PNV-31 TERMODINÂMICA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSMISSÃO DE CALOR 1) INTRODUÇÃO Sempre que há um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou quando há contato de dois sistemas com temperaturas diferentes há um processo de transferência de energia. O processo através do qual a energia é transferida é conhecido como transferência de calor. O estudo da transmissão de calor está relacionado com a termodinâmica na medida em que a primeira e a segunda lei não podem se feridas. A primeira lei é aplicada para garantir a conservação da energia e a segunda lei para estabelecer o sentido do fluxo de calor. Convencionalmente o estudo da transferência de calor é efetuado admitindo-se três mecanismos de transmissão: condução convecção radiação MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR.1 CONDUÇÃO Transferência de calor por condução é a transferência de energia através de uma substância, sólido ou fluido, como resultado da presença de um gradiente de temperatura dentro da substância. No estado atual do conhecimento atribui-se a condução a três fenômenos: a) interação molecular b) deslocamento de elétrons livres; e c) radiação intermolecular Para obter a taxa de transferência de calor por condução será utilizada a lei de Fourier que é dada por: q = ka dt (1) dx onde k é a condutibilidade térmica A é a área T a temperatura x é a direção do escoamento do calor O sinal (-) é conseqüência da segunda lei que exige que a direção do fluxo de calor seja do ponto de maior para menor temperatura.
Exemplos de condutibilidade de alguns materiais: Material Condutibilidade térmica (W/mK) Cobre 399,0 Alumínio 37,0 Água 0,6 Ar 0.06 Vidro 0.81 Convém observar que no interior de uma substância o calor pode fluir em várias direções. Se for adotado um sistema de coordenadas cartesianas, o calor pode fluir em três direções e poderia, em princípio, ter um valor de condutibilidade térmica para cada direção. Se a condutibilidade térmica for igual em todas as direções a substância é dita isotrópica..1.1 EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR Considere um volume elementar de área transversal A e comprimento dx, conforme mostrado na Fig.1, onde há transferência de calor em x e x+dx e com uma taxa de geração interna de calor. O primeiro princípio a termodinâmica estabelece que: + ka T + q A x = ka T + A xc T ( x x, t ) & ρ g x x t x x+ x () Dividindo a equação () por A x obtemos: ( T x) ( T x) + k x x x x q c T ( x x, & t ) g ρ + + = t Fig. 1 Volume de Controle Condução Unidirecional em coordenadas retangulares
Efetuando x 0 pode-se obter T k q c T g ρ x + = t & (3) Fisicamente, o primeiro termo do lado esquerdo da equação (3) representa a taxa líquida de condução de calor no volume de controle por unidade de volume e o segundo termo é a taxa de geração de energia por unidade de volume dentro do volume de controle. O termo do lado direito da equação (3) representa a taxa de aumento de energia interna dentro do volume de controle por unidade de volume. Se considerarmos o fluxo de calor nas três direções e admitindo o corpo como sendo isotrópico obtemos: T x T T q& g 1 T + + + = y z k α t (4) onde α = k ρ c é a difusibilidade térmica.1. Casos particulares da equação (4) a) Regime permanente T x T T q& g + + + = y z k 0 (5) b) Regime permanente e sem geração interna de energia T x T T + + = 0 (6) y z A equação (6) é conhecida como equação de Laplace e, normalmente, é expressa utilizando-se o operador de Laplace que tem o símbolo, isto é: T = 0 (7) A vantagem desta notação é que ela pode ser aplicada em qualquer sistema de coordenadas. Utilizando o operador de Laplace, a equação geral de condução de calor é dada por: & g q 1 T T + = k α t (8)
A forma diferencial do Laplaciano depende do sistema de coordenadas adotado. Para coordenadas cilíndricas, como mostrado na Fig., a equação (8) pode ser escrita como: 1 1 r r r T T T q& g 1 T + + + = r r φ z k α t (9) Fig. Sistema de coordenadas cilíndricas.1.3 Exemplos de condução de calor em regime permanente para geometrias simples a) Escoamento uniforme em uma parede (área infinita) sem geração de calor interno. Seja uma parede de espessura L com condutibilidade térmica k. A equação (4) neste caso é escrita como: dt = 0 (10) dx Integrando esta equação obtém-se que a temperatura é dada por: T( x)= c1x + c (11) Admitindo que T T T( x)= ( ) 0 1 T x+ T L 1 = T e T L T ( )= tem-se: 1 (1) Substituindo a equação (1) em (1) obtém-se que a taxa de transferência de calor é dada por:
q ka T = T = L 1 T LkA (13) O termo LkA é denominado de resistência térmica por analogia com os sistemas elétricos onde a diferença de tensão é representado pela diferença de temperatura. R L = (14) ka Com esta definição a taxa de transferência de calor por condução por ser expressa por: T q = R Se houver uma parede com diferentes materiais tem-se que a resistência total é dada por: Li RT = Ri = (15) ki A b) Escoamento uniforme em uma parede cilíndrica sem geração de calor interno. Neste caso o problema é determinar a distribuição de temperatura na parede de um cilindro vazado de comprimento L, com raios internos e externos dados, respectivamente por ri e r e e cujas temperaturas internas e externas são, respectivamente, Ti e T e. Admite-se neste tipo de problema que não há fluxo de calor na direção longitudinal do cilindro e desta forma a equação (9) reduz-se a: d dr r dt = 0 (16) dr Integrando uma vez em relação ao raio obtém-se: dt dr c = 1 (17) r A integração desta equação resulta em: T = c1lnr + c (18) Com as condições de contorno dadas tem-se que as constantes são: c1 = ( Te Ti)/ln( re / ri) (19) c = T c ln (0) i 1 r i
Tr () Ti ln( r / ri ) T T ln( r / r) e i = (1) e i A taxa de transferência de calor por condução, neste caso, é dada por: dt C T T q ka k( rl ) 1 i e = = π = πlk () dr r ln( re / ri ) Definindo-se a resistência térmica como: ln( re / ri ) R = (3) πlk a taxa de transferência de calor pode ser expressa por: Ti Te q = (4) R Se houver em torno do cilindro n camadas com materiais distintos a resistência total pode ser obtida como: R (5) = n T R j 1 onde R j = ln( r j / r πlk j 1 )
. CONVECÇÃO A convecção é essencialmente uma forma modificada da condução, na qual o meio se desloca internamente. Dessa maneira, verifica-se uma superposição de transferência macroscópica de energia ao processo microscópico de condução de calor. Tais deslocamentos internos estão necessariamente restritos aos meios fluidos. Se forem causados por diferenças de densidade em virtude de variações de temperatura no seio do fluido, tem-se o mecanismo conhecido como convecção livre ou natural. Por outro lado, se forem provocados por um agente externo, tem-se a chamada convecção forçada. O estudo da convecção diz respeito à transmissão de calor entre uma superfície sólida a uma dada temperatura e um fluido adjacente a uma temperatura diferente. Observe-se que a temperatura da massa de fluido deve ser tomada a uma distância tal da superfície sólida, que o gradiente de temperatura na direção perpendicular a esta seja desprezível. Em outras palavras, deve-se medir a temperatura da massa de fluido de maneira que o seu valor não venha a ser influenciado pelo valor da temperatura da parede sólida adjacente. Na Fig.4 é mostrado o perfil de velocidade e de temperatura para uma transferência de calor por convecção quando há escoamento forçado. Na Fig. 3 mostra-se o perfil de velocidade e de temperatura quando a convecção é natural, isto é, não há escoamento forçado do fluido: Fig. 4 Distribuição de temperatura e velocidade de transferência de calor por convecção forçada laminar em uma placa aquecida a temperatura T s
Fig 5. Distribuição de temperatura e velocidade em convecção natural na superfície de uma placa aquecida inclinada de um angulo β em relação à horizontal. A troca de calor por convecção é dada por: T y q = hc A T = k f A y = 0 (6) onde h c coeficiente médio de transmissão de calor por convecção. A é a área de transferência de calor T = Ts T é a diferença de temperatura entre a superfície e a temperatura do fluido em um determinado ponto (normalmente afastado da superfície). Exemplos de coeficiente de transmissão de calor por convecção: Fluido h c (W/m K) ar convecção livre 6 30 Vapor superaquecido ou ar (conv. 30-300 Forçada) Óleo (convecção forçada) 60-1,800 Água (convecção forçada) 300 18,000 Água (ebulição) 3,000-60,000 Vapor condensando 6,000-10,000 Por esta tabela percebe-se que o h varia bastante mesmo para o mesmo fluido e que o ar apresenta o menor h o que equivale a ter a maior resistência térmica. A equação (6), por ser apenas uma definição de h c e não a expressão de uma lei que descreve o fenômeno da convecção, aparenta uma falsa simplicidade, pois a determinação do coeficiente de transmissão de calor por convecção é, via de regra, uma tarefa complexa nos problemas de engenharia. Este coeficiente depende do tipo
