Soluções abreviadas de alguns exercícios

Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 -

Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico. Superfícies quádricas. Continuidade. Exercícios. Determine o domínio das seguintes funções e represente-o geometricamente: (a) f(x, y) = x y. D = {(x, y) R 2 : y }. ( (b) f(x, y) = ln x y ) x. D = {(x, y) R 2 : ( < x y > ) (x < y < )}. (c) f(x, y) = ln(3 x2 y 2 ) x 2 +y 2. D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 3 (x, y) (, )}.

.. DOMÍNIO, CURVA DE NÍVEL E GRÁFICO. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS. CONTINUIDADE. (d) f(x, y) = x y. D = {(x, y) R 2 : y }. (e) f(x, y) = x(y x 2 ). D = {(x, y) R 2 : (x y x 2 ) (x y x 2 )}. (f) f(x, y) = xy+. D = {(x, y) R 2 : (x y ) (x y )}. 2. Identifique os conjuntos de nível e esboce o gráfico das seguintes funções: (a) f(x, y) = 3. R 2, k = 3 C k =, k 3; G f = {(x, y, z) R 3 : z = 3} (plano z = 3). (b) f(x, y) = x. C k = {(x, y) R 2 : x = k}, k R; G f = {(x, y, z) R 3 : z = x} (plano z = x). (c) f(x, y) = x 2. {(x, y) R 2 : x = }, k = C k = {(x, y) R 2 : x = k x = k}, k >, k < ; G f = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 } (cilindro parabólico, cuja intersecção com qualquer plano y = b é a parábola z = x 2 ). ISA/UTL Análise Matemática 2/ 2

CAPÍTULO. TÓPICOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL x, x (d) f(x, y) = x = x, x <. {(x, y) R 2 : x = }, k = C k = {(x, y) R 2 : x = k x = k}, k >, k < ; G f = {(x, y, z) R 3 : (z = x x ) (z = x x < )} (reunião dos dois semi-planos z = x x e z = x x < ). (e) f(x, y) = (x, y) = x 2 + y 2. {(, )}, k = C k = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = k 2 }, k >, k < ; G f = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 } (z 2 = x 2 +y 2 z, semi-cone superior com o vértice em (,,) e orientado segundo o eixo dos zz). (f) f(x, y) = x 2 + y 2. {(, )}, k = C k = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = k}, k >, k < ; G f = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 } (paraboloide elíptico com o vértice em (,,) e orientado segundo o semi-eixo positivo dos zz). (g) f(x, y) = e x2 2y 2. {(, )}, k = C k = {(x, y) R 2 x : 2 + y2 = }, < k < lnk ( ln k)/2, k k > ; ISA/UTL Análise Matemática 2/ 3

.. DOMÍNIO, CURVA DE NÍVEL E GRÁFICO. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS. CONTINUIDADE. G f = {(x, y, z) R 3 : z = e x2 2y 2 }. 3. Relativamente a cada uma das funções indicadas nas alíneas (f) e (g) do exercício anterior: (a) Defina a curva de nível que passa no ponto (, ). (f) C 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 2}; (g) C e 3 = {(x, y) R 2 : x2 3 + y2 3/2 = }. (b) Diga, justificando, se o ponto (,, ) pertence ao respectivo gráfico. Não, pois f(, ) em ambos os casos. (c) Determine o respectivo contradomínio. (f) CD = [, + [; (g) CD =], ]. 4. Defina analitica e geometricamente as curvas de nível para as seguintes funções, indicando em cada caso o respectivo domínio: x (a) f(x, y) = x + y. D = {(x, y) R 2 : (x y > x) (x y < x)}; {(x, y) R 2 : x = } \ {(, )}, k = C k = {(x, y) R 2 : y = k2 x} \ {(, )}, k > k 2, k ; C é o eixo dos yy excepto o ponto (,). Quando k >, C k é a recta y = k2 k 2 excepto o ponto (,). (b) f(x, y) = x2 y. ISA/UTL Análise Matemática 2/ 4 x

CAPÍTULO. TÓPICOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL D = {(x, y) R 2 : y }; {(x, y) R 2 : x = y }, k = C k = {(x, y) R 2 : y = k x2 y }, k ; C é o eixo dos yy excepto o ponto (,). Quando k, C k é a parábola y = k x2 excepto o ponto (,). 5. Identifique analitica e geometricamente os conjuntos de nível das seguintes funções: (a) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. {(,, )}, k = C k = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = k}, k >, k < ; Quando k >, C k é a esfera centrada em (,, ) e de raio k. (b) f(x, y, z) = x 2 + y 2. {(x, y, z) R 3 : x = y = }, k = C k = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = k}, k >, k < ; C é o eixo dos zz. Quando k >, C k é o cilindro elíptico cuja intersecção com qualquer plano z = c é a circunferência centrada em (,, c) e de raio k. (c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 z. C k = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z + k}, k R, é um paraboloide elíptico com o vértice em (,, k) e orientado segundo o semi-eixo positivo dos zz. 6. Determine uma função para a qual: ISA/UTL Análise Matemática 2/ 5

