PLANO DE AULA POLINÔMIOS

Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA POLINÔMIOS 1 Identificação Unidade Escolar: Instituto Federal Catarinense Campus Sombrio Município: Sombrio / SC Disciplina: Matemática Ano: 3º ano do ensino médio Nível: Ensino Médio Turma: 3º ano A Professora(s): Vanessa da Silva Pires Cronologia: Data: 10/11/2014 Turno: Matutino 2 Tema: Polinômios 2.1 Sub-tema: Polinômio com uma variável; Fração polinomial; Divisão de polinômios por binômios do 1 grau; 3 Justificativa De maneira geral muitas das profissões utilizam polinômios em seu dia-a-dia. Naturalmente no campo da Matemática os polinômios aparecem com maior frequência, porém eles estão presentes na meteorologia até a construção. Os polinômios são usados também para descrever curvas de diversos tipos. Um exemplo desta aplicação são as montanhas-russas, onde suas curvas podem ser facilmente descritas por polinômios ou combinações de equações polinomiais. Outro campo em que as equações polinomiais são utilizadas é a economia para fazer análise de custo, receitas, lucros. Também são usados para modelar diferentes situações, como no mercado de ações, a fim de prever como os preços podem variar ao

longo do tempo, ou como o aumento e queda dos preços de determinado bem irá afetar sua venda. Os polinômios, ainda, podem ser usados na física para descrever a trajetória de um projétil. Dentro da Matemática os polinômios podem representar modelos aplicados para a geometria, no calculo de perímetro, superfícies e volume. 4 Objetivos específicos Reconhecer polinômios Identificar o grau de um polinômio e polinômios idênticos Operar com polinômios Determinar a raiz de um polinômio Aplicar os Teoremas do Resto, Briot Rufini e D alembert 5 Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula) Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), monômio, binômio, trinômio e polinômio. 6 Estratégias 6.1 Recursos: Quadro, material disponível em sala de aula, atividade impressa. 6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula com materiais de ensino. 7 Procedimentos 7.1 Problematização: Situação 01: Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Situação 02: Na resolução de problemas, é comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões e equações que nos ajudam a resolver o problema. Imagine por exemplo que, em determinados problemas, os enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões: a) A primeira figura é uma região retangular de dimensões x e (x+5). Determine as expressões do perímetro e da área dessa figura. b) A segunda figura representa um cubo com arestas de medida x. Determine as expressões da área e do volume dessa figura. c) A terceira figura representa um paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4) e x. Determine as expressões da área total e do volume dessa figura. d) Qual a expressão que representa a soma de todas as superfícies das figuras. e) Qual a diferença entre a medida da superfície do paralelepípedo e da medida da superfície do cubo. 7.2 Historicização: Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos. O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra álgebra, que é trocar os membros no termo de uma equação.

A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois se pode ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas pode-se obter polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo: P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0 Como se pode notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios. Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra, contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer, com operações aritméticas. Portanto, pode-se assim, efetuar as operações aritméticas nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação.0 7.3 Operacionalização da aula Polinômios Polinômio com uma variável Polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser apresentada sob forma: a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 Em que {a 0, a 1,, a 2,, a n } C, {n, n 1, n 2,,1,0} N e a variável x pode assumir qualquer valor complexo. Para indicar que P(x) representa a expressão a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 Escrevemos: P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 Cada uma das parcelas a n x n, a n 1 x n 1, a n 2 x n 2, + a 1 x, a 0, é um termo ou monômio do polinômio, sendo a 0 o termo independente da variável x. Os números a n, a n 1, a n 2,, a 1 e a 0 são os coeficientes do polinômio. Se todos forem iguais a zero, o polinômio é chamado de identicamente nulo. Indica-se que um polinômio P(x) é identicamente nulo por P(x)=0. O grau de um polinômio não identicamente nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não nulos. Indicamos o grau de um polinômio P pelo símbolo gr(p).