de escoamento, da diferença de temperatura entre a corrente de fluido e a parede sólida considerada, e das propriedades termofísicas do fluido como densidade, condutibilidade térmica, viscosidade dinâmica e calor específico. No caso de escoamento forçado obtém-se a seguinte correlação: Nu = f (Re,Pr) onde: hc L Nu = é número de Nusselt k Re = Lρ U µ é o número de Reynolds Pr = c p µ é o número de Prandtl k A forma exata da função depende da geometria do corpo, do tipo de escoamento e das condições de contorno. De um modo geral, verifica-se que o coeficiente h c é maior no escoamento forçado e em regime turbulento...1 Aletas A troca de calor de um corpo para o meio externo depende do coeficiente de transmissão de calor por convecção (h) e da área. No entanto, há limites para o h. Se se desejar aumentar a troca de calor a única solução é aumentar a área de transferência de calor. Isto pode ser obtido através de aletas que são superfícies estendidas para transferência de calor. A forma das aletas depende de vários fatores tais como espaço disponível, peso, custo, temperatura desejada e material utlizado. Na Fig. 3 são mostrados exemplos de geometria de aletas típicas. Fig.3 Aletas típicas
.3 RADIAÇÃO A radiação é o mecanismo de transmissão de calor associado à propagação de ondas eletromagnéticas. Ao contrário da condução e da convecção, a radiação pode se dar tanto no vácuo, quanto através de um meio qualquer. A radiação térmica varia tanto em intensidade quanto em qualidade, com a temperatura da superfície emissora. A uma dada temperatura, as superfícies emitem energia em uma ampla faixa de comprimentos de onda, e a quantidade de energia emitida em cada comprimento de onda depende, ao mesmo tempo, da temperatura e das características da superfície emissora. Qualquer corpo está continuamente emitindo energia, bem como absorvendo quantidades de energia radiante que sobre ele incidem provenientes do meio que o cerca. Nos corpos reais, porém, nem toda a energia radiante incidente é absorvida. Parte pode ser refletida e parte pode ser transmitida através do corpo, o que nos leva a escrever: a + r + t = 1 onde: a é a absortividade, fração da radiação incidente absorvida pelo corpo; r é a refletividade, fração da radiação refletida pela superfície do corpo; e t é a transmitividade, fração da radiação incidente que atravessa o corpo sem ser absorvida. Para calcular o calor transmitido por radiação utiliza-se o conceito de corpo negro ou irradiador ideal. Ele é definido como um corpo que absorve toda radiação incidente sobre ele e não reflete ou transmite ou, como um irradiador que emite a máxima quantidade de energia possível em todos os comprimentos de onda a uma determinada temperatura. A energia irradiada por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta: q n = σ AT 4 onde: o índice n se refere a um corpo negro; 8 4 σ = 5,710 W /( m K ) A é a área da superfície emissora; e T é a temperatura absoluta da superfície emissora As superfícies dos corpos reais absorvem e emitem, na unidade de tempo, uma quantidade de energia total menor do que a superfície equivalente de um corpo negro na mesma temperatura, ou seja: 4 q = ε σ AT onde ε é a emissividade total hemisférica do corpo real, definida pela relação: ε = q q n
.3.1 Trocas de energia por radiação Para dois corpos reais (cinzentos) mantidos, respectivamente, em temperaturas diferentes e constantes T e T, a troca líquida de calor por radiação entre eles pode ser determinada pela seguinte expressão geral: 4 q = σ A ( T 4 T ) F F i i j i e j i j onde F e é um fator de emissividade que leva em conta o fato de não serem dois corpos negros; F i j é um fator de configuração que leva em conta a geometria e a disposição dos corpos. Tanto F como, para configurações simples, podem ser encontrados na literatura técnica. e F i j Referência Kreith, F. Princípios da Transmissão de Calor, Editora Edgard Blucher Ltda, 1973 Netto, C. A Considerações sobre o Emprego de Sistemas de Isolação Térmica em Engenharia Naval, dissertação de Mestrado apresentado a Escola Politécnica, 1987