O que vems quand ns mirams em um espelh côncav? What d we view lking t urselves in a cncave mirrr? Fernand Lang da Silveira Institut de Física UFRGS Endereç eletrônic: lang@if.ufrgs.br Rland Axt Departament de Física, Estatística e Matemática UNIJUÍ Marcel Antôni Pires Clégi Anchieta Prt Alegre Endereç eletrônic: maikida@ig.cm.br Resum. É bem cmpreendid em óptica que, para ver nssa face em um espelh, lh deve estar psicinad de tal md que a luz prveniente da face pssa entrar nele após sfrer reflexã. Se psicinams nss rst entre um espelh côncav e seu plan fcal, rst aparece direit e mair d que em um espelh plan. Esta cnstataçã nã cnflita cm cnheciment que tems sbre óptica gemétrica. Mas, que parece cnflitar, é que também pdems ns ver direits e aumentads psicinand-ns entre fc e centr de curvatura d espelh, pis neste cas a imagem cnjugada pel espelh é invertida. N presente artig demnstrams cnclusivamente que, para explicar que de fat vems quand ns mirams num espelh côncav, devems levar em cnsideraçã que a lente d nss lh está interpsta n caminh da luz. Abstract. It is well understd in ptics that a persn can view his image in a mirrr, nly if the eye is lcated s that light rays frm the persn can enter it after reflectin. If we lk t urselves in a cncave mirrr, lcating ur face between the mirrr and the fcal plane, we see ur face erect and greater than we wuld see it in a plane mirrr. But it is smewhat unexpected that we still can see ur face erect and greater, if it is psitined between the fcal pint and the center f curvature, in spite f the fact that the image frm the mirrr is nw inverted. In this article we demnstrate cnclusively that t crrectly explain what we really see when we lk t urselves in a cncave mirrr, we must take int accunt that ur eye s lens is interpsed in the light s path. - Publicad na Revista Brasileira de Ensin de Física, v. 26, n. 1, p. 19-25 (2004). 1
I - Intrduçã Uma das utilidades de um espelh côncav é a de aumentar a imagem d nss rst em relaçã à imagem que pderíams bservar em um espelh plan. Quand ns mirams em um espelh côncav, usualmente estams psicinads entre espelh e seu fc 1. Sabems que, estand bjet entre fc e vértice, a imagem cnjugada pr um espelh côncav é virtual, direita e mair d que bjet. Esse cnheciment nã cnflita cm que bservams a ns mirarms em um espelh côncav de banheir u tucadr, pis nesse espelh ns vems aumentads (em relaçã a que veríams em um espelh plan) e na psiçã direita. Imaginems agra que bjet é deslcad em direçã a plan fcal d espelh. Nesse cas sua imagem se afasta cada vez mais d espelh, tendend a infinit (d utr lad d espelh, na regiã virtual). Pr utr lad, quand a psiçã d bjet tende a plan fcal, a razã entre tamanh da imagem virtual pel tamanh d bjet aumenta, tendend a infinit. Se bjet segue afastand-se d espelh e cupa psições cada vez mais distantes d fc, a imagem cnjugada é real e invertida e aprxima-se dele, tendend gradativamente a plan fcal. Percebems entã que, para um bjet que se afasta d espelh, há uma descntinuidade que se dá quand bjet passa pel fc afastand-se d espelh: a imagem que era virtual e direita antes d fc, passa a ser real e invertida depis d fc, puland d infinit virtual (n utr lad d espelh) para infinit real (n lad d espelh em que bjet se encntra). Na equaçã de Gauss para espelh (equaçã 1) pdems facilmente ntar a descntinuidade. 1 f 1 1 = + (1) d d i Quand d (distância d bjet a espelh) é igual a f (distância fcal d espelh), invers de d i (distância da imagem a espelh) é igual a zer. Prtant, a distância da imagem a espelh é indefinida, já que é igual à unidade dividida pr zer. 1 d i 1 1 = 0 f f = di 1 = 0 (indefinid) (2) O bjetiv deste artig é de discutir que vems em um espelh esféric côncav quand nele ns mirams, em especial, que vems quand ns psicinams n plan fcal d espelh, entre fc e centr de curvatura e além d centr de curvatura. Mstrarems também que há sluções inusitadas para certs prblemas u questões bjetivas que se referem a que se vê em espelhs côncavs; tais questões sem aparecer em livrs-text e em prvas de cncurss vestibulares. 1 - É cmum encntrarms espelhs côncavs em banheirs e tucadres, juntamente cm espelh plan. O rai de curvatura desses espelhs é da rdem de metr e, quand fazems us dele, nrmalmente psicinams a um palm d nss rst. Ns labratóris de óptica é mais usual encntrarms espelhs côncavs cm distância fcal pequena, bem menr d que a ds espelhs de banheir. 2