Não se define grau de um polinômio identicamente nulo, pois todos os seus coeficientes são nulos. O coeficiente não nulo da variável de maior expoente é o coeficiente dominante do polinômio, ou seja, o coeficiente dominante é o do termo que determina o grau do polinômio. Atribuindo um valor complexo β a variável x, obtemos a expressão a n β n + a n 1 β n 1 + a n 2 β n 2 + + a 1 β + a 0 Cujo resultado é chamado de valor numérico do polinômio para x=β. Indica-se esse valor numérico por P(β). Chamamos raiz do polinômio P(x) todo número complexo β tal que P(β)=0. A raiz também é chamada de zero do polinômio. Exemplos: a) a expressão 6x 4 + 2x³ + x² 7x + 9 é um polinômio de grau 4 em que: 6, 2, 1, -7 são seus coeficientes; x é sua variável; 6x 4, 2x³, x², 7x e 9 são seus termos ou seus monômios; 9 é seu termo independente; 6 é seu coeficiente dominante b) a expressão 7t 5 + 6it³ 10t, que pode ser representada sob a forma 7t 5 +0t 4 + 6it³ + 0t² 10t + 0 é um polinômio de grau 5 em que: 7, 0, 6i, 0, -10 e 0 são seus coeficientes; t é sua variável; 7t 5,0t 4, 6it³, 0t², 10t e 0 são seus termos ou seus monômios; 0 é seu termo independente; 7 é seu coeficiente dominante. c) O número 3 é um polinômio de grau zero, pois pode ser representado na forma 3x 0. Todo número complexo não nulo é um polinômio de grau zero. Todo número complexo é chamado de polinômio constante, inclusive o número zero, do qual não se define grau. d) As expressões 5x 3 + 6x² + 4x 1 + 7 e 3t 1 2 + 4t³ + 5t 2 não são polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um termo não nulo cujo expoente da variável não é numero natural. e) O número 2 é a raiz do polinômio P(x)= x³ 5x² + 3x + 6, pois: P(2)= 2³ 5.2² + 3.2 + 6 = 0

Identidade de polinômios Considere os polinômios P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são constantes complexas. Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios idênticos se, e somente se, P(β)=Q(β) para qualquer β C. Assim, para determinar as constantes a, b e c, podemos atribuir a x três valores distintos quaisquer e formar um sistema de três equações e três incógnitas. Por exemplo: { P(0) = Q(0) P(1) = Q(1) { 2.0² + 4.0 + 3 = a. 0² + b. 0 + c 2.1² + 4.1 + 3 = a. 1² + b. 1 + c P( 1) = Q( 1) 2. ( 1) 2 + 4. ( 1) + 3 = a. ( 1) 2 + b. ( 1) + c c = 3 Ou seja, { a + b + c = 9 a = 2, b = 4 e c = 3 a b + c = 1 Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. De modo geral, podemos definir que: Os polinômios a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 e b n x n + b n 1 x n 1 + bx n 2 + + bx + b 0 na variável x, são idênticos se, e somente se, os coeficientes a j e b j obedecerem a condição: a j = b j para todo número natural j e 0 j n Indicamos que dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos por P(x) Q(x); caso não sejam idênticos, indicamos por P(x) Q(x). Operações com polinômios Adição de polinômios A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) + Q(x), é o polinômio obtido ao se adicionarem os coeficientes de P(x) com os coeficientes de Q(x) que tem, respectivamente, o mesmo expoente na variável (caso não conste um termo com determinado expoente na variável, considera-se que seu coeficiente é zero). Valem para a adição as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro (que é o polinômio identicamente nulo) e elemento oposto (o oposto de um polinômio P(x) é o polinômio simbolizado por P(x), que é obtido trocando-se os sinais de todos os monômios de P(x)). Exemplo: Para calcular a soma dos polinômios P(x) 12x 4 + 6x² + 2x + 7 e Q(x) 4x³ + 9x² x 8, que devem ser entendidos como

