Sistemas Dinâmicos e Caos - 2016.2 - Lista de Problemas 2.1 1 Sistemas Dinâmicos e Caos Lista de Problemas 2.1 Prof. Marco Polo Questão 01: Oscilador harmônico Considere o oscilador harmônico ẋ = y, ẏ = ω 2 x. Mostre que as órbitas são dadas pelas elipses ω 2 x 2 + y 2 = C, onde C é qualquer constante não negativa. Questão 02: Forma matricial Escreva os seguintes sistemas na forma matricial: (a ẋ = y, ẏ = x (b ẋ = 3x 2y, ẏ = 2y x (c ẋ = 0, (d ẋ = x, + y ẏ = 5x + y Questão 03: Considere o sistema ẋ = y, ẏ = x. (a Esboce o campo vetorial. (b Mostre que as trajetórias do sistema são hipérboles da forma x 2 y 2 = C. (Dica: Mostre que as equações do sistema implicam em xẋ yẏ = 0 e então integre ambos os lados. (c A origem é um ponto de sela; encontre as equações das variedades estáveis e instáveis. (d O sistema pode ser desacoplado e resolvido como segue. Introduza novas variáveis u e v, onde u = x + y, v = x y. Então reescreva o sistema em termos de u e v. Resolva para u(t e v(t, partindo da condição inicial arbitrária (u 0, v 0. (e Quais são as equações para as variedades estáveis e instáveis em termos de u e v?
Sistemas Dinâmicos e Caos - 2016.2 - Lista de Problemas 2.1 2 (f Finalmente, usando a resposta do item (d, escreva a solução geral para x(t e y(t, partindo da condição inicial (x 0, y 0. Questão 04: Estabilidade da origem Para cada um dos seguintes sistemas, decida se a origem é um atrator, Liapunov estável, assintoticamente estável, ou nenhum deles. (a ẋ = y, (b ẋ = 2y, (c ẋ = 0, (d ẋ = 0, (e ẋ = x, (f ẋ = x, ẏ = 4x ẏ = y ẏ = 5y ẏ = y Questão 05: Ponto de sela Porque você acha que um ponto de sela tem esse nome? Qual é a conexão com as selas reais (do tipo usado em cavalos? Questão 06: Campo vetorial Esboce os campos vetoriais dos sistemas abaixo. Indique o comprimento e a direção dos vetores com acurácia razoável. Esboce algumas trajetórias típicas. (a ẋ = x, + y (b ẋ = 2y,
Sistemas Dinâmicos e Caos - 2016.2 - Lista de Problemas 2.1 3 Questão 07: Classificação de sistemas lineares Considere o sistema ẋ = 4x y, ẏ = 2x + y. (a Escreva o sistema como ẋ = Ax. Mostre que a equação característica é λ 2 5λ + 6 = 0, e encontre os autovalores e autovetores de A. (b Encontre a solução geral do sistema. (c Classifique os pontos fixos na origem. (d Resolva o sistema sujeito às condições iniciais (x 0, y 0 = (3, 4. Questão 08: Autovalores complexos Este problema o levará à solução de um sistema linear onde os autovalores são complexos. O sistema é ẋ = x y, + y. (a Encontre A e mostre que ele tem os autovalores λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i, com os autovetores v 1 = (i, 1, v 2 = ( i, 1. (b A solução geral é x(t = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2. Neste sentido a solução já está completa! Mas esse modo de escrever x(t envolve coeficientes complexos e soa não familiar. Expresse x(t puramente em termos de funções reais. (Dica: Use a relação de Euler: e iωt = cos ωt + i sin ωt Questão 09: Esboce o retrato de fase e classifique os pontos fixos dos sistemas lineares abaixo. Se os autovalores forem reais, indique no seu esboço. (a ẋ = y, ẏ = 2x 3y (b ẋ = 5x + 10y, (c ẋ = 3x 4y, (d ẋ = 3x + 2y, (e ẋ = 5x + 2y, (f ẋ = 3x + 4y, (g ẋ = 4x 3y, ẏ = x y y 2y ẏ = 17x 5y ẏ = 2x + 3y ẏ = 8x 6y
Sistemas Dinâmicos e Caos - 2016.2 - Lista de Problemas 2.1 4 (h ẋ = y, ẏ = x 2y Questão 10: Circuito RLC Considere a equação de um circuito L q + R q + q C = 0, onde L, C > 0 e R 0. (a Reescreva as equações como um sistema linear bidimensional. (b Mostre que a origem é assintoticamente estável se R > 0 e neutramente estável se R = 0. (c Classifique os pontos fixos na origem, dependendo se R 2 C 4L é positivo, negativo ou zero, e esboce o retrato de fase nos três casos. Respostas Questão 2 ( ( ẋ (a ẏ ( ( ẋ (c ẏ ( 0 1 x 1 0 ( 0 0 1 1 y x y ( ( ( ẋ 3 2 x (b ẏ 1 2 y ( ( ( ẋ 1 0 x (d ẏ 5 1 y Questão 3 (c Variedade instável: y = x, variedade estável: y = x (d u(t = u 0 e t, v(t = v 0 e t (e Estável: v = 0, instável: u = 0 (f x(t = 1 2 [(x 0 + y 0 e t + (x 0 y 0 e t ], y(t = 1 2 [(x 0 + y 0 e t (x 0 y 0 e t ] Questão 4 (a Liapunov estável (b nenhum deles (c nenhum deles (d Liapunov estável (e assintoticamente estável (f nenhum deles Questão 7 (b x(t = c 1 e 3t + c 2 e 2t, y(t = c 1 e 3t + 2c 2 e 2t (c Instável (d x(t = 2e 3t + e 2t, y(t = 2e 3t + 2e 2t
Sistemas Dinâmicos e Caos - 2016.2 - Lista de Problemas 2.1 5 Questão 8 (b x(t = c 1 e t ( cos t sin t + c 2 e t ( sin t cos t Questão 9 (a nó estável (b espiral instável (c nó instável (d nó estável (e centro (f ponto de sela (g espiral estável (h nó degenerado Questão 10 (a x = q, y = q ẋ = y, ẏ = 1 LC x R L y (c R2 C 4L > 0: nó estável; R 2 C 4L = 0: nó degenerado; R 2 C 4L < 0: espiral estável