ESTATÍSTICA para Psicologia Parte 2 01/06/2011 Bertolo 1
01/06/2011 Bertolo 2 Cap 02 - Medidas Estatísticas A distribuição de frequêcias permite-os descrever, de modo geral, os grupos de valores (classes) assumidos por uma variável. Com ela, por exemplo, podemos localizar se a maior cocetração de valores de uma dada distribuição se ecotra o iício, o meio, ou o fial dos valores. Quado cofrotamos distribuições e queremos destacar as tedêcias de cada uma, isoladamete, ecessitamos de coceitos que expressem através de úmeros estas tedêcias. Esses coceitos são deomiados elemetos típicos da distribuição (ou estatísticas) e são: Medidas de Posição (locação ou tedêcia cetral) Medidas de Dispersão (variabilidade) Medidas de Assimetria Medidas de Curtose
01/06/2011 Bertolo 3 2.1 Medidas de Posição (ou tedêcia cetral) Mostram o valor represetativo em toro do qual os dados tedem a agruparse com maior ou meor freqüêcia. A medida de tedêcia cetral é um úmero que está represetado todo o cojuto de dados; as pesquisas tal úmero pode ser ecotrado a partir das medidas: a) média aritmética, b) moda, c) mediaa. O uso de cada uma delas é mais coveiete de acordo com o ível de mesuração, o aspecto ou forma da distribuição de dados e o objetivo da pesquisa. Outras medidas de posição são as separatrizes, que eglobam: a própria mediaa; os quartis; os percetis.
01/06/2011 Bertolo 4 2.1.1 Média Aritmética Simples ( ) x É a medida de cetralidade mais comum, porém deve ser usada em dados represetado variáveis quatitativas, pois ão haveria setido utilizá-la em uma distribuição em que a variável fosse, por exemplo, time de futebol ou sexo. A média represeta, aida, o poto de distribuição o qual se equilibram as discrepâcias (difereças) positivas e egativas de cada dado, ou seja, as discrepâcias positivas somadas se aulam com as egativas somadas. 2.1.1.1 dados NÃO agrupados Defiida da seguite forma: x = x 1 +x 2 +x 3 + +x é a soma de todos os úmeros, dividida pelo úmero de parcelas. É uma das medidas de tedêcia cetral de maior emprego. EX: 4 15 20 20 24 27 30 Observe que: (20-4) + (20-15) + (20 24) + (20 27) + (20 30) = 0 = i=1 x i
de os Média Aritmética Simples Dados Agrupados Vamos dividi-los em duas categorias: sem itervalo de classe e com itervalo de classe. 2.1.1.2.1 Sem itervalos de classe Seja a distribuição de frequêcias associada a uma amostra de 34 famílias de quatro filhos, tomado para a variável o úmero de filhos do sexo masculio: f i Nº de filhos 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 = 34 Nº de f x i f i i filhos 0 2 0 f 1 i 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 = 34 = 78 x i f i 2 0 6 6 Neste caso, como as frequêcias são úmeros idicadores da itesidade de cada valor da variável, elas fucioam como fatores de poderação, o que Aritmética os leva Poderada. à Média Aritmética Poderada. Média Aritmética Poderada Neste caso, como as frequêcias são úmeros idicadores da itesidade de cada valor da variável, elas fucioam como fatores de poderação, o que os leva à Média Média Aritmética Poderada x É um tipo de média aritmética de vários valores com pesos diferetes, dada. È um tipo de média aritmética de vários valores com pesos diferetes, dada por: por: f x = f 1x 1 + f 2 x 2 + f 3 x 3 + + f x i=1 f i x i 1x 1 +f 2 x 2 f 3 x 3 + + f x = i=1 f i x i f 1 + f +.. + f fi = f 1 + f +..+ f f i = frequêcia do valor x i a amostra. f i = frequêcia do valor x i a amostra. Um modo rápido de obtermos a média poderada é abrir, a tabela, uma f x = = i x colua i =1 i x = 78 i=1 correspodete aos produtos x fi i f i : x = = 34 = 2,29 i =1 f i x i x = 78 i=1 fi 34 = 2,29 10 20 01/06/2011 Bertolo 5 i=1 i=1 f i
01/06/2011 Bertolo 6 Média Aritmética Simples Dados Agrupados 2.1.1.2.1 Com itervalos de classe Aqui, covecioamos que todos os valores icluídos em um determiado itervalo de classe coicidem com o seu poto médio, e determiamos a média aritmética poderada por meio da fórmula: Ode x i é o poto médio da classe. Cosideremos a distribuição: x = i X f i x i x i f i 1 150 154 4 152 608 2 154 158 9 156 1.404 3 158 162 11 160 1.760 4 162 166 8 164 1.312 5 166 170 5 168 840 6 170 174 3 172 516 = 40 = 6.440 i=1 i=1 f i x i f i x = = i =1 f i x i=1 i fi i=1 f i f i x i x = 6.440 = 161 i=1 x 40= 6.440 = 161 40 Ver como fazer as calculadoras cietíficas, fiaceira e o Excel (MÉDIA, MÉDIAA, MÉDIASE, MÉDIASES) A média aritmética simples pode ser vista como a média poderada com todos os pesos iguais. Para efeito de omeclatura sempre trataremos a média aritmética simples ou poderada simplesmete por média represetada por (x).
01/06/2011 Bertolo 7 Exercícios de Aplicação 1 01. Temos um gráfico que os mostra o desempeho dos 5 melhores classificados em um determiado cocurso, o qual a potuação varia de zero a cem potos. a) Qual é a soma dos potos dos cadidatos A, B, C, D e E? b) Determie a média aritmética dos potos dos cadidatos discrimiados o gráfico. c) Mostre qual o cadidato que fez mais e o que fez meos potos. Resposta: a. 90 +60 + 80 + 70 + 100 = 400 b. x = 90 + 60 + 80 + 70 + 100 5 = 80 potos c. O cadidato que fez mais potos foi o cadidato E (100 potos), e o cadidato que fez meos potos foi o cadidato B (60 potos)
01/06/2011 Bertolo 8 Exercício de Aplicação 2 Um professor de uma determiada disciplia resolveu que suas provas bimestrais terão pesos diferetes em cada bimestre e que seus aluos, só o fial do 4º bimestre, receberão a média fial. Escolhedo aleatoriamete um aluo desse professor, vamos, de acordo com suas otas e respectivos pesos, verificar sua média fial. O aluo o primeiro bimestre tirou 6 e a prova tiha peso 2, o 2º bimestre tirou 5 e o peso era 4, o 3º bimestre o aluo tirou 3 e o peso era 2 e, fialmete, o 4º bimestre tirou 10 e o peso era 4. Calcule sua média fial.
Exercício de Aplicação 3 A tabela a seguir apreseta a distribuição de freqüêcias dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, um certo mês. Número da classe O salário médio desses empregados, esse mês, foi de: a. R$ 2.637,00 b. R$ 2.500,00 c. R$ 2.420,00 d. R$ 2.400,00 Os valores cetrais das classes 1, 2, 3 e 4 são, respectivamete, 1.500, 2.500, 3.500 e 4.500 reais, obtidos da seguite maeira: Para determiar o salário classe1 1.000 + 2.000 2 classe2 2.000+3.000 classe3 classe4 Salário do mês em reais 1 1.000 2.000 20 2 2.000 3.000 18 3 3.000 4.000 9 4 4.000 5.000 3 2 = 5.000 2 3.000 + 4.000 2 4.000 + 5.000 2 = 3.000 2 = 2.500 = 7.000 2 = 9.000 2 = 1.500 = 3.500 = 4.500 Número de empregados x p 1.500. 20 + 2.500. 18 + 3.500. 9 + 4.500.3 20 + 18 + 9 + 3 Ecotramos a média aritmética simples dos limites das classes, para cada classe x p 30.000 + 45.000 + 31.500 + 13.500 50 Portato, o salário médio é de R$ 2.400 médio, precisamos ecotrar a média aritmética poderada (os pesos serão as freqüêcias). = 120.000 50 = 2.400 01/06/2011 Bertolo 9
01/06/2011 Bertolo 10 Outras Médias Média Geométrica (X G ) É defiida como a raiz de ordem do produto desses úmeros. x G = x 1. x 2. x 3. x = x i i=1 Média Harmôica É defiida assim: x H = 1 1 i=1 1 x i = 1 1 x
01/06/2011 Bertolo 11 Exemplo de Aplicação 4 Calcule a média geométrica da série (2, 4, 8) x G = x 1. x 2. x 3. x = x i i=1 Calcule a média harmôica da série (2, 4, 8) x H = 1 1 i=1 1 x i = 1 1 x
Médiaa (x) É o valor do meio de um cojuto de dados, quado os dados estão dispostos em ordem crescete ou decrescete, cortado, assim, a distribuição em duas partes com o mesmo úmero de elemetos. É também uma medida separatriz defiida e exata, de fácil compreesão. Ela serve para aálise comparativa e é represetada por x. Para dados ão agrupados em classes: Se é ímpar é o termo Se é par é o termo ~ x 1 termo 2 ~ x termo ( 2 º 1) termo 2 2 EX1: Em um colégio, estão matriculados uma determiada classe 21 aluos. Durate o 1º bimestre foi feito um levatameto da freqüêcia destes aluos e foram observadas as seguites faltas: 0, 0, 3, 5, 7, 9, 0, 1, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 6, 4, 10, 12, 0, 1, 2. Qual a mediaa das faltas? Dica: Primeiro costrua o ROL. Resposta: 3 EX2: As idades dos atletas amadores de uma determiada modalidade esportiva são 14, 12, 16, 13, 17, 16 aos. Ecotre a mediaa da série. Dica: Primeiro costrua o ROL Resposta: 15 aos 01/06/2011 Bertolo 12
01/06/2011 Bertolo 13 Médiaa (x) cot... 2.1.3.2 Dados agrupados Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequêcia, o cálculo da mediaa se processa de modo muito semelhate àquele dos dados ão-agrupados, implicado, porém, a determiação prévia das frequêcias acumuladas. Aida aqui, temos que determiar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que coteham o mesmo úmero de elemetos. Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por: f i 2 2.1.3.2.1 Sem itervalos de classe Neste caso, é o bastate idetificar a frequêcia acumulada imediatamete superior à metade da soma das frequêcias (ordem). A mediaa será aquele valor da variável que correspode a tal frequêcia acumulada. Por exemplo, Nº de filhos f i FA i 0 2 2 1 6 8 2 10 18 3 12 30 4 4 34 = 34 Sedo f i 2 = 34 2 = 17 A meor freqüêcia acumulada que supera esse valor é 18, que correspode ao valor 2 da variável º de filhos, sedo este o valor mediao. Logo, Md = 2 filhos.
Médiaa (x) cot... 2.1.3.2.2 Com itervalos de classe Neste caso, o problema cosiste em determiar o poto do itervalo em que está compreedida a mediaa. Para tato, temos iicialmete que determiar a classe a qual se acha a mediaa classe mediaa. Tal classe será, evidetemete, aquela correspodete à frequêcia acumulada imediatamete superior a Seja a distribuição: i X f i F i 1 150 154 4 4 2 154 158 9 13 3 158 162 11 24 4 162 166 8 32 5 166 170 5 37 6 170 174 3 40 Classe mediaa Temos: Classe mediaa f i 2 = 40 7... x 01/06/2011 Bertolo E a mediaa será dada por: 14 f i 2. Temos: 2 = 20 f i 2 = 40 2 = 20 #01. Como há 24 valores icluídos as três primeiras distribuição e como pretedemos determiar o valor que lugar, a partir do iício da série, vemos que este deve est a terceira classe (i = 3), supodo que as freqüêcias de estejam uiformemete distribuídas. Como há 11 elemetos essa classe e o itervalo de cla 4, devemos tomar, a partir do limite iferior, a distâcia: Ecotramos a Classe Mediaa. E o valor da MEDIANA? 11...4 x = 7. 4 = 20 13. 4 11 11
Frequêcias Absolutas Médiaa (x) cot... Existem três (03) maeiras de ecotrarmos o valor da mediaa quado os dados estão agrupados com itervalo de classe: #01. Como há 24 valores icluídos as três primeiras classes da distribuição e como pretedemos determiar o valor que ocupa o 20º lugar, a partir do iício da série, vemos que este deve estar localizado a terceira classe (i = 3), supodo que as frequêcias dessas classes estejam uiformemete distribuídas. Como há 11 elemetos essa classe e o itervalo de classe é igual a 4, devemos tomar, a partir do limite iferior, a distâcia: 11...4 x = 7 11. 4 = 2,54 7... x E a mediaa será dada por: x = Md = 158 + 2,54 = 160, 54 #02. Poderíamos um histograma determiar graficamete a mediaa como sedo aquele poto do eixo das abcissas por ode passa a vertical que divide o histograma em duas áreas iguais: 15 4. 4 + 4. 9 + x. 11 = (4-x). 11 + 4. 8 + 4. 5 + 4. 10 3 52 + 11x = 44 11x + 64 ou 22x = 56 x = 2,5454 5 Md = 158 + 2,5454 = 160,54. 0 01/06/2011 Bertolo 15
01/06/2011 Bertolo 16 Médiaa (x) cot... #03. Existe, também, uma fórmula para calcularmos a mediaa diretamete da tabela de distribuição de frequêcias: Md = l i + f i 2 FA aterior h f Ode: l i * é o limite iferior da classe mediaa; FA aterior é a frequêcia acumulada da classe aterior à classe mediaa; f * é a frequêcia absoluta da classe mediaa; h é a amplitude do itervalo da classe mediaa. No exemplo aterior: Md = 158 + 20 13 4 = 160, 54 11
01/06/2011 Bertolo 17 Exercícios de Aplicação 01. Ecotre a mediaa para as seguites séries de dados: 01. {35, 36, 37, 38, 40, 40, 41, 43, 46} x = 40 {12, 14, 14, 15, 16, 16,17, 20} x = 15+16 2 = 15,5 02. Em um colégio, estão matriculados uma determiada classe 21 aluos. Durate o 1º bimestre foi feito um levatameto da frequêcia destes aluos e foram observadas as seguites faltas: 0, 0, 3, 5, 7, 9, 0, 1, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 6, 4, 10, 12, 0, 1, 2. Qual a mediaa x das faltas? Resposta: 3 03. As idades dos atletas amadores de uma determiada modalidade esportiva são 14, 12, 16, 13, 17, 16 aos. Ecotre a mediaa da série. Resposta: 15 aos 04. Calcule a mediaa da seguite distribuição de frequêcias: Custos (R$) 450 -- 550 550 -- 650 650 -- 750 750 -- 850 750 -- 850 850 -- 950 950 -- 1.050 1.050 -- 1.150 f i 8 10 11 16 13 13 5 1
01/06/2011 Bertolo 18 Média versus Mediaa A média é muito sesível a valores extremos de um cojuto de observações, equato a mediaa ão sofre muito com a preseça de algus valores muito altos ou muito baixos. A mediaa é mais robusta do que a média. Devemos preferir a mediaa como medida sitetizadora quado o histograma do cojuto de valores é assimétrico Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 } x =345,7 x=300 Tato x como x, são boas medidas de posição. Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 } x = 601 x = 300 Devido ao valor 2300, x é preferível a x.
01/06/2011 Bertolo 19 Moda e Classe Modal É o valor que ocorre com maior freqüêcia em um cojuto de observações idividuais. Para dados agrupados temos a classe modal. Em algus casos pode haver mais de uma moda. Assim temos uma distribuição bimodal, trimodal, etc... A moda é o valor em toro do qual os dados estatísticos tedem a estar mais pesadamete cocetrados e é represetada por Mo, também cohecida pelo ome de orma ou modo. O termo moda foi itroduzido por Pearso. Exemplos para daados NÃO agrupados 01 - Em um grupo de pessoas cujas idades são: 3, 2, 5, 2, 6, 2, 4, 4, 2, 7, 2 aos, a moda é 2 aos (Mo = 2). Portato, deomia-se uimodal. 02 - Algumas pessoas freqüetaram a escola por estes úmeros de aos: 5, 3, 7, 5, 5, 8, 5, 3, 1, 1, 3, 3, 10, 3, 5. Nesta série de úmeros, podem-se ter duas modas: Portato bimodal.
01/06/2011 Bertolo 20 Moda de Dados Agrupados 2.1.5.2.1 Sem itervalos de classe Ex. 3. Temos um grupo de pessoas cujas idades são: 3, 2, 5, 2, 6, 2, 4, 4, 2, 7, 2 aos: Idade 2 3 4 5 6 7 Freqüêcia 5 1 2 1 1 1 Fica claro que a moda é 2 aos. 4. Tempo, em aos, que um grupo de pessoas freqüetou a escola. Tempo de Escolaridade Tempo em aos de Freqüêcia permaêcia a escola 1 2 3 5 5 5 7 1 8 1 10 1 Nesse exemplo, afirmamos que há duas modas, 3 e 5, portato o cojuto de dados é bimodal. Nota importate Quado ão houver repetição de úmeros, ão haverá moda (o cojuto de dados é amodal).
01/06/2011 Bertolo 21 Moda de Dados Agrupados 2.1.5.2.2 Com itervalos de classe Quado os dados estão agrupados em classes, X x i i 10 20 15 2 20 30 25 4 30 40 35 10 40 50 45 6 50 60 55 2 Classe Modal Se precisarmos de um úmero represetativo, tomamos o poto médio do itervalo de classe. Etretato, temos a fórmula de Czuber: M o = l i + D 1 h D 1 +D 2 D 1 = f * - f aterior e D 2 = f * - f posterior
01/06/2011 Bertolo 22 Exercícios de Aplicação de Moda 1. Cosidere os úmeros 621, 310, 621, 201 e calcule: a) a média aritmética (x)); c) a moda (Mo). Resposta Primeiramete, mota-se a tabela de frequêcias: Números 621 310 201 Freqüêcia 2 1 1 a. ou x p x =(621 =(621.2 + 310 + 621+ 201)/4 + 310.1+ +201.1)/(2 =1.753/4 = 438,25 Números +1+1) =1.753/4 = 438,25 frequêcia f i c. Observado a tabela com os dados do exercício, verificamos que o úmero 621 aparece 2 vezes. Essa é a maior freqüêcia de acordo com a tabela, portato Mo = 621. x i. f i 621 2 1.242 310 1 310 201 1 201 4 1.753
01/06/2011 Bertolo 23 Exercícios de Aplicação de Moda 2. Cosidere a tabela de frequêcia com os dados agrupados em itervalos de classe como mostrado a tabela abaixo e calcule a moda: i X f i F i 1 150 154 4 4 2 154 158 9 13 3 158 162 11 24 4 162 166 8 32 5 166 170 5 37 6 170 174 3 40 classe Modal aplicado a fórmula de Czuber: D 1 = f * - f aterior temos: Mo = l i + D 1 D 1 + D 2 h e D 2 = f * - f posterior 10 4 M 0 = 158 + 10 4 + (10 6) = 158 + 6 10 = 158,60 Para esta Tabela de Frequêcias com dados agrupados com itervalos de classe a média = 161 e mediaa = 160,54 (ecotrados ateriormete) e agora a moda = 158,60, mostra, claramete que os dados estão distribuídos assimetricamete com distorção (assimetria ou skewess) à esquerda.
01/06/2011 Bertolo 24 Medidas Separatrizes Como vimos, a mediaa caracteriza uma série de valores devido à sua posição cetral. No etato, ela apreseta outra característica, tão importate quato a primeira: ela separa a série em dois grupos que apreseta o mesmo úmero de valores. Assim há outras medidas que ão são de tedêcia cetral, mas que estão ligadas à mediaa. Essas medidas, jutamete com a mediaa são chamadas separatrizes. São elas: os quartis, os percetis e os decis.
01/06/2011 Bertolo 25 Percetis O percetil de ordem p, 0 p 100, de um cojuto de valores dispostos em ordem crescete é um valor tal que p% das observações estão ele ou abaixo dele e (1 - p)% estão ele ou acima dele. Ex: Para valores de 51 a 100, ordeados crescetemete: P 25 = 25 deixa 25% dos dados (12,5 13 valores) ele ou abaixo dele e 75% dos dados (37,5 38 valores) ele ou acima dele. Assim: P 25 = 63. Similarmete, P 80 deixa 80% dos dados (40 valores) ele ou abaixo dele e 20% dos dados (10 valores) ele ou acima dele. Assim: (90 P 80 + 91) = 90,5 2
01/06/2011 Bertolo 26 Percetis de dados agrupados Para dados agrupados em classes, os percetís podem ser obtidos por iterpolação liear (regra de três simples). Ex.: Dada a distribuição de freqüêcia de uma variável X qualquer: X 1,810 1,822 1,816 7 7 1,822 1,834 1,828 14 21 1,834 1,846 1,840 18 39 1,846 1,858 1,852 7 46 1,858 1,870 1,864 4 50 x i N i N i Temos que, para P 50 (50% de 50) será o 25º elemeto, está a terceira classe. Isto porque a seguda classe cotém 21 elemetos e a terceira, 39 elemetos. Logo, o Temos que, para P 50 (50% de 50) será o 25º elemeto, está a terceira classe. Isto porque a seguda classe cotém 21 elemetos e a terceira, 39 elemetos. Logo, o 25º elemeto estará a 3ª 25º elemeto estará a 3ª x =(621 + 310 + 621+ 201)/4 =1.753/4 = 438,25 Um outro processo gráfico pode ser usado para o cálculo desses percetis. (Veja Ogiva de Galto). Tal processo exige rigor o traçado e deve-se preferir papel milimetrado. Obs.: As calculadoras geralmete ão forecem mediaa e percetis.