P(x) 12x 4 + 0x³ + 6x² + 2x + 7 e Q(x) 0x 4 + 4x³ + 9x² x 8, adicionamos os coeficientes dos termos de P(x) com os coeficientes dos termos de Q(x) que tem, respectivamente, o mesmo expoente na variável, isto é: P(x) + Q(x) (12+0)x 4 +(0+4)x³+(6+9)x²+(2-1)x+7-8, ou seja, P(x) + Q(x) 12x 4 + 4x³+ 15x²+x -1 Subtração de polinômios A diferença entre os polinômios P(x) e Q(x), nessa ordem, que se indica por P(x) Q(x), é definida como a soma de P(x) com o oposto de Q(x), isto é: P(x) Q(x) = P(x) + [-Q(x)] Exemplo: Sejam P(x) x 5 + 8x³ + 7x² + 3 e Q(x) 4x 5 + 6x 4 2x³ 2, que devem ser entendidos como P(x) x 5 + 0x 4 + 8x³ + 7x² + 0x + 3 e Q(x) 4x 5 + 6x 4 2x³ + 0x² 2. Para obter P(x) Q(x), subtraímos os coeficientes dos termos que tem o mesmo expoente na variável, isto é: P(x) Q(x) (1 4)x 5 + (0 6)x 4 + (8 ( 2))x 3 + (7 0)x 2 + 0x + 3 ( 2), ou seja, P(x) Q(x) 3x 5 6x 4 + 10x³ + 7x² + 5. Multiplicação de polinômios O produto dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) Q(x), é o polinômio obtido pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q. Valem para a multiplicação as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro, além das distributivas em relação à adição e à subtração. Exemplos: a) Sendo P(x) 5x² 3x + 2, temos: 3P(x) 3(5x² 3x + 2) 15x² 9x + 6 b) Sendo H(x) 5x³ + 2x e G(x) 2x² + 4x 1, temos: H(x) G(x) (5x 3 + 2x) (2x 2 + 4x 1) 10x 5 + 20x 4 5x³ + 4x³ + 8x² 2x H(x) G(x) 10x 5 + 20x 4 x³ + 8x² 2x Divisão de polinômios Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio não nulo D(x) significa obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que: Q(x) D(x) + R(x) E(x) e gr(r) < gr(d) ou R(x) 0

Os polinômios E(x), D(x), Q(x) e R(x) são chamados, respectivamente, de dividendo, divisor, quociente e resto da divisão. Demonstra-se que existe um único quociente Q(x) e um único resto R(x) na divisão de E(x) por D(x). Quando R(x) 0, dizemos que a divisão de E(x) por D(x) é exata, ou, ainda que E(x) é divisível por D(x). Exemplos: a) Na identidade (3x + 5) (x 4 + 2x) Q(x) D(x) + 10x³ R(x) 3x 5 + 5x 4 + 10x³ + 6x² + 10x E(x) Temos gr(r)<gr(d). Portanto, devido à unicidade do quociente e do resto, concluímos que Q(x) e R(x) são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de E(x) por D(x). b) Na identidade (x + 3) Q(x) (x 3) + 0 D(x) R(x) x² 9 E(x) Temos R(x) 0. Por isso, dizemos que Q(x) é o quociente exato da divisão de E(x) por D(x). Dizemos, também, que E(x) é divisível por D(x). Método da chave para a divisão de polinômios Toda propriedade da estrutura algébrica dos polinômios tem sua correspondente na estrutura algébrica dos números inteiros; por isso, é possível compreender muitos procedimentos realizados com polinômios a partir de uma analogia com números inteiros. Por exemplo, para dividir 40 por 10, podemos efetuar: O método da chave, utilizado na divisão de números pode ser estendido para a divisão de polinômios. Por exemplo, para dividir o polinômio E(x) 3x 5 + 16x³ + x² 10x + 9 pelo polinômio D(x)= x² + 6: I. Dispomos E(x) e D(x) sob a forma: 3x 5 + 0x 4 + 16x³ + x² 10x + 9 x² + 6 II. Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x). III. Subtraímos do dividendo o produto do divisor D(x) pelo quociente encontrado em (II), obtendo assim o primeiro resto parcial. IV. Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais alto grau de D(x). V. Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo quociente encontrado em (IV), obtendo assim o segundo resto parcial.

E assim sucessivamente, até obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condições: gr(r)<gr(d) ou R(x) 0 Observe: Concluímos, então, que o quociente Q(x) e o resto R(x) são dados por: Q(x) = 3x³ 2x + 1 e R(x) = 2x + 3 Fração Polinomial Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo P(x) polinômios, com Q(x) 0. Exemplos: Q(x) em que P(x) e Q(x) são a) 5x4 +2x 1 x+3 b) 5 x² 1 Teorema do resto Sendo a uma constante complexa qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x a é igual a P(a). Dem: Sejam, respectivamente, Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de P(x) por x a, ou seja: P(x) Q(x) (x a) + R(x) (I) Como gr(r) = 0 ou R(x) 0, podemos indicar R(x) por uma constante R.

