PÁGINA Atividades para classe O quadro abaixo mostra o perfil do jogador Kaká, da seleção brasileira de futebol. Posição Altura Peso meio-campo,86 m 8 kg Convocações para a seleção 7 Gols marcados pela seleção Disponível em: <http://www.cbfnews.uol.com.br> e <http://www.acmilan.com>. Acesso em: 7 jan. 8. a) Quais das variáveis acima são qualitativas? Posição. b) Quais das variáveis acima são quantitativas discretas? Quantidade de convocações e de gols marcados. c) Quais das variáveis acima são quantitativas contínuas? Altura e peso. Em seu caderno, verifique se a variável representada nos gráficos de cada item é qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua. a) b) Variável X O gráfico é um histograma, que sempre representa variáveis quantitativas contínuas. 6% Variável Y % Sim Não A variável Y apresentada neste gráfico pode assumir os valores sim e não, logo é uma variável qualitativa. c) 6 Variável Z O diagrama de colunas é utilizado na representação de variáveis quantitativas discretas. Módulo : Variáveis em estatística A companhia de tráfego de uma cidade realizou uma pesquisa para descobrir com quantos ocupantes, em média, circula cada automóvel. Cada medição consistia em observar carros consecutivos que passavam em certo local e adicionar o total de ocupantes dos veículos. Em relação a essa variável, responda: a) Ela é discreta ou contínua? O número de ocupantes é uma variável quantitativa discreta. b) Quais são os possíveis valores mínimo e máximo, considerando que cada automóvel pode transportar de a pessoas? Foram observados carros. Como cada um deles tem pelo menos e no máximo ocupantes, haverá no mínimo ocupantes e no máximo ocupantes. Observe no quadro abaixo as notas dos alunos do 9 o ano B numa prova de Geografia. 7, 6,, 8,9,,9 7,9, 9, 6, 6,,6 9,,,6 7,,6 7,7,,,,8 6,6,7 8, a) Classifique a variável descrita. As notas dos alunos correspondem a uma variável quantitativa contínua. b) Copie e complete a tabela abaixo. Intervalo Frequência absoluta Frequência relativa 8% 6% 6 7 8% 6 8 8 % 8 6% Total: alunos Cálculo das porcentagens: 8 8%; 6 6%; 7 8 8%; 8 % c) Construa um histograma para esses dados com a frequên cia relativa no eixo y. Frequência relativa (%) Notas do 9º ano B numa prova de Geografia 6 8 Notas P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:
O gráfico mostra o resultado de uma pesquisa feita em uma escola com os alunos do 9 o ano. Cada aluno podia escolher um único estilo, e todos os alunos participaram da pesquisa. ESTILO MUSICAL PREFERIDO Quantidade de alunos Rock Sertanejo MPB Funk Axé Pagode Reggae a) Qual o total de alunos do 9 o ano? alunos b) Monte uma tabela com as frequências absoluta e relativa de cada estilo. Estilo musical preferido Frequência absoluta Frequência relativa (%) Rock, MPB, Pagode, Sertanejo, Funk, Reggae, Axé, Total: alunos Cálculo das porcentagens: %;,,%; %;,,% %;,,% 6 Foi feito um levantamento do número de acidentes ocorridos com cada um dos motoristas de uma cooperativa de táxis no último ano. Os dados estão na tabela abaixo. PÁGINA Atividades para casa 7 Considere o anúncio de venda de um apartamento reproduzido abaixo. Morumbi, dormitórios, vagas na garagem, m de área útil, m de área de lazer. Identifique no anúncio as variáveis qualitativas, as discretas e as contínuas. Variáveis quantitativas discretas: número de dormitórios e de vagas na garagem. Variável qualitativa: bairro (Morumbi). Variável quantitativa contínua: área útil e de lazer. 8 Observe no quadro algumas informações sobre a cidade de Salvador (BA). Região em que está localizada Nordeste População 8 Área 79, km Clima tropical Temperatura média anual, C Velocidade média anual dos ventos Fonte: <http://www.citybrazil.com.br>. Acesso em: 8 jan. 8., m/s a) Quais das variáveis acima são qualitativas? Variáveis qualitativas: clima e região. b) Quais das variáveis acima são quantitativas discretas? Variáveis quantitativas discretas: população. c) Quais das variáveis acima são quantitativas contínuas? Variáveis quantitativas contínuas: área, temperatura média anual e velocidade média anual dos ventos. 9 A figura mostra o placar eletrônico de um jogo de basquete. Nele, são registrados os pontos das duas equipes, o tempo de jogo e as faltas cometidas por cada time. Dentre essas variáveis, identifique quais são discretas e quais são contínuas. Acidentes ou ou ou 6 ou 7 Motoristas No total, quantos acidentes, no mínimo, pode ter havido com esses motoristas no último ano? E no máximo? No mínimo: 6 6 acidentes. No máximo: 7 6 6 acidentes. Variáveis quantitativas discretas: quantidade de pontos e de faltas. Variável quantitativa contínua: tempo de jogo. 6 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 6 9..8 :9:
Identifique em seu caderno o gráfico que representa uma variável discreta e o que representa uma variável contínua. (I) II) a a 6 a 8 9 a Variável discreta (gráfico de barras) % % % % Variável contínua (histograma) Um banco encomendou uma pesquisa para descobrir quanto tempo um cliente costuma gastar no caixa eletrônico. O resultado está mostrado no gráfico abaixo. TEMPO GASTO NO CAIXA ELETRÔNICO 6% % % % % % % % % 7% % % 6 9 Tempo (min) a) A variável descrita no gráfico é discreta ou contínua? A variável é o tempo, logo é quantitativa contínua. b) Qual é a porcentagem de clientes que gastam menos de 6 minutos para utilizar o caixa eletrônico? A porcentagem de clientes que gastam menos de 6 minutos é % % 8%. c) O banco considera ideal que mais da metade dos clientes gastem menos do que minutos para utilizar o caixa eletrônico. Esse fato vem ocorrendo? Sim. Pois a a coluna do gráfico já garante que % dos clientes ficam menos de minutos no caixa eletrônico. Portanto, a a coluna dá a garantia de que metade dos clientes gasta menos de minutos no caixa eletrônico. Teoricamente, basta que cliente dos % que estão na a coluna fique no caixa eletrônico por menos de minutos para que tenhamos mais da metade dos clientes. d) Existem clientes que gastam mais do que minutos no caixa eletrônico? Justifique. Sim, há % que fica de a minutos. O quadro mostra o tempo, em segundos, que cada jogador do time de futebol de uma escola gastou para percorrer metros durante um teste de velocidade.,,9,,,7,,,8,8, 6,,,,8,,9,7,,8, a) A variável expressa no quadro é discreta ou contínua? A variável é o tempo, portanto é quantitativa contínua. b) Copie e complete a tabela a seguir. Intervalo de tempo (s) Frequência absoluta Frequência relativa (%) 6 6 7 Total: alunos Cálculo das porcentagens: %; %; % c) Construa um histograma para os dados da tabela com a frequência relativa no eixo y. Frequência relativa (%) Tempos de corrida nos m Módulo : Medidas em estatística PÁGINA 7 Boxe Desafio 6 Tempo (s) A média de notas dos alunos de uma turma na prova de História foi 6,; mas a mediana foi. Isso indica que os alunos obtiveram boas notas? Não, pois o fato de a mediana ser significa que metade da turma tirou nota ou inferior. 7 7 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 7 9..8 :9:
