Ficha de Trabalho n.º 3 página.1. Mostre que o ponto C tem coordenadas ( 09, ) e que o ponto D tem coordenadas ( 8, 9 )... Determine uma equação da mediatriz do segmento AD. Apresente a sua resposta na forma y = ax + b (a e b designam números reais)..3. Defina, por meio de uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a fronteira..4. Determine o perímetro do trapézio ABCD..5. Determine a área do losango ADEF. 3. Num referencial ortogonal e monométrico xoy, considere: o ponto P de coordenadas ( 01, ) um ponto Q, tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da sua ordenada Seja y a ordenada do ponto Q. Mostre que a distância do ponto Q ao ponto P é y + 1. 4. 5. Na figura estão representados, num referencial ortogonal e monométrico xoy, a circunferência que tem centro no ponto A (, ) 47 e que contém o ponto D (, ) Sabe-se que: 810. CF é a corda da circunferência contida no eixo Oy CD é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox AE é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy ABCD é um trapézio retângulo
Ficha de Trabalho n.º 3 página 3 5.1. Determine a área do trapézio ABCD. 5.. Determine uma equação da mediatriz do segmento AD. Apresente a sua resposta na forma y = ax + b (a e b designam números reais). 5.3. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira. 6. (A) (B) (C) (D) 7.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 4 8. 8.1. Defina, por meio de uma condição, a aresta [ UQ ]. 8.. Averigue se o ponto T pertence ao plano mediador do segmento [ AV ]. 8.3. Desenhe, a lápis, a secção produzida no cubo pelo plano PQA e determine o seu perímetro. 9.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 5 9.1. 9.. 10.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 6 11. 11.1. Determine as coordenadas do ponto H. 11.. Escreva uma equação que defina a superfície esférica com centro no ponto A e que passa no ponto B. 11.3. Escreva uma condição que defina a reta que passa no ponto G e que é paralela ao eixo Oy. 1.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 7 13. 14. 14.1. 14.. 15.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 8 16. 16.1. 16.. 16..1. 16...
Ficha de Trabalho n.º 3 página 9 17. 17.1. 17..
Ficha de Trabalho n.º 3 página 10 18. 19. A condição que representa o conjunto a sombreado na figura seguinte é: (A) x + y 4 y 0 ( y x y x) (B) x + y 4 y 0 y x (C) x + y 4 ( y x y x) (D) x + y 4 y x y x 0. Num referencial o.n. considere os pontos P( 1,1 ) e Q (, 3 ). O raio da circunferência de centro em Q e que passa por P é: (A) 3 (B) (C) 5 (D) 4 1. No plano, a intersecção do círculo ( + ) + ( y 1) 3 x com o eixo Oy : (A) é um segmento de reta (B) são dois pontos (C) é um ponto (D) é o conjunto vazio. De uma circunferência sabe-se que tem o centro no ponto de coordenadas ( ) 4, e contém = o ponto de intersecção da bissetriz dos quadrantes ímpares com a reta de equação x 3. Uma equação da circunferência pode ser: (A) ( x ) + ( y + 4) = 6 (B) ( x + ) + ( y 4) = 6 (C) ( x ) + ( y + 4) = 6 (D) ( x + ) + ( y 4) = 6