.2. DERIVADAS PARCIAIS. PLANO TANGENTE. (a) y = 3x + 4 é uma curva de nível. y = 3x + 4 é, por exemplo, a curva de nível 4 de f(x, y) = y 3x. (b) x 2 y = é uma curva de nível. x 2 y = é, por exemplo, a curva de nível de f(x, y) = x 2 y. (c) x 2 y = é uma superfície de nível. x 2 y = é, por exemplo, a superfície de nível de f(x, y, z) = x 2 y. (d) x 2 + y 2 = 4 é uma superfície de nível. x 2 + y 2 = 4 é, por exemplo, a superfície de nível 4 de f(x, y, z) = x 2 + y 2..2 Derivadas parciais. Plano tangente. Exercícios 2. Determine as derivadas parciais de a ordem das seguintes funções: (a) f(x, y) = x 3 y 2xy 2 + x 4. f x(x, y) = 3x 2 y 2y 2 + 4x 3 ; f y(x, y) = x 3 4xy. (b) f(x, y) = 2x x 2 + y 2 +. f x (x, y) = 2 x 2 + y 2 + + 2x 2 x 2 +y 2 + ; f y (x, y) = 2xy x 2 +y 2 +. ISA/UTL Análise Matemática 2/ 6

CAPÍTULO. TÓPICOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL (c) f(x, y) = x 3 + cos(x + 3y). f x (x, y) = 3x2 sin(x + 3y); f y (x, y) = 3 sin(x + 3y). x (d) f(x, y) = e 2 +y 2 +. f x(x, y) = e x 2 +y 2 + x x ; f y(x, y) = e 2 +y 2 + x 2 +y 2 + y x. 2 +y 2 + (e) f(x, y) = e y2 cos(x 2 + y 2 ). f x (x, y) = 2xe y2 sin(x 2 + y 2 ); f y (x, y) = 2ye y2 (cos(x 2 + y 2 ) + sin(x 2 + y 2 ). (f) f(x, y) = ln( x y 2 ). f x (x, y) = x ; f y (x, y) = 2 y. (g) f(x, y, z) = (2x y + z)e x y. f x (x, y, z) = ex y (2 + 2x y + z); f y (x, y, z) = ex y ( + 2x y + z); f z(x, y, z) = e x y. 2. Considere a função f(x, y) = x y. Calcule f f (, 2) e (, 2). x y f x (, 2) = 2 ; f y (, 2) = 4. 3. Seja f : R 2 R tal que f(x, ) = x 2 para todo o x R e f(, y) = y + e y para todo o y R. Calcule f f (, ) e (, ). x y ISA/UTL Análise Matemática 2/ 7

.2. DERIVADAS PARCIAIS. PLANO TANGENTE. f f (, ) = 2; (, ) =. x y 4. Indique uma equação do plano tangente ao gráfico de: (a) f(x, y) = x y x 2 + y 2 + em (, 3, f(, 3)). 5 (x ) + (y 3) (z + 2 ) =. 2 2 (b) f(x, y) = x 3 xy + e y em (,, ). 3(x + ) + 2y z =. (c) f(x, y) = sin(3x + ye x ) em (,, f(, )). 3x + y z =. 5. Calcule as derivadas parciais até à 2 a ordem e indique as matrizes Jacobiana e Hessiana de: (a) f(x, y) = x. [ J(x, y) = ] ; H(x, y) =. (b) f(x, y) = x 2 + y ln x. [ J(x, y) = 2x + y x ln x ] ; H(x, y) = 2 y x 2 x x. (c) f(x, y, z) = ln(x + y 2 + z 2 ). J(x, y) = x+y 2 +z 2 [ 2y 2z ] ; ISA/UTL Análise Matemática 2/ 8

CAPÍTULO. TÓPICOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL H(x, y, z) = (x+y 2 +z 2 ) 2 2y 2z 2y 2x 2y 2 + 2z 2 4yz 2z 4yz 2 + 2y 2 2z 2. (d) f(x, y) = (x, y) em R 2 \ {(, )}. J(x, y) = H(x, y) = (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 x 2 +y 2 [ y2 x y ] ; xy xy x 2 (e) f(x, y) = x (x, y) em R 2 \ {(, )}. [ x2 J(x, y) = + y 2 + x2 H(x, y) = 2x3 + 3xy 2 y 3. (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 y 3 x 3. ] xy x 2 +y 2 x 2 +y 2 ;.3 Extremos livres Exercícios 3. Determine os pontos críticos das seguintes funções e estude a sua natureza: (a) f(x, y) = x 4 + y 4 4xy. (,) é um ponto de sela e f(, ) = f(, ) = 2 são mínimos. (b) f(x, y) = x 4 + y 4 + 8x 2 y 2 + 2x 3. (,) é um ponto de sela e f( 9, ) = 287 é um mínimo. (c) f (x, y) = (x ) (3 x) y 3 y. ISA/UTL Análise Matemática 2/ 9