PÁGINA 8 Atividades para classe Dados: x (x x médio) (x x médio) Para cada um dos conjuntos de dados, calcule: média, amplitude total, variância e desvio padrão. a) ; ; ; ; Média At Dados: x (x x médio) (x x médio) A soma dos elementos da a coluna da tabela é. A variância é obtida dividindo esse valor pelo número de elementos, que é : Desvio padrão: o d XXXX var V o d XXXX b) ; ; ; ; ; 6 Média 6 6 6,67 6 At 6 Dados: x (x x médio) (x x médio) 6,67,889 86,67 7,6889 86,67 7,6889, 877,889 9, 87,889 6 9, 7 76,889 A soma dos elementos da a coluna da tabela é 87,. A variância é obtida dividindo esse valor pelo número de elementos, que é 6: 87, 88,8889 88,89 6 Desvio padrão: o d XXXX var V o d XXXXXXXXXX 88,89,78 c) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Média ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),666... Média,6 At ( ) (,6),6,6,6896,6,6896,6,6896 (,6),6,6,96,6,96,6,96,6,96 ( 6),6,896,6,896,6,896 (,6),6,696 A soma dos elementos da a coluna da tabela é,6. A variância é obtida dividindo esse valor pelo número de elementos, que é :,6,867788... V,87 Desvio padrão: o d XXXX d XXXX,87,6779... V V o,7 Veja o desempenho de Bianca em algumas disciplinas na escola. Português:,; 6,; 7, Matemática: 6,;,;, Ciências:,;,;, a) Calcule a amplitude total, a média e o desvio padrão das notas de Bianca. Português: At 7,,,, 6, 7, Média V Média 6,7 8, 6,666... V Notas x (x x médio) (x x médio),, 6,7,7,689 6, 6, 6,7,,89 7, 7, 6,7,8,6889 A soma dos elementos da a coluna da tabela é,667. A variância é obtida dividindo esse valor pelo número de elementos, que é :,667,7... V,7 Desvio padrão: o d XXXX d XXXXX,7,88 V V o,8 Matemática: At 6,,, 6,,, Média 6,, 8 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 8 9..8 :9:6
Notas x (x x médio) (x x médio),,,,,,,, 6, 6,,,, A soma dos elementos da a coluna da tabela é,. A variância é obtida dividindo esse valor pelo número de elementos, que é :,,666... V,7 Desvio padrão: o d XXXX d XXXX,7,... V V o, Ciências: At,,, Média, Notas x (x x médio) (x x médio) Total: A soma dos elementos da a coluna da tabela é Ö. Desvio padrão: o d XXXX d XX b) Em qual matéria Bianca teve melhor desempenho? Justifique. O melhor desempenho de Bianca foi em Português, pois nessa disciplina ela obteve a maior média. As massas, em quilogramas, de jogadores do time de handebol da escola são: 7; 6; 7; 6; 9; 6; 6; 7; ; 9; 68; 6; ; ; 9. Calcule em seu caderno a massa média e a amplitude total desses dados. Média 7 6 7 6 9 6 6 7 9 68 6 9 Média 9 6,8666... V Média 6,87 kg At massa maior massa menor 7 9 kg Veja na tabela abaixo os dados levantados durante uma corrida de Kart, referentes às velocidades atingidas pelos pilotos. Velocidade (km/h) N o de pilotos 9 8 9 77 8 a) Determine quantos pilotos atingiram velocidades entre 9 km/h e km/h. De 9 a km/h V 8 pilotos De a km/h V 9 pilotos De a km/h V 77 pilotos De 9 a km/h V Total = pilotos b) Determine a velocidade média e o desvio padrão nessa bateria. Velocidades de uma corrida de kart: Velocidade (km/h) N o de pilotos Ponto médio das velocidades 9 8 9 9 77 8 Ponto médio vezes número de pilotos Total: 7 pilotos Ponto médio média (Ponto médio média) 66 9,9 9,9 79,86 9 97,9 9,9 9,6 8 8,9,,6 7,9,,6 6,9,,66 6,9, 9,86 Soma: 8 [(Ponto médio média) N o de pilotos] 79,86 8 66,88 9,6 9 8,79,6 77,77,6 8 97,88,66 7,9 9,86 7, Soma: 78,77 8 Média de velocidades: 7,99,9 km/h 78,77 88,6 7 88, Desvio padrão: o d XXXX d XXXXXX 88,,79... o,7 km/h Em turmas de uma escola foi aplicada a mesma prova de Matemática para o fechamento do trimestre no ano letivo, os resultados referentes a essa prova estão expressos no quadro a seguir. Média Desvio padrão Turma A 6,, Turma B 6,,6 Turma C 6, Observando o desvio padrão, o que se conclui sobre a turma C? Conclui-se que, pelo fato de o desvio padrão ser zero, todos os alunos obtiveram nota igual à média: 6,. 9 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9 9..8 :9:6
6 Analise os dados do gráfico abaixo. ÍNDICE DE DESENVOLVIMENTO HUMANO NO BRASIL, ARGENTINA E URUGUAI EM E EM IDH,88,86,8,8,8,78,76,7 Brasil Argentina Uruguai Países Fonte: Pnud Indicadores de desenvolvimento humano 7 8. a) Calcule o IDH médio entre os anos considerados nos países apresentados. Ano Brasil Argentina Uruguai,79,86,8,8,87,8,8,79 Brasil V IDH médio,79,87,86 Argentina V IDH médio,86,8,8 Uruguai V IDH médio,8 b) Calcule os desvios padrão. Brasil: Brasil IDH média (IDH média),79,79,,,8,79,, Total:, A soma dos elementos da a coluna é,.,, Desvio padrão: o d XXXX d XXXXXXXXXX,, Argentina: Argentina IDH média (IDH média),86,86,,,87,86,, Total:, A soma dos elementos da a coluna é,.,, Desvio padrão: o d XXXX d XXXXXXXXXX,, Uruguai: Análogo a Brasil e Argentina., Desvio padrão: o, 7 Certo cinema recebeu em suas salas, em um sábado,,, e 6 pessoas para assistir a um filme. a) Calcule a média e a amplitude total do número de espectadores nesse dia. 6 Média 6 pessoas At 6 pessoas b) Se nesse dia entrassem mais pessoas em cada sala, o que aconteceria com o desvio padrão? A média nas salas é de pessoas. N o de pessoas Quantidade de salas N o de pessoas média (N o de pessoas média) 6 N o de pessoas A soma dos dados na a coluna é. Desvio padrão: o d XXXX d XXXXXXXX 8,8 8, Acrescentando pessoas em cada sala, tem-se: 6 8 Média pessoas Quantidade de salas N o de pessoas média 6 (N o de pessoas média) A soma dos dados na a coluna é. Desvio padrão: o d XXXX d XXXXXXXX 8,8 8, Logo, o desvio padrão não se alteraria com a entrada de pessoas em cada sala. 8 Na tabela abaixo as notas atribuídas na parte de testes e de redação do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) de estão distribuídas segundo a renda mensal das famílias dos alunos participantes. Enem Desempenho e renda familiar Faixas de renda Parte objetiva Redação Até salário mínimo* 8 8 De a De a 9 De a 6 9 De a 6 6 De a 69 66 Mais de 68 66 (*) RS, Fonte: MEC/Inep/DACC. P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:7
a) Calcule a nota média e o desvio padrão na prova, para cada faixa de renda. 8 8 Até s.m.: Nota média Até s.m. Nota Nota média (Nota média) Parte objetiva 8 8 Redação 8 8 A soma dos elementos da a coluna é. Desvio padrão: o d XXX De a s.m.: nota média De a s.m. Nota Nota média 6, (Nota média) Parte objetiva 6,,, Redação 6,,, A soma dos elementos a coluna é,.,, Desvio padrão: o d XXXXXX,, 9 De a s.m.: nota média De a s.m. Nota Nota média (Nota média) Parte objetiva 9 9 9 Redação 9 A soma dos elementos da a coluna é 8. 8 9 Desvio padrão: o d XX 9 6 9 De a s.m.: nota média 7, De a s.m. Nota Nota média (Nota média) Parte objetiva 6 6 7,,, Redação 9 9 7,,, A soma dos elementos da a coluna é,.,, Desvio padrão: o d XXXXX,, 6 6 De a s.m.: nota média 6, De a s.m. Nota Nota média (Nota média) Parte objetiva 6 6 6,,, Redação 6 6 6,,, A soma dos elementos da a coluna é,.,, Desvio padrão: o d XXXXX,, 69 66 De a s.m.: nota média 67, De a s.m. Nota Nota média (Nota média) Parte objetiva 69 69 67,,, Redação 66 66 67,,, A soma dos elementos da a coluna é,,, Desvio padrão: o d XXXXX,, 68 66 Mais de s.m.: nota média 67, Mais de s.m. Nota Nota média (Nota média) Parte objetiva 68 68 67,,, Redação 66 66 67,,, A soma dos elementos da a coluna é,.,, Desvio padrão: o d XXX,, Monta-se então a seguinte tabela. Parte obj. Redação Média o Até s.m. 8 8, De a s.m. 6,, De a s.m. 9, De a s.m. 6 9 7,, De a s. m. 6 6 6,, De a s. m. 69 66 67,, Mais de s.m. 68 66 67, b) Em que faixa de renda o desempenho dos alunos foi mais homogêneo nas duas partes da prova? Conclui-se que o desempenho foi mais homogêneo nas famílias com renda acima de s.m., pois os desvios padrão foram menores. PÁGINA 9 Atividades para casa 9 Considere o conjunto de dados abaixo. a) Calcule a média. Média 7 9 b) Calcule a variância. 7 9 7, Dado (Dado média) (Dado média) 7,,, 7 7 7,,, 9 9 7,,, 7,,, A soma dos elementos da a coluna é. 8,7 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:7