Ficha de Trabalho n.º 3 página 11 3. Qual das seguintes condições define uma circunferência cujo centro está sobre o eixo dos xx A 0,3 : e que contém o ponto ( ) (A) x + ( y + ) = 16 (B) x + ( y ) = 18 1 (C) ( x ) + y = 1 (D) ( x 1) + y = 16 4. Considere as seguintes afirmações: x y y I - A circunferência definida por + 6 = 16 tem centro C(0,3) e raio 5. II As coordenadas do ponto simétrico de A (3, -) relativamente à origem de um referencial o. m. são (, -3). Relativamente às afirmações anteriores podemos dizer que: 3 (A) Ambas são verdadeiras; (C) I é falsa e II é verdadeira; (B) Ambas são falsas; (D) I é verdadeira e II é falsa. 5. O lugar geométrico definido pelo conjunto de pontos do plano que distam 3 unidades do ponto de intersecção das retas x=1 e y= é: (A) ( x+ 1) + ( y+ ) = 9 (B) ( x ) ( y ) 1 + = 3 (C) ( x+ 1) + ( y+ ) 9 (D) ( x ) ( y ) 1 + = 3 6. Considere, num referencial o.n. plano, os pontos A ( 0, ), B (, 1 ), C( ) D ( a +,6 5a), a IR. 6.1. Escreva a equação de uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas que passa no ponto C. 6.. Classifique o triângulo [ABC] quanto aos lados e determine o valor exato do seu perímetro (as medidas estão em centímetros). 6.3. Escreva a equação de uma circunferência de centro em B e que contém o ponto C. 6.4. Escreva a condição do círculo de diâmetro [AB]. 6.5. Mostre que a mediatriz de [AB] é a reta de equação 8 x y 1 = 0. 6.6. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção da mediatriz de [AB] com os eixos coordenados. 6.7. Determine o valor de a de modo que o ponto D pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. 3,1 e 7. Identifique o lugar geométrico e escreva a respetiva condição em 7.1. o conjunto dos pontos que distam de ( 1,6 ) 7.. o conjunto dos pontos equidistantes de C ( 0,5 ) e (,3 4 ) B três unidades. D. R que defina: 8. Represente, num referencial do plano, o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condição: ~ x < y x x + y + 1 <. [ ] ( ) ( ) 9
Ficha de Trabalho n.º 3 página 1 9. Considere, num referencial cartesiano ortogonal e monométrico, os pontos A (1,-), B(3,5) e C(-, 0). 9.1. Determine a distância de A a C. 9.. O ponto B está mais próximo de A ou de C? Justifica. 9.3. Qual é a posição de cada um dos pontos em relação à circunferência de centro na origem e raio 5? 9.4. Escreva uma equação da mediatriz de [AB]. 30. Dados os pontos T (-, 4) e M( k, 3 ), determine o número real k de modo que M diste de T 10 unidades. 31. Num referencial cartesiano são dados os pontos A (-6, 4) e B(3, -1). 31.1. Escreva uma equação da circunferência de centro na origem e que passa por A. 31.. Determine o perímetro dessa circunferência e a área do círculo que ela limita. 31.3. Determine o simétrico do ponto A em relação à reta y = 1 e representa-o por A. 31.4. Determine o perímetro e a área do triângulo [ABA ]. 3. A equação ( 1) + ( + ) = 9 x y k representa uma circunferência. Determina k IR de modo que a circunferência passe pela origem. 33. Num terreno, um agricultor plantou três árvores. Ele pretende instalar um ponto de rega situado à mesma distância das três árvores. 33.1 Num pequeno texto explique o processo a utilizar para localizar o ponto de rega. 33. Admite que o agricultor tinha considerado um referencial cartesiano xoy. As árvores plantadas situavam-se nos pontos A (, 0), B(-4, ) e C(-1, 3). Determine as coordenadas do ponto de rega. 34. Representa num referencial cartesiano o conjunto de pontos definidos pelas condições: 1 34.1. x + ( y + ) > 9 1 9 4 34.. x + + ( y + 1) ( x + 1) + ( y + 1) 4 34.3. ( x 0 x ) ( x 1) + ( y + 1) 4 34.4. ( y x y 0) x + y 4 x + y 5 35. Define analiticamente os conjuntos de pontos: 35.1. 35.. onde B ( 3, 4)
