Modelo Macroscópico para o Transporte Iônico Passivo pela Membrana Celular Como visto na aula 11, quando apenas uma espécie iônica pode fluir pela membrana celular existe um valor de equilíbrio para o potencial de membrana (o potencial de Nernst, E n ) tal que quando o potencial de membrana V m tem esse valor o fluxo dessa espécie iônica através da membrana se anula. Um modelo simples para capturar este fenômeno, sem recorrer à teoria de eletrodifusão e à equação de Nernst-Planck, consiste em assumir que a relação entre a densidade de corrente J n e o potencial de membrana V m é linear, do tipo lei de Ohm 1 : J n = g n (V m E n ), (1) onde g n é a condutância da membrana à espécie iônica n por unidade de área (pois J n é uma medida por unidade de área). Se quisermos calcular a corrente total passando pela membrana, teremos que multiplicar os dois lados da equação acima pela área da superfície da membrana A. Este modelo captura o fenômeno da existência de um potencial de equilíbrio dado pelo potencial de Nernst. Para verificar isto, basta fazer V m = E n na equação acima. O resultado é J n = 0 como desejado. 1 Para uma revisão sobre lei de Ohm, veja o apêndice desta aula. 1
Por outro lado, quando V m E n, a equação (1) implica que J n varia linearmente com a diferença entre V m e E n. Além de sua simplicidade, este modelo permite representar a relação entre o potencial de membrana V m e a densidade de corrente J n por um circuito elétrico equivalente (veja a figura abaixo). Observe a figura acima. No lado esquerdo temos um esquema para a membrana celular mostrando a densidade de corrente que passa através dela, do lado de dentro da célula para o lado de fora. No lado direito temos o modelo de circuito equivalente que representa a membrana e a densidade de corrente do ponto de vista elétrico. A membrana oferece uma resistência à passagem de corrente através dela, que é representada aqui pela condutância por unidade de área g n. 2
Existe uma diferença de potencial elétrico V m entre o lado de dentro e o lado de fora da membrana e a densidade de corrente J n é proporcional à diferença entre V m e o potencial de Nernst E n, de maneira que E n pode ser representado por uma bateria em série com a resistência g n. Para entender melhor: Da figura acima, vemos que a variação de potencial entre o lado de dentro e o lado de fora da membrana, V m, é numericamente igual à soma da variação de potencial pela resistência com a variação de potencial pela bateria E n. Chamando a resistência de R e omitindo o índice n para simplificar: Rearranjando: V m = RI + E. RI = V m E I = 1 ( R V E m ) = G( V m E). Dividindo pela área da superfície da membrana: I A = G A V m E ( ) J = g V m E ( ). A condutância de um canal iônico é uma quantidade positiva. Portanto, pela equação (1): se V m E n > 0, então J n > 0; se V m E n < 0, então J n < 0. Um transporte iônico que satisfaz essas condições é dito passivo, pois se origina apenas da diferença de potencial entre os dois lados da membrana sem gastos energéticos por parte da membrana. 3
As membranas celulares têm mecanismos para fazer com que íons passem através dela no sentido contrário ao definido pela relação entre V m e E n acima. Esses mecanismos requerem o gasto de energia por parte da membrana e o tipo de transporte proporcionado por eles é chamado de ativo. A convenção a ser adotada aqui para o sentido positivo de corrente através da membrana celular (convenção dos eletrofisiologistas) é a de que corrente que sai da célula é positiva e corrente que entra na célula é negativa. Como corrente elétrica é definida como movimento de cargas positivas, corrente positiva através da membrana corresponde a cargas positivas saindo da célula e corrente negativa através da membrana corresponde a cargas positivas entrando na célula. Por exemplo, suponha que os íons que fluem pela membrana são íons de potássio (K + ). A equação (1) fica então: J K = g K (V m E K ). (2) Se V m E K > 0, então J K > 0. Isto corresponde a: Corrente para fora da célula; Cargas positivas saindo da célula; Íons de potássio saindo da célula; Potencial dentro fica mais negativo em relação ao exterior (por causa da saída das cargas positivas); V m diminui (lembre-se que V m = V dentro V fora ); V m vai em direção a E K. 4
