Regras de Primitivação: Aula # 1- Primitivas Imediatas Função Regra Exemplo Constante kdx = kx + c 3dx = 3x + c Potência de x ax n dx = axn+1 + c n+1 5x 2 dx = 5x3 + c 3 Potência de Função f f n dx = f n+1 + c n+1 6x(3x 2 7) 6 dx = (3x2 7) 7 + c 7 Exponencial f a f dx = af + c ln(a) 3 4 3x dx = 43x + c ln(4) Logaritmo f dx = ln f + c 8x 3 dx = f 2x 4 +6 ln 2x4 + 6 + c Exercícios: Calcule as primitivas das seguintes funções 1. x 5 4 6x2 + 4 x 3 + 5dx 2. 2x 5 e 3x6 6 dx 3. tg(x)dx 4. x 2 2x 3 + 9dx 1
Aula # 2- Vetor Gradiente e Derivada Direcional Definição: Seja f uma função de domínio D R n para R. Chama-se vetor gradiente de f no ponto P 0 D a: f(p 0 ) = ( df (P 0 ), df ) df (P 0 ),..., (P 0 ) dx 1 dx 2 dx n sendo que df dx i (P 0 ) é a derivada parcial em relação à variável x i de f; Chama-se derivada direcional de f no ponto P 0 em relação ao vetor unitário u ao limite: f u (P 0 ) = lim t 0 f(p 0 + t u) f(p 0 ) t Obs.: Caso u não seja unitário, para obter a derivada direcional com a direção de u é necessário considerar o versor de u. Que se obtém dividindo u pela sua norma, isto é: vers( u) = u u Teorema: Seja f uma função de domínio D R n para R, diferenciável no ponto P 0 D e u um vetor unitário em R n. Então: f u (P 0 ) = f(p 0 ), u tal que, v, w representa o produto escalar entre v e w. Exercício: Seja f uma função de domínio R 3 tal que: f(x, y, z) = y 2 z xz 2 xyz Calcule a derivada direcional no ponto P 0 = (0, 1, 1) com a direção do vetor u = 2 e 1 2 e 2 e 3. 2
Aula # 3- Inversa de uma Matriz pelo Método de Gauss-Jordan A I n I n A 1 Processo: 1. Para obter a matriz inversa A 1 de uma matriz quadrada A de ordem n, é necessário construir a matriz prolongada n 2n, que contém a matriz A (à esquerda) juntamente com a matriz identidade I de ordem n (à direita); 2. Através de operações elementares nas linhas da matriz prolongada anulam-se todos os elementos abaixo da diagonal principal de A, começando na primeira coluna. Nesta fase é aconselhável transformar os elementos da diagonal principal, de modo a serem iguais a 1; 3. Repete-se o processo para os elementos acima da diagonal principal de A começando pela última coluna. No final desta fase, a matriz prolongada deve ter a matriz identidade à esquerda e a inversa de A à direita. Lista de Operações Elementares: Troca de linhas (ou colunas); Multiplicação de uma linha (ou coluna) por um escalar; Soma a uma linha (ou coluna) de outra multiplicada por um escalar. Exercício: Calcule a matriz inversa de A = 1 2 3 2 5 3 1 0 8 3
Aula # 4- Probabilidades na Distribuição Normal Cálculo de probabilidades com o recurso à tabela da distribuição normal Z = N(0, 1): Consideremos a um valor real positivo, b e c quaisquer valores reais: 1. P (Z a) para calcular este tipo de probabilidades basta ir directamente à tabela, tal que, na primeira coluna obtem-se a casa das unidades e a decimal de a e na primeira linha obtem-se a casa das centésimas; 2. P (Z a) = 1 P (Z a) pelo acontecimento contrário, depois é só obter o valor na tabela; 3. P (Z a) = P (Z a) por simetria em torno da origem; 4. P (Z a) = 1 P (Z a) = 1 P (Z a) por contrário e simetria respectivamente; 5. P (b Z c) = P (Z c) P (Z b) e depois basta utilizar uma das abordagens anteriores. Para o cálculo de probabilidades de uma distribuição normal X = N(µ, σ) recorre-se também à tabela de Z uma vez que X µ σ Desta feita basta subtrair à expressão de probabilidade µ e dividir por σ e passa-se ao cálculo de probabilidade com Z: = Z P (a X b) = P ( a µ σ X µ σ b µ ) ( a µ = P σ σ Z b µ ) σ 4