Ficha de Trabalho n.º 3 página 13 36. O centro e o raio da esfera definida pela condição ( + 3) + ( y 1) + z 8 respetivamente: C 0,1,3 e = 8 (A) ( ) C 0,1,3 e = 8 (C) ( ) r (B) ( ) C 0,1,3 e r = 8 r (D) ( ) C 0,1,3 e r = x são, 37. Qual das seguintes condições define, num referencial tridimensional Oxyz, a recta P? perpendicular ao plano yoz que passa pelo ponto ( ) (A) = 1 y = 3,,1 x (B) y = z = 3 (C) x = 1 z = 3 (D) x = 1 38. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o ponto Q (3, 0, -). O plano que passa pelo ponto Q e é paralelo ao plano xoy é: (A) z = (B) x = 3 z = (C) y = 0 (D) x = 3 39. A intersecção da superfície esférica ( 1) + + ( + ) = 5 x y z com o plano xoz é: (A) um círculo do plano xoz de centro (,0,1 ) e raio 5 (B) um círculo do plano xoz de centro (,0,1 ) e raio 5 (C) uma superfície esférica do plano xoz de centro ( ) (D) uma circunferência do plano xoz de centro (,0,1 ),0,1 e raio 5 e raio 5 40. Num referencial o. n. Oxyz, considere os pontos P ( 0,0, 4) e Q ( 0, 4,0) pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [ PQ ]? (A) A ( 1, 0, 0) (B) B ( 1,, 0) (C) C (,1,0 ) (D) D ( 1, 0, ) 41. Seja A o conjunto de pontos assinalados na figura ao lado. A condição que define o conjunto A é: z = z ( B ) x 5 (A) = 5 y z (D) z 5 (C) 5 4. Num referencial o.n. Oxyz, considere: x + y + z 5 A esfera definida pela condição O plano de equação z = 4 Qual é a área da intersecção da esfera com o plano? (A) π (B) 3π (C) 6π (D) 9π 43. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz um cubo: O vértice O é a origem do referencial; O vértice A pertence ao eixo Oz; O vértice G pertence ao eixo Oy; O vértice E pertence ao eixo Ox; OGFE ; H é o centro da face [ ] Uma equação do plano que contém os pontos A, B e C é = 10 z.. Qual dos seguintes
Qual a equação do plano que passa em H e é paralelo ao plano Ficha de Trabalho n.º 3 página 14 x0 z? (A) z = 0 (B) x = 5 (C) y = 5 (D) y = 10 44. Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide regular de base quadrada (ver figura). Sabe-se que: a base da pirâmide está contida no plano xoy ; a aresta [ PQ ] é paralela ao eixo Oy ; o ponto V tem de coordenadas ( 0,0,6 ). Uma equação do plano α tem de equação z = 3. O plano α é (A) perpendicular ao plano xoy (B) paralelo ao plano yoz (C) perpendicular ao eixo Oz (D) paralelo ao plano RQV 45. Na figura está representado um cubo [ABCDEFGH] de aresta 8. A origem do referencial coincide com o centro de gravidade do cubo. 45.1. Indique as coordenadas dos vértices do cubo. 45.. Determine os simétricos do ponto B em relação: a) ao plano xoy b) ao plano yoz c) ao eixo Ox d) ao eixo Oz e) à origem. 45.3. Considere M o ponto médio de [DH] e N o ponto médio de [BF]. Mostre que o quadrilátero [CMEN] é um losango mas não é um quadrado. 46. Considere o prisma quadrangular regular da figura ao lado representado no referencial o.m. Oxyz, onde G ( 5,3,3 ). A origem do referencial é o ponto médio de [AC] e a face [ABCD] está contida no plano xoy. 46.1. Indique as coordenadas dos restantes vértices prisma. 46.. Escreva condições que definam: a) o plano BCG; b) o plano CDH; c) o plano paralelo a ABC e que passa no ponto ( 5,11, )7 ; d) a reta EH; e) a reta DC; f) a recta paralela a CG e que passa no ponto B.