c) Calcule o desvio padrão. o d XXXXX 8,7,98 d) Quais desses dados estão dentro da faixa definida pelos valores média o e média o? Para o,: Média o 7,,, Média o 7,,, Os dados que estão dentro dessa faixa são 7 e 9, pois são maiores que, e menores que,. Calcule com a ajuda da calculadora a média e a variância da distribuição a seguir. Comprimento (em centímetros) N o de peças 7 6 Comprimento (cm) N o de peças Ponto médio a 7, a 7, a 6, a 7, Total (Ponto médio) número de peças) N o de peças Ponto médio média 7,, 9,87 7,7 9, 7, 9,87,7,, 9,87,6 87, 7, 9,87 7,6 9, (Ponto médio média) (N o de peças) (Ponto médio média) 7 ( 7,7),, 7 8,8 (,7),6,6 67, 6 (,6) 6,9 6,9 6, (7,6) 8, 8, 9, Total: peças Soma: 88,9 Comprimento médio 9 9,87 cm 88,9,, cm Para os conjuntos de dados abaixo, calcule em seu caderno os seguintes parâmetros: média, amplitude total, variância e desvio padrão. a) ; ; ; ; ; ; ; ; ; Média Dados x Frequência x (x f (x f média média) média) 6 6 Total: At o d XXXXXXX,9..., b) ; ; ; ; 6; ; ; ; ; ; ; Média 6,666..., Dados x Frequência x (x f (x f média média) média),,86,86,,6 6,9,,76,8,8,6,9,8,96,998 6,8 6,66 6,66 Total,968 At 6,968,76, o d XXX,,9..., c) ; ; ; ; ; Média 6 At, já que não há variação em torno do valor médio. o d XX d) ; ; 8; ; ; 6; 8; 8 8 6 Média 8 8,7, Dados x Frequência x (x f (x f média média) média),6,6,6 8,6 6,76, 6,6,6,6,,96,9,,6,6, 9,6 9,6 Total 8 69,88 At ( ) 9 69,88 8,7 8,7 8 o d XXXX 8,7,99...,9 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:8
Veja na tabela abaixo a distribuição dos dados de famílias, todas com filhos, considerando o número de meninas. N o de meninas N o de famílias 8 a) Determine em seu caderno a média do número de meninas dessas famílias. Média 8 8 9,8, filhas por família. b) Calcule o percentual de famílias com até filhas. São 8 famílias. Cálculo da porcentagem: 8 6 6% c) Calcule o percentual de famílias com mais de filhas. Famílias com mais de filhas: 8 famílias Cálculo da porcentagem: 8 6 6% Em um estacionamento há carros vermelhos, brancos, 7 cinza, prata e pretos. Qual é a moda das cores dos carros? Das cores, a que aparece com maior frequência () é a vermelha, logo, a moda corresponde à cor vermelha. Considere um conjunto de dados cujo desvio padrão é zero. Analise as informações abaixo, e verifique quais alternativas são verdadeiras, corrigindo as falsas no caderno. a) A média desse conjunto de dados obtidos é zero. F, pois o fato de o desvio padrão ser zero significa apenas que não há variância em torno da média, e não que a média é zero. b) A variância desse conjunto de dados também é nula. V, pois o d XXXX var V o c) Todos os elementos desse conjunto têm valor igual à média. V, pois não há variação em torno da média. Veja a seguir as notas das oito avaliações do bimestre letivo de duas alunas, Clara e Márcia, de um curso de Espanhol. Clara: 6; 7; 6; ; 6; 6; 7; Márcia: ; ; ; ; ; ; ; a) Calcule a nota média e a amplitude total das notas de cada uma das alunas. Clara Nota média 6 7 8 8 8 6 At 7 Márcia Nota média 8 At 8 8 8 6 b) Compare os resultados e avalie quem obteve mais regularidade em notas. Justifique a resposta em seu caderno. As duas têm a mesma média, porém a variação (amplitude total) das notas de Márcia é bem maior que a de Clara. Logo, Clara teve mais regularidade em suas notas. 6 Foram calculadas as médias das idades e os desvios padrão de dois grupos de jovens. Veja os resultados abaixo. A: média 6; desvio padrão, B: média 6; desvio padrão, Em qual desses grupos é mais provável que a maioria dos jovens tenham idades mais próximas a 6 anos? Justifique a resposta em seu caderno. O grupo B, pois o desvio padrão é menor, ou seja, o desvio em relação à média de 6 anos é menor. 7 O gerente de um bufê infantil fez um registro das idades das crianças que participavam de uma festa, anotando os dados em um quadro como o mostrado a seguir. Léa Bia Edu Tom Caio Rui anos 6 anos anos anos anos anos Após calcular a média das idades e o desvio padrão, chegou outro grupo de crianças, todas de anos, e foi preciso refazer os cálculos. Ele afirmou que a média não se alterou, mas o desvio padrão caiu pela metade. Responda em seu caderno. a) O cálculo do gerente está correto? Justifique em seu caderno. A princípio, com 6 crianças, tem-se: Idade média = 6 6 6 anos Portanto o cálculo do gerente está correto: chegando mais crianças com idade igual à média da idade das demais ( anos), a média não se altera e o desvio padrão diminui. b) É possível calcular quantas crianças chegaram depois na festa? Sim, o cálculo segue abaixo. A princípio tem-se 6 crianças. Desvio padrão: Idade (anos) N o de crianças f Idade média (Idade média) f (idade média) 6 6 Total 6 6 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:8
Idade (anos) 6 6 V o d X Com a chegada de um grupo de x crianças de anos (idade igual à média das outras crianças), tem-se: Idade (anos) N o de crianças f x 6 Total 6 x ( x) 6 Idade média 6 x x (6 x) anos V a média 6 x (6 x) não se alterou Verifica-se agora o desvio padrão: N o de crianças f Idade média (Idade média) f (idade média) x 6 6 Total 6 x 6 PÁGINA 6 6 x Como foi dado que o desvio padrão caiu pela metade, o novo desvio padrão vale o. Assim, o d XXXX d XXXXXX 6 6 x V 6 6 x V V 6 x V x 8 crianças. Portanto chegaram depois à festa 8 crianças de anos de idade. Módulo : Introdução à análise combinatória Boxe Cálculo mental Uma lanchonete oferece a seus clientes sucos de diferentes frutas, podendo ser escolhidos tamanhos: pequeno ( ml), médio ( ml) ou grande ( L). Quantos pedidos de sucos diferentes com uma fruta podem ser feitos nessa lanchonete? Como há tipos de tamanho e tipos de sucos diferentes, faz-se a multiplicação V Podem ser feitos pedidos diferentes. PÁGINA Atividades para classe Num restaurante expresso de comida italiana, o cliente pode escolher entre tipos de massa (espaguete, ravióli ou penne), tendo ainda opções de molho (tomates, branco, quatro queijos ou funghi). Quantos pratos diferentes podem ser montados com essas opções? Calcula-se o número de pratos diferentes multiplicando os tipos de massas diferentes pelas opções de molho: Certo modelo de carro é fabricado em 7 diferentes cores, apresentando ainda tipos de motores e opções de estofamento. De acordo com esses itens, que quantidade de carros diferentes desse modelo podem ser fabricados? Obtém-se o número de carros diferentes multiplicando as cores diferentes pelas opções de estofado e tipos de motores diferentes: 7 Considere que, para formar a placa de um carro, as letras possam ser escolhidas dentre 6 (A; B; C; ; Y, Z) e os algarismos dentre (; ; ; ; 9). a) Quantas placas do atual sistema brasileiro ( letras e dígitos) são formadas somente por vogais e dígitos ímpares? O alfabeto tem vogais (a, e, i, o, u) e há números ímpares entre e 9 (; ; ; 7; 9), de modo que há possibilidades para letra ou dígito. Assim, tem-se: 78 placas. b) Quantas placas do atual sistema brasileiro podem ser formadas por letras iguais e dígitos iguais? a letra: 6 possibilidades a letra igual à primeira: possibilidade a letra igual à primeira: possibilidade 6 6 combinações de letras o algarismo: possibilidades o algarismo igual ao primeiro: possibilidade o algarismo igual ao primeiro: possibilidade o algarismo igual ao primeiro: possibilidade combinações de números Logo, 6 6 placas diferentes. Cinco amigos vão se sentar em cadeiras consecutivas de um cinema. a) De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar? Na primeira cadeira pode se sentar qualquer um dos amigos, de modo que para essa cadeira há possibilidades de pessoas. Na segunda cadeira pode se sentar qualquer um dos amigos restantes (uma vez que um deles já se sentou na primeira cadeira). Na terceira cadeira pode se sentar qualquer um dos amigos restantes, e assim por diante, como mostrado na tabela abaixo. Cadeiras Cadeira Cadeira Cadeira n o de possibilidades Cadeira Cadeira Cadeira n o de possibilidades Multiplicando as possibilidades, tem-se maneiras diferentes. P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:9
