1-0-011 Mecânica Gavitação 1ª Pate Pof. Luís Pena 010/11 Teoia geocêntica Foi com Ptolomeu de Alexandia que sugiu, po volta de 150 d.c. no seu livo Almagest, uma descição pomenoizada do sistema sola. Cláudio Ptolomeu (100-170 d. C.) 1
1-0-011 Teoia geocêntica Segundo Ptolomeu, cada planeta descevia uma tajectóia cicula epiciclo, cujo cento se deslocava, elativamente à Tea sempe imóvel, descevendo uma tajectóia, também cicula, concêntica com a Tea, chamada defeente; à tajectóia esultante Ptolomeu chamou epiciclóide. Teoia geocêntica
1-0-011 Teoia geocêntica Segundo este modelo, a Tea ocupava a posição cental e à sua volta giavam, além da Lua e Sol outas estelas e mais cinco planetas conhecidos na época: Mecúio, Vénus, Mate, Júpite e Satuno. A teoia de Ptolomeu foi aceite duante mais de catoze séculos. Teoia geocêntica 3
1-0-011 Teoia heliocêntica No século XVI suge Nicolau Copénico, que defendia um modelo heliocêntico e demonstou no seu tatado De Revolutionibus Obium Coelestium que a descição do Sistema Sola seia mais simples se o efeencial fosse o Sol. Nicolau Copénico (1473-1543) Astónomo e matemático polaco Teoia heliocêntica Segundo N. Copénico, o movimento de todos os planetas deveia se descito elativamente ao Sol e não em elação à Tea. O Sol seia assim o cento do Univeso. Os planetas giavam com movimentos ciculaes e unifomes à volta do Sol. A Tea deixaia de se o cento do Univeso e seia apenas o cento de evolução luna. 4
1-0-011 Teoia heliocêntica Leis de Keple A polémica geada na época em tono das duas teoias anteioes, levou os astónomos a dedicaem mais tempo ao estudo do movimento dos planetas. 5
1-0-011 Leis de Keple Tycho Bahe modificou o sistema ptolomaico de modo a hamonizá-lo com o de Copénico, fez obsevações e ecolheu dados bastante impotantes sobe as posições dos planetas em elação à Tea. Tycho Bahe (1546-1601) Dinamaquês Leis de Keple Johannes Keple discípulo de Tyco Bahe foi quem intepetou os seus dados fomulando tês leis empíicas sobe o movimento dos planetas, conhecidas po Leis de Keple ou Leis da Cinemática do Sistema Sola. Johannes Keple (1571-1630) Alemão 6
1-0-011 1ª Lei ou Lei das Óbitas Todos os planetas descevem óbitas elípticas, em tono do Sol, ocupando este um dos seus focos. ª Lei ou Lei das Áeas O vecto posição que une o cento do planeta e o cento do Sol vae áeas iguais, em intevalos de tempo iguais. 7
1-0-011 Sol planeta Afélio Afélio ponto de maio afastamento ente o planeta e o Sol 8
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1-0-011 Peiélio Peiélio ponto de maio poximidade ente o planeta e o Sol A A 1 A velocidade dum planeta no peiélio é maio que no afélio. No caso da TERRA: Afélio = 9,3 km/s Peiélio = 30, km/s 13
1-0-011 3ª Lei ou Lei dos peíodos O cubo do semieixo maio, R, da obita elíptica do planeta em tono do Sol e o quadado do peíodo, T, do movimento são diectamente popocionais. 3 R T K K é uma constante de popocionalidade que tem o mesmo valo paa todos os planetas. R epesenta o semi-eixo maio da elipse ou seja a distância média dos planetas pincipais ao Sol. Leis de Keple A constante de popocionalidade tem o valo, K = 3,36 x 10 18 m 3 s -. 14
1-0-011 Leis de Keple As Leis de Keple dão uma visão cinemática do sistema planetáio, não o explicam. Do ponto de vista dinâmico, que tipo de foça o Sol exece sobe os planetas, obigando-os a se moveem de acodo com as leis que Keple? A esposta foi dada po Isaac Newton (164-177): FORÇA GRAVITACIONAL!!!! Lei da Gavitação Univesal Isaac Newton depois de te estabelecido as Leis da Dinâmica, explicou o movimento dos copos. Isaac Newton (164-177), físico Inglês 15
