MATEMÁTICA CURSO DE NÚMEROS COMPLEXOS PARA O ITA Introdução Desde os primórdios da história a experiência matemática do homem se confunde com a necessidade de resolver problemas, envolvendo números complexos. Neste contexto, números complexos é a parte da matemática que tenta despertar nos estudantes desta bela ciência o praer da descoberta e entendimento, através da resolução de problemas e da análise de situações as mais engenhosas. Banco de problemas Esta lista contém o banco de problemas para as turmas ITA e IME de matemática 03. Os problemas estão divididos em dois tópicos: SEÇÃO NÓ-CEGO e SEÇÃO ESCOLAS MILITARES. Todos os problemas aqui contidos envolvem um raciocínio matemático apurado e certa dose de criatividade!. A HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Em 545, Jerônimo Cardano (50-576), em seu livro Ars Magna (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do terceiro grau que é hoje chamado de Fórmula de Cardano. Bombelli (56-57), discípulo de Cardano, em sua Álgebra, aplicou a fórmula de Cardano à equação x 3 3 3 5x 4 = 0. Obtendo x = + + Embora não se sentisse completamente à vontade em relação às raíes quadradas de números negativos (diia que eram inúteis e sofísticas), Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da Álgebra. No caso, Bombelli mostrou que: 3 ( + ) = + 3 + 3 ( ) + ( ) 3 ( + ) = 8 + 6 3 ( + ) = + Logo, 3 3 3 3 + = + e, analogamente, = Portanto, o valor de x é x = + + = 4. Como 4 é realmente rai da equação, a partir de Bombelli os matemáticos passaram a usar as raíes quadradas de números negativos, embora se sentissem um pouco desconfortáveis com isso. Bombelli trabalhava sistematicamente com a quantidade, que hoje chamamos de unidade imaginária e representamos por i. Apenas no século XIX, quando Gauss (787-855), o grande matemático da época e um dos maiores de todos os tempos, divulga a representação geométrica dos números complexos é que essa sensação de desconforto desaparece. (Referência: A Matemática do Ensino Médio volume 3). CONJUNTOS DOS NÚMEROS COMPLEXOS Um número complexo pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais, = (x, y) O par (x, 0) é identificado como o número real x, x = (x, 0) e o para (0, ) será chamado de unidade imaginária: denotado por i: (0, ) = i.
Observamos que: x ( x, y ) = ( x, y ) se, somente se, y = x = y Em particular, temos que: x = 0 = ( x, y) = 0 = ( 0,0) se, e só se,. y = 0 Dados dois números complexos quaisquer ( x, y ) e ( x, y ) denotado por + e, definidos por:. = = definiremos duas operações: Soma e Produto, + = x, y + x, y = x + x, y + y, = x, y x, y = x x y y, x y x y Em particular, temos: = x, y = x,0 + 0, y Por outro lado, (0, y) = (y, 0) (0, ). Assim, = ( x,0) + ( y, 0 ) ( 0,) = x + y i Com isso, a representação = x + y i onde = (x, y) é chamada FORMA ALGÉBRICA. Como i = (0, ), podemos calcular i, isto é, i = i i i = 0, 0, i 0 0,0 0 = + i =,0 i = Logo, i = Nesse resultado, notam-se facilmente, as potências de expoentes múltiplos de 4: i 0 = i 4 = i 8 = i = i 6 =... = i 4k = (i 4 ) k = () k =, onde K N. Assim, dado i n, com n n, temos: Daí,, se r = 0 n 4k+ r 4k r n r i, se r = i = i = i i i = i =, se r = i, se r = 3
3. OPERAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS 3.. Igualdade de números complexos. Por tratar-se de pares ordenados, dois números complexos são iguais se têm, respectivamente, as mesmas componentes: a, b = c,d a = c e b = d a = c (partes reais iguais) a + bi = c + di b = d (partes imaginárias iguais) 3. Adição de números complexos. Sendo dados Z = (x, y ) e Z = (x,y ), por definição, temos: Z + Z = x + x ; y + y ou ( x + y i) + ( x + y i) = ( x + x ) + ( y + y ) soma das partes reais 3.3 Multiplicação de números complexos. soma das partes imaginárias Sendo Z = (x, y ) e Z = (x, y ), em que Z, Z C, definimos a multiplicação em C do seguinte modo: (x ; y ) (x ; y ) = (x x y y ; x y + x y ) ou (x + y i) (x + y i) = (x x y y ) + (x y + x y )i Note: y y i = y y ( ) = y y é real 4. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO ( Z ) Chamaremos de conjugado do número complexo Z = (x, y) = x + yi, e denotaremos por Z, o número complexo da forma Z = (x, y) = x yi. 5. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO O número = x + y é chamado de módulo ou valor absoluto do número complexo = x + y i. 6. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS COMPLEXOS A operação de conjugação goa das seguintes propriedades: +. Re = e Im = ; i. + w = + w, x w = x w e = ; w w 3. = se é real; 4. = ; 5. = ; 6. = ; n n 7. = para todo n N. 3
DEMONSTRAÇÕES:. Seja = a + bi com a e b R. Então, ( a + bi) + ( a bi) + a = = = a = Re e ( a + bi) ( a bi) bi = = = b = Im. i i i. Sejam = a + bi com a e b R e w = c + di com c e d R. Então, + w = a + bi + c + di = a + c + b + d i = a + c b + d i = = a bi + c di = + w. w = ( a + bi) ( c + di) = ac + adi + cbi bd = ( ac bd) + ( ad + cb) i = = (ac bd) (ad + cb)i = ac adi cbi bd = (a bi) (c di) = = w. Caso w 0, isto é, c e d não são simultanemante nulos, então, + ( a + bi) ( c di) ( ac + bd) + ( bc ad) i + ( + ) ( ) + ( ac + bd) ( bc ad) i ( ac + bd) + ( ad bc) i ( a bi) ( c + di) a bi = = = = w c di c di c di c d = = = = c + d c + d c + d a bi c + di = =. c di c + di w 3. Suponha-se que =. Então da propriedade., + Re = = =. Inversamente, suponha-se que é real. Então, = a + 0i = a 0i, a R, isto é, =. 4. Suponha-se que = a + bi. Então, 5. Suponha-se que = a + bi. Então, 6. Suponha-se que = a + bi. Então, = a + bi = a bi = a + bi =. = ( a + bi) ( a bi) = a + b =. = a + bi = a + b = a + b = a bi =. 7. A demonstração desta propriedade pode efectuar-se por indução matemática. Comecemos por observar que o resultado é trivialmente verdadeiro para n =. Admita-se que o resultado é verdadeiro para p = n. Em resultado da propriedade irá ser verdadeiro para p = n +. Então, pelo princípio de indução matemática conclui-se que a afirmação é verdadeira para todo n natural. 7. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS NÚMEROS COMPLEXOS Sendo Z = (x, y ) e Z = (x, y ), em que Z, Z C. Prove que: a) = b) = c) + + d) + 4
DEMONSTRAÇÃO: a) = = = = logo: = = b) = = = logo: =. + = + + = + + + c) mas: = com isso: + = Re = logo: + + + = + portanto: + + usando a ideia acima temos : = + + + + logo: + d) + + usando a ideia acima temos: = + + logo: mas: = + + = + portanto: + 5
VAMOS EXERCITAR O CÉREBRO COM UMA LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Problema 0. Suponha que = a + bi. Mostre que (a, b) a b =,. a + b a + b SOLUÇÃO: a b Basta mostrar que, ( a, b) = (,0 ). Por quê? a + b a + b Assim, a b, ( a, b) = a + b a + b a b a b a b, b + a = (, 0 ). a + b a + b a + b a + b Problema 0. Mostre que dois números complexos são iguais se e só se as suas partes reais e imaginárias também forem iguais. SOLUÇÃO: Suponha-se que = a + bi e w = c + di são iguais. Então isto é (a + bi) (c + di) = 0 (a c) + (b d)i = 0 a c = 0 e b d = 0, a = c e b = d, donde se conclui que = w. O recíproco resulta imediatamente da definição. Problema 03. Prove que se =, então é um número complexo real. SOLUÇÃO: Se = a + b i e = a b i logo: = temos : a + b i = a b i portanto: b = 0 logo, o número complexo = a (número real) 6
Problema 04. Prove que se + = 0, então é um número complexo imaginário puro. SOLUÇÃO: Se = a + b i e = a b i com b 0 temos : + = a + bi + a b i = 0 a = 0 portanto: a = 0 logo, o número complexo = b i (número imaginário puro) Problema 05. Resolva a equação 3 = 8 + 6i, onde = x + yi e x, y são números inteiros. SOLUÇÃO: (x + yi) 3 = (x + yi) (x + yi) = (x y + xyi) (x + yi) = (x 3 3xy ) + (3x y y 3 ) = 8 + 6i. Usando a definição de igualdade de números complexos, obtemos: = 3 x 3xy 8 3 3x y y = 6 Faendo y = tx na igualdade 8(3x y y 3 ) = 6(x 3 3xy ), observamos que x 0 e y 0 implica 8(3t t 3 ) = 6( 3t ). A última relação é equivalente a (3t ) (3t t 3) = 0. A única solução racional da equação é t =, então, x = 3, y = e = 3 + i. 3 Problema 06. Prove a identidade + + = ( + ) para todos os complexos e. SOLUÇÃO: Usando =, temos que + + = + + + = + + + + + ( + ). Problema 07. Se Z = (x, y ) e Z = (x, y ), em que Z, Z C. Prove que o número E = + é um número real. SOLUÇÃO: Usando a ideia de um número complexo é dito real quando ele for igual a seu conjugado. Com isso: E = + utiliando as propriedades dos conjugados, temos: E = + portanto: E = E (é um número real) 7