46.3. Indique as coordenadas do simétrico de G em relação: a) ao plano xoy; b) ao plano yoz; c) ao eixo Oz; d) ao eixo Oy; e) à origem do referencial. 47. Considere, num referencial do espaço, o triângulo [ABC], sendo: A (,1 0, ), B ( 5,,4 ) e ( 7) Ficha de Trabalho n.º 3 página 15,0,3 C. 47.1. Classifique o triângulo [ABC] quanto aos lados e averigue se é retângulo. 47.. Determine o perímetro do triângulo com duas casas decimais. 48. Considere, num referencial ortogonal e monométrico Oxyz, o sólido representado na figura e que é constituído por um prisma triangular reto assente num cubo, sendo ( ) H ( 3,0,0 ). 48.1. Indique as coordenadas dos restantes vértices do sólido. 48.. Calcule o valor do perímetro do triângulo ABH, apresentado o resultado arredondado às centésimas. 48.3. Escreva: a) uma equação do plano EFD. b) Uma equação do plano mediador de [BH]; c) uma equação da reta FB. 48.4. Determine o simétrico de B relativamente ao plano yoz, ao eixo Ox e à origem. 48.5. Escreva a condição da esfera de centro em B e raio OF. 0,, B e 49. Considere num referencial o.n. Oxyz, um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. Sabe-se que: o vértice O do poliedro é a origem do referencial; o vértice B do poliedro tem coordenadas ; ( 4),4,4 a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo. 49.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices do poliedro. 49.. Mostre analiticamente que o triângulo [ABF] é retângulo. 49.3. Determine o simétrico de B em relação: a) ao plano xoz b) ao eixo Oy = c) à origem d) ao plano z.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 16 49.4. Escreva condições que definam: 49.4.1. o plano AGC 49.4.. a face [ABDE] 49.4.3. a reta GA 49.4.4. a aresta [FC] 49.4.5. a reta que passa em P e é paralela a AD 49.4.6. o plano mediador de [GC] 49.4.7. o plano ACD. 49.5. Escreva a equação da superfície esférica de centro em B e raio BP. 50. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo, onde a origem do referencial é o centro da face [AEDH] e o ponto C tem de. coordenadas ( 3),5, 50.1. Indique as coordenadas dos restantes vértices do paralelepípedo. 50.. Identifique a reta definida por x = z = 3. 50.3. Defina analiticamente o plano que contém a face [BCFG]. 50.4. Escreva uma condição que defina a superfície esférica de diâmetro [EC]. 50.5. Escreva uma condição que defina a reta de intersecção dos planos FBD e CGH. 50.6. Defina por uma condição o paralelepípedo. 51. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um poliedro [ ABCDEFGO ] resultante da secção feita pelo plano DCG, no paralelepípedo [ OGFEBHIA ]. Sabe-se que: a face [ OBGH ] está contida no plano yoz ; o ponto I tem de coordenadas ( 3,6,5 ); a aresta [CD] é paralela ao eixo Ox ; BC = OG. 3 51.1. Indique dois planos concorrentes não perpendiculares. 51.. Qual a posição relativa das retas AB e BG? 51.3. Indique as coordenadas dos restantes pontos. 51.4. Determine o valor exato do perímetro da secção feita no paralelepípedo pelo plano DCG. 51.5. Escreva uma condição que defina a reta AD. 51.6. Escreva uma condição que defina a superfície esférica de centro I e raio AG.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 17 5. Construi-se a partir de um cubo o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se um cuboctaedro. Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R tem de coordenadas ( 6,6,6 ). 5.1. Qual a posição relativa: 5.1.1. dos planos ABC e CGL; 5.1.. das retas BG e DH. 5.. Indique as restantes coordenadas dos pontos assinalados na figura. 5.3. Verifique analiticamente se o triângulo [ABL] é retângulo e determine a expressão simplificada do valor exato do seu perímetro. 5.4. Indique as coordenadas do ponto simétrico de R em relação ao plano xoz e ao eixo Oy. 5.5. Escreva condições que definam: 5.5.1. o plano DEH; 5.5.. a reta GH; 5.5.3. a reta que passa em C e é paralela ao eixo Oz ; 5.5.4. o plano paralelo a xoy e que passa em G ; 5.5.5. o cubo. 5.6. Escreva a condição que define a esfera de centro em D e raio DB. 5.7. Mostre que a razão dos volumes do cubo e do cuboctaedro é 1,. 53. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido formado por um paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH] e uma pirâmide [ABCDV]. A base [EFGH] do paralelepípedo está contida no plano xoy, a base da pirâmide coincide com a face superior do paralelepípedo e V ( 0,0,3 ). A aresta [GF] está contida no eixo Oy. Uma equação da superfície esférica com centro A( 1,1,1 ) e que contém G é ( x ) ( y ) ( z ) 1 + 1 + 1 = 11. Admitase que a unidade do referencial é o centímetro.