A mtivaçã inicial em trn d prblema abrdad neste artig surgiu n Clégi Anchieta, nde s aluns reslveram verificar experimentalmente que haviam aprendid sbre espelhs côncavs. Eles esperavam encntrar uma descntinuidade quand se mirassem n espelh, pstads n seu plan fcal. Surpreendentemente para eles tal nã crreu; viram-se aumentads n espelh (em relaçã a que pdiam ver em um espelh plan). A descntinuidade smente acnteceu quand se afastaram d espelh pr cerca de duas vezes a distância fcal. Até esse pnt, s aluns viam-se aumentads e na psiçã direita; smente além d centr de curvatura d espelh (separad d vértice d espelh pr duas vezes a distância fcal), pdiam ver-se invertids. Aparentemente esses resultads estavam em cntradiçã cm que haviam aprendid tericamente. II - Afinal, que vems? Para verms alg, a imagem cnjugada em nssa retina pel sistema de lentes d nss lh (córnea, humr aqus, cristalin) deve ser real. Desta frma, que vems sã imagens reais em nssa retina. Se esta acaciana afirmaçã nã fr devidamente cnsiderada 2, inevitavelmente encntrarems incnsistências entre que aprendems em óptica gemétrica e que vems 3. Para cmpreender que vems quand ns mirams em um espelh côncav, é necessári que examinems cm sã as imagens em nssa retina quand lh refrata a luz refletida pel espelh. Ou seja, nã pdems limitar a análise d prblema à óptica d espelh; tems que acrescentar a sistema uma lente que represente lh cnjugand imagens sbre a retina. Cmeçarems esta discussã cnstruind graficamente as imagens cnjugadas pel espelh e pela lente d nss lh. As cnstruções gráficas serã realizadas a partir d que crre cm alguns rais principais riunds d bjet e refletids (refratads) pel espelh (pela lente). As trajetórias ds rais principais sã apresentadas tant em texts de nível superir - pr exempl, Nussenzveig (1998) - quant de nível médi - pr exempl, Gaspar (2001) -. Em seguida, abrdarems prblema cm auxíli das equações que relacinam as psições e s tamanhs ds bjets e das imagens em espelhs e lentes. Tais equações também se encntram ns texts já referids. III - Mirand-ns n espelh côncav, psicinads a uma distância menr d que a distância fcal Cmeçams pr cnstruir graficamente que seria a imagem d nss rst (bjet real para espelh côncav). Na figura 1 clcams uma pequena seta sbre eix principal de um espelh côncav, assinaland a psiçã que seria cupada pel nss lh (na funçã de bjet) quand situad de frente para espelh, entre fc d espelh e vértice. Traçand alguns ds 2 - Cm mstrarems mais adiante, a descnsideraçã deste fat pels redatres de questões sbre óptica gemétrica leva a sluções nã imaginadas pr eles. 3 Um exempl é a cntestaçã feita pr um alun sbre fat de que, para um espelh plan, tamanh da imagem é igual à d bjet. O alun cntra-argumentu: Iss nã está cert, pis tamanh da minha imagem n espelh diminui quand dele me afast. Este argument está cnstruíd sbre pressupst de que que vems sã imagens n espelh e nã imagens cnjugadas na retina!! 3