Problema 08. (F.G.V.-SP) As raíes quadradas do número 3 + 4i, onde i representa a unidade imaginária, são: a) { + i; i} b) { + i; i} c) { 3 + i; 3 i} d) { 4 + i; 4 i} e)n.d.a SOLUÇÃO: Caro leitor, este problema vamos resolver utiliando produtos notáveis e radical duplo. Vejamos: C A B 3 + 4i = ± 4 + 4i 3 + 4i = ± 4 + 4i + i portanto: 3 + 4i = ± + i outra maneira : utiliando radical duplo, temos : A ± B = A + C A C ± onde : = logo: 3 + 4i = 3 + 4 com isso : 3 + 4i = 3 + 6 então : C = 9 6 = 5 portanto: 3 + 5 3 5 3 + 4i = ± + 3 + 4i = ± + i Problema 09. (TITU ANDRESCU) Resolva a equação 8( i) + 63 6 i = 0 onde representa um número complexo e i é a unidade imaginária. SOLUÇÃO: Calculando o discriminante temos: = 64 i 4 63 6i = 63 4 64 i logo: = 4 63 + 6 i = 4 i 64 + 6 i + i = 4i 8 + i com isso : ( ) ± ( + ) 8 i 6 i = portanto: = 3 + 4 i = 5 i 8
Problema 0. Prove o Teorema de Bramagupta: Se a e b são números naturais cada um deles é uma soma de dois quadrados perfeitos então a b também é uma soma de dois quadrados perfeitos. SOLUÇÃO: De acordo com o enunciado temos: x = a + b y = c + d com isso : x y = a + b c + d x y = a.c abcd + bd + ad + abcd + bc logo: x y = ac bd + ad + bc Segunda maneira: Utiliando a ideia dos números complexos e suas propriedades temos: Se = a + b i e = c + d i logo: x = a + b =. y = c + d =. com isso : ( )( ) ( ) ( ) x y = = = ac bd + ad + bc i portanto: x y = ac bd + ad + bc Terceira maneira: Utiliando a ideia de determinantes e suas propriedades: Sejam as matries : a b c d A = e B = b a d c logo: det A = a + b e det B = c + d com isso : x y = det A det B = det A B então : a b c d ac bd ad + bc x y = det = det b a d c bc ad ac bd portanto: x y = ac bd + ad + bc 9
SEÇÃO NÓ-CEGO Esta secção nó-cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os problemas aqui contidos envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade. Problema 0. (Peru/003) Se + w = w, w C. Achar Re( w) Problema 0. (IME/94) Dado =, calcule as partes real e imaginária de. 7 + 4i Problema 03. (AFA/007) Seja um número complexo não nulo e i a unidade imaginária + i de, para os quais é um número real, representa um (a): + i a) elipse b) hipérbole c) circunferência d) círculo i =, i. O conjunto de todos os valores Problema 04. (ITA/998) Sejam x e y números reais tais que: = 3 x 3xy 3 3x y y = Então, o número complexo = x + iy é tal que 3 e, valem respectivamente: a) i e 6 b) + i e 6 c) i e d) i e e) + i e 3 Problema 05. 5 (Índia) Sabendo que representa o módulo de um número complexo e 7 valor da expressão + 3 3 é igual a: é um número complexo imaginário puro, então o a) b) c) 7 d) 4 e) 0
Problema 06. i + + i + i +... (Peru) Seja =. Então o valor de + é igual a: + i + i + + i + i +... a) b) c) d) 3 e) 3 Problema 07. + i 3 i 3 (EUA) Se x = e y = onde i =, então qual das seguintes opções não é correta? a) x 5 + y 5 = b) x 7 + y 7 = c) x 9 + y 9 = d) x + y = e) x 3 + y 3 = Problema 08. (EUA) Sejam x = a + b, y = a w + b w, = aw + bw, onde w x + y + + w + = 0. O valor da expressão 3 3 a + b a) b) c) 3 d) 4 e) 5 3 3 3 é igual a: Problema 09. (KVANT) Resolva o sistema de equações: 3x y x + 3 = x + y x + 3y y 0 = x + y Problema 0. Prove o Teorema de Bramagupta: Se a e b são números naturais cada um deles é uma soma de dois quadrados perfeitos então a b também é uma soma de dois quadrados perfeitos. Problema. (ITA/995) Sejam e números complexos com = = 4. Se é uma rai da equação 6 + 3 8 = 0 então a soma das raíes reais é igual a: a) b) + / c) /3 d) + 3 / e) + 3 / Problema. (IME/003) Seja um número complexo de módulo unitário que satisfa à condição n positivo. Demonstre que + n é um número real. n, onde n é um número inteiro
