MAP Primeiro exercício programa Osciladores Harmônicos

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1 MAP-11 - Primeiro exercício programa Osciladores Harmônicos Instruções gerais - Os exercícios computacionais pedidos na disciplina Cálculo Numérico têm por objetivo fundamental familiarizar o aluno com problemas práticos que requeiram técnicas numéricas em sua solução. Neste programa sua tarefa será implementar dois algoritmos simples para resolver equações diferenciais e aplicálos em problemas ligados a oscilações armônicas. O contéudo das aplicações está ligado às soluções de equações diferenciais lineares que voce viu em álgebra linear e à teoria de osciladores armônicos vista em física. Seu programa deve ser entregue no Paca até o dia 4 de outubro. Não deixe para fazê-lo no final do prazo. O programa deve ser escrito em Linguagem C e ser compilado e executado com o compilador disponível através do Paca. Caso você desenvolva seu programa em outro compilador, confira se ele também compila e executa no DevC++ (na versão que se encontra no Paca). Programas que não compilarem terão notas muito baixas. Não deixe de comentar seu programa, os comentários serão considerados na correção. Ao desenvolver seu projeto você possivelmente trocará idéias com seus colegas. Esta interação é saudável e desejável, vocês estarão aprendendo mais. O seu programa deve no entanto ser desenvolvido por você individualmente, para que você realmente saiba fazê-lo. Haverá controle de cópias e caso estas sejam detectadas, os envolvidos terão nota zero no programa e o caso será levado à coordenação do biênio. Bom trabalo e divirta-se com sua tarefa! Introdução- Em uma equação diferencial procura-se determinar uma função x(t) satizfazendo uma relação do tipo: x (t) = f(t, x(t)) (1) No caso geral x(t) é uma função definida em algum intervalo real, tomando valores em R n (ou seja, x(t) = (x 1 (t), x (t),..., x n (t)), onde cada x i (t) é uma função real). A função f(t, x(t)) é definida em R n+1 e assume valores em R n. Um exemplo é dado pela equação x (t) = λx(t), cuja solução geral é dada por x(t) = ce λt, onde c é uma constante qualquer. Esta constante, e portanto a solução, fica unicamente determinada se prescrevermos um valor inicial x(t 0 ) = x 0. Obtem-se c = x 0 e λt0. Nem sempre é possível resolver equações diferenciais de forma analítica, sendo portanto necessário o uso de métodos numéricos. Equações diferenciais são vitais para a modelagem de inúmeros fenômenos e este assunto tem portanto grande relevância. Apresentaremos a seguir dois métodos para solução 1

2 numérica de equações diferenciais. Vamos ter por ipótese que as soluções são duas vezes continuamente diferenciáveis em nossa apresentação. Método de Euler Considerando o polinômio de Taylor da função x(t) obtemos: x(t + ) = x(t) + x (t) + x ( t) / onde t se encontra entre t e t +. Desta expressão temos: = x (t) + x ( t)/ Se agora impusermos que x(t) é solução da equação diferencial (1) obtemos que: = f(t, x(t)) + x ( t)/ O método de Euler irá empregar a aproximação = f(t, x(t)) sendo o erro cometido proporcional a. Partindo do instante inicial t 0 onde conecemos o valor inicial x 0 da solução, calcularemos sucessivamente as aproximações x i+1 = x i + f(t i, x i ) onde t i = t 0 + i, e x i é a aproximação de x(t i ). Calculamos a solução até um instante final t f em n passos, onde n = t f t 0. Por exemplo, na equação x (t) = x(t) com x(0) = 1, temos a sequência x i+1 = x i + x i = (1 + )x i. Se tomamos t f = 1 e = 1/n obtemos a aproximação para o valor de x(1): x n = (1 + )x n 1 = (1 + ) n x 0 = (1 + 1/n) n Sabemos que a solução da equação é x(t) = e t e portanto x(1) = e. Vocês já viram em cálculo que lim n (1+1/n) n = e. Assim, a aproximação obtida pelo método de Euler para o valor da solução no instante 1 converge para o valor exato se fizermos o espaçamento = 1/n entre dois instantes consecutivos tender a zero. Resumindo, se desejamos aproximar a solução da equação diferencial (1) no intervalo de tempo [t 0, t f ], subdividimos este intervalo em n partes de comprimento = (t f t 0 )/n e aproximamos a solução em cada instante t i = t 0 + i, i = 0,..., n, a partir de seu valor inicial x 0, computando: x i+1 = x i + f(t i, x i ), i = 0,..., n 1

