Apostila de Matemática 10 Matriz 1.0 Definição m e n são números inteiros maiores que zero. Matriz mxn é uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos é m linhas e n colunas. A tabela é fechada por colchetes [ ], parênteses ( ) ou 4 traços. Ordem: indica número de linhas e colunas: Matriz 2x3 - Matriz de ordem 2x3. Matriz de ordem 4x2. 2.0 Tipos de Matrizes 2.1 Matriz Genérica Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da matriz. Para representar o elemento de uma matriz usa-se uma letra com 2 índices Coordenadas: O elemento genérico da Matriz M é indicado por a ij. i Indica em que linha o elemento se encontra. j Indica em que coluna o elemento se encontra.
2.2 Matriz Linha Matriz formada somente por 1 linha - Matriz de ordem 1xn. Pode ser chamada de vetor. Matriz de ordem 1x3. 2.3 Matriz Coluna Matriz formada somente por 1 coluna Matriz de ordem mx1. Pode ser chamada de vetor. Matriz de ordem 3x1. 2.4 Matriz Quadrada Número de linhas é igual ao número de colunas m = n. A ordem é pronunciada somente por 1 número Ordem m. Matriz de ordem 2, ou de Segunda ordem. Diagonal principal da matriz: Diagonal formada por elementos cujos índices são iguais i = j. Diagonal secundária da matriz A outra diagonal da matriz quadrada. i + j = n + 1.
2.5 Matriz Triangular Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. 2.6 Matriz Diagonal Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos. 2.7 Matriz Identidade Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 a ij = 1, para i = j. Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos a ij = 0, para i j. Símbolo: I n. 2.8 Matriz Nula Todos os elementos são iguais a zero.
2.9 Matriz Transposta A matriz transposta de A é a matriz cuja as linhas são, ordenadamente as colunas de A. Simbolizado por A t. Se a matriz A for mxn, então a matriz A t é nxm. A = A t = B = B t = 2.10 Matriz Inversa A matriz inversa é uma matriz que, ao multiplicar-se com a matriz original, gera uma matriz identidade. Simbolizado por: A -1. A.A -1 = I n Quando existe a matriz inversa de A, diz-se que A é uma matriz invertível ou não-singular A matriz é invertível se det 0. Processo: Troca-se a posição dos elementos eqüidistantes da diagonal principal. Troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Acha-se a determinante de A (Próxima Apostila). Divide a todos os elementos da matriz pela sua determinante. A = A -1 = det A = 10 A -1 = A -1 =
2.11 Matriz Simétrica Elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. A = A t. A = 2.12 Matriz Anti-Simétrica A diagonal principal é nula. Elementos opostos em relação a diagonal principal possuem sianis contrários. A t = -A. A = 3.0 Operações 3.1 Igualdade Condições: As matrizes devem ter a mesma ordem. Seus elementos correspondentes são iguais. A = B = A = B = = a 11 = b 11 ; a 12 = b 12 ; a 13 = b 13 ;...
3.2 Adição Condições: As matrizes devem ter a mesma ordem. Seus elementos correspondentes são adicionados. A = B = A + B = + 3.3 Subtração Exemplos: a 11 + b 11 ; a 12 + b 12 ; a 13 + b 13 ; Condições: As matrizes devem ter a mesma ordem. Seus elementos correspondentes são subtraídos. A = B = A B = - a 11 - b 11 ; a 12 - b 12 ; a 13 - b 13 ;...
3.4 Multiplicação 3.4.1 Matriz e Número Real Ao multiplicar um número real em uma matriz, todos os elementos são multiplicados por ele. A = 3A =
3.4.2 Matriz e Matriz Multiplica-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. Soma-se os produtos obtidos. Simboliza-se por: AB. Condições: O número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto AB possui o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. x = Primeiro, separa-se a primeira linha de A e a primeira coluna de B : Depois, multiplica-se o primeiro número da linha pelo primeiro da coluna, e assim por diante: 1x3 = 3 0x2 = 0 2x1 = 2 Depois, soma os resultados, sendo este o primeiro elemento da nova matriz: 3 + 0 + 2 = 5. Note que, para achar o primeiro elemento (a 11 ), utilizou-se a primeira linha e a primeira coluna A linha de A representa o i e a coluna de B, o j. Depois, faz a mesma coisa com a primeira linha de A e a segunda coluna de B, para achar o elemento a 12, e assim por diante. 3.5 Observações A + B = B + A. A x B B x A. A x I n = A. A² = A x A A x A-1 = A-1 x A = In.