Problema 3. + i + 3 i +... + n + i (IME/008) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4 n Problema 4. (EUA) Se a é um número real positivo e satisfa a condição Calcule o valor mínimo e máximo de onde M. a. * Ma = C ; + = a Problema 5. 3 + 4 + 6 + + = (EUA) Ache todos os números complexos tais que Problema 6. (ITA/999) Sejam a k e b k números reais com k =,,..., 6. Os números complexos k = a k + ib k são tais que k = e b k 0, para todo k =,,..., 6. Se (a, a,..., a 6 ) é uma progressão aritmética de raão /5 e soma 9, então 3 é igual a: a) i b) c) d) e) 8 6 + i 5 5 3 + i 3 3 73 + i 5 5 4 7 + i 5 5 Problema 7. (IME/009) Seja = ρ e iθ um número complexo onde ρ e θ são, respectivamente, módulo e o argumento de e i é a unidade imaginária. Sabe-se que ρ = a cosθ, onde a é uma constante real positivo. A representação de no plano complexo é:
Problema 8. (EUA) Suponha = a + i b é uma solução da equação polinomial a e b são constantes reais e i =. c + ic + c + ic + c = 0, onde c 0, c, c, c 3, c 4, 4 3 4 3 0 Qual das alternativas abaixo também é solução? a) a + b i b) a b i c) a + b i d) b + a i e) b a i Problema 9. (Canadá) Considere os números complexos x e y não nulos, satisfaendo x y + x + y x + y 00 00 é igual a: 00 a) b) c) d) i e) i Problema 0. (O.C.M.) Se x + x + = 0, calcule o valor numérico de: 3 7 3 7 x + + x + + x + +... + x + x x x x Problema. x + x y + y = 0. Então o valor de 3 (IME/008) Assinale a opção correspondente ao valor de µ que fa com que a equação ( + µ ) s + 6 s + 5 s + = 0 possua raíes no eixo imaginário. a) 0 b) 6 c) 4 d) 9 e) 4 Problema. + i 3 + i 3 + i 3 + i 3 (AMAN/00) Calcule o módulo do determinante da matri onde i = + i 3 + i 3 Problema 3. 4 7 (Peru) Se r r + = 0. Então o valor de r é igual a: 7 r a) i b) i c) 0 d) 7 e) 7 Problema 4. (PUTNAM/989) Prove que se 0 9 + 0 i + 0 i = 0, então = Problema 5. 4 (ITA) Seja a equação em C + = 0. Qual dentre as alternativas a soma de duas das raíes dessa equação? 3 3 i a) 3 b) c) d) i e) Problema 6. (EUA/00) Sabendo que a equação + i + 3i = 00 i é da forma a + b i tal que a e b são números reais positivos e diferentes de ero. Então, o valor de a é igual a: a) 8 b) 0 c) 0 d) 00 e) 00 3
Problema 7. (EUA/00) O valor de 3 00 i + i + 3 i +... + 00 i é igual a: a) 999 + 00 i b) 00 + 999 i c) 00+ 000 i d) 00 + 00 i e) i Problema 8. (EUA/00) The complex sequence 0,,,... is defined by ( n + i) ( ) 0 = i + and n+ = 37 i n. Find 00. Problema 9. (AIME) Sejam w, w,..., w n números complexos. Uma reta L no plano complexo é chamada de reta média para os pontos w, w,..., w n se L contém pontos (números complexos) n n,,..., tais que k w k = 0. k= Para os números w = 3 + 70 i, w = 7 + 64 i, w3 = 9 + 00 i, w 4 = + 7 i e w5 = 4 + 43 i existe uma única reta média que intercepta o eixo y no ponto (0,3). Determine o coeficiente angular desta reta média. Problema 30. (ITA/006) Se para todo C, f () = e f () f () =, então para todo C, f () f () + f () f () é igual a: a) b) c) Re() d) Im() e) Problema 3. 3 (ITA/004) A soma das raíes da equação + + = 0, onde C, é igual a: a) b) c) 0 d) e) Problema 3. (ITA/004) Sendo 60 + i =, calcule n= n Problema 33..w (ITA/005) Seja C com =. Então, a exp ressão w a) maior que, para todo w com w >. b) menor que, para todo w com w <. c) maior que, para todo w com w. d) igual a, independente de w com w. e) crescente para w crescente, com w <. assume valor: Problema 34. (ITA/007) Considere a equação: dessa equação é: 3 4 ix i i 6. + =. + i.x i + i Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções a) 3 b) 6 c) 9 d) e) 5 Problema 35. (ITA/007) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo, x k π, k Z. + i cot gx + senx a) cos x b) c) cos x d) cossec x e) senx 4