Assim, a sentença (I) pode ser representada sob a forma: P(x) Q(x) (x a) + R Calculando P(a), obtemos: P(a) = Q(a) (a a) + R P(a) = R Logo, o resto R da divisão é igual a P(a). Exemplos: a) O resto R da divisão do polinômio P(x) 4x 3 + x 2 3 pelo binômio x 2 é igual a P(2), isto é R = P(2) = 4 2 3 + 2 2 3 = 33 b) Para se obter o resto R da divisão do polinômio P(x) x 5 + 5x 3 x + 6 pelo binômio x + 1, observamos que este binômio pode ser representado na forma x ( 1) e, portanto, pelo teorema do resto, temos: R = P( 1) = ( 1) 5 + 5 ( 1) 3 ( 1) + 6 = 1 Teorema de D Alembert Jean le Rond D Alembert, matemático, filósofo e físico francês, considerado o cientista mais influente da França em sua época. D Alembert participou ativamente do movimento que abriu caminho para a Revolução Francesa. Vários teoremas levam o nome desse importante matemática francês; no estudo dos polinômios, é de D Alembert o teorema: Sendo a uma constante complexa qualquer, um polinômio P(x) é divisível por x a se, e somente se, a é raiz de P(x). Dem: Por definição de raiz de um polinômio, temos que a é a raiz de P(x) se, e somente se, P(a) = 0. Mas, pelo teorema do resto, P(a) é o resto R da divisão de P(x) por x a. Concluímos, assim, que: a é raiz de P(x) R = 0 Ou seja, afirmar que o numero é raiz de P(x) equivale a afirmar que P(x) é divisível por x a. Exemplo: O polinômio P(x) x 5 3x 3 + 3x 2 4x 12 é divisível por x 2, pois P(2) = 0. Observe: P(2) = 2 5 3 2 3 + 3 2 2 4 2 12 = 0 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Para efetuar a divisão de um polinômio E(x) por um binômio da forma x a, em que a é uma constante qualquer, podemos aplicar o método da chave. Porem, com o objetivo de facilitar essa operação, apresentamos um dispositivo prático conhecido como dispositivo prático de Briot-Ruffini, em homenagem aos matemáticos que a criaram, Charles August Briot (1817-1882) e Paolo Ruffini (1765-1822). Vamos descrever esse dispositivo a partir da divisão do polinômio: E(x) e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 por x a

O quociente Q(x) dessa divisão deve ser um polinômio do 3º grau e o resto R(x) deve ser polinômio constante, ou seja: Q(x) q 3 x 3 + q 2 x 2 + q 1 x + q 0 e R(x) R Devemos ter: E(x) (x a) Q(x)+R e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 (x a)(q 3 x 3 + q 2 x 2 + q 1 x + q 0 ) + R e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 q 3 x 4 + q 2 x 3 + q 1 x 2 + q 0 x (aq 3 x 3 + aq 2 x 2 + aq 1 x + aq 0 ) + R e 4 x 4 + e 3 x 3 + e 2 x 2 + e 1 x + e 0 q 3 x 4 + (q 2 aq 3 )x 3 + (q 1 aq 2 )x 2 + (q 0 + aq 1 )x aq 0 + R q 3 = e 4 q 2 aq 3 = e 3 q 2 = e 3 +aq 3 Logo obtemos: q 1 aq 2 = e 2 q 1 = e 2 +aq 2 q 0 aq 1 = e 1 q 0 = e 1 +aq 1 { aq 0 + R = e 0 R = e 0 +aq 0 } Os valores q 3, q 2, q 1, q 0 e R podem ser calculados rapidamente, executando-se os passos descritos pelo esquema a seguir, conhecido como dispositivo prático de Briot- Ruffini: Assim, temos: Q(x) e 4 x 3 + (aq 3 + e 3 )x 2 + (aq 2 +e 2 )x 1 + aq 1 + e 1 e R aq 0 + e 0 Pode-se generalizar esse método para qualquer polinômio E(x) com grau maior ou igual a 1.

8 Critérios 8.1 Critérios de avaliação Domínio dos conceitos abordados; Participação e interesse dos alunos durante à aula e na resolução e correções dos exercícios. 8.2 Instrumentos de avaliação Prova individual e escrita. 9 Bibliografia DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013. GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São Paulo: Editora FTD S.A, 2005. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora Moderna, 2009. Sites: http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 25/08/2014 Polinômios no dia-a-dia