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Colocar os Exercícios Propostos da p. 10 da Apostila 01/06/2011 Bertolo 29
2.2 Medidas de Dispersão ou Variabilidade 01/06/2011 Bertolo 30 Vimos que a moda, a mediaa e a média aritmética possuem a fução de represetar, a partir de um úico úmero, a seqüêcia a ser aalisada. Porém, tal método aida é muito icompleto para que ós possamos tirar alguma coclusão sobre o trabalho. É ecessário que possamos exergar algo mais essa seqüêcia que estamos aalisado, como, por exemplo, certa persoalidade da seqüêcia.
2.2 Medidas de Dispersão ou Variabilidade Cot... 01/06/2011 Bertolo 31 Observe a seguite situação: quatro turmas, uma de cada um dos cursos Ciêcia da Computação, Matemática, Ciêcias Cotábeis e Fisioterapia, fizeram uma prova de estatística e quado o professor verificou a média das otas de cada turma, costatou que, em cada uma das quatro turmas, a média dos aluos foi igual a 6,0. E aí? Será que podemos cocluir que o desempeho das quatro turmas foi o mesmo? Será que todos os aluos, de todas as turmas, tiraram ota 6,0 a prova? É óbvio que, esse mometo, o bom seso fala mais alto e podemos, o míimo, descofiar de que ão. Pois é exatamete aí que reside a tal persoalidade que podemos atribuir a cada turma em relação ao comportameto das otas.
2.2 Medidas de Dispersão ou Variabilidade Cot... 01/06/2011 Bertolo 32 O que quero dizer é que, com as medidas de dispersão, seremos capazes de verificar que, por mais que a média das turmas a prova de estatística teha sido 6,0, poderemos com tais medidas determiar as turmas que tiveram um comportameto homogêeo, em que os aluos tiraram otas próximas de 6,0, como também determiar as turmas que tiveram um comportameto heterogêeo em relação à ota 6,0, ou seja, por mais que a média teha sido 6,0, as otas ão foram próximas de 6,0. Em outras palavras, tora-se ecessário estabelecer medidas que idiquem o grau de dispersão em relação ao valor cetral. Algumas medidas de dispersão que sitetizam essa variabilidade são:
01/06/2011 Bertolo 33 2.2.1 Amplitude (H) É uma medida de dispersão muito rápida e, ao mesmo tempo, muito imprecisa, pois cosiste simplesmete em verificar a difereça etre o maior valor e o meor valor obtido a coleta de dados. Essa é ossa velha cohecida. Mesmo assim um exemplo Pessoas Peso (kg) Agulha 30 Aderbal 15 Corá 55 Reato 52 Guilherme 60 Bruo 53 Bertolo 75 Alexadre 20 Fábio Thomáz 40 Na tabela ao lado, temos o peso das pessoas de um determiado grupo aalisado e podemos verificar que a amplitude total foi de:at = 75 15 = 60
01/06/2011 Bertolo 34 2.2.2 Desvio Médio Como a palavra desvio está associada à difereça, temos que, o cotexto da ossa matéria, o desvio deve ser empregado com a difereça do elemeto aalisado em relação à média, ou seja, o quato o elemeto se afasta da média da seqüêcia. Daí é importate perceber que essa difereça deve ser ecessariamete trabalhada em módulo, pois ão tem setido a distâcia egativa. E o desvio médio, etão, passa a ser ecotrado a partir da média aritmética de todos os desvios. Desvio Médio = x 1 x + x 2 x + x 3 x + + x N x N = x i x N i=1 N
01/06/2011 Bertolo 35 Desvio Médio - Exemplo Desvio Médio = x 1 x + x 2 x + x 3 x + + x N x N = x i x N i=1 N Com os dados do exercício aterior, temos: 30 + 15 + 55 + 52 + 60 + 53 + 75 + 20 + 40 x = = 44,4 9 Desvio Médio 30 44,4 + 15 44,4 + 55 44,4 + 52 44,4 + 60 44,4 + 53 44,4 + 75 44,4 + 20 44,4 + 40 44,4 = 9 = 16,17 E também porque é fácil ver que a soma dos desvios, é ideticamete ula e que, portato, ão serve como medida de dispersão:
01/06/2011 Bertolo 36 2.2.2 Variâcia A variâcia é uma medida de dispersão muito parecida com o desvio médio, a úica difereça em relação a este é que, a variâcia, ao ivés de trabalharmos em módulo as difereças etre cada elemeto e a média, tomamos os quadrados das difereças. Isso se dá pelo fato de que, elevado cada difereça ao quadrado, cotiuamos trabalhado com úmeros ão egativos, como também pelo fato de que, em procedimetos estatísticos mais avaçados, tal método facilita futuras maipulações algébricas. Variâcia 2 = (x 1 x) 2 + (x 2 x) 2 + (x 3 x) 2 + + (x N x) 2 N = N i=1 (x i x) 2 N
01/06/2011 Bertolo 37 Variâcia - Exemplo Variâcia = (30 44,4)2 + (15 44,4) 2 + (55 44,4) 2 + (52 44,4) 2 + (60 44,4) 2 + (53 44,4) 2 + (75 44,4) 2 + (20 44,4) 2 + (40 44,4) 2 9 = 345,57
01/06/2011 Bertolo 38 Desvio Padrão Para etedermos o procedimeto para o cálculo do desviopadrão, é iteressate percebermos que, o cálculo da variâcia, tal como vimos o tópico aterior, cometemos um erro técico que será corrigido pelo desvio-padrão, ou seja, o mometo em que elevamos ao quadrado as dispersões (difereças) de cada elemeto em relação à média, automaticamete alteramos a uidade de trabalho. Por exemplo: se estivermos trabalhado com a coleta das alturas, em metro, das pessoas de uma determiada comuidade, a uidade da variâcia ecotrada será o m 2 (metro quadrado), que represeta áreas. E é aí que etra o desvio-padrão, ou seja, extraido a raiz quadrada da variâcia. Desvio padrão = Variâcia
01/06/2011 Bertolo 39 Desvio Padrão - Exemplo Etão, se o exemplo do item aterior a variâcia ecotrada foi 345,57, temos que o desvio-padrão foi de 345,57 = 18,58 Observação: O uso do Desvio Médio pode causar dificuldades quado comparamos cojutos de dados com úmeros diferetes de observações: Exemplo: Em A = {3,4,5,6,7} temos o Desvio Médio (DM) como 6/5 = 1,2 e 2 = 10/5 = 2 Em D = {3,5,5,7} temos o Desvio Médio (DM) = 1,0 e 2 = 2 Assim, podemos dizer que, segudo o Desvio Médio, o grupo D é mais homogêeo (tem meor dispersão) do que A, equato que ambos têm a mesma homogeeidade segudo a variâcia. O desvio médio possui pequea utilização em estatística e em geral vale 0,8 vezes o desvio padrão.
2.2.4 Mometos de uma distribuição de freqüêcias 01/06/2011 Bertolo 40 Defiimos o mometo de ordem t de um cojuto de dados como: M t = N i=1 (x i ) t Defiimos o mometo de ordem t cetrado em relação a uma costate a como M t = N N i=1 (x i a) t Especial iteresse tem o caso do mometo cetrado em relação a, dado por: N m t = N i=1 (x i x) t N
01/06/2011 Bertolo 41 Mais Mometos Coforme já vimos os casos da média e da variâcia, as expressões precedetes podem ser reescritas levado-se em cosideração as freqüêcias dos diferetes valores existetes. Temos etão respectivamete, M t = (x i ) t. f i N i=1 N M t = (x i a) t. f i N i=1 N m t = (x i x) t. f i N i=1 N É fácil ver que M 1 = ; m 1 = 0; m 2 = 2.
01/06/2011 Bertolo 42 2.2.5 Coeficiete de variação (CV) O coeficiete de variação exprime a variabilidade em termos relativos. É uma medida adimesioal e sua grade utilidade é permitir a comparação das variabilidades em diferetes cojutos de dados. CV = x Exemplo: Testes de resistêcia à tração, aplicados a dois tipos diferetes de aço: x (kg/mm 2 ) (kg/mm 2 ) Tipo I 27,45 2,0 Tipo II 147,00 17,25 CV I = 2/27,45 = 7,29% CV II = 17,25/145 = 11,73% Assim, apesar do Tipo I ser meos resistete, é ele mais estável, mais cosistete.