Ficha de Trabalho n.º 3 página 19 Soluções: 1.1 A ( 1, 5), B ( 3, 5), C ( 3,1) e D ( 1, 1) x y y y x x. y = 4 x + 31 3 1.3 ( ) + ( 3) 5 ( 5 1 1 3) x + 4 + y 6 5 4 x 0 y 6.4 P = 0.5 A = 0 4. A.3 ( ) ( ) 5.1 A = 18 5. = 4 + 33 3 y x 5.3 ( ) ( ) x 4 + y 7 5 0 x 4 y 7 6. B 7. B 8.1 x = y = 0 z 8. Sim 8.3 Retângulo P = 4 + 5 x 5 + y 5 + z = 50 9. 9.1 ( ) ( ) 11. ( ) ( ) ( ) 5, 5,9 W 10. B 11.1 H ( 9, 3,17 ) x 11 + y + 1 + z = 49 11.3 x = 6 z = 15 1. C 13. A!!!" 14.1 = 3 x + y + z + = 9 15. A 16.1 AB, E, F z 14. ( ) ( ) 16..1 A = 49 16.. x = 10 y = 8 17.1 concorrentes, FB, estritamente paralelos, concorrentes, PQR 17. V = 16 18. B 19. A 0. C 1. D. D 3. D 3 4. D 5. D 6.1 y = 3 6. escaleno, P = 17 + 3 + 5 x + y + 1 = 17 6.4 6.3 ( ) ( ) 6.7 = = 3 x + y + 1 5 6.6 4 1,0, 0, 1 8 + 6 + 1 = 19 a a 7.1 Circunferência de centro B e raio 3: ( x ) ( y ) 7. Mediatriz do segmento de reta CD : y = x. 8. 9.1 AC = 13 9. C 9.3 A pertence, B exterior, C interior 9.4 y = x + 9 7 7 30. k = 5 k = 1 31.1 x + y = 5 31. P = 4 13π e = 5π A 31.3 A '( 6, 6)
Ficha de Trabalho n.º 3 página 0 31.4 P = 10 + 106 e A = 45 3. k =± 33.1 Ponto de encontro das mediatrizes das 3 árvores 33. 34.1 34. P 17, 5 14 14 34.3 34.4 35.1 x + y 5 ( x 3 y 4) + + x y 1 1 x 0 x y 1 1 x 0 y x 36. D 37. B 35. ( ) ( ) 38. A 39. D 40. A 41. D 4. D 43. C 44. C 45.1 A ( 4, 4, 4), B ( 4, 4, 4), C ( 4, 4, 4), D ( 4, 4, 4), E ( 4, 4, 4), ( 4, 4, 4) F, G ( 4, 4, 4 ), H ( 4, 4, 4) 45. a) ( 4, 4, 4 ) b) ( 4, 4, 4 ) c) ( 4, 4, 4 ) d) ( 4, 4, 4 ) e) ( 4, 4, 4 ) 46.1 A ( 3, 3, 0), B ( 3, 3, 0), C ( 3, 3, 0), ( 3, 3, 0) D,