b) De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar de modo que André, um dos amigos, ocupe a cadeira do meio? André ocupou a cadeira do meio, logo restam amigos e cadeiras. Na primeira dessas cadeiras pode se sentar qualquer um dos amigos; na segunda, qualquer um dos restantes, e assim por diante. Tem-se então: maneiras diferentes. c) De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar de modo que Sérgio, outro amigo, não ocupe a cadeira do meio? Sérgio na cadeira V Os outros amigos nas outras cadeiras V possibilidades. Como Sérgio pode estar em qualquer uma das cadeiras que não a do meio tem-se: 96 possibilidades. 7 Seis casais chegaram às finais de um concurso de dança. Um componente de cada casal será escolhido para dar uma entrevista sobre o concurso. De quantos modos diferentes poderá ser feita essa escolha? Há 6 casais, e de cada casal qualquer um dos dois pode ser escolhido para dar entrevista. Então serão escolhidas 6 pessoas, sendo que há duas possibilidades de escolha para cada uma. 6 6 modos diferentes de fazer a escolha. 8 Deseja-se pintar as listras da bandeira desenhada abaixo. Para isso, estão disponíveis tintas de cores: verde, amarela, azul e vermelha. Determine de quantas maneiras diferentes a bandeira poderá ser pintada de acordo com as condições estabelecidas em cada item. Três amigos vão se hospedar em um hotel que está com 6 quartos disponíveis, sendo que cada um vai ocupar um quarto diferente. De quantas maneiras distintas eles poderão escolher os quartos? Amigos Amigo A Amigo B Amigo C possibilidade de quartos 6 6 Logo, há 6 maneiras diferentes de escolher os quartos. 6 Observe na figura a disposição das carteiras numa sala da escola de inglês de Rita e Júlia. Ao entrar na sala, inicialmente vazia, cada uma escolhe um lugar para se sentar. a) De quantas maneiras distintas elas podem fazer essa escolha? Há carteiras na sala. Alunas Rita Júlia possibilidade de escolha de lugares Logo, há maneiras diferentes de escolher os lugares na sala. b) De quantas maneiras distintas elas podem fazer essa escolha de modo que Rita se sente numa das carteiras próximas à lousa, já que ela esqueceu seus óculos? Rita se senta em uma das carteiras da frente: possibilidades. Júlia se senta em qualquer uma das restantes: possibilidades Logo, há maneiras diferentes. a) Cada listra seja pintada de uma cor distintas das outras. Listra Listra Listra Listra Listra possibilidades de cores Logo, há maneiras diferentes. b) Possa haver repetição de cor, desde que listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Podendo haver repetição de cores não consecutivas : A primeira listra pode ser pintada com qualquer uma das cores. A segunda listra pode ser pintada apenas com uma dentre cores, pois não se pode usar a mesma cor com a qual foi pintada a primeira listra. A terceira listra também pode ser pintada apenas com uma dentre cores, pois não se pode usar a mesma cor com a qual foi pintada a segunda listra. O mesmo vale para a quarta listra, como mostrado na tabela abaixo. Listra Listra Listra Listra Listra possibilidades de cores Logo, há 8 maneiras diferentes. c) Não possa ser utilizada tinta vermelha e listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Usando apenas cores (sem a cor vermelha) e sem repetir cores em listras consecutivas: A primeira listra pode ser pintada com qualquer uma das cores. A segunda listra pode ser pintada apenas com uma dentre cores, pois não se pode usar a mesma cor com a qual foi pintada a primeira listra, e assim por diante. P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:9
Listra Listra Listra Listra Listra Feliz possibilidades de cores Logo, há maneiras diferentes. 9 Uma sala possui lâmpadas, cada uma com um interruptor independente. De quantos modos distintos essa sala poderá ser iluminada acendendo- -se pelo menos uma das lâmpadas? Simpática Lâmpadas Lâmpada A Lâmpada B Lâmpada C Alegre possibilidades de interruptor Lâmpadas Lâmpada D Lâmpada E possibilidades de interruptor Há duas possibilidades para cada interruptor (ligado ou desligado), então o número total de combinações para os interruptores é. Porém, deve-se excluir a possibilidade em que todos os interruptores estão desligados, pois pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa. Assim, tem-se maneiras. PÁGINA Atividades para casa A comissão de formatura do 9 o ano de uma escola deverá escolher, dentre restaurantes, aquele que organizará o jantar, e, dentre clubes, aquele onde será realizado o baile. De quantos modos a comissão poderá fazer essa escolha? Multiplica-se o número de clubes pelo número de restaurantes: modos diferentes. Quantos caminhos diferentes um motorista pode escolher para ir de Simpática a Alegre, passando por Feliz? Multiplica-se o número de rodovias que ligam as cidades Feliz e Alegre pelo número de rodovias que ligam as cidades Simpática e Feliz. 9 caminhos diferentes. Quantos números de algarismos distintos pode- -se formar com os algarismos do nosso sistema de numeração de modo que o último algarismo seja igual a zero? Para que o número tenha algarismos distintos e o último seja zero, há as seguintes possibilidades: o algarismo: 9 possibilidades (deve-se excluir o zero, pois o último algarismo já será zero. Além disso, se o número começasse com zero ele seria na verdade de algarismos, e não de ) o algarismo: 8 possibilidades (deve-se excluir o zero e o algarismo utilizado anteriormente) o algarismo: 7 possibilidades (deve-se excluir o zero e os algarismos utilizados anteriormente) o algarismo: possibilidade (que é o zero) Assim, pode-se escrever 9 8 7 números distintos obedecendo a essas condições. Uma prova é composta de afirmações, que o aluno deve classificar como verdadeiras ou falsas. Veja uma resposta possível para essa prova. De quantas maneiras distintas pode-se responder uma pro va como essa? O site de uma fábrica de produtos esportivos permite que os clientes montem seus próprios tênis, que são em seguida produzidos sob encomenda. O cliente pode fazer as escolhas a seguir. V cor do fundo ( opções) V cor secundária (6 opções) V cor dos detalhes ( opções) Quantos tênis diferentes podem ser montados com essas opções? Multiplica-se o número de opções para as cores dos detalhes, cores de fundo e cores secundárias: 6 tênis diferentes. Existem rodovias ligando as cidades de Simpática e Feliz, e três rodovias unindo as cidades de Feliz e Alegre, como ilustrado a seguir. Cada uma das perguntas admite respostas. Então há maneiras diferentes de se responder. Quantos números de algarismos distintos se podem formar com os algarismos do nosso sistema de numeração? 6 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 6 9..8 :9:9
