UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO AUTORES: Mayara Brito (estagiária da BOM) André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR: Dr. Professor Márcio Lima (coordenador da BOM) 1
Círculo Trigonométrico (CIDEPE) Neste texto vamos falar sobre a trigonometria e o quadro trigonométrico, mas para iniciar, uma pergunta é fundamental: o que é a trigonometria? A palavra Trigonometria é de origem grega onde: trigono= triângulo e metria= medidas, é o ramo da Matemática que estuda a proporção entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. Depois dessa definição surgem as seguintes perguntas, o que é um triângulo retângulo? E um ângulo agudo? Para responder a essas perguntas precisamos de algumas definições antes, como: circunferência, o número PI (π), ângulo. O que é uma circunferência? Podemos dizer que é uma figura formada pela união de infinitos pontos que estão localizados à mesma distância de seu centro (um ponto fixo). Observe: Figura 1: circunferencia A distância do ponto fixo até qualquer um ponto da circunferência é chamado de raio. O diâmetro da circunferência é a medida de um ponto da circunferência a outro, passando pelo centro, ou seja, a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. Figura 2: Raio Figura 3: Diametro O contorno da circunferência é o seu diâmetro. Para calcular o diâmetro, basta contornar a circunferência com um fio e medi-lo. 2
Você já ouviu falar no pí? O que é o pí? Representado pela letra grega π, o pí é um número de valor aproximado a 3,14, é gerado pela divisão do comprimento de qualquer circunferência pelo seu raio, ou seja, o perímetro da roda gigante dividido pelo seu raio, e o perímetro de uma moeda dividido pelo raio é igual a aproximadamente 3,14. O que é ângulo? É a figura formada entre duas semirretas de mesma origem (A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso significa, possui início, mas não tem fim.), observe a imagem: Figura 4: ângulo Nessa imagem as semirretas são: AO e OB. O ponto de origem é O. A região entre OB e OA é o ângulo. As unidades de medidas mais trabalhadas para medidas de ângulos na trigonometria são: o grau e o radiano. O grau (símbolo ) é uma unidade de medida que corresponde a 1 de uma circunferência, ou seja, se dividir uma circunferência em 360 partes, uma 360 corresponderá a 1 grau. O radiano corresponde a razão entre o comprimento de seu arco com o raio da circunferência, é medido em pí, uma volta completa no círculo trigonométrico equivale a 2π. Para encontrar a relação entre as duas unidades de medidas, basta aplicar uma simples regra de três. Por exemplo: Você tem 90 o e gostaria de saber quanto vale em radiano, então: 360 2π x = 90 2π 360 x = π 2 90 x De acordo com as medidas os ângulos podem ser classificados como: agudo (ângulo com medida menor que 90 o ), obtuso ( medida maiores que 90 o e menores que 180 o ) ou reto (igual a 90 o ). Agora que já foram feitas as definições basicas necessárias, vamos conhcer o círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico. Círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico O Círculo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário, onde seu centro é a origem de um plano cartesiano (são duas retas perpendiculares, ou seja, formam um ângulo 3
de 90, e orientadas), em que o eixo das ordenadas é o seno e o eixo das abscissas é o cosseno. Foi criado para facilitar a visualização das proporções entre os lados dos triângulos. Existem dois sentidos: o positivo (anti-horário) e o negativo (horário). Relações trigonométricas Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo de 90, o lado posto a esse ângulo é chamado de hipotenusa e os outros dois de catetos. A proporção entre seus lados são denominadas de razões trigonométricas, que são: o seno, o cosseno e a tangente. O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (ao ângulo) e a hipotenusa, sen(x) =, no círculo trigonométrico é o eixo vertical. O cosseno de um ângulo cateto oposto hipotenusa cateto adjacente hipotenusa, é a razão entre seu cateto adjacente (ao ângulo) e a hipotenusa, cos(x) = no círculo trigonométrico é representado pelo eixo horizontal. A tangente de um ângulo é cateto oposto a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, tgn(x) =. No círculo trigonométrico é representado por uma reta paralela ao eixo do seno e toca apenas um ponto cateto adjacente da circunferência (tangente). Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados. Teorema de Pitágoras Você sabe o que é um triângulo retângulo? É um triângulo que possui um ângulo reto (que mede 90 o ). E para todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, que será explicado agora. Antes disso, observe a figura abaixo. Figura 5: Triângulo Retângulo Este triângulo é retângulo. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos. A hipotenusa é sempre maior do que os outros dois lados, ou seja, é o maior dos três lados. No triângulo da figura, a hipotenusa mede c, e os catetos medem a e b. O Teorema de Pitágoras diz que: a 2 + b 2 = c 2 Ou seja, que O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos!, certo? Agora, vamos tentar entender de onde vem isso. Existem várias maneiras para mostrar isso, usaremos a maneira de Bháskara. 4
Observe o triângulo retângulo abaixo, com hipotenusa c e catetos a e b. Bháskara construiu um quadrado sobre a hipotenusa, ou seja, um quadrado de lado medindo c, como na figura abaixo: E então dividiu esse quadrado entre quatro triângulos retângulos exatamente iguais ao original, sobrando um quadrado menor no centro, como nessa figura: Observando bem, a base do triângulo vermelho mede a. O cateto maior do triângulo verde mede b, logo o lado do quadrado menor mede (b - a). Sabemos que a área do quadrado maior é c 2. Mas, podemos botar esta mesma em função da soma das áreas dos quatro triângulos e do quadrado menor, como a seguir: c 2 = 4.( ba ) + (b a)2 2 c 2 = 2ab + b 2 2ab + a 2 c 2 = b 2 + a 2 - que é o nosso Teorema de Pitágoras 5
Lei Fundamental da Trigonometria Você já sabe o que é o círculo trigonométrico, certo? E acaba de entender o Teorema de Pitágoras. Agora, vamos para o próximo passo, a Lei Fundamental da Trigonometria. Observe a seguinte figura: Lembre-se que a reta que contém os pontos A e D chama-se eixo dos cossenos, e a reta perpendicular (que forma um ângulo reto) a ela chama-se eixo dos senos e que o círculo trigonométrico tem raio unitário. Nessa figura temos um ângulo α qualquer, determinado pelos pontos B, A e D. Sabe-se que: AB=1, BD=sen(α) e AD=cos(α) e que o triângulo é retângulo em D, ou seja, temos um ângulo reto no vértice D, logo, é hipotenusa do triângulo. Do Teorema de Pitágoras, segue: BD 2 + AD 2 = AB 2 sen 2 (α) + cos 2 (α) = 1 - que é a nossa chamada Lei Fundamental da Trigonometria. 6