Ficha de Trabalho n.º 3 página 1 E ( 3, 3, 5 ), F ( 3, 3, 5), ( 3, 3, 5) H 46. a) y = 3 b) x = 3 c) z = 7 d) y = 3 z = 5 e) x = 3 z = 0 f) = 3 = 3 b) ( 3, 3, 5 ) c) ( 3, 3, 5 ) d) ( 3, 3, 5 ) e) ( ) x y 46.3 a) ( 3, 3, 5 ) 3, 3, 5 47.1 Escaleno. Não. 47. 9,71 48.1 O ( 0, 0, 0), A ( 0,, 0), C (, 0, 0), D ( 0, 0, ), E ( 0,, ), (,, ) G (, 0, ), (, 0, 3) I 48. 9,73 48.3 a) z = b) 4x 4y + 6z 1 = 0 c) x = y = 48.4 (,, 0 ), (,, 0 ) 48.5 ( ) ( ) x + + y + z = 1 F, 49.1 A ( 4, 0, 4), C ( 0, 4, 4), D ( 4, 0, 0), E ( 4, 4, 0), F ( 0, 4, 0), O ( 0, 0, 0), (,, 8) Q (,, 4) 49.3 a) ( 4, 4, 4 ) b) ( 4, 4, 4 ) c) ( 4, 4, 4 ) d) ( ) 49.4. x = 4 0 y 4 4 z 0 49.4.3 y = 0 z = 4 P, 4, 4, 0 49.4.1 z = 4 49.4.4 x = 0 y = 4 4 z 0 49.4.5 x = y = 49.4.6 y = 49.4.7 y = x + 4 49.5 ( x 4) + ( y 4) + ( z + 4) = 4 50.1 A (, 0, 3), B (, 5, 3), (, 0, 3) E (, 0, 5), F (, 5, 3), G (, 5, 3), (, 0, 3) 50.3 = 5 3 3 H 50. DC y x z 50.4 x y ( z 1) D, + 5 + = 105 4 50.5 y = 0 z = 3 50.6 x 0 y 5 3 z 3 51.1 ABC e DCF 51. concorrentes perpendiculares 51.3 A ( 5, 0, 3), B ( 0, 0, 3), C ( 0, 4, 3), ( 5, 4, 3) E ( 5, 0, 0), F ( 5, 6, 0), G ( 0, 6, 0), ( 0, 6, 3) 51.6 ( ) ( ) ( ) D, H 51.4 P = 10 + 13 51.5 x = 5 z = 3 x + 5 + y 6 + z 3 = 70 5.1.1 concorrentes perpendiculares 5.1. estritamente paralelas 5. A ( 3, 0, 6), B ( 0, 3, 6), C ( 3, 6, 6), D ( 6, 3, 6), ( 6, 0, 3) G ( 0, 6, 3), H ( 6, 6, 3), I ( 6, 3, 0), ( 3, 6, 0) ( ) L 5.3 Sim. = 9 + 3 6 E, P 5.4 ( ) 6, 6, 6, 6, 6, 6 5.5.1 x = 6 5.5. y = 6 z = 3 5.5.3 x = 3 y = 6 5.5.4 z = 3 x y z 5.6 ( x ) ( y ) ( z ) 5.5.5 0 6 0 6 0 6 6 + 3 + 6 36 53. B ( 0,1,1 ), C ( 0,,1), D ( 1,, 1), E ( 1, 1, 0), F ( 0,1, 0), ( 1,, 0 )!!!!"!!!!"!!!" 54.1.1 AC e DC 54.1. AE e!!!"!!!" 54..4 ED 54..5 EF 54..6!!!" AB 54.1.3!!!" HJ 55. D 56. D H 53.3 A =!!" FI 54..1 C 54.. F 54..3!!!" EF