Aula # 4- Probabilidades na Distribuição Normal Exercícios: Sejam Z e X variáveis aleatórias com distribuições normais N(0, 1) e N(4, 5) respetivamente. Cálcule as probabilidades: 1. P (Z 1.28) 2. P (Z > 2.46) 3. P (Z 0.29) 4. P (Z < 2.78) 5. P ( 1.44 < Z 0.35) 6. P (2.8 X 3.75) 5
Aula # 5- Introdução ao SPSS Variáveis Qualitativas Quantitativas Nominal Ordinal Intervalar Razão 6
Aula #6- Primitiva por Partes Fórmula: Sejam f e g funções reais de variável real, tais que F é a primitiva de f, então: f(x) g(x)dx = F (x) g(x) F (x) g (x)dx Exercícios: Calcule as primitivas das seguintes funções: 1.f 1 (x) = x e x 2. f 2 (x) = ln(x) 3. f 3 (x) = (2x 1) cos(3x) 7
Aula #7- Teorema da Probabilidade Total e Regra de Bayes Sejam A 1, A 2,... A n acontecimentos numa determinada experiência aleatória, disjuntos dois a dois, isto é, A i A j = para todo i j. E cuja reunião é o espaço amostral, ou seja, A 1 A 2... A n = Ω. Então para qualquer acontecimento B Ω: Teorema da Probabilidade Total: P (B) = P (B A 1 ) P (A 1 ) + P (B A 2 ) P (A 2 ) +... + P (B A n ) P (A n ) Regra de Bayes: P (A i B) = P (B A i ) P (A i ) P (B A 1 ) P (A 1 ) + P (B A 2 ) P (A 2 ) +... + P (B A n ) P (A n ) Exercício: Numa fábrica existem três máquinas que produzem o mesmo tipo de peças A, B e C. Cada uma produz respetivamente 45%, 35% e 20% desses peças. Para a máquina A a probabilidade da peça sair com um defeito é de 5%, para a B é 8% e para a C é 12%. Escolhida uma peça ao acaso, determine a probabilidade de: a) Ter defeito; b) Ter sido produzida na máquina C sendo que tem defeito. 8
Seja A uma matriz n n: Se Aula #8- Determinantes A = [ a ] Então o determinante da matriz é A = a; Se [ ] a b A = c d Então o determinante da matriz é A = ad bc; Se A = a b c d e f g h i Então o determinante da matriz é A = aei + bfg + cdh (ceg + bdi + afh). Exercício: Determine os determinantes das matrizes: 1. A = [ 6 ] 2. A = [ 2 5 4 3 ] 3. A = 1 6 0 3 7 3 0 4 9 9
Aula #9- Regra de L Hôpital ou Cauchy Sejam f e g funções reais de variável real diferenciáveis. f(x) lim x a g(x) é uma indeterminação do tipo 0 0 ou. Então f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Exercício: limites: Recorrendo à regra de L Hôpital (ou Cauchy) determine os seguintes 1. lim x 2 e 3x 6 1 ln(2x 3) 2. lim x 7x 2 4x + 6 2x 2 + 5x 9 3. 4x 5 8x 3 lim x 0 sin(x) x 10
Aula #10- Séries Geométricas Definição: Sejam k IN 0, a IR\{0} e r IR + chama-se série geométrica à expressão n=k a r n Critérios de Convergência: Dada uma série geométrica, sabe-se que esta: Diverge se r 1; Converge se r < 1, e a soma de todos os seus termos é: ar k 1 r Exercício: Classifique as seguintes séries quanto à sua convergência e calcule a soma dos seus termos em caso de convergência: 1. n=3 ( 2 n 7 5) 2. n=0 2 en+1 3 n+2 3. n=1 3 n 2 + 4 n 7 n+1 11