3 O Método dos Trapézios - Se integrarmos a equação (1) obtemos: = t+ t x (s)ds = t+ t f(s, x(s))ds Aproximando a integral pela regra dos trapézios ficamos com: f(t, x(t)) + f(t +, x(t + )) = + c 3 onde c é uma constante.(a regra do trapézio, bem como a delimitação do erro por c 3 serão vistos no curso.) Portanto = f(t, x(t)) + f(t +, x(t + )) + c Comparando com o método de Euler vemos que o erro na aproximação da derivada de x(t) passa a ser de ordem, ao invés de ordem, o que levará a uma convergência mais rápida. O método dos trapézios fica então dado por: x i+1 f(t i+1, x i+1 ) = x i + f(t i, x i ) partindo do valor inicial x 0 e com os instantes de tempo definidos como no método de Euler. Note que se f for uma função não linear, será necessário resolver uma equação não linear na determinação de x i+1 a partir de x i. No entanto, se f é linear na variável x a equação a ser resolvida é linear. Por exemplo, na equação x (t) = x(t) a equação a cada passo é dada por x i+1 (1 /) = x i (1 + /) que é resolvida por uma simples divisão. O seu programa - Você deve implementar os métodos de Euler e dos Trapézios para resolver uma equação diferencial linear: X (t) = AX(t) + b(t), X(t 0 ) = X 0 () em um intervalo [t 0, t f ], calculando as aproximações para X(t) nos instantes t i = t 0 + i, i = 0,..., n (com = (t f t 0 )/n), onde X(t) = (u(t), v(t)), A é uma matriz x e b(t) = (b 1 (t), b (t)). (Observe que neste caso f(t, x(t)) = AX(t) + b(t)). Neste caso particular o método de Euler assume a forma: X i+1 = X i + AX i + b(t i ) enquanto que o método dos trapézios é dado por X i+1 AX i+1 = X i + AX i + (b(t i) + b(t i+1 )) 3

4 (você terá que resolver um sistema x para determinar X i+1 ) Testando o programa - equação linear omogênea de segunda ordem Você já estudou, tanto em álgebra linear como em física, como calcular a solução exata da equação x (t) + λx(t) = 0, λ R. O conjunto das soluções é um espaço vetorial de dimensão dois e uma forma de determinarmos uma única solução é prescrevermos os valores iniciais x(t 0 ) e x (t 0 ). Esta equação de sgunda ordem pode facilmente ser tranformada para a forma () se definirmos u(t) = x(t), v(t) = x (t) e X(t) = (u(t), v(t)). Assim temos que u (t) = v(t) e v (t) = λu(t). Na forma matricial temos X (t) = [ u (t) v (t) ] [ = 0 1 λ 0 ] [ u(t) v(t) Neste caso b(t) = 0. Resolva o problema para t 0 = 0, t f = π, x(t 0 ) = 1, x (t 0 ) = 1 para os valores λ = 1 e λ = 1. Em cada caso você deve, tanto com o método de Euler como com o método dos trapézios: Calcular a solução para os valores de n = 16, 3, 64 e 18. Para cada n determinar a norma do erro E n = max 0 i n x(t i) u i onde x(t) é a solução exata da equação (que você sabe determinar analiticamente) e u i é a aproximação calculada (primeira componente de X i ) Determinar a razão entre os erros para cada dois valores de n consecutivos. Note que ao dobrarmos n, dividimos por. Verifique que os métodos estão convergindo com a ordem de convergência esperada. ] Aplicações- A) Oscilações amortecidas Use seu programa, com o MÉTODO DOS TRAPÉZIOS, para resolver a equação diferencial x (t) + γx (t) + ω0x(t) = 0 com x(0) = 10, x (0) = 0 no intervalo de tempo [0, 5], nos seguintes casos: w 0 = 5, γ = 1 w 0 = 1, γ = 1 w 0 = 0.5, γ = 1 4

5 Nos três casos use n = 100 e imprima a solução nos instantes t = i, i = 1,.., 5 (os valores correspondentes a x 0, x 40,...,x 100 ). (imprima também em um arquivo os pares t i, x(t i ), i = 0,..., 100, um par por lina e faça gráficos das soluções, para ver melor os resultados. No programa a ser entregue esta impressão não é necessária.) Os resultados estão de acordo com a teoria desenvolvida no curso de física? B) Oscilacões forçadas e ressonância Neste caso considere a equação x (t) + γx (t) + ω0 x(t) = F(t) com x(0) = 10, x (0) = 0 no intervalo de tempo [0, 10], com F(t) = 5 cos(t + π/4). Resolva-a pelo método dos trapézios para γ = 0.05 e com ω 0 = 3 e também com ω 0 =. Em cada caso n deve ser escolido de tal forma que a solução tena convergido (ou seja, se você dobrar n obtem-se visualmente a mesma solução). Seu programa deve imprimir apenas os valores correspondentes aos instantes t = i, i = 1,.., 10. Qual a diferença significativa entre os casos com ω = e ω = 3? Comentários finais Uma referência adicional para você ler sobre oscilações armônicas é o livro: Curso de Física Básica do Moysés Nussenzveig, capítulos 3 e 4. Com pequenas modificações você pode usar seu programa para resolver outras equações similares, em outras aplicações. 5