rais principais, btems uma imagem virtual, direita e mair d que bjet. Esta situaçã é a que crre cmumente quand utilizams espelh côncav de banheir (lembrems que tais espelhs pssuem rais de curvatura da rdem de metr e que estams psicinads a apenas alguns decímetrs d mesm). Nas nze figuras que se seguem tant rst quant a imagem dele estã representads pr setas. Figura 1 - O espelh cnjuga uma imagem virtual e direita d nss rst. Na figura 2, uma lente cnvergente representand nss lh de frente para espelh, está clcada n mesm lugar que a lente d lh de uma pessa cuparia se ela quisesse se lhar n espelh. A imagem virtual, cnjugada pel espelh, é um bjet real para a lente. A lente cnjuga uma imagem real e invertida; u seja, sbre a retina d nss lh (nã representada na figura) crre uma imagem real e invertida. É imprtante destacar que quand percebems bjets direits tems imagens invertidas na retina. Deixarems para mais adiante a discussã sbre tamanh das imagens. Figura 2 - A lente em nss lh cnjuga uma imagem real e invertida d nss rst na retina. IV Mirand-ns n espelh côncav, psicinads entre fc e centr de curvatura Na figura 3 cnstruíms graficamente a imagem d nss rst, cnjugada pel espelh côncav, quand ns pstams entre fc e centr de curvatura. Obtems entã uma imagem real e invertida (lembrems que tant rst quant sua imagem estã representads pr setas). 4
Figura 3 - O espelh cnjuga uma imagem real e invertida d nss rst. A figura 4 representa a lente d lh interceptand s rais luminss, prvenientes de um pnt de nss rst e refletids pel espelh, antes da cnvergência ds mesms. A figura nã mstra desvi que s três rais refletids pel espelh sfrem na lente d lh; as linhas tracejadas da figura indicam quais desses rais, a emergirem da lente, nã cntinuarã na direçã de incidência sbre a lente. Estand a lente d lh na psiçã em que se encntra, a imagem real cnjugada pel espelh é um bjet virtual para lh. Figura 4 - A imagem real cnjugada pel espelh côncav é um bjet virtual para a lente d nss lh. A figura 5 representa traçad ds três rais principais que, incidind na lente d lh, cnvergem e determinam uma imagem real (d bjet virtual indicad na figura 4). Esta imagem d nss rst, cnjugada pela lente d lh, tem a mesma rientaçã d bjet virtual. Assim, tems uma imagem real e invertida d rst na retina d nss lh. 5
Figura 5 - A lente d lh cnjuga uma imagem real e invertida d nss rst. Destaque-se que resulta na retina, independentemente de rst situar-se antes u depis d fc (vide figuras 2 e 5), uma imagem invertida d rst (prtant percebems direit). A passarms pel fc, afastand-ns d espelh, nã há descntinuidade para a imagem cnjugada pela lente d nss lh na retina. O que existe é descntinuidade da imagem d nss rst que espelh cnjuga; entretant, a ns mirarms n espelh, essa descntinuidade nunca é ntada. Lembrams nvamente da acaciana afirmativa: que enxergams sã as imagens em nssa retina. Na próxima seçã discutirems que vems se estams pstads n plan fcal d espelh côncav. V - O que vems quand ns pstams n plan fcal d espelh côncav? A figura 6 representa alguns rais refletids quand bjet (nss rst) situa-se n plan fcal d espelh. Os rais refletids, prvenientes de um pnt d rst, sã paralels entre si. Figura 6 - Quand ns psicinams n plan fcal d espelh, s rais refletids pel espelh, prvenientes de um pnt d rst, sã paralels entre si. Já a figura 7 representa a lente d nss lh refratand s rais paralels refletids pel espelh e cnjugand, n plan fcal da lente, uma imagem d nss rst invertida sbre a retina (prtant percebems direit). 6
Figura 7 - A lente d nss lh cnjuga uma imagem real, invertida d nss rst na retina. A cnstruçã feita na figura 8 permite cmparar as imagens na retina quand ns mirams n espelh côncav e n espelh plan, à mesma distância de ambs, ist é, a uma distância igual à distância fcal d espelh côncav. Figura 8 - Cmparaçã entre as imagens d nss rst na retina quand ns mirams em um espelh côncav e em um espelh plan, estand afastad de ambs a uma distância igual à distância fcal d espelh côncav. Quand usams espelh côncav, e n mirams psicinads em seu plan fcal, independentemente de qual seja a distância fcal d espelh, terems uma imagem em nssa retina duas vezes mair d que se ns mirássems em um espelh plan à mesma distância. A razã pela qual empregams um espelh côncav para mirar-ns é que cm ele a imagem na retina aumenta em relaçã à imagem na retina diante de um espelh plan. Entretant, há mais uma diferença imprtante entre as duas situações da figura 8. Quand ns mirams n espelh côncav, e estams situads em seu plan fcal, nss lh recebe rais refletids, rigináris de um pnt d rst, paralels entre si (vide figura 6); ist significa que estams lhand para alg n infinit, prtant, sem acmdaçã visual d cristalin. Quand ns mirams n espelh plan, estams lhand para alg próxim (distante d nss lh duas 7