Problema 36. (IME/84) Sejam os reais a, b, c e d não nulos tal que a equação de d + b c é igual a: a) abc b) abd c) acd d) bcd e) abcd Problema 37. (IME/97) Determine os parâmetros x + a + b i x + c + i d = 0 admite uma rai real. Então, o valor α + β α, β, γ e δ da transformação complexa, w =, que leva os pontos = 0, i, γ + δ para w = i,, 0, respectivamente, bem como, para w = i, onde i =. Problema 38. (IME/006) Sejam a i, a r si e a ( r s) ( r s) i ( n ) = = + = + + > termos de uma sequência. Determine, em função de n, n n+ os valores de r e s que tornam esta sequência uma progressão aritmética, sabendo que r e s são números reais e i = Problema 39. (AMAN/007) Seja C, onde C é o conjunto dos números complexos. Identifique o lugar geométrico descrito pelo conjunto * * = ; Im = H, H R e H < onde R é o conjunto dos números reais diferentes de ero, Im(w) é a função cujo valor é a parte imaginária do número complexo w, e w denota o conjugado do número complexo w. Problema 40. (EUA) Se a, b, c são números complexos satisfaendo ab + ac + bc a = b = c =. Então o valor de 008 é igual a:. a + b + c a) 004 b) 005 c) 006 d) 007 e) 008 Problema 4. (O.M.ESPANHA) Sabendo que x, y e são números complexos de módulo unitário, e são raíes do seguinte sistema: x + y + =. Então o valor da expressão x 3 y 3 3 + + é igual a : xy = a) 0 b c) i d) e) 3 Problema 4. 3 x + y + (Canadá) Sendo x = a + b, y = a w + b w, = a w + b w e w = com a b 0. Então o valor de a b é igual a: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Problema 43. (Espanha) Se o complexo é definido como: afirmar que: a) é um número real b) é um imaginário puro c) = i tgα = senα + i cos α i. senα i cos α senα + i cos α + i senα i cos α tal que π α 0,. Então podemos sen α + cos α d) = i senα α e) = i tg 5
Problema 44. (Peru) Se i = (0, ). Então o valor de E na expressão E = 4 x + 4 ( x i)( x + i)( x + + i)( x + i) é igual a: a) 0 b) c) d) e) 3 Problema 45. (Peru) Achar o valor de w sabendo que w w Im + Im w + w w + w w = para w w e w, w C. w w Re + Re w + w w + w Problema 46. (EUA) Sabendo que é um número complexo que satisfa Problema 47. (Austrália) Sejam e w números complexos, de modo que: 6 i + 3 i. Calcule o valor máximo do. i + i w = i + + i w = 0 Suponha que a = Re(), b = Im(), c = Re(w) e n é um inteiro positivo tal que: n = c + 007a + 007b + 007a + 007b + 007a 3 + 007b 3 + Podemos afirmar que a soma dos algarismos de n é? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 Problema 48. (EUA) Define-se a sequência de números complexos número natural m tal que m a n a n = 005. n= + i i i a n = + i + +... + para n. Calcule um 3 n Problema 49. (Romênia) Sejam Z e Z complexos que adicionados aos respectivos inversos dão como resultado o valor. = + então o valor de ( S ) n n * Se S Z Z, n N, n 00 p 0 é igual a: p= a) 00 b) c) d) 0 e) Problema 50. (Índia) Seja i =. Defina uma sequência de números complexos por complexo d é a distância de à origem, então o valor de S log d onde = 0 e = + i para n. Sabendo que no plano n+ n 49 00 S = k= 0 k + vale: a) 97 b) 98 c) 99 d) 00 e) 0 6
Problema 5. (Vietnã) Encontre todos os números reais positivos x e y satisfaendo o sistema de equações: 3x + = x + y 7y = 4 x + y Problema 5. (EUA) Seja = a + ib, com b 0 e a e b reais. Sabendo que + a) 0 b) c) d) e) é um número real, podemos afirmar que a + b é: Problema 53. (Peru) Seja = x + i.y com y 0 e x e y são números reais. Sabendo que resulta em um número complexo real, então o + 64 módulo de é igual a: a) 4 b) 8 c) d) 5 e) 7 Problema 54. (Austrália) Seja f: C R uma função definida por : f(a + b i) = f(b) + i f(a) onde i é a unidade imaginária dos complexos. Então o valor da expressão 00 f (k + i) é igual a: k= a) 00 b) 00 c) 0 d) e) 00 + 00 i Problema 55. (Revista Europeia/003) Se a e b são números reais que satisfa são números naturais, então o valor p + q + m é igual a: = 3 a 3ab 44 3 b 3a b = 8. Sabendo que a + b = p q m, onde m, p e q a) 0 b) c) d) 3 e) 4 Problema 56. (UFC) Seja c um número complexo tal que c 7 =. Determine o valor numérico da expressão E: 3 4 5 6 c c c c c c E = c + c + c + c + c + c 4 6 3 5. Problema 57. (Titu Andrescu) Prove para todo número complexo, + +. ou Problema 58. (EUA) Se a, b, c são números complexos tais que a + b + c = 0 e a = b = c =. Então o valor de a + b + c é igual a: a) 0 b) c) d) i e) i 7
Problema 59. (Índia) Se, C são números complexos tais que + = 3 e = =. Então o valor de é igual a: 3 a) b) c) 3 d) e) Problema 60. (USA) Sabendo que = = e.. Prove que +. + é um número real. Problema 6. (IME) Determine as raíes de + i + 4i = 0 e localie-os no plano complexo, sendo i =. Problema 6. (O.C.M. 003) Uma lista de números complexos distintos f : C C se = f ( ), = f ( ),..., = f ( ) e = f ( ). 3 n n n,,,..., Seja f () = + 003 e,,..., um ciclo de comprimento 003. Calcule 003 003 ( i i ) i= f ( ) + onde o símbolo indica o produto n é um ciclo de comprimento n para uma função Problema 63. (O.C.M/999) Sejam a e números complexos tais que a < e a. Mostre que se a a < então <. Problema 64. k k (USA) Seja k = 3 + i com k = 0,,,... Sabendo que k = a + b i, então o valor da expressão a + b é igual a: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 Problema 65. (EUA-IME/008) Se n é um múltiplo de 4, a soma S = + i + 3i +... +(n + )i n, onde i =, é igual a: a) + i b) n + c) n + ni d) ( n + )( i) + e) n + 8 4ni 8 Problema 66. Se é rai do polinômio também é rai. k = 0 p(x) = a.x + a.x +... + a.x + a com a R, onde k =,, 3,.... Prove que o conjugado de n n n n 0 k Problema 67. (Índia) Seja k uma constante real e um número complexo tal que =. Prove que + k = k +. Problema 68. (AMC/00) Calcule o número de pares ordenados (a, b) com a e b reais que satisfa a equação ( a + b.i ) 00 = a b.i para i =. Problema 69. (IME/0) Resolva a equação 8 9 + = 5 ( + 3), onde pertence ao conjunto dos números complexos.
Problema 70. (IME/0) As raíes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por, w e w é um número complexo. O intervalo que contém de ( w) 6 é: a) (, 30] b) ( 30, 0] c) ( 0, 0] d) 0, 30] e) 30, ] Problema 7. (IME/0) Seja o número complexo Z = a + bi, com a e b R (real) e i =. Determine o módulo de Z sabendo que a = 3 + ab 3 3 b = 3 a b. Problema 7. a + b (USA) Se =. Calcule b + a para todo número complexo a e b. Problema 73. (China-adaptada) Os números complexos e satisfaem + = 3 e = 3 3. Então o valor da expressão (. ) + (. ) log3 0 000 é igual a: a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 30 Problema 74. (USA) Sabendo que os números complexos satisfa tais condições = e + =. Então o valor de a) 0 b) c) d) i e) i Problema 75. (Peru) Sejam a, b, c e d reais não nulos. Mostre que a equação imaginário puro simultaneamente como raíes. 06 é igual a: x + a + b i x + c + d i = 0 não admite um número e um Problema 76. Represente o número complexo + i tg θ i tgθ na forma algébrica. Problema 77. 5 (LIANG SHIN) Seja um número complexo tal que = ; 3 4 a) Prove que: 4 3 + + + + + + + = 3 4 b) Supondo, prove que: 0 4 3 + + + = Problema 78. (TITU ANDRESCU) Se a, b e c são números reais e w 3 i = +. Calcule o valor de ( a bw cw )( a bw cw) Problema 79. (TITU ANDRESCU) Se, e 3 são números complexos que satisfa as seguintes relações: + + 3 = 0 e = = 3 =. Prove que + + = 0 3 + + + +. 9
SEÇÃO DE ESCOLAS MILITARES. Esta secção de escolas militares tem como objetivo principal resolver questões que já foram abordadas em vários concursos militares. Mas também aprofundando os seus conhecimentos matemáticos e adquirindo cada ve um raciocínio apurado e uma certa dose de criatividade nas resoluções de problemas. Problema 80. (AFA/94) A solução da equação 3 8 = i, onde é um número complexo, Z é o seu conjugado e i, a unidade imaginária, é dada por: a) = 4 + i b) = 4 i c) = 4 + i d) = 4 i Problema 8. i (AFA/95) Se w = + i, i =, então w é igual a: 3 3 3 a) + i b) + i c) + i 3 d) + i Problema 8. (AFA/95) Se = 5i e w = + 3i, sendo i =, então o valor de w é: a) 70 b) 90 c) 30 d) 330 Problema 83. (AFA/999) Os valores reais de x, para os quais a parte real do número complexo = x i x + i (intervalo) é negativa, pertencem ao conjunto a) { } b) {0} c) (,) d) Problema 84. (AFA/00) Dado o número complexo tal que + 9 = 3 i, é correto afirmar que: a) = 3 0 7π 7π b) = 3 cos + i sen 4 4 c) = 9 3i d) (, ) + i = 3 0
Problema 85. (AFA/000) A soma dos tree primeiros termos da progressão geométrica (i,,...), onde i =, é: a) 0 b) i c) i d) i Problema 86. (EsFAO/87) Se W = i i e V = ( + i) 3, então o módulo de 49 (W V) é igual a: i 3 a) 49 b) 48 c) 47 d) 46 e) 45 Problema 87. (EFOMM/98) Sabendo-se que Z ( i) 3 = e Z ( i) 4 = +, o resultado de Z Z é: a) 5 + i b) 5 + i c) 3 + 4i d) 3 4i e) i Problema 88. (EFOMM/994) As soluções da equação = 8 + 8 a) + 3i e 3i b) + 3i e 3i c) + 3i e 3i d) + 3i e 3i e) + 3i e + 3i 3 i são: Problema 89. (EFOMM/994) O módulo do nº complexo, tal que i + 3 i = 0 é: a) b) c) 3 d) e) 5 Problema 90. (EFOMM/00) Sabendo-se que Z = ( i) 4 e Z = ( + i) 3, o resultado de Z Z é: a) 5 + i b) 5 + i c) 3 + 4i d) 3 4i e) 9 + 8i Problema 9. (EM/97) Sendo i a unidade imaginária dos números complexos, o valor do número natural n tal que n n (i) ( i) 64i + + = : a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 Problema 9. (EN/93) Considere os números complexos u = + i e v = i. O valor de u 5 v 5 é: a) v b) u c) v u d) u + v e) u v
Problema 93. (ITA/996) O valor da potência a) b) c) + i + i i d) 93 i e) ( ) 93 + i + i 93 é: Problema 94. (ITA/97) Considere os números complexos = + i e w = + i 3. m = 6 4 w + 3 + 4i 3 + w + 6 i, então m vale: a) 34 b) 6 c) 6 d) 4 e) Problema 95. (ITA/87) Seja S a coleção de todos os números complexos, que são raíes da equação = + i, onde i é a unidade imaginária. Então, podemos garantir que: a) S = 3 i b) S = + i, i c) S = + 4k π, k =,,3 d) S = + 3i 4 e) S = { + ki ; k =,,3 } Problema 96. (ITA/87) A soma de todas as raíes da equação 3 = 0 é: a) b) c) ero d) i e) + 3 i Problema 97. (ITA/87) Seja N o número de soluções reais da equação sen x = + 3i. Então, temos: a) N > 50 b) N = ero c) N = d) N = e) N > e N < 0 Problema 98. (ITA/87) Considerando e w números complexos arbitrários e u = w + w, então o conjugado de u será necessariamente: a) igual a w. b) um número imaginário puro. c) igual ao dobro da parte real de + w. d) igual ao dobro da parte real do número w. e) diferente de u.
Problema 99. (ITA/88) Seja a equação 4 a bi = 0 onde a e b são reais não nulos. Sobre as raíes desta equação podemos afirmar que: a) uma delas é um imaginário puro. b) os seus módulos formam uma progressão aritmética de raão 4 a + bi. c) o seu produto é um imaginário puro. arg (a + bi) d) cada uma tem argumento igual a. 4 e) a sua soma é ero. Nota: arg ( a + bi) denota o argumento do número a + bi. Problema 00. n n (ITA/88) O número natural n tal que (i) + ( + i) = 6i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 7 d) n = 4 e) não existe n nestas condições. Problema 0. 6 4 3 i 3i + 5i (EFOMM/97) Sabendo-se que =, então, podemos afirmar que o dobro de 5 4 4 4i + i i 3 7 3 a) + i b) + i c) + i d) 4 4 4 4 3 3 i vale: 3 7 + i e) 8 8 Problema 0. 3 0 i i (EFOMM/00) O quociente de é : 3 i a) i b) i c) + i d) + i e) i 7 i 4 Problema 03. (EFOMM/003) Dado o número complexo Z = i de p é: a) 8i b) 4i c) 8i d) 6i e) 3i e considerando ser ele uma das raíes da equação x 0 p = 0 o valor Problema 04. (ITA/90) A igualdade + = +, onde C, é satisfeita: a) para todo C que Re() = 0 e Im() < 0. b) para todo C que Re() 0 e Im() < 0. c) para todo C que = d) para todo C que Im() = 0 e) para todo C que < Problema 05. (ITA/89) O produto dos números complexos = x + yi, que têm módulo igual a e se encontram sobre a reta y = x contida no plano complexo, é igual a: a) 6 8 i 5 5 b) 4 i 5 5 8 8 c) i 5 5 d) + i e) não existe nenhum complexo que pertença à reta y = x e cujo módulo seja. 3
Problema 06. (ITA/9) Considere o número complexo = a + i cujo argumento está no intervalo (0, π/). Sendo S o conjunto dos valores de a para os quais 6 é um número real, podemos afirmar que o produto dos elementos de S vale: a) 4 4 b) 3 c) 8 8 d) 3 e) n.d.a. Problema 07. (ITA/93) Resolvendo a equação = + no conjunto dos números complexos, conclui-se sobre as soluções que: a) nenhuma delas é um número inteiro. b) a soma delas é dois. c) estas são em número de e são distintas. d) estas são em número de quatro e são a distintas. e) uma delas é da forma = bi com b real não nulo. Problema 08. (ITA/94) Sejam x e y números reais com x 0, satisfaendo ( x + iy) = ( x + y)i, então: a) x e y são números irracionais. b) x > 0 e y < 0 c) x é uma rai da equação x 3 + 3x + x 6 = 0 d) x < 0 e y = e) x + xy + y = Problema 09. (ITA/93) Seja a o módulo do número complexo ( 3i ) 0. Então o valor de x que verifica a igualdade ( 4a) x a) 0 b) c) 5 8 d) 3 8 e) 5 = a é: Problema 0. (IME/89) Sejam e w números complexos tais que w = e w. Calcule w Problema. (IME/88) Seja um número complexo. Mostre que + é um número real se e somente se é um número real ou =. Problema. (IME/74) São dados dois números complexos e. As partes real e imaginária de um complexo são dadas por Re() e Im(). Determine e, sabendo que: + = 5 4. + + 5[ Re( )] = 0 Re( ) = 4. Re( ) Problema 3. (IME/74) Determine o conjunto dos pontos do plano complexo tais que + representa um número real. ( + ) 4
Problema 4. (IME) A parte real de um número complexo é complexo. x e a parte imaginária x. Determine o valor mínimo do módulo desse Problema 5. (IME/00) Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos Z e Z são ortogonais se e somente se: Z Z + ZZ = 0 Problema 6. (IME/87) Dois números complexos Z e Z, não nulos, são tais que Z + Z = Z Z. Mostre que Z / Z é imaginário puro. Problema 7. (IME/70) Seja F = 5 8i. Calcule F, escrevendo a resposta sob a forma a + bi, com a e b inteiros. Problema 8. (IME/86) Considere os seguintes conjuntos de números complexos: A{ C; = e Im() > 0} e B = { C; Re() = e Im() > 0}. a) Mostre que para cada pertencente a A, o número pertence a B. + b) Mostre que cada w pertencente a B pode ser escrito na forma, para algum pertencente a A. + Problema 9. (AMAN/004) Determine todos os números naturais n tais que: n n + i +.i 6.i = 0 onde i = Problema 0. (AMAN/99) Considere os números complexos tais que + =. Determine o valor máximo do módulo de. Problema. (AMAN/009) Determine os valores do número complexo, diferente de ero, que satisfa a equação Obs.: é o complexo conjugado de ; i é a unidade imaginária. i i 8 0 7 i =. 5 i 0 Problema. (ITA/03) A soma das raíes da equação em C, 8 7 4 + 6 = 0, tais que = 0, é: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 5
GABARITO 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 ero * c b a b c c * * c * * * * b a a b 54 3 4 5 6 7 8 9 30 3 3 33 34 35 36 37 38 39 40 d 3 a * d a d * 63 c a * d b e b * * * e 4 4 43 44 45 46 47 48 49 50 5 5 53 54 55 56 57 58 59 60 d e b b ero 4 * 005 d b * d b c e * * a * * 6 6 63 64 65 66 67 68 69 70 7 7 73 74 75 76 77 78 79 80 * * * e * * * * * b * * * * * * * * d 8 8 83 84 85 86 87 88 89 90 9 9 93 94 95 96 97 98 99 00 a b d b b a a a b e b a a a a c b d e b 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 3 4 5 6 7 8 9 0 a a e d a a c e a 0 * * * * * * * * * * c 4 3 4 3 *. Resp.:.i, +.i 5 5 5 5 3 ± + i *9. Resp.: = *0. Demonstração *. Demonstração n + n i *3. Resp.: *4. Resp.: má x a + a + 4 a a e + + 4 mín = = *5. Resp.: 5 ± 33 5 ± i 3 = e = 4 4 *4. Demonstração *8. Resp.: We find *3 Resp.: 4 + ( ) ( ) + i + i. i So 0 = 3 =... = 00. Hence 00 = (/37 + i)/(/37) = + 74i. *37. Resp.: = + i *38. Resp.: n r e s n = = n n + n n + *39. uma reta AN 4/03/3 REV.: TM OSG.: 695/3 6
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