Dica: lembre-se de que nenhum número de três algarismos pode ter o primeiro algarismo igual a zero. a casa V 9 algarismos (deve-se excluir o zero) a casa V 9 algarismos (deve-se excluir o algarismo utilizado anteriormente) a casa V 8 algarismos (deve-se excluir os algarismos utilizados anteriormente) 9 9 8 68 Logo, pode-se formar 68 números diferentes. 6 Flávia tem em seu guarda-roupa calças, saias e blusas que ela gosta de usar para ir a festas. a) Quantas combinações de saia e blusa Flávia pode fazer? Deve-se multiplicar as opções de saias e blusas: 8 combinações b) Quantas combinações de calça e blusa ela pode formar? Deve-se multiplicar as opções de calças e blusas: combinações c) De quantas maneiras diferentes Flávia pode ir vestida a uma festa? Sabendo que ela não usará ao mesmo tempo saia e calça, deve-se somar as diferentes combinações encontradas para saia e blusa calça e blusa: 8 d) Se ela resolver ir com uma determinada blusa, de quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir? Como ela já escolheu uma blusa, resta a ela escolher uma saia ou uma calça. Somando o número de calças ao número de saias, tem-se: 7 Os clientes de um banco devem escolher uma sequência de letras diferentes dentre as letras A, B, C, D, E, F, G, H para formar a senha de atendimento eletrônico. São 8 letras ao todo, de A a H. a) Calcule quantas senhas desse tipo podem ser formadas. A sequência a ser escolhida possui dígitos. o dígito 8 possibilidades o dígito 7 possibilidades (exclui-se a letra já usada no dígito anterior) o dígito 6 possibilidades (exclui-se as duas primeiras letras) 8 7 6 = 6 V Podem se formadas 6 senhas diferentes. b) Quantas dessas senhas começam com a letra C? Sendo C a letra do primeiro dígito da senha: o dígito C & possibilidade o dígito & 7 possibilidades (excluindo-se o C) o dígito & 6 possibilidades (excluindo as letras já usadas) 7 6 V dessas senhas começam com C. c) Quantas dessas senhas começam com uma vogal e terminam com uma consoante? Primeiro note que, em (A, B, C, D, E, F, G, H) tem- -se vogais e 6 consoantes. o dígito vogal V possibilidades o dígito consoante V 6 possibilidades o dígito consoante V 6 possibilidades (pois deve-se excluir a vogal usada no o dígito e a consoante usada no o ) 6 6 7 V 7 dessas senhas começam com vogal e terminam com consoante. d) Quantas dessas senhas são formadas somente por consoantes? o dígito consoante & 6 possibilidades o dígito consoante & possibilidades (exclui- -se a primeira letra) o dígito consoante & possibilidades (excluindo as primeiras) 6 V dessas senhas são formadas somente por consoantes. 8 Considerando os algarismos do nosso sistema de numeração, determine o que se pede em cada item. a) A quantidade de números com algarismos que podem ser formados. O primeiro dos três algarismos não pode ser o zero, caso contrário o número teria na verdade algarismos, e não. Assim, há 9 possibilidades para o primeiro algarismo ( a 9) e para os outros dois ( a 9). o algarismo o algarismo o algarismo 9 9 9 números b) A quantidade de números com algarismos distintos que podem ser formados. Novamente o primeiro algarismo não pode ser zero. Além disso, o segundo não pode ser igual ao primeiro, e o terceiro não pode ser igual aos outros dois. o algarismo o algarismo o algarismo 9 9 9 8 9 9 8 68 números c) A quantidade de números com algarismos iguais que podem ser formados. o algarismo & 9 possibilidades (excluindo o zero) o algarismo & possibilidade (igual ao o algarismo) o algarismo & possibilidade (igual ao o algarismo) 9 9 números (,,,,, 666, 777, 888, 999) 7 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 7 9..8 :9:
d) A quantidade de números com pelo menos algarismos iguais que podem ser formados. A quantidade de números de algarismos com pelo menos deles iguais pode ser calculada subtraindo, da quantidade de números que podem ser formados com algarismos, a quantidade de números com algarismos distintos. Isso porque, se os algarismos não são distintos, pelo menos são iguais. Assim, tem-se: 9 68 números PÁGINA Atividades para casa 9 Uma prova de atletismo é disputada por corredores, sendo brasileiros. O pódio dessa corrida é formado pelos primeiros colocados, não havendo a possibilidade de empate. a) Quantas possibilidades diferentes existem para formar o pódio dessa corrida? corredores o lugar & possibilidades (qualquer um dos corredores) o lugar & 9 possibilidades (excluindo-se o que ficou em o lugar) o lugar & 8 possibilidades (excluindo-se os dos primeiros lugares) Logo, são 9 8 6 8 possibilidades diferentes. b) Em quantas dessas possibilidades o pódio é formado por brasileiros? brasileiros o lugar & possibilidades (qualquer um dos brasileiros) o lugar & possibilidades (excluindo-se o que ficou em o lugar) o lugar & possibilidade (excluindo-se os dos primeiros lugares) Logo, são = 6 possibilidades diferentes. c) Em quantas dessas possibilidades o pódio não tem nenhum brasileiro? Nenhum brasileiro & restam 7 corredores o lugar & 7 possibilidades (qualquer um dos 7 corredores) o lugar & 6 possibilidades (excluindo-se o do o lugar) o lugar & possibilidades (excluindo-se os dos primeiros lugares) Logo, são 7 6 8 possibilidades diferentes. d) Em quantas dessas possibilidades o pódio é formado por pelo menos um brasileiro? Para calcular o número de possibilidades de haver pelo menos brasileiro no pódio basta subtrair, do número total de possibilidades de se formar o pódio com corredores, o número de possibilidades de não haver nenhum brasileiro no pódio. Assim, só restarão possibilidades com pelo menos um brasileiro no pódio. Como as possibilidades já foram calculadas nos itens a) e c), basta efetuar a subtração: 6 8 8 76 possibilidades. e) Em quantas dessas possibilidades o pódio tem exatamente um brasileiro? Primeiro calcula-se as possibilidades de um brasileiro ficar em o lugar: o lugar brasileiro & possibilidades o lugar não brasileiro & 7 possibilidades (excluindo os brasileiros) o lugar não brasileiro & 6 possibilidades (excluindo também o do o lugar) 7 6 86 possibilidades. Da mesma forma, há 86 possibilidades de haver um brasileiro no o lugar, e mais 86 de haver um brasileiro no o lugar. Assim, tem-se 86 86 86 8 possibilidades. Geórgia colocou uma senha em seu computador composta de letras distintas seguidas de algarismos, que podem ser repetidos. Dias depois, ela esqueceu completamente a senha, e resolveu ir fazendo tentativas até encontrá-la. a) Quantas tentativas, no máximo, Geórgia terá de fazer? letras distintas: a letra & 6 possibilidades (as 6 letras do alfabeto) a letra & possibilidades (excluindo-se a a ) algarismos (podem ser repetidos): o algarismo & possibilidades o algarismo & possibilidades Logo, são 6 6 tentativas, no máximo. b) Se ela gastar segundos em cada tentativa, e trabalhar sem nenhuma interrupção, quantos dias ela poderá levar, no máximo, para concluir sua tarefa? 6 9 segundos h tem 6 segundos e dia tem horas & dia então tem 6 86 segundos. 9 : 86,69 V 9 s correspondem aproximadamente a,6 dias, ou seja, dias,6 dia.,6 dia corresponde a,6 6, h Logo, Geórgia levará, no máximo, cerca de dias e 6 horas para concluir sua tarefa. 8 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 8 9..8 :9:
Um restaurante oferece em seu cardápio 6 tipos diferentes de massa, tipos diferentes de salada e tipos diferentes de sobremesa. Uma pessoa que vai almoçar nesse restaurante e deseja comer uma massa, uma salada e uma sobremesa, tem quantas opções diferentes de escolha dos pratos? Multiplica-se os tipos de sobremesas, saladas e massas: 6 opções diferentes. Em uma festa de formatura havia 7 formandos, sendo 8 meninos e 9 meninas. Para dançar a valsa dos formandos, quantos casais diferentes poderiam ser formados? Multiplica-se o número de meninos por meninas: 8 9 7 casais diferentes. Marcelo possui camisas e gravatas. Ele acha que a gravata azul não combina com a camisa listrada, por isso nunca as usa juntas. De quantas maneiras diferentes ele pode combinar as camisas e as gravatas, considerando a condição citada? Multiplica-se o número de gravatas pelo número de camisas para obter o número total de combinações: 6 combinações diferentes. Excluindo a combinação citada (gravata azul camisa listrada) tem-se 6 9 combinações. O campeonato brasileiro de futebol conta com participantes que se enfrentam em turno e returno para definir o campeão. Isso significa que cada equipe enfrenta todas as outras por vezes, uma em seu estádio e outra no estádio do adversário. a) Qual o total de jogos realizados para definir o campeão brasileiro de futebol? Cada time enfrentará em seu próprio estádio os outros 9 times. Assim, multiplica-se os participantes pelo número de adversários: 9 8 jogos. b) Se o número de equipes participantes subisse para, qual seria o total de jogos realizados? Multiplica-se os participantes pelo número de adversários: jogos. Cada região do mapa ao lado deverá ser pintada com uma dentre cores disponíveis, de modo que regiões que façam fronteira não sejam pintadas da mesma cor. De quantas maneiras diferentes isso poderá ser feito? A B Região A & possibilidades Região B & possibilidades (excluindo a cor de A) Região C & possibilidade (excluindo a cor de A e B) Região D & possibilidades (excluindo a cor de C) Logo, são maneiras diferentes. C D 6 Três rapazes e três moças vão formar uma fila. De quantas maneiras diferentes eles podem fazer isso de modo que: a) as moças ocupem as três primeiras posições da fila? a posição moça & possibilidades a posição moça & possibilidades (exclui-se a primeira) a posição moça & possibilidade (excluindo as primeiras) a posição rapaz & possibilidades a posição rapaz & possibilidades (exclui-se a quarta) 6 a posição rapaz & possibilidade (exclui-se a quarta e a quinta) Logo, são 6 maneiras diferentes. b) as moças e os rapazes ocupem posições alternadas na fila? Alternando moças e rapazes, as possibilidades são as mesmas do item acima. Se a a posição for ocupada por uma moça, tem- -se 6 maneiras diferentes. Se a a posição for ocupada por um rapaz, tem-se outras 6 maneiras diferentes. Logo, em posições alternadas há 6 6 7 maneiras diferentes. 7 No jogo de dominó cada peça contém números gravados. As figuras ilustradas como exemplo contêm o mesmo par de números, por isso são consideradas iguais e aparecem no jogo apenas uma vez. Os números que constituem as peças de dominó são,,,,, e 6. a) Quantas peças existem com um par de números iguais? 7 peças São elas: (6; 6), (; ), (; ), (; ), (; ), (; ) e (; ). b) Quantas peças existem com um par de números distintos? peça & números: A e B n o A & 7 possibilidades ( a 6) n o B & 6 possibilidades (excluindo-se o n o A ) São 7 6 possibilidades. Porém a peça (A; B) é a mesma que (B; A). Isto é, nas possibilidades a mesma peça foi contada vezes. Assim é preciso dividir por : : peças São elas: (6; ), (6; ), (6; ), (6; ), (6; ), (6; ) (; ), (; ), (; ), (; ), (; ) (; ), (; ), (; ), (; ) (; ), (; ), (; ) (; ), (; ) (; ) c) Quantas peças existem no jogo? Existem no jogo 8 peças, sendo 7 com um par de números iguais e com um par de números distintos. 9 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9 9..8 :9:
Módulo : Probabilidades PÁGINA Atividades para classe PÁGINA 7 Boxe Desafio Observe os dois cubos da figura, que têm um único ponto de contato. A Considere uma formiga caminhando do ponto A ao ponto B obedecendo às condições dadas a seguir. Caminhar somente sobre a aresta do cubo. Percorrer a menor distância possível. Para isso, a formiga escolherá ao acaso um dos possíveis caminhos. Calcule quantos elementos tem o espaço amostral correspondente a esse experimento aleatório. A partir do ponto A a formiga pode escolher entre arestas para chegar ao próximo vértice do cubo. Chegando ao próximo vértice ela tem mais opções de arestas, e então apenas uma opção para chegar ao ponto de contato entre os cubos. Então o número de possibilidades para a formiga ir do ponto A até o ponto de contato entre os cubos é 6 possibilidades. A partir do ponto de contato entre os cubos ela tem novamente a princípio possibilidades até o próximo vértice. Lá chegando ela tem mais duas possibilidades, e então apenas uma até o ponto B. Então no segundo cubo ela tem 6 possibilidades. Assim, o número total de possibilidades de caminhos do ponto A até o B é dado por 6 6 6 possibilidades, e esse é o número de elementos do espaço amostral correspondente a esse experimento. PÁGINA 9 Boxe Cálculo mental Calcula-se que a probabilidade de a seleção brasileira vencer determinada partida de futebol seja 6%, e a de empatar seja %. Qual a probabilidade de o Brasil perder esse jogo? A seleção brasileira pode vencer, empatar ou perder a partida. Esses eventos são complementares, logo a soma das probabilidades para os eventos deve ser %. Desse modo a probabilidade de perder é: P(perder) % P(vencer) P(empatar) % 6% % % B Escreva em seu caderno quais dos experimentos abaixo são aleatórios. a) Medição da distância entre São Paulo e Rio de Janeiro. b) Contagem do número de crianças que nascem na cidade de Brasília num dia qualquer. c) Registro do número de dias com chuva em um mês na cidade de Porto Alegre. d) Contagem do número de dias do mês de janeiro de um ano qualquer. São aleatórios os experimentos dos itens b); c). Rui lança uma moeda e, em seguida, um dado comum, anotando a face da moeda e o número do dado que foram obtidos. a) O experimento descrito é aleatório? Justifique em seu caderno. Sim, o experimento é aleatório, pois não há como prever qual face da moeda e do dado ficará voltada para cima. b) Escreva todos os elementos do espaço amostral relativo a esse experimento. Seja K o evento correspondente a se obter a face cara voltada para cima e C o evento em que se tem a face coroa voltada para cima. Assim o espaço amostral é: E {(K; ), (K; ), (K; ), (K; ), (K; ), (K; 6), (C; ), (C; ), (C; ), (C; ), (C; ), (C; 6)} Uma caixa contém fichas, sendo ficha azul, amarelas e 6 vermelhas, todas com a mesma forma, tamanho e peso. Pede-se a uma pessoa para retirar ao acaso uma ficha da caixa. Calcule em seu caderno a probabilidade de essa pessoa retirar uma ficha amarela. Total: fichas & n(e) Evento A obter ficha amarela & n(a) P(A) P(A) P(E) Sabe-se que a probabilidade de uma peça produzida em determinada indústria ser defeituosa é %. Qual a probabilidade de que essa peça não tenha defeito? Os eventos correspondentes à peça ter defeito ou não ter defeito são complementares. Assim, a probabilidade de que a peça não apresente defeito é P % % 97%. Escreva em seu caderno os elementos dos espaços amostrais correspondentes aos experimentos aleatórios abaixo, e indique quais são equiprováveis. a) A disputa de uma partida de futebol entre as seleções do Brasil e do Nepal no estádio do Maracanã. Eventos: B Brasil vence; N Nepal vence e X empate. O espaço amostral é E {B; N; X}, experimento não equiprovável dada a superioridade da seleção do Brasil sobre a do Nepal. P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:
b) Retirada de uma bola ao acaso de uma urna que contém oito bolas de mesmo tamanho e peso numeradas de a 8. E {; ; ; ; ; 6; 7; 8}, experimento equiprovável c) Lança-se um dado três vezes seguidas e observa- -se o número de vezes que se obtém o número 6. Lançando um dado vezes seguidas, o número de vezes que pode se obter o número 6 é no mínimo zero e no máximo. Assim, o espaço amostral é E {; ; ; }. Esse espaço amostral não é equiprovável, uma vez que é mais provável, por exemplo, não se obter nenhum 6 do que obter 6 nas vezes. d) O lançamento simultâneo de duas moedas de mesmo valor e registro da face obtida em cada uma. E {(K; K);(K; C);(C; K);(C; C)}, experimento equiprovável onde K cara e C coroa. 6 Durante uma promoção de um shopping center, Tadeu ganhou cupons para concorrer a um car ro e Marcela,. Os cupons foram preenchidos e colocados em uma urna. Sabendo que nessa urna havia cupons e que seria sorteado apenas um, calcule as probabilidades de Tadeu e de Marcela ganhar o carro. Seja P(T) a probabilidade de Tadeu ganhar o carro e P(M) a de Marcela ganhar. P(T),,% P(M),,% 7 Cinco fichas foram colocadas sobre uma mesa, com as letras viradas para baixo. A I O R L Uma pessoa escolheu dessas fichas e colocou-as em determinada sequência, formando uma palavra. Calcule a probabilidade do evento enunciado em cada item. Primeiramente calcula-se o número de agrupamentos de letras que podem ser formados com as fichas. Usando o princípio fundamental da contagem, nota-se que há opções de fichas para a primeira letra, opções para a segunda (excluindo a ficha já usada na primeira letra) e opções para a terceira (excluindo as duas fichas usadas anteriormente). Então o número de agrupamentos possíveis é: n(e) 6. a) A palavra formada ser RIO. A palavra RIO é apenas uma das 6 combinações de letras possíveis usando as fichas, e a probabilidade de obtê-la é então 6. b) A palavra começar pela letra A. O número de palavras de letras que podem ser formadas com as fichas de tal forma que a primeira seja A pode ser obtido pelo princípio fundamental da contagem: há apenas uma possibilidade de ficha para a primeira letra (a ficha A), possibilidades para a segunda letra (pois a ficha A já foi usada) e possibilidades para a terceira letra (excluindo as fichas anteriores). Portanto, o número de palavras de letras que se iniciam com A é: n(a) E a probabilidade de ser obtida uma palavra que começa com A a partir das fichas é: P(A) n(a) n(e) 6 c) A palavra começar com uma vogal. Calculando o número de palavras de letras que se iniciam com uma vogal: Como há vogais, há possibilidades para a primeira letra. Para a segunda letra há possibilidades (excluindo a vogal usada na primeira letra), e para a terceira letra há possibilidades. Então o número de palavras de letras que começam com vogal é: n(vogal) 6 E a probabilidade de ser obtida uma tal palavra a partir das fichas é: P(vogal) n(vogal) 6 n(e) 6 8 A tabela abaixo mostra o time preferido de alunos de uma classe. Equipe Flamengo São Paulo Grêmio Rapazes 7 Moças Escolhendo um aluno ao acaso, determine a probabilidade em cada item. a) O aluno torcer pelo São Paulo. P(SP) n(sp) n(e) b) O aluno torcer pelo Grêmio. P(G) n(g) n(e) 8 c) Ser moça e torcer pelo Flamengo. Moças que torcem pelo flamengo: & n(a) P(A) n(a) n(e) 9 Dois alunos de uma classe formada por moças e rapazes serão sorteados pela professora de Português para ganhar um livro. O primeiro ganhará Dom Casmurro, e o segundo, Memórias Póstumas de Brás Cubas, ambos de Machado de Assis. a) Calcule a probabilidade de que Vitória ganhe o livro Dom Casmurro. A probabilidade de Vitória ganhar o primeiro livro é de, dado ser um sorteio entre os alunos. b) Calcule a probabilidade de que Álvaro ganhe o primeiro livro e de que Paulo ganhe o segundo livro. O número de possibilidades diferentes de sorteio é calculado usando o princípio fundamental da contagem: Para o sorteio do primeiro livro há possibilidades, pois há alunos na sala. Para o sorteio do segundo livro há apenas 9 possibilidades, pois um dos alunos já foi contemplado no primeiro sorteio. Portanto, o número de possibilidades de sorteio é: P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:
n(e) 9 8 O evento correspondente a sortear primeiro Álvaro e depois Paulo é apenas uma das 8 possibilidades, e a probabilidade de que isso ocorra é: P(Álvaro, Paulo) 8 c) Determine a probabilidade de que duas moças sejam sorteadas. Calculando o número de possibilidades diferentes de sorteio de duas moças: para o primeiro sorteio há possibilidades (pois há moças), e para o segundo há 9 possibilidades (excluindo a moça já contemplada no primeiro sorteio). Assim o número de possibilidades de sorteios de duas moças é: PÁGINA n( moças) 9 9 E a probabilidade de que isso ocorra é: n( moças) P( moças) 9 n(e) 8 9 8 Atividades para casa Identifique em seu caderno os experimentos aleatórios. a) Registro do número de pessoas que usaram o metrô de São Paulo em um dia. b) Medição da altura de uma determinada pessoa. c) Contagem do atual número de senadores do Brasil. d) Contagem do número de vezes que o telefone de uma loja toca num dia. e) Contagem do número de pessoas que aprovam a administração do prefeito de uma cidade, dentro de um grupo de moradores escolhidos ao acaso. f) Cálculo da área de um determinado triân gulo. São aleatórios os experimentos dos itens: a); d); e). Os nomes de César, Renata e Bianca são escritos em pedaços de papel, dobrados e colocados em um saco. Em seguida, papéis são retirados ao acaso, e os sorteados ganham um ingresso cada um para ir ao cinema. a) Descreva em seu caderno o espaço amostral correspondente. Como serão sorteados dois nomes o espaço amostral é: E {{César; Renata}; {César; Bianca}; {Renata; Bianca}} b) Esse espaço amostral é equiprovável? Sim, todos têm a mesma chance de serem sorteados. Uma equipe de futebol é composta por 6 jogadores italianos, brasileiros, francês e polonês. Um desses jogadores é sorteado para realizar um exame antidoping. Calcule a probabilidade de que o jogador sorteado tenha a nacionalidade expressa em cada item: n(e), n(i) 6, n(b), n(f), n(p) a) italiana. P(I) n(i) n(e) 6 b) brasileira. P(B) n(b) n(e) c) francesa. P(F) n(f) n(e) d) polonesa. P(P) n(p) n(e) e) alemã. P(A) n(a) n(e) Escolhendo ao acaso um elemento do conjunto {; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9; }, qual é a probabilidade de que seja um número primo? E {; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9; } V n(e) N Evento que satisfaz o n o ser primo: N {; ; 7; 9} Logo n(n) e P(N) n(n) n(e) A seleção brasileira deverá enfrentar, na primeira fase de um torneio, uma seleção europeia, uma asiática e outra africana, definidas por sorteio. As equipes que participam do torneio são dadas a seguir. Itália Japão Camarões Brasil Alemanha China Nigéria Argentina França Coreia Senegal Holanda Irã Marrocos Portugal Síria Calcule a probabilidade de que o Brasil enfrente na primeira fase do torneio cada seleção a seguir. n(e) 6 R Times europeus & n(r) S Times asiáticos & n(s) F Times africanos & n(f) a) França P(França) n(frança) n(r) b) Japão P(Japão) n(japão) n(s) c) Nigéria P(Nigéria) n(nigéria) n(f) d) Argentina P(Argentina) V Evento impossível, pois é país sul-americano P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:
Dentre os números dados a seguir, copie em seu caderno aqueles que podem representar a probabilidade de ocorrência de um evento. 9%,77 / /, Como P ou % P %, os números que podem representar uma probabilidade são: 9%; ;,77; ; 6 Estima-se que a probabilidade de certo tenista vencer seu próximo torneio é de 6%. Com base nessa estimativa, qual é a probabilidade de que outro tenista ganhe esse torneio? P(T) 6% Outro tenista vencer implica: este tenista não vencer & é a probabilidade complementar a T: T P( T ) % P(T) % 6% 7% 7 Dentre os eventos descritos abaixo, encontre um evento impossível e um evento certo. a) Obtenção de um número divisível por no lançamento de um dado comum. Evento impossível, pois o espaço amostral é E {; ; ; ; ; 6} e nenhum desses números é divisível por. b) Conseguir pelo menos uma face cara no lançamento de moedas comuns. É possível, porém não é certo. c) Lançando-se dados comuns, obter a soma dos pontos maior ou igual a. Evento certo, pois o menor resultado de cada um dos dados é. Logo, a soma será, com certeza, maior ou igual a. 8 Para cada experimento descrito, escreva o espaço amostral correspondente, indicando se ele é equiprovável. a) Lançar uma moeda comum e observar a face obtida. E {K; C}, equiprovável (K cara e C coroa). b) Na disputa de partidas de futebol entre Brasil e Argentina, registrar o número de vitórias obtidas pelo Brasil. O menor número de vitórias é zero, e o maior,. Assim, E {; ; ; ; }, não equiprovável. c) Observar a cor de uma das faces dos quadrados pequenos da figura ao lado, escolhido ao acaso. AM AZ V V AM AZ AZ V AM E {amarela; azul; vermelha}. Como todas as cores aparecem o mesmo número de vezes na figura, o espaço amostral é equiprovável. d) Sortear um número inteiro de a e verificar se ele é ou não múltiplo de. E {mult. de ; não mult. de }. Não é equiprovável, pois a quantidade de números que são múltiplos de é diferente da de números que não são múltiplos de. e) Verificar se uma letra do alfabeto brasileiro, escolhida ao acaso, é vogal ou consoan te. E {consoante; vogal}. Não equiprovável, pois a quantidade de consoantes não é a mesma que a quantidade de vogais. f) Observar a região a que pertence um estado brasileiro escolhido ao acaso. E {Norte; Nordeste; Centro-Oeste; Sudeste; Sul}. Não equiprovável, pois não há um mesmo número de estados em cada região. 9 Escolhe-se ao acaso um dos polígonos desenhados abaixo. Qual a probabilidade de que a soma dos ângulos internos do polígono escolhido seja igual a 6? O polígono que tem a soma dos ângulos internos igual a 6º é um quadrilátero. Como das 6 figuras são quadriláteros, tem-se P(Q) = 6 PÁGINA Atividades para casa Uma moeda é lançada vezes, sendo registrado o número de vezes em que foi obtida a face cara. a) Escreva o espaço amostral correspondente a esse evento. Lançando a moeda duas vezes, o menor número de vezes em que se pode obter o resultado cara é zero, e o maior é. Assim, E {; ; }. b) Dê um exemplo de evento desse espaço amostral que seja impossível. Obter caras. c) Dê um exemplo de evento desse espaço amostral que seja certo. Obter menos de caras. Considere que a probabilidade de que o tenista A vença uma partida contra o tenista B é igual a. Com base nessa informação, classifique em seu caderno cada afirmação dada como sendo ou não verdadeira e justifique as falsas. a) Se os tenistas A e B disputarem 6 partidas, então o tenista A vencerá exatamente duas. F. Não há nenhum argumento que leve a essa afirmação. P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9:
b) Se o tenista A vencer uma partida contra o tenista B, então ele certamente perderá as próximas partidas. F. O fato de o tenista A vencer ou perder uma partida não dá nenhuma certeza ou garantia sobre o resultado de nenhuma partida posterior. c) É possível que o tenista A vença partidas seguidas contra o tenista B. V. Sim, é possível. Porém não há certeza alguma. d) A probabilidade de o tenista B vencer uma partida contra o tenista A é maior que 6%. V. A probabilidade de que o tenista B vença o tenista A é t,666... 66,6%, sendo portanto maior que 6%. Uma transportadora comunicou a um de seus clientes que sua encomenda chegaria na próxima semana, no máximo até sexta-feira, e enviou a tabela abaixo indicando as probabilidades de esse cliente receber a mercadoria em cada dia. Dia a a a a 6 a Probabilidade % % % % A probabilidade de que a encomenda chegue na sexta-feira saiu ilegível no fax. Com base nos outros dados, calcule esse valor. A probabilidade de a encomenda chegar precisamente na sexta-feira é complementar à probabilidade de chegar no intervalo de segunda até quinta-feira, uma vez que foi garantido que ela chegará durante a semana. Então a probabilidade de chegar na sexta é: P % % % % % % Um dado comum não-viciado é lançado vezes. Calcule em seu caderno a probabilidade do evento enunciado em cada item. Número de possibilidades de resultados usando dados: n(e) 6 6 a) Os números obtidos serem iguais. A {(; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (6; 6)} & & n(a) 6 P(A) n(a) n(e) 6 6 6 b) Os números obtidos serem diferentes. B A e A é o evento do item a). P A P(E) P(A) 6 6 c) A soma dos números obtidos ser igual a 6. C {(; ); (; ); (; ); (; ); (; )} & n(c) P(C) n(c) n(e) 6 d) O produto dos números obtidos ser um número par. P {(; ); (; ); (; 6); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; 6); (; ); (; ); (; 6); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; 6); (; ); (; ); (; 6); (6; ); (6; ); (6; ); (6; ); (6; ); (6; 6)} P é o evento que satisfaz a condição o produto dos números obtidos é par, n(p) 7. P(P) = n(p) n(e) 7 6 Outra maneira de resolver o item d): Sendo P o evento o produto dos números obtidos é par, então P é o evento o produto dos números obtidos não é par, ou seja, o produto dos números obtidos é ímpar. Assim, P {(; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; )}; n( P ) 9 Como n(e) n(p) n( P ) tem-se: 6 n(p) 9 V n(p) 7 V P(P) 7 6 e) O primeiro número obtido ser maior do que o segundo. Seja M o evento o o numero é maior que o o : M {(6; ); (6; ); (6; ); (6; ); (6; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; )} V n(m) Logo: P(M) n(m) n(e) 6 f) Ser obtido um número maior do que em pelo menos um dos lançamentos. Seja Q o evento obter um número maior que em pelo menos um dos lançamentos Q {(; ); (; 6); (; ); (; 6); (; ); (; 6); (; ); (; 6); (; ); (; ); (; ); (; ); (; ); (; 6); (6; ); (6; ); (6; ); (6; ); (6; ); (6; 6)} V n(q) Logo P(Q) n(q) n(e) 6 9 A figura mostra a janela lateral de cada um dos apartamentos de um edifício recém-construído. Os apartamentos cujas janelas foram destacadas em amarelo já estão ocupados. Considere que cada apartamento vago tenha a mesma probabilidade de ser o próximo a ser ocupado. Há 8 apartamentos vagos V n(e) 8 a) Qual a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja do primeiro andar? No o andar há um apartamento vago V n( o ) V P( o ) n(o ) n(e) 8 b) Qual a probabilidade de que o próximo apartamento a ser ocupado seja do segundo andar? No o andar há dois apartamentos vagos V V n( o ) V P( o ) P( o ) n(o ) n(e) 8 P_YY_M9_RA_C8_A6.indd 9..8 :9: