1.6 Imperfeições de Colunas

1.6 Imperfeições de olunas Foi mostrado anteriormente, omo o omportamento das olunas é afetado quando a arga é apliada exentriamente. O omportamento de uma oluna também pode ser afetado devido às imperfeições iniiais onforme mostrado a seguir. A oluna bi-rotulada possui agora uma imperfeição iniial hamado v 0 (x). Apesar de v 0 (x) ser normalmente pequeno, sua forma funional exata difere de oluna para oluna e é desonheida. No entanto, pode sr representado por v 0 (x) = f 0.sem(π.x/) Que tem a mesma forma do modo fundamental de flambagem obtido na seção 1.., v(x) =.sem(π.x/) Do diagrama de orpo livre, obtém-se, M(x) = -P[v(x) + v 0 (x)] Deflexão ausada pela arga P ombinando as equações anteriores om a equação momento x urvatura, EIv + P. v(x) = -P.δ0.sem(π.x/) 5

uja solução pra as ondições de ontorno v(0) = v() = 0, é v(x) = α. δ 0 π.x.sen 1 α P P. onde α = = P π EI r. Da equação de v(x) pode-se determinar a deflexão máxima, δmáx, e o momento fletor máximo, Mmáx, da seguinte maneira: δmáx = δ0 + v(/) = δ 0 α. δ π. +.sen 1 α δmáx = α ( α ) 1 α + α. δ 0 1 0 => δmáx = δ 0 1 α ogo, Mmáx = P. δmáx => Mmáx = P. δ 0 1 α Então, máx = P M máx +. A I =>máx = P δ 0. 1 + A r.(1 α) Novamente, omo α = P/Pr, as equações de δmáx, Mmáx, e máx são todas não lineares em relação a arga P. A razão de imperfeição δ0./r pode ser usada na determinação de uma família de urvas de Py/A x /r para uma dada tensão de esoamento pra ompressão máx = y. O resumo é bastante similar às urvas obtidas no aso de olunas ideais, ou seja, sem imperfeições iniiais. 6

1.7 Projeto de olunas Submetidas a arregamento entrado Nas seções anteriores, examinou-se o omportamento de olunas om geometrias onheidas (perfeitamente retas ou om uma forma espeífia de imperfeição), om omportamento onheido (livres de qualquer tensão residual e possuindo um diagrama x ε em ompressão onheido), om ondições de ontorno onheidas (fixas por nós, fixas ou livres) e om linha de ação da arga onheida. Para olunas reais, todos esses fatores, além de outros, estão sujeitos a variação que devem ser levadas em onsideração no projeto de olunas. Desta forma, as normas de projeto espeifiam equações empírias para projeto de olunas que são obtidas por ajuste de urvas nos dados obtidos em testes em laboratório de muitas olunas reais e que inorporam fatores de segurança apropriados, fatores de omprimento efetivo e outros fatores de modifiação. Ensaios de olunas da aço om arregamento entrado. P Pruptura rítio (tensão de ruptura) Três tipos de ruptura a) olunas longas Ruptura segundo Euler /r é alto (dependo do módulo de elastiiade) b) olunas urtas ou bloos omprimidos A ruptura oorre essenialmente omo resultado do esoamento, ou seja, r = e ) olunas de omprimento intermediário A ruptura depende simultaneamente de E e de e. (Nesta faixa de valores, a ruptura é um fenômeno omplexo, onde as espeifiações e fórmulas de dimensionamento surgiram de numerosos testes em laboratório) 7

A figura a seguir, exemplifia algumas destas fórmulas empírias. omo uma únia expressão não onsegue desrever omportamento de vários testes, em toda gama de índies de esbeltez, foram desenvolvidas diversas fórmulas, sendo ada uma delas apliada para um erto intervalo de valores de esbeltez. As equações foram desenvolvidas para diversos materiais. Em ada aso deve-se verifiar se a fórmula esolhida se aplia ao índie de esbeltez da oluna em estudo. Deve-se verifiar ainda, se a fórmula fornee diretamente o valor da tensão issível para a oluna, o se ela fornee o valor da tensão rítia, quando é neessária a apliação de um oefiiente de segurança adequado. = r F. S = P =. A Três tipos de materiais serão avaliados: Aço Alumínio Madeira 1.7.1 olunas de Aço Estrutural O projeto de olunas de aço se baseia nas equações propostas pelo AIS (Amerian Institute of Steel onstrutional). Utiliza-se uma expressão parabólia para em olunas urtas e intermediárias, sendo adotada uma expressão similar à fórmula de Euler para as olunas longas. Estas relações são desenvolvidas em duas etapas: 8

Obtém-se iniialmente uma urva representativa da variação de r om /r. Essa urva não inorpora nenhum oefiiente de segurança. A parte AB da urva é uma parábola da forma: r = 0 κ r, enquanto que o treho BE é obtido pela π. E equação de Euler, r = ( r ) Para r = y /r = 0 de modo que 0 = y na equação do treo AB. De aordo om o AIS, o ponto B, ponto de tangênia entre a parábola e a urva de Euler, oorre para a tensão rítia om valor igual à metade de y. Denota-se o valor de (/r) neste ponto, r = 0 κ r => 1 = κ. => ( ) y y 1 1 κ = y y. ( ) => κ = y ( ) Substituindo-se na equação de r, tem-se, r y. = y ( ) r 9

/r < => r ( ) r = y 1 ( ) /r => π. E r = r = ½ y e /r = ( r ) π. E ½ y = ( ) =>.. = y ( ) π E ) Deve-se introduzir um oefiiente de segurança para obtenção das fórmulas finais de dimensionamento do AIS que definem omo função de /r. Para /r => F.S = /1 1,9 r = => FS. π. E => = 1, 9 r ( ) Para /r => F.S = ( ) 5 1 + r r 8 8 Apliando-se este oefiiente de segurança ao valor de r, obtém-se, /r < < 00 => = r FS. => => ( ) r y = 1 FS..( ) As fórmulas aima podem ser usadas om unidades no sistema internaional ou no sistema inglês. 40

Através das equações anteriores, (aço espeífio) para um dado valor de /r. alula-se para saber qual equação usar Por onveniênia, o AIS fornee diversas tabelas omo valores de para várias qualidades de aço om 1 < /r < 00. Exemplo 1.8 alular o maior omprimento sem travamento que pode ser usado para o perfil S100x115, para que este suporte a força entrada indiada om segurança. Dados: E = 00 GPa ; y = 90 MPa. Solução Para que a arga de 60 KN seja suportada om segurança, = P 60.10 N 41,MPa A = 1.45mm = Para a tensão de esoamento dada. π. E. π.00.10 ( ) = = = 116,7 90 y Adotando-se /r, 41

π. E 1 π.00.10 108.10 =. = = ( ) 1, 9 ( ).1,9 ( r r r) MPa Igualando-se essa expressão ao valor neessário da tensão issível, tem-se, 108.10 ( ) 41, 157,8 r = = > (OK!) ou seja, a hipótese adotada estava orreta. r Para o menor valor de, 157,8 157,8.14, 75 7mm r = = = = 5, m 1.7. olunas em iga de Alumínio A Aluminum Assoiation fornee três fórmulas pra se hegar ao valor de de olunas om arregamento entrado. olunas intermediárias: (relação linear entre e /r) olunas urtas (onstante) olunas longas (fórmula de Euler) a) iga de alumínio 6061-T6 /r 9,5 => = 11 MPa 9,5 < /r < 66 => = [19 0,868 (/r)] (MPa) /r 66 => = 51.10 ( ) r (MPa) 4

b) iga de alumínio 014-T6 (AAD) /r 1 => = 19 MPa 1 < /r < 55 => = [1 1,585.(/r)] (MPa) /r 55 => = 7.10 ( ) r (MPa) 1.7. olunas em Madeira Para o projeto de olunas de madeira sob ação de argas entradas, o Amerian Institute of Timber onstrution espeifia fórmulas de tensão issível para olunas urtas, intermediárias e longas. Para uma oluna om seção transversal retangular de lados b e d (d < b), a variação om /d é mostrada a seguir, olunas urtas = (tensão issível à ompressão paralela às fibras) Desontinuidade em /d = 11 4

(ponto b limite entre olunas urtas e intermediárias) olunas Intermediárias 1 = 1 d k 4 onde K = /d no ponto olunas ongas (fórmula de Euler om F.S =,74) r = d 1 π. E π. E π. E = = =,74( r ) d d 1 1,74,74 = 0,. E ( d) (As olunas em que /d > 50 não são permitidas pela AIT). Pela figura, no ponto, = e K = /d Na equação de olunas longas, 0,E 0,. E.. = k k = k = 0,671 E Nota: Anteriormente, onsiderou-se olunas om seção retangular. Para uma seção transversal arbitrária, 44

0 < /r < 8 e = 8 < /r < k 4 1 = 1 r k k < /r < 17 π. E =,74 r ( ) onde k =,4 E Exemplo 1.9 Sabendo-se que o omprimento efetivo de flambagem da oluna AB é de 4,m e que deve suportar uma arga de 140 KN, projetar a oluna usando uma seção transversal quadrada. A madeira a ser usada tem E = 1,4 GPa e = 9, MPa paralela às fibras. Iniialmente, alula-se K em função de E e. k E 1, 4.10 = 0,671 = 0,671 9, k = 4,5 omo d não é onheido, assume-se /d > k. P 0,. E 140.10 = = = A d ( d ) 0,( 1, 4.10 ) ( 4,.10 d ) 4 6 d = 66,9.10 => d = 160 mm 45

1.8 Projeto de olunas Submetidas a arregamento Exêntrio Para o projeto de olunas submetidas a uma arga exêntria, basta utilizar a formulação apresentada na seção anterior, para o aso de arga entrada, om algumas modifiações que serão apresentadas a seguir. Sabe-se que uma arga axial exêntria P apliada em um plano de simetria de uma oluna pode se substituída por uma força entrada P e por um onjugado (binário) M de momento M = P.e. As tensões normais que agem em uma seção transversal da oluna podem ser obtidas por superposição dos efeitos P, e ao onjugado M, respetivamente. Essa superposição pode ser feita desde que a seção transversal em estudo não esteja muito próxima de uma das extremidades da oluna, e desde que as tensões enontradas não exedam o limite de proporionalidade do material. Desse modo, as tensões normais devido a uma força P exêntria podem ser aluladas por: P M. = entrada + flexão max = + A I Sabe-se que em uma oluna projetada orretamente, a tensão máxima definida pela equação aima não deve exeder a tensão issível da oluna. Duas formas de soluionar este problema são propostos: Método da Tensão Admissível e o Método da Interação. 46

1.8.1 Método da Tensão Admissível Baseia-se na hipótese de a tensão é a mesma que para uma oluna om arga entrada. Desse modo, deve-se ter max, sendo a tensão issível sob a arga entrada. ogo, P M. + A I A tensão é obtida pelas fórmulas de projeto de olunas om arregamento entrado apresentadas anteriormente. A maior parte das normas de engenharia espeifia que a tensão issível seja determinada para o maior valor do índie de esbeltez, não importando se esse valor orresponde realmente ao plano em que oorre a flexão. Em alguns asos, essa espeifiação pode levar a dimensionamentos realmente exagerados. Exemplo 1.10 Uma oluna de seção transversal quadrada de lado igual a 15 mm e omprimento de,0 m é feita de pinho (E = 1 GPa e = 10 MPa para ompressão paralela às fibras). Determinar a máxima arga P que a oluna pode suportar om segurança, apliada om exentriidade e = 50 mm. Solução Material madeira,seção quadrada E 1,10 k = 0,671 = 0,671 k =, 10 000 = = 4 d 0,15 d omo /d > K => = 6, 5MPa < 10 MPa (OK!) 0,. E 0,.1.10 N mm = = ( ) ( 000 d 15 ) 47

P M. + 6, 5MPa A I A = 15.15 = 1565 mm I 15.15 = = 0.45.05,1mm 1 4 = 6,5 mm M = P. e = (50 mm). P Substituindo-se na equação, tem-se, P P.(50).(60, 5) + 6, 5 1565 0.45.05,1 5 5 6, 4.10 P+ 15,6.10 P 6, 5 P 8.7,4 N => P 8,7 kn 1.8. Método da Interação A tensão issível para uma oluna submetida à uma arga entrada é usualmente menor que a tensão issível para uma oluna em flexão pura, uma vez que aquela leva em onta a probabilidade de flambagem. Desse modo, quando se usa a tensão issível para o projeto de uma oluna om arga exêntria e se esreve que a soma das tensões devido à arga entrada P e ao momento fletor M não deve exeder ao valor da tensão issível para uma oluna de arga entrada, o resultado pode levar a dimensionamentos exagerados. 48

Pode-se desenvolver um método mais aperfeiçoado de dimensionamento, reesrevendo a equação do item anterior da seguinte forma, P A M. + I 1 Substituindo pelos valores das tensões issíveis que orrespondem, respetivamente, à arga entrada e à flexão pura, tem-se, ( ) ( ) P A entrada M. + I 1 (fórmula da interação) flexão M = 0 => Dimensionamento da oluna om arga entrada. P = 0 => Dimensionamento de viga sujeita à flexão pura. P e M 0 => Dimensionamento que onsidera a apaidade da barra de resistir tanto à flexão pura omo arga entrada. Em qualquer aso, () entrada será determinada usando-se o maior índie de esbeltez da oluna, independente do plano em que oorre a flexão. Quando a arga P não é apliada em um plano de simetria da oluna, oorre flexão nos dois planos prinipais da seção transversal. P A M. z I M. x I X max X Z max Z + + ( ) ( ) ( ) entrada flexão flexão 1 49

Exemplo 1.11 Usar o método da interação para determinar a máxima arga P que pode ser apliada om segurança à oluna do exemplo 1.10, om exentriidade e = 50 mm. Solução () entrada = 6,5 MPa () flexão = 10 MPa (tensão issível para ompressão paralela às fibras) P M. A + I 1 6, 5 10 P P.(50 mm).(6,5 mm) 0.45.05,1mm 6, 5 N mm 10 N mm 4 15.65mm + 1 0, 000010P+ 0, 0000154P 1 P 9.06,5N P 9,06KN Exemplo 1.1 Determinar a maior arga P que pode ser suportada om segurança por um perfil de aço laminado W10x74, que forma uma oluna de 4,5 m de omprimento de flambagem. Utilizar o método da tensão issível e depois o método da interação om () flexão = 150 MPa. 50

Dados: E = 00 GPa e y = 50 MPa Solução (a) : Método da tensão issível r X r Y 4500 = = 4,19 11,6 4500 = = 90,6 (utilizar este menor ) 49,8. π. E. π.00.10 ( ) = ( ) = = 15,66 Y 50 omo > /r Y, ( ) 5 1 FS. = + r r 8 8 5 90,6 1 90,6 FS. = + FS. 1,89 8 15,66 = 8 15,66 ( ) 50 ( 90,6) Y 1 r = 1 98,08 MPa FS..( ) = = 1,89.(15,66) P M. + A I P P.00 + 98,08 9480 1058,10 P 015N P, 0KN 51

Solução (b): Método da Interação P P.00 + 98,08 150 9480 1058.10 1 P 48,1KN Exemplo 1.1 Uma oluna de aço om omprimento da flambagem de 4,8 m é arregada exentriamente omo india a figura. Usando o método da interação, determinar qual o perfil da abas largas om altura nominal de 00 mm deve ser usado. E = 00 GPa ; y = 50 MPa e () flexão = 150 MPa Solução Para a primeira aproximação, utiliza-se o método da tensão issível om = 150 MPa. 5

P M. P M. = + + ; A I A A.( r ) X 100 mm e r X 90 mm 6 80.10 N 45,6.10 Nmm.100mm 150 N mm = + A= 680mm W00x5 A A.(90) mm Verifiação W00x5 4800 9 r = 51,6 = Y. π.00.10 = = 15,7 50 > /r Y ( ) 5 1 FS. = + r r 8 8 5 9 1 9 FS. = +.. FS. 1,89 8 15,7 8 = 15,7 ( ) 50 9 Y 1 r = 1 95,9 MPa FS..( ) = = 1,89.(15,7) P 80.10 N = = 57,14MPa A 6650mm M. M 45, 6.10 N = = = 88,7MPa I W 514.10 mm X Na equação da interação 5

57,14 88,7 + = 1,19 (não serve!) 95,9 150 Tentativa W00x71 4800 90,9 r = 5,8 = < Y F.S = 1,89 => = 97,69 MPa P 80.10 N = = 41,76MPa A 9100mm M W X 45, 6.10 N = = 64,MPa 709.10 mm 41, 76 64, + = 0,86 0,86 < 1 (OK!) => Satisfatório, porém pode ser 97, 69 150 desneessariamente grande. ogo, Adotar o perfil W00x71. 1.9 omprimento Efetivo de olunas em Estruturas Aportiadas As olunas raramente oorrem omo um membro isolado; As ondições de ontorno destas olunas são influeniadas pela rigidez dos membros por ela ligados (onetados). 54

O pórtio da figura (a) assume a onfiguração deformada da figura (b) quando flamba sob ação da arga P. Esta onfiguração deformada oorre porque as ligações em B e são ligações que possuem resistênia à flexão e rigidez sufiientes para permitir pequenas alterações no ângulo de 90º iniial nos pontos B e da estrutura. Pórtios uja resistênia lateral (desloamento) depende basiamente da resistênia à flexão de seus membros e ligações são hamados de pórtios desloáveis ou unbraed frames. Pórtios om ontraventamento são hamados de pórtios indesloáveis ou braed frames. Nem todos os vãos livres de uma estrutura neessitem serem ontraventados. 55

Para o pórtio não ontraventado om ligações resistentes à flexão, tem-se, d y E. I P. y ; dx P EI Solução y Asen. x B.os x ondição de ontorno: y = 0 em x = 0 Asen. (0) B.os (0) 0 => B = 0 desloamento: y = em x = = A.sen Momento Fletor M BA = P. M BA = P. A.sen Momento Fletor M B om B = B M. EI.. 6. EI. b b B b b B B B B b b 56

deduzido da seguinte forma: = B M 0 EI M 0 6 EI + M 0 B 6 EI M 0 EI ogo, B é igual a soma de ambas as rotações, ressaltando-se que uma delas tem sinal ontrário. B 0 M 0 M EI 6 EI 6 EI M 0 Desta forma, M 0 6EI 6 Eb I b B que fornee a equação M B B b 57

Fazendo M BA = M B, tem-se, 6. EI. b b B b PAsen. B b. P. Asen 6. EI. b b B A rotação BA da oluna é dada por dy BA A..os dx X Igualando-se BA e B, tem-se A..os b. P. Asen. 6. EI b b 6EbI b b.os P.sen P mas P E I EI. 6EbI b b.os.e I.sen () 6. EI b b 1 EI..os.. sen b EbIb / b sen.. E I / os 6 6 EbI E I b / / b..tg Viga infinitamente rígida, tg( ) = desde que = / sendo que P E I 58

P E I EI P ; k = Viga e oluna infinitamente rígidas, =,59. tg( ) = 6 desde que = 1,5 18, EI EI P ; k =,, Para o pórtio ontraventado apresentado anteriormente, d y M BA.x EI P.y dx uja solução é dada por M BA.x y A.sen x B.os x P. Apliando-se as ondições de ontorno y = 0 em x =0 e X =, tem-se, M y P BA x senx sen Fazendo B = BA = dy dx X, obtém-se 59