Aula #11- Primitiva de Funções Racionais Consideremos f uma função racional com expressão: f(x) = p(x) (x a) n (x b) m tal que a, b são números reais; n, m são números naturais e p(x) é um polinómio de grau menor que n + m. Então f(x) = A 1 (x a) n + A 2 (x a) n 1 + + A n (x a) + B 1 (x b) m + B 2 (x b) m 1 + + B m (x b) tal que A 1, A 2... A n, B 1, B 2... B m são números reais. Exercício: Calcule a primitiva de cada uma das funções racionais: 1. f 1 (x) = x + 2 (x 1) 2 2. f 2 (x) = 3x x 2 5x + 6 3. f 3 (x) = 2x4 7x 3 4x 2 + 3 x 3 4x 2 12
Aula #12- Regra de Cramer Consideremos o sistema Ax = b tal que A é uma matriz de ordem n, b uma matriz n 1 (matriz coluna) e x = [x 1, x 2... x n ] T. Se A for uma matriz invertível então: x i = det(a i) det(a) tal que a matriz A i se obtém substituíndo a coluna i da matriz A por b. Exercício: Utilizando a Regra de Cramer resolva o seguinte sistema: x + y z = 8 2y + z = 2 3x 2z = 5 13
Aula #13- Intervalo de Confiança para a Média Consideremos uma amostra com n elementos obtida a partir de uma variável normal X de média µ e desvio padrão σ, ou seja, X N(µ, σ). O intervalo de confiança (1 α) 100% para a média é: a) µ ] x z α 2 σ n, x + z α 2 [ σ n se a variância σ 2 for conhecida; b) µ ] x t α 2,n 1 s n, x + t α 2,n 1 [ s n se a variância σ 2 for desconhecida e n < 30; c) µ ] x z α 2 s n, x + z α 2 [ s n α se a variância σ 2 for desconhecida e n 30; tal que: x é a média da amostra; s é o desvio padrão da amostra; z α é o valor da tabela de Z N(0, 1) cuja probabilidade é α. 2 2 Valores habituais de z α : 2 Confiança z α 2 90% 1.645 95% 1.96 99% 2.575 t α 2,n 1 é o valor da tabela T de Student com n 1 graus de liberdade e probabilidade 2. Exercício: Construa um intervalo de confiança 95% para a média: 1. numa amostra com 125 elementos, de média 13.4 obtida a partir de uma variável normal de variância 24; 2. numa amostra com 23 elementos de média 7.8 e variância 31.6; 3. numa amostra com 59 elementos de média 42 e desvio padrão 26. 14
Aula #14- Estatística Descritiva com o SPSS Gráficos Para variáveis nominais e ordinais recorre-se ao gráfico de barras e gráfico circular; Para variáveis quantitativas utiliza-se o histograma. Medidas Descritivas Para variáveis nominais a medida utilizada é a moda; Para variáveis ordinais as medida utilizadas são moda, mediana e quartis; Para variáveis quantitativas as medida utilizadas são moda, mediana, quartis, média, variância, desvio padrão, média aparada... 15
Aula #15- Primitivas de Funções Trigonométricas Função Regra Exemplo Cosseno f cos(f)dx = sin(f) + c 3 cos(3x)dx = sin(3x) + c Seno f sin(f)dx = cos(f) + c 14x sin(7x 2 + 8)dx = cos(7x 2 + 8) + c Recorrendo às propriedades das funções trigonométricas e às suas primitivas imediatas, calcule as primitivas das seguintes funções: 1. cos 2 (x)dx 2. sin 3 (x)dx 3. cos 2 (x) sin 2 (x)dx 4. cos(3x) sin(2x)dx 16
Aula #16- Inversa de uma Matriz através da Matriz Adjunta Definição: Seja A uma matriz de ordem n: Representamos por A ij à matriz de ordem n 1 que se obtém a partir de A eliminando a linha i e a coluna j; Chamamos ajdunta adj(a) da matriz A à matriz de ordem n tal que adj(a) = [b ij ] T sendo b ij = ( 1) i+j A ij ; Teorema: Consideremos uma matriz A de ordem n invertível. Então Exercício: Calcule a matriz inversa de A 1 = adj(a) A A = 1 2 3 2 5 3 1 0 8 17
Aula # 17- Valores Próprios Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n: Chamamos valor próprio de A às soluções λ da equação: det(a λi) = 0 tal que I é a matriz identidade de ordem n; Ao polinómio det(a λi) chama-se polinómio característico; À multiplicidade de um valor próprio do polinómio característico é dita multiplicidade algébrica. Exercício: Determine os valores próprios e respetivas multiplicidades algébricas da matriz: A = 2 1 1 2 3 2 3 3 4 18
Aula # 18- Primitivas por Substituição Regra: Seja f uma função real de variável real, então f(x)dx = f (ϕ(t)) ϕ (t)dt tal que x = ϕ(t) A função real de variável real ϕ é invertível. Exercícios: Através do método de substituição calcule as primitivas das seguintes funções: 1. 1 e 2x +e x dx 2. 1 x2 dx 19
Aula # 19- Determinantes através do Método de Laplace Definição: Seja A uma matriz de ordem n, representamos por A ij à matriz de ordem n 1 que se obtém a partir de A eliminando a linha i e a coluna j; Teorema: Consideremos uma matriz A de ordem n. Então n A = ( 1) i+j a ij A ij i=1 sendo j um valor entre 1 e n ou então n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 sendo i um valor entre 1 e n Exercício: Utilizando o método de Laplace, obtenha o determinante da matriz: A = 2 1 0 1 0 3 2 0 3 0 4 2 1 5 0 2 20
Aula # 20- Teorema Fundamental do Cálculo Teorema: Seja f uma função real de variável real contínua em [a, b] e F a função definida em [a, b] por Então F (x) = f(x). F (x) = x a f(t)dt Corolário: Seja f uma função real de variável real contínua em [a, b] e F a primitiva de f então b a f(x)dx = F (b) F (a) Exercício: Determine os seguintes integrais recorrendo ao teorema fundamental do cálculo: 1. 5 2x 3 4dx 2 2. π 2cos 2 (x)dx π 6 3. 8 ln(x)dx 5 21
Aula # 21- Teste para a Média Passos para a resolução de um teste para a média 1. Identificação das Hipóteses Teste Hipótese Nula Hipótese Alternativa Bilateral H o : µ = µ o H o : µ µ o Uniteral à Direita H o : µ = µ o H o : µ > µ o Uniteral à Esquerda H o : µ = µ o H o : µ < µ o 2. Escolha da Estatística de Teste Variância Tamanho da Amostra Estatística Conhecida Qualquer n X n µ N(0.1) σ Desconhecida n 30 n X n µ T s n 1 Desconhecida n > 30 n X n µ N(0, 1) s 3. Construção da Região Crítica (ou Zona de Rejeição) Teste Região Crítica Bilateral ], c α/2 [ ]c α/2, + [ Uniteral à Direita ]c α, + [ Uniteral à Esquerda ], c α [ sendo α o nível de significância e o valor de c obtido a partir da tabela adequada. 4. Cálculo da Estatística de Teste e Conclusões Caso a estatística de teste pertença à região crítica rejeita-se H o e caso não pertença aceita-se H o. Valores Utilizados Símbolo Valor µ média da população µ o média a testar X n média da amostra σ desvio padrão da população s desvio padrão da amostra n número de elementos da amostra Exercício: Num estudo efetuado, um cientista afirma que em média uma espécie de inseto vive mais que 72 horas. Para confirmar a sua hipótese o cientista recolheu uma amostra de 25 insetos que viveram em média 73.5 horas com variância 9 horas. Teste com nível de significância 5% a afirmação do cientista. 22
Hipóteses do Teste Aula # 22- Teste para a Média com o SPSS Hipótese Nula: H o : µ = µ o ; Hipótese Alternativa: H 1 : µ µ o ; Parâmetros da Tabela de Resultados Símbolo t df Sig. Mean Difference lower upper Interpretação do p-valor Valor estatística de teste graus de liberdade p-valor do teste diferença entre a média da amostra e o valor a testar valor inferior do intervalo de confiança valor superior do intervalo de confiança Se o nível de significância α for maior que o p-valor rejeita-se H o ; Se o nível de significância α for menor que o p-valor aceita-se H o ; 23
Aula # 23- Volumes de Sólidos de Rotação em Torno de Eixos Teorema: Consideremos f e g funções reais de variável real continuas no intervalo [a, b] tais que f(x) g(x), x [a, b]. O volume V do sólido de rotação em torno do eixo dos xx das funções f e g no intervalo [a, b] é dado por: Exercício: b V = π f 2 (x) g 2 (x)dx a a) Mostre que um cilindro de raio r e altura h tem volume V = πr 2 h; b) Calcule o volume do sólido de rotação da área compreendida entre as funções f(x) = x e g(x) = x 2. 24
Aula # 24- Coordenadas Polares no Cálculo Integral As coordenadas polares permitem localizar as coordenadas de um ponto (x, y) no plano (ou (x, y, z) no espaço) em função de r e θ (ou r, θ e z no espaço). A incógnita r corresponde à distância do ponto à origem e θ é o ângulo que o ponto faz com o semi-eixo positivo dos xx. Logo, ( ) y r = x 2 + y 2 e θ = tg 1 x Ou seja, x = r cos(θ) e y = r sin(θ) Integral no Plano: Consideremos f uma função definida em IR 2 primitivável numa região do plano R então: f(x, y) dy dx = f(r cos(θ), r sin(θ)) rdθ dr R R sendo R a região R em coordenadas polares. Integral no Espaço: Consideremos f uma função definida em IR 3 primitivável numa região no espaço R então: f(x, y, z) dz dy dx = f(r cos(θ), r sin(θ), z) rdθ dr dz R R sendo R a região R em coordenadas polares. Observação: O valor de r a multiplicar no integral corresponde ao determinante da matriz Jacobiana relacionada com a mudança de coordenadas. Exercício: Considere a região R definida em IR 2 limitada pela circunferência centrada na origem de raio 4 e contida no primeiro e segundo quadrante. Calcule: R ( x 2 + y 2 ) 3 dy dx 25
Aula # 25- Vetores Linearmente Independentes Definição: Sejam u 1, u 2,..., u n vetores de um espaço vetorial V e α 1, α 2,..., α n escalares: Ao vetor v definido por: v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n chama-se combinação linear dos vetores u 1, u 2,..., u n. Os vetores u 1, u 2,..., u n são ditos linearmente dependentes se existir (pelo menos) um vetor u k que seja igual a uma combinação linear dos restantes. Caso esse vetor não exista então u 1, u 2,..., u n são ditos linearmente independentes. Teorema: Os vetores u 1, u 2,..., u n de um espaço vetorial V são linearemente independentes se e só se existir uma única combinação linear do vetor nulo nesses vetores (com todos os escalares nulos). Ou seja, 0 = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n α 1 = α 2 = = α n = 0 Exercício: Verifique se são linearmente independentes os conjuntos de vetores do espaço vetorial definido em IR 3 1. u 1 = (1, 2, 0); u 2 = ( 2, 1, 3); u 3 = ( 1, 3, 1) 2. v 1 = (1, 1, 0); v 2 = ( 1, 0, 2); v 3 = ( 1, 2, 6) 26
Aula # 26- Subespaços Vetoriais se Definição: Um subconjunto F de um espaço vetorial V é dito subespaço vetorial 1. u, v F u + v F 2. u F α u F tal que α é um escalar. Observação: Qualquer subespaço vetorial contém o vetor nulo. Exercício: Verifique se são subespaços vetoriais os seguintes subconjuntos de IR 3 1. F 1 = {(x, y, z) IR 3 : x + y = 0 z = 1} 2. F 2 = {(x, y, z) IR 3 : x + y + z = 0} 27
Aula # 27- Teste de Independência Objetivo: Pretende-se averiguar se duas variáveis qualitativas nominais com n e m categorias são ou não independentes. Passos para a resolução do teste 1. Identificação das Hipóteses Hipótese Nula H o : As variáveis são independentes; Hipótese Alternativa H 1 : As variáveis são dependentes; 2. Cálculo da Estatística de Teste Q = n i=1 j=1 ( m (Oij E ij ) 2 ) Sendo que E ij = L i C j N. 3. Construção da Região Crítica (ou Zona de Rejeição) E ij Região Crítica = ]c α, + [ sendo α o nível de significância e o valor de c α obtido a partir da tabela de Quiquadrado com (n 1) (m 1) graus de liberdade. 4. Cálculo da Estatística de Teste e Conclusões Caso a estatística de teste pertença à região crítica rejeita-se H o e caso não pertença aceita-se H o. Pressupostos do Teste: Não devem existir valores esperados inferiores e 1 e a percentagem de valores esperados inferiores a 5 deve ser menor que 20%. Caso algum dos pressupostos não se verifique será necessário juntar linhas (ou colunas) da amostra. Valores Utilizados Símbolo N L i C j O ij E ij Valor total de elementos da amostra total de elementos da linha i total de elementos da coluna j valor observado na linha i e coluna j valor esperado na linha i e coluna j Exercício: Averigue com nível de significância 0.05 se as variáveis zona de residência e meio de transporte são independentes: Carro Autocarro A pé Centro 30 10 60 Periferia 50 40 20 Longe da Cidade 80 40 10 28
Aula # 28- Série de Mengoli Definição: Chamamos série de Mengoli à série: S = n=1 v n v n+p tal que v n é uma sucessão e p um número natural. Teorema: Uma série de Mengoli é convergente se v n for uma sucessão convergente e nesse caso a série converge para: v 1 + v 2 + + v p p lim v n Exercícios: Determine se são convergentes as seguintes séries e em caso afirmativo determine o seu limite: 1. S = + n=1 4 2n+1 4 2n+3 2. S = + n=1 ln ( ) n n+1 3. S = + n=2 1 (n+1) 2 4 29
Aula # 29- Série de Taylor Desenvolvimento em Série de Taylor: Seja f uma função real de variável real diferenciável de ordem n + 1 num intervalo I contendo um valor a. Então para cada x em I existe um valor c entre x e a, tal que: f(x) = f(a) + f (a)(x a) 1! + f (a)(x a) 2 2! sendo o resto R n (f, a)(x) = f (n+1) (c)(x a) n+1 (n+1)!. Ao polinómio + + f (n) (a)(x a) n n! + R n (f, a)(x) P n (f, a)(x) = f(a) + f (a)(x a) 1! chamamos polinómio de Taylor de ordem n. + f (a)(x a) 2 2! Caso a = 0 o polinómio é dito de Maclaurin. + + f (n) (a)(x a) n n! Exercícios: Determine o desenvolvimento em série de Taylor de ordem 5 das funções: 1. f(x) = e x para a = 3. 2. f(x) = sin(x) para a = 0 (Maclaurin). 30
Aula # 30- Derivada da Função Implícita Definição: Diz-se que F (x, y) = 0 define implicitamente y em função de x se existe uma função real de variável real f tal que y = f(x) e F (x, f(x)) = 0 para todo x pertencente ao domínio de f. Teorema: Seja F uma função definida numa região de IR 2 contendo a bola aberta B r (a, b). Se: F (a, b) = 0, df df (x, y) e (x, y) são contínuas em B dx dy r(a, b), df (a, b) 0, dy então F (x, y) = 0 define implicitamente y em função de x num aberto A contido em B r (a, b). E a derivada de y em função de x é dada por: para (x, y) A. df dy dx (x) = (x, y) dx (x, y) df dy Exercício: Mostre que a equação xy +sen(xy) = 0 define implicitamente y em função de x para uma vizinhança de (1, 0). Calcule dy dx. 31
Aula # 31- Limite de Funções em IR 2 Definição: Seja f uma função definida de IR 2 em IR. Diz-se que o limite de f no ponto (a, b) é l se: δ > 0 ε > 0 : (x a) 2 + (y b) 2 < ε (x, y) (a, b) f(x, y) l < δ e representa-se por lim f(x, y) = l. (x,y) (a,b) Observação: Se o limite de f no ponto (a, b) é l então: lim x a lim y b f(x, y) = l lim y b São os chamados limites iterados. E: lim f(x, y) = l. (x,y) (a,b) y=mx+k Sendo y = mx + k uma reta que passa por (a, b). Exercício: Calcule, se existirem, os seguintes limites: x 2 y 2 a) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 lim f(x, y) = l x a 2xy b) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 4xy 2 c) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 32
Aula # 32- Critério do Integral para Séries Definição: Seja a n uma sucessão de termos reais. À soma infinita a n n=1 chamamos série associada a a n. Se a soma infinita tender para um valor real S a série é dita convergente. Caso contrário, é dita divergente. Teorema: Seja a n uma sucessão de termos positivos e f uma função não negativa, decrescente de domínio [1, + [. Se f(n) = a n então a série + n=1 a n e o integral + 1 f(x)dx têm a mesma natureza. Isto é, se o integral converge a série também, e se o integral diverge o mesmo acontece com a série. Exercício: Estude a convergência das seguintes séries recorrendo ao critério do integral. a) n=1 1 n 3 b) n=1 4 n c) n=1 1 n Série de Dirichlet: a série n=1 1 n α é convergente caso α > 1 e divergente se α 1. 33
Aula # 33- Critérios da Comparação para Séries Teorema: Sejam a n e b n sucessões de termos não negativos. Se: a n b n n IN e + n=1 a n diverge então + n=1 b n também; a n b n n IN e + n=1 b n converge então + n=1 a n também; lim a n bn = l IR + então as séries + n=1 a n e + n=1 b n têm a mesma natureza; lim a n bn = + e + n=1 b n diverge então + n=1 a n também. Caso + n=1 a n converge então + n=1 b n também. lim a n bn = 0 e + n=1 b n converge então + n=1 a n também. Caso + n=1 a n diverge então n=1 b n também. + Exercício: Estude a convergência das seguintes séries recorrendo aos critérios da comparação a) n=1 1 2n 3 + 4 b) n=1 4 2 n + 6 c) n=1 3n + 5 4n 2 + 1 d) n=1 2n 4 + 5n 2 8 + 2n 7 34
Aula # 34- Critérios de D Alembert para Séries Teorema: Sejam a n uma sucessão de termos não negativos e Se: l > 1 a série + n=1 a n diverge; l < 1 a série + n=1 a n converge; l = lim a n+1 a n. l = 1 nada se pode concluir acerca da série + n=1 a n. Exercício: Estude a convergência das seguintes séries recorrendo ao critério de D Alembert a) n=1 3 n n! b) n=1 n! n n c) n=1 2(n!) 2 (3n)! 35
Aula # 35- Critérios da Raíz para Séries Teorema: Sejam a n uma sucessão de termos não negativos e Se: l > 1 a série + n=1 a n diverge; l < 1 a série + n=1 a n converge; l = lim n a n. l = 1 nada se pode concluir acerca da série + n=1 a n. Exercício: Estude a convergência das seguintes séries recorrendo ao critério da raíz a) n=1 ( n 3 ) n b) n=1 7 2n n n c) n=1 ( 5n 2 + n ) n n 5 + 3n + 4 36