vezes a distância que ns afasta d espelh plan) que, prtant, trna necessária uma acmdaçã visual d cristalin 4. VI Mirand-ns n espelh côncav, psicinads além d centr de curvatura Na figura 9 cnstruíms graficamente a imagem d nss rst, cnjugada pel espelh côncav, estand rst pstad além d centr de curvatura (nesse cas afastament entre rst e espelh é mair d que dbr da distância fcal). Obtems entã uma imagem real e invertida d nss rst. Figura 9 - O espelh cnjuga uma imagem real e invertida d nss rst. A imagem real cnjugada pel espelh é um bjet real para a lente d nss lh. Figura 10 - A lente d nss lh cnjuga uma imagem real e direita d nss rst. A figura 10 representa a imagem cnjugada pela lente d nss lh. Esta imagem é real e está invertida em relaçã a bjet. Assim, tems uma imagem real e direita d nss rst na retina, que faz cm que percebams invertid. Nas análises anterires demnstrams que entre vértice d espelh e seu centr de curvatura ns percebíams direits (prque tínhams uma imagem invertida na retina), Há, pis, uma descntinuidade a passarms pel centr de 4 - Quand s rais de luz que lh recebe de cada um ds pnts d bjet nã sã paralels entre si, só haverá uma imagem nítida na retina, se crrer a acmdaçã visual. Em tal situaçã, a distância fcal da lente d lh é diferente da distância que a separa da retina. Na figura 8 estã representads s fcs da lente - F - e d espelh côncav - F. Essa figura mstra que, quand ns mirams n espelh plan, a distância fcal da lente d nss lh é menr d que a distância entre a lente e a retina, que indica acmdaçã visual. 8
curvatura (a rientaçã da imagem na retina inverte a passarms pel centr de curvatura), mas nã há descntinuidade a passarms pel fc. VII - Cmparaçã entre que vems em um espelh côncav e em um espelh plan A seguir analisarems as imagens que tems na retina quand ns mirams em um espelh côncav e em um espelh plan, igualmente afastads de ambs. O bjetiv precípu desta seçã é bter a razã entre s tamanhs das imagens na retina quand ns lhams ns dis espelhs. Cmeçams pel espelh côncav. A figura 11 representa uma das situações anterirmente discutidas. Sejam d e d i as distâncias que separam espelh d bjet (nss rst) e da imagem cnjugada pel espelh, respectivamente. A distância fcal d espelh é f. Figura 11 - Distâncias e tamanhs ds bjets e imagens cnjugadas pel espelh e pela lente d nss lh. Da equaçã de Gauss para espelh (equaçã (1)), btém-se facilmente f d di = (3) d f Pr utr lad, sabe-se que a razã entre s tamanhs H d bjet (nss rst) e H da imagem é H = H d d i (4) 9
Substituind (3) em (4), btém-se f H = H (5) d f A imagem d nss rst, cnjugada pel espelh, é um bjet para a lente d nss lh. Cnfrme a figura 11, a distância (D ) que separa esse bjet (imagem d rst cnjugada pel espelh) da lente é D = d d (6) i É imprtante destacar que a equaçã (6) é válida em qualquer uma das situações discutidas anterirmente e nã apenas na que fi expsta na figura 8 (lembrems que d i resulta negativ quand a imagem cnjugada pel espelh é virtual). Substituind-se (3) em (6), btém-se D = d f d 2 f = 1 d d f d f (7) Para que tenhams uma imagem real nítida na retina 5, a distância entre a lente d nss lh e a imagem d nss rst, cnjugada pela lente, é sempre L (distância da lente d nss lh à retina, que é cnstante e da rdem de dis cm). Para a lente d nss lh a razã entre tamanh d bjet (H ) e tamanh da imagem na retina (h) é H D = h L (8) Substituind-se (5) e (7) em (8), btém-se h = d f ( 2 f d ) H L (9) Se, a invés de ns mirarms em um espelh côncav, utilizássems um espelh plan, situad à mesma distância (d ) de nós que espelh côncav, a imagem que espelh plan cnjuga estaria a uma distância D = 2d da lente d nss lh. Essa imagem teria mesm tamanh d bjet (H = H) e é um bjet real para a lente d nss lh. O tamanh da imagem que entã teríams na retina (h ) é dad pr 5 - O cristalin nem sempre cnsegue prduzir um sistema ótic cm distância fcal necessária à cnjugaçã de uma imagem nítida na retina. Pr exempl, para a mairia das pessas nã existe acmdaçã visual se bjet real estiver a mens de 25 cm d lh (distância mínima de visã distinta). Neste trabalh pressupms que a acmdaçã visual sempre crra. 10