1.ot g. E I EI b Viga infinitamente rígida, = 4,49 EI. EI P 0,. ; K = 0,70 0,7 Viga e oluna infinitamente rígidas, =,59 EI. EI P 1,9. ; K = 0,875 0,875 O omprimento efetivo (oefiiente k) aumenta om a diminuição da rigidez da viga e torna-se unitário quando a rigidez é nula. omo simplifiado, em estruturas om múltiplos vãos e pavimentos, adota-se o proedimento desrito a seguir; 1) O pórtio está sujeito a argas vertiais apliadas apenas nos nós (ligações); ) Todas as olunas do pórtio tornam-se instáveis simultaneamente; ) Todas as ligações ao nível dos pisos são iguais. Porém, são em sentidos alternados para pórtios indesloáveis e na mesma direção em pórtios desloáveis; 4) A transferênia de momento fletor das vigas para as olunas através das ligações no iníio da flambagem é proporional a rigidez das olunas, ou seja, EI/. 60

om as simplifiações apresentadas anteriormente, obtém-se uma oluna simples a ser estudada onforme a desloabilidade do pórtio. Estruturas Indesloáveis GG tg A B GA G B.1 k. k 1 4 k tg k k Estruturas Desloáveis GG A B 6 k k 6GA GB tg k 61

vigas onde, G EI EI b Sendo (EI/) a soma de rigidez das olunas e (EI/) b a soma de rigidez das Obs:. O ábao foi desenvolvido para olunas pertenentes a pórtios onforme os apresentados no iníio deste tópio. ogo, a rigidez relativa para os outros asos pode ser de forma similar. Os fatores de orreção que devem multipliar o I/ da viga para 4 asos distintos são apresentados a seguir. ondição (Sidesway) (No sidesway) Desloável Indesloável 6

Qdo a outra extrem. da viga for rotulada 1/ / Qdo a outra extrem. da viga for impedida de girar / Se a extremidade da oluna é rotulada, o valor de G tende para infinito (rótula rigidez = 0). Por outro lado, se a extremidade é ompletamente restringida à rotação, G tende a zero. Valores intermediários de G = 10 e G = 1 são omumente utilizados em asos prátios de bases de olunas simplesmente apoiadas e fixas, respetivamente. Exemplo 1.14 Determinar os oefiientes de omprimento efetivo para o pórtio mostrado a seguir. Os valores de I/ são apresentados abaixo (I em mm 4 e em ft). AB 110/15 = 7, DE 110/1 = 9,17 BD 800/0 = 6,7 GJ 800/0 = 40 D 110/15 = 7, FG 110/15 = 7, DG 800/0 = 40 EH 91/0 = 14,5 6

GH 110/1 = 9,17 Solução a) oluna AB (indesloável) G A = 10, G B = 7, 0,74 6,7 ; K = 0,77 b) oluna D (indesloável) G = 10, G D = 7, 9,17 0,47 6, 7 40 ; K = 0,76 ) oluna FG (desloável) G E = 1, G G = 7, 9,17 0,165 40 40, K = 0,67 d) oluna DE (desloável) G D = 0,47, G E = 9,17 0,60 14,5, K = 1,14 e) oluna GH (desloável) G G = 7, 9,17 0,75 1 40 40, G H = 9,17 0,60 14,5, K = 1,15 Exemplo 1.15 64

Determinar a arga rítia P para o pórtio a seguir om ontraventamento diagonal e as seguintes dimensões, b = 1, m, b = 6,1 m, B = W610x101, AB = D = W10x,8, aço ASTM A6 (y = 50 MPa) oluna W10x,8 Ix = 4,9.10 mm 4 A =.040 mm r X = 118,6 mm Viga: W610x101 6 I 4,9.10 6100 7.0,8 6 I 76.10 100 6.459, 0 Ga = 10 (base simplesmente apoiada) Gb = 70,8 0,11 K = 0,7 (pórtios indesloáveis) 6459 r X 6100 51,4 118,6 k. r X 0, 7.51, 4 7,54 65

. E.00.10. 15, 7 > /r 50 y 5 7,54 1 7,54 FS... FS. 1,78 8 15,7 8 15,7 50 (7,54) Y 1 r 1 14, MPa FS..( ) 1,78.(15,7) Pr =. A N 14,.040mm P 408KN mm Supondo pórtio desloável Ga = 10 Gb = 0,11 K = 1,7 51,4.(1,7) 87,4 r X F.S = 1,89 => = 100, MPa => P = 04,8 KN 66