1-0-011 Lei da Gavitação Univesal Newton postulou a seguinte hipótese: As foças que mantêm os planetas nas suas óbitas têm natueza idêntica à existente ente os copos teestes. Logo, devem aplica-se as mesmas leis. A Lua expeimenta uma aceleação centípeta, a L A maçã uma aceleação, g Lei da Gavitação Univesal Newton: - Utilizou as Leis de Keple; - Consideou que as obitas dos planetas eam ciculaes; (Suposição pefeitamente aceitável, já que as obitas elípticas dos planetas em tono do Sol apesentam pequena excenticidade) - Deduziu a expessão da foça de inteacção ente o Sol e qualque planeta. F G M m 16
1-0-011 17 Lei da Gavitação Univesal Designemos po m a massa do planeta, e po v a sua velocidade escala e po o aio da tajectóia. Como, vem: Se T fo o peíodo de evolução do planeta c c c a m F v a e v m F (1) T t s v () Lei da Gavitação Univesal Substituindo () em (1) vem: Da 3ª Lei de Keple vem: 3 4 4 K m K m F 4 T m T m F 4 T m F K T 3
1-0-011 Lei da Gavitação Univesal Fazendo vem: K1 4 K m F K 1 (3) que é a foça a que o planeta está sujeito. A constante K da 3ª Lei de Keple, tem o mesmo valo paa todos os planetas do Sistema Sola, mas depende do asto cental que exece a foça: o Sol, no caso dos planetas do Sistema Sola, a Tea no caso da Lua, Júpite no caso das suas luas, logo K 1 K. Lei da Gavitação Univesal Segundo a Lei da acção-eacção, o Sol está sujeito a uma foça igual, mas de sentido contáio, o que significa que sobe o Sol actua uma foça de intensidade: M F K (4) De (3) e (4) vem: m 1 K M K K 1 K const. M m Se designamos po G esta constante teemos: K G m M m F G 18
1-0-011 Valo da constante de gavitação Da expessão: M m F G Sabendo o aio médio da Tea: = 6,37 x 10 6 m e sabendo ainda a densidade elativa da Tea, d = 5,5. O volume da Tea apoximadamente, consideando-a como uma esfea de aio igual ao aio médio, V 4 3 3 4 3 3,14 (6,37 x10 6 ) 3 V = 1,083 x 10 1 m 3 Valo da constante de gavitação Cálculo da massa da esfea: M = V = 5,5 x 10 3 x 1,083 x 10 1 M = 5,98 x 10 4 kg Aplicando a Lei Fundamental da Dinâmica a um copo qualque, de massa m, em queda live junto à supefície da Tea com massa, M F g G g M m g m g G m M 6 9,8 (6,37 x 10 ) 11 6,65 x 10 N m kg 4 5,98 x 10 19
1-0-011 Valo da constante de gavitação A demonstação expeimental da Lei da Gavitação Univesal só ocoeu ceca de 70 anos após a mote de Newton. Heny Cavendish mediu pela pimeia vez, em 1798, a intensidade da foça de atacção gavítica ente dois copos de pequena massa com um dispositivo conhecido po balança de toção de Cavendish. Heny Cavendish (1731-1810) Inglês Valo da constante de gavitação O valo de G actualmente aceite é: G = 6,6759 x 10-11 Nm kg - Esquema da balança de toção de Cavendish: 0
1-0-011 Balança de toção de Cavendish Velocidade obital Consideemos a massa da Tea, m T, e seja a massa do satélite, m s, em obita cicula de aio, em tono da Tea. 1
1-0-011 Velocidade obital A foça de inteacção gavítica aplicada ao satélite é a foça centípeta, que o mantém em óbita. Como a foça de inteacção gavítica é diigida paa o cento da Tea, a foça de inteacção gavítica coincide com a foça centípeta. Fg F c F g mt m G s F g mt m G ( R h) T s mt m G s msv v ob G m T Velocidade obital v ob G m T Esta expessão pemite calcula o valo da velocidade com que deve se lançado um satélite (velocidade obital) paa que este ente em óbita cicula e continue a move-se, na sua óbita, com a velocidade que lhe foi comunicada. Paa calcula o peíodo de evolução de um satélite atificial utilizamos a expessão: T v
1-0-011 Velocidade obital v ob G m T A velocidade obital depende, assim: da distância a que o satélite se enconta do cento do asto atacto. Os satélites com obita de meno aio têm velocidade de maio módulo. da massa M do asto atacto. A velocidade obital não depende da massa do satélite. Velocidade obital 3