.3. EXTREMOS LIVRES (2, 3 ) e (2, 3 ) são pontos de sela. (d) f(x, y) = x + y + /x + 4/y. (,-2) e (-,2) são pontos de sela, f(, 2) = 6 é um mínimo e f(, 2) = 6 é um máximo. (e) f (x, y) = x 4 + y 4 (x y) 2. (,) é um ponto de sela, f(, ) = 2 e f(, ) = 2 são mínimos. 2. Considere f : R 2 R, definida por f(x, y) = x 2 + ay 2, com a. (a) Analise, para os diferentes valores de a, a existência de extremos locais da função f. Para a >, f(, ) = é um mínimo; para a <, (, ) é um ponto de sela; para a =, f(, y) = é um mínimo qualquer que seja y R. (b) Interprete geometricamente o problema. O gráfico de f é: para a >, o parabolóide elíptico z = x 2 + y2 /a com o vértice em (,,) e orientado segundo o semi-eixo positivo dos zz; para a <, o parabolóide hiperbólico z = x 2 y2 / a ; para a =, o cilindro parabólico z = x2. 3. Seja f(x, y) = x 2 + kxy + y 2, em que k é uma constante. (a) Mostre que f admite um ponto crítico em (, ) independente do valor de k. f x (, ) = f y (, ) = qualquer que seja k R. ISA/UTL Análise Matemática 2/

CAPÍTULO. TÓPICOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL (b) Para que valores de k o ponto (, ) é um ponto de sela? Justifique a resposta. Para k < 2 k > 2, porque det H f (, ) < (f(, ) é mínimo para os restantes valores de k). 4. Calcule, justificando convenientemente, os valores de a, b e c para que f(x, y) = a (x 2 + bx + y 2 + cy) tenha um máximo de valor 5 no ponto ( 2, ). f x( 2, ) = A solução do sistema f y ( 2, ) = f( 2, ) = 5 é a =, b = 4, c = 2. 5. Prove que (,, ) é um ponto crítico de f(x, y, z) = x 4 +y 4 +z 4 4xyz e determine a sua natureza. f x (,, ) = f y (,, ) = f z (,, ) = ; f(,, ) é um mínimo. ISA/UTL Análise Matemática 2/

.3. EXTREMOS LIVRES ISA/UTL Análise Matemática 2/ 2

Capítulo 2 Integrais duplos Exercícios 4. Calcular: y (a) dxdy, D = {(x, y) : x, y 2}. x + D 3 ln 2. 2 (b) 2 (x + y) dydx. 2. (c) 2 ye xy dydx. 2 (e2 e 2 ) 2. (d) D cosxsin y dxdy, D = [, π ] [, π ]. 2 2. 3

2. Calcule os integrais e represente os domínios de integração: (a) x 2 dydx. 3. (b) 2 3x+ 2x xdydx. 2 3. (c) e ln y ye x dxdy. e 3 6 e 2 + 3. (d) D xy dxdy, D = {(x, y) : x, x 4 4y 2 }.. (e) D (x 2 + y 2 ) dxdy, D = {(x, y) : x, y, 3x + y 9}. 45 2. 3. Considere o quadrado Q = [, ] [, 2], e a função f(x, y) = y x 2. Calcule f(x, y) dxdy. Q + 2 x 2 y + x 2 dydx + x 2 y x 2 dydx = 46 5. 2 x 2 y x 2 dydx + x 2 y + x 2 dydx 4. Inverta a ordem de integração e calcule o integral. ISA/UTL Análise Matemática 2/ 4

CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DUPLOS (a) y (x 2 + y 3 x) dxdy. x 2 (x 2 + y 3 x) dydx = 29 2. (b) x x e x y dydx. y 2 y e x y dxdy = e 2. (c) (d) 2 y 2 (x + y) 2 dxdy. 2x ( ) y 3 + cos dydx. x 2 y 2 (x + y) 2 dydx = 3 6. ( ) y 3 + cos dxdy = 2 2 3 (sin() sin( 2 ) ). 5. Represente a região de integração e inverta a ordem de integração. (a) x 2 f(x, y) dydx. y 2 f(x, y) dxdy. y 2 (b) (c) x / 2 f(x, y) dydx + ( x 2 y x 2 y f(x, y) dy 2 2 x f(x, y) dxdy. ) dx + f(x, y) dydx. 2 ( x ) f(x, y) dy dx+ ISA/UTL Análise Matemática 2/ 5

( 2 ) 4 x 2 + f(x, y) dy dx. 2 / 2 4 y 2 y 2 f(x, y) dxdy + 2 / 2 y 4 y 2 f(x, y) dxdy. 6. Calcular volume de V = {(x, y, z) : y, z, x 2 + z 2, x + y 2}. 7. Calcule o volume do sólido limitado pelos parabolóides 4 z = x 2 + y 2 e 9 3z = x 2 + y 2. 8. Calcular o volume limitado pelo parabolóide z = 2x 2 + y 2 e a superfície cilíndrica z = 4 y 2. 9. Calcule a área de D = {(x, y) : x 2 + y 2 9}. ISA/UTL Análise Matemática 2/ 6