UNIVERSIDDE ESTDUL VLE DO CRÚ CENTRO DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLOGI CURSO DE LICENCITUR EM MTEMÁTIC MTEMÁTIC ÁSIC II TRIGONOMETRI ula 03 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org 204.
Razões Trigonométricas do ângulo agudo. Os triângulos O, 2 O 2, 3 O 3, etc., são semelhantes. Daí = 2 2 2 = 3 3 3 = 2 3 4 O α<90 α 2 3 4
Desta forma, dado um triângulo retângulo com ângulos internos dados, existe uma relação que independe da medida de seus lados Chamaremos esta relação de seno do ângulo α = O α Usando triângulos pequenos, podemos fazer uma tabela de senos.
Hipotenusa, Catetos? Hipotenusa: que se alonga abaixo... No caso, abaixo do ângulo reto. Cateto: baixado, perpendicular.
plicação: Cálculo do Raio da Terra. altura da torre (h) é conhecida; O ângulo α entre a torre e a linha do horizonte, é conhecido. Portanto o seu seno também é conhecido. = + = ( + ) Linha do Horizonte R α h R. =. =.
Podemos definir outras duas relações num triângulo retângulo que também independem das medidas dos lados Chamaremos de cosseno do ângulo α a seguinte relação: = Chamaremos de tangente do ângulo α a relação: = O α
Relação Fundamental Observe que: 2 Do Teorema de Pitágoras + = e = + α O ( ) + ( ) =
Tangente Temos: = = = O α
Outras relações Seja d a medida da hipotenusa do triângulo O. Então = = Isto é, =. nalogamente, =. d. O α.
Proposição : Se dois ângulos α e β são complementares (α+β=90 ) então sen α = cos β, sen β=cos α e tg α = /tg β. = = = = = = = α a β b c
Utilidade da proposição : Para construir uma tabela de senos e cossenos de ângulos entre 0 e 90, precisamos de cálculos efetivos apenas para o intervalo (0,45 ) Proposição 2: (a)se α (0,45 ) então (b) Se α (0,90 ) então =.. sen a 2 = cos a 2
Prova da Proposição 2, parte (a): rea ΔOC =2.rea ΔO OC. D rea ΔOC = 2 rea ΔOC =. sen2α 2 O α α cos α sen 2 2α sen α cos α. 2 senα rea ΔOC = 2.sen2α 2 cos α. 2.sen α = 2 sen 2α= 2.cos α. senα D β sen α C
Prova da Proposição 2, parte (b): + = +. = =. = O α α cos α sen α +. = +. = () = = ඨ cos 2α D β sen α C
Ângulos Especiais: 30, 60 Considere um triângulo equilátero C de lado. 30 30 60 60 D /2 Pelo Teorema de Pitágoras, Ou seja, C = + = + (/ ) E portanto
Ângulos Especiais: 30, 60 Observando as relações no triângulo DC, temos. 30 30 60 60 D /2 C
Ângulos Especiais: 30, 60 Como 30 e 60 são ângulos complementares, segue da proposição que 30 30 60 60 D /2 C
Ângulos Especiais: 45 C 45 Considere um triângulo retângulo isósceles de catetos medindo. Pelo Teorema de Pitágoras, Isto é, C 2 = 2 +C 2 45
Ângulos Especiais: 45 C Observando as relações no triângulo ao lado, temos: 45 45
Famosa Tabela Ângulo Seno Cosseno Tangente 30 45 60
Ângulos Especiais: 8 Considere o triângulo isósceles C onde os lados iguais medem e o outro lado mede x. Considere a bissetriz do ângulo Ĉ C O triângulo DC é isósceles (dois 36 ângulos internos iguais) 36 Repare que os triângulos C e CD são semelhantes (ângulos internos correspondentes (72, 72º, 36º)) ssim, = = 36 D 72 x -x 72 72
Ângulos Especiais: 8 C Daí, (-x).=x 2 Ou seja, 36 36 + = Que resulta em 36 D 72 72 x -x
Ângulos Especiais: 8 C Voltando ao Triângulo inicial, considere a altura H relativa ao lado C. O triângulo H é retângulo em H e H=x/2 Daí, 36 8 8 H / e pela Relação Fundamental,
Ângulos Especiais: 9, 36, 72 asta usar a proposição 2: Proposição 2: (a) Se α (0,45 ) então (b) Se α (0,90 ) então =..
Exercício: Encontrar seno, cosseno e tangente dos ângulos: 9, 36, 72