H D = = h L 2 d L (10) Dnde se btém 1 h = H L (11) 2d Para cmparar que vems a ns mirarms ns dis espelhs, calcularems a razã (Κ) entre s tamanhs h e h das imagens na retina para espelh côncav e para espelh plan, dadas pr (9) e (11) respectivamente. Desta frma escrevems f H L h d ( 2 f d ) Κ = = (12) h 1 H L 2d Κ = h = h 2 f 2 f d (13) A figura 12 é gráfic da razã Κ em funçã da distância que ns afasta ds espelhs em que ns mirams. Figura 12 - Razã entre s tamanhs das imagens na retina em funçã da distância que ns afasta ds espelhs. A razã Κ resulta ser igual a 2 quand ns pstams frente as dis espelhs a uma distância (d ) que é igual à distância fcal d espelh côncav (já btivems este resultad da análise gráfica na figura 8). Existe evidentemente uma descntinuidade para uma distância (d ) igual a duas vezes a distância fcal (centr de curvatura d espelh). Além d centr de 11
curvatura, a razã Κ é negativa, significand que as imagens d nss rst na retina têm rientações diferentes de um para utr espelh. Ist é, antes d centr de curvatura perceberems nss rst direit em ambs s espelhs e, além d centr de curvatura, perceberems nss rst invertid n espelh côncav e direit n espelh plan (este resultad é cnsistente cm a análise gráfica). VIII - Ftgrafand que vems em um espelh côncav e em um espelh plan Para demnstrar empiricamente algumas das cnclusões que btivems nas seções precedentes, apresentarems algumas ftgrafias. A máquina ftgráfica simula nss lh, pis tal cm ele, a máquina pssui um sistema de lentes cnvergentes para cnjugar imagens reais. Nss lh cnjuga as imagens sbre a retina; a máquina as cnjuga sbre filme ftgráfic 6. Figura 13 - Ftgrafia mstrand a bjetiva da máquina ftgráfica lcalizada n plan fcal d espelh côncav. O espelh está cntid na mldura que na ft aparece puc nítida. 6 Uma imprtante diferença entre a máquina ftgráfica e lh human está na frma de se cnseguir imagens nítidas n filme e na retina. A distância entre a lente d nss lh e a retina é fixa, enquant que na máquina ftgráfica é variável. A prcura de nitidez na retina se faz pr variaçã da distância fcal d cristalin (vide ntas 4 e 5), enquant na máquina ftgráfica se faz pr variaçã da distância entre a lente e filme. Existem animais que pssuem a lente d lh cm distância fcal fixa, e sã capazes de variar a distância que a separa da retina para nela cnjugar imagens nítidas. N rein animal há mais de quarenta tips diferentes de lh!! (Dawkins, 1998) 12
Na figura 13 ftgrafams a bjetiva da máquina ftgráfica pstand-a n plan fcal de um espelh côncav. Ist é equivalente a ns mirarms n espelh côncav, situand-ns n seu plan fcal. A distância fcal d espelh é 18 cm e, prtant, ele se encntra bem próxim da máquina; a brda e suprte d espelh nã sã nítids, pis estã a aprximadamente 18 cm da bjetiva da máquina. A imagem da bjetiva, n interir da mldura d espelh, está n infinit (a imagem cnjugada pel espelh, para um bjet psicinad n seu plan fcal, é virtual e situa-se n infinit, cnfrme a figura 6); u seja, a máquina estava calibrada para captar cm nitidez imagens de bjets muit distantes (pr ist a brda e suprte, que estã próxims, aparecem puc nítids). A prva empírica de que a máquina ftgráfica fcaliza bjets n infinit (cm a distância fcal da bjetiva da máquina é de 35 mm, bjets distantes alguns metrs já se situam para fins prátics n infinit) é que aparece nitidamente a faixa escrita OPTIKÉ, nss labratrista Ricard F. Sever e restante da paisagem (Ricard encntra-se a mais de 5 m da máquina). A figura 14 apresenta uma ft btida nas mesmas cndições da ft mstrada na figura 13, excet pel fat de que espelh agra é plan. Nte-se que neste cas nã é pssível discernir cm nitidez a bjetiva da máquina, pis ela está ajustada para ftgrafar bjets muit distantes, cm a faixa, a pessa e restante da paisagem (n espelh aparece nitidamente uma cluna distante, atrás d ftógraf). Figura 14 - Ftgrafia mstrand a bjetiva da máquina ftgráfica lcalizada em frente a um espelh plan. 13
A ftgrafia da figura 15 fi btida situand a bjetiva da máquina ftgráfica n plan fcal d espelh côncav. A lad d espelh côncav, apenas um puc mais atrás, está espelh plan. Esta ft permite cmparar que se vê ns dis espelhs. De acrd cm que fi demnstrad nas seções anterires, s tamanhs das imagens ns dis espelhs está na razã de um para dis. Percebe-se que smente crre imagem nítida em um ds dis espelhs: quand se fcaliza a máquina para bjets n infinit, a imagem é nítida n espelh côncav. Já quand se fcaliza a máquina para bjets situads a cerca de duas vezes a distância que separa a bjetiva da máquina d espelh plan, btém-se nitidez n espelh plan, pis ele cnjuga uma imagem virtual, à mesma distância d plan d espelh em que bjet se encntra. Figura 15 - Cmparaçã d que se vê em um espelh plan cm que se vê em um espelh côncav, psicinand a bjetiva da máquina ftgráfica n plan fcal d espelh côncav. 14
IX - Cnclusã Para entender aquil que vems em um sistema óptic, devems incluir lh nesse sistema. Demnstrams neste trabalh que analisar que se enxerga em espelhs, lentes, etc, é mais cmplex d que analisar as imagens cnjugadas pr tais sistemas sem levar em cnta lh. Nssa análise prva que, a ns mirarms n espelh côncav, psicinads n seu plan fcal, apesar de crrer uma descntinuidade da imagem de nss rst cnjugada pel espelh - vide a equaçã (3) cm d igual a f -, a descntinuidade nã acntece em nssa retina 7. Este fat reiteradamente tem sid ignrad pr idealizadres de prblemas e questões que se referem a que se vê em espelhs e lentes. Exemplificams cm a questã abaix, que segund Carn e Guimarães (2002), cnstu de uma prva d cncurs vestibular da UFSC. Uma pessa, a 40 cm de um espelh côncav, se vê (grif nss) três vezes mair e cm imagem direita. A distância fcal d espelh é: a) 120 cm b) 60 cm c) 30 cm d) 60 cm e) 13,3 cm Uma pessa que se vê direita, tem uma imagem na retina invertida. Cm demnstrams anterirmente, ist acntece quand a pessa se psicina entre centr de curvatura d espelh e própri espelh e nã apenas - cm presumivelmente imaginaram s idealizadres da questã - entre fc d espelh e espelh. Assim send, a questã tem duas respstas crretas: 60 cm (respsta dada cm crreta n gabarit d cncurs vestibular) e 30 cm. Agradeciment. Agradecems à Prf a Maria Cristina Varriale pela leitura crítica deste artig e pelas sugestões apresentadas. Bibligrafia Carn, W. e Guimarães, O. As faces da Física. Sã Paul: Mderna 2002. Dawkins, R. A escalada d mnte imprvável. Sã Paul: Cmpanhia das Letras. Gaspar, A. Física 2. Sã Paul: Ed. Ática, 2001. Nussenzveig, H. M. Curs de Física Básica. Sã Paul: Ed. Edgard Blücher, 1998. 7 Quand utilizams uma lente cnvergente cm lupa, também crre uma descntinuidade na imagem cnjugada pela lente, para um bjet n plan fcal. Entretant nã crre descntinuidade da imagem na retina d usuári da lupa (qualquer pessa que dispnha de uma lupa pde submeter esta afirmaçã a teste empíric). A clcarms bjet n plan fcal da lupa, a luz prveniente d bjet, refratada pela lente, atinge lh cm rais paralels (u levemente divergentes u levemente cnvergentes se bjet estiver um puc antes u um puc depis d plan fcal), permitind que tenhams uma imagem na retina sem acmdaçã visual d cristalin. Descnhecems a existência de algum text de ensin médi u ensin superir que trate da lupa, analisand que vems através dela quand bjet está lcalizad além d fc da lupa. 15