modos se pode fazer essa escolha se, dentre as 12 pessoas, duas são marido e mulher e só irão se estiverem juntas? 75. (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? 76. (UNESP) Marcam-se num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma reta e 3 outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura. Qual é o número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se 3 quaisquer desses pontos? 77. (MACK) Na figura, o quadrado ABCD é formado por nove quadrados congruentes. Qual é o total de triângulos distintos, que podem ser construídos, a partir dos 16 pontos? 78. (MACK) No desenho abaixo 3 dos quadrados menores deverão ser pintados de verde, 3 de amarelo e 3 de azul. Se os quadrados da linha do meio tiverem a mesma cor, qual o número de formas diferentes de se colorir o desenho, nas condições dadas? 79. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra COLOSSO? 80. Quantos anagramas da palavra CORREDOR possuem as três letras R juntas? 81. Quantos números naturais pares de 5 algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 1, 2, 3, 3, respeitadas as repetições apresentadas? 82. (UNESP) Quantos números de nove algarismos podem ser formados contendo quatro algarismos iguais a 1, três algarismos iguais a 2 e dois algarismos iguais a 3? 83. (GV) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: (a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7). Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quatro letras a, duas letras b e quatro algarismos iguais a 7? 84. (GV) Qual é o número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam e nem terminam com a letra O?
85. (FUVEST) Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda (casa 1,1) para casa superior direita (casa 4,4), sendo que essa peça deve moverse, de cada vez, para casa imediatamente acima ou imediatamente a direita. Se apenas uma dessas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por quantos caminhos distintos podem ser planejados esses trajetos? 86. (UNESP) A figura abaixo mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos de baixo para cima ou da esquerda para direita. Qual é o número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B? Gabarito: 01. 216 02. 360 03. 648 04. 448 05. 48 06. 60 07. 900 08. 59049 09. 67600 10. 30 11. 112 12. 1344 13. 18 14. 3 h e 12 min 15. a) 48 b) 36 16. 7 17. 22 18. a) 12 b) 8 19. 80 20. 62 21. 15 22. 585 23. 33600 24. 72 25. 23 26. 551 27. 212 28. a) 720 b) 4320 29. a) 288 b) 1728 30. 144 31. 48 32. 72 33. 72 34. 10080 35. 81 36. 1440 37. 8 38. 288 39. 1440 40. 72 41. 60 42. FE 43. RAOPV 44. a) 720 e 120 b) 481ª e 312465 45. 70ª 46. 192 47. 3456 48. 360 49. 20 50. 126 51. 90 52. 450 53. 1260 54. 792 55. 13 56. 26 57. 525 58. 146 59. 2080 60. 100 61. 66 62. 136 63. 640 64. 95 65. 970 66. 210 67. 125 68. 36 69. 115 70. 4940 71. a) 40 b) 18 72. a) 3003 b) 450 73. 71 74. 372 75. 210 76. 116 77. 516 78. 60 70. 20 80. 792 81. 420 82. 360 83. 12 84. 1260 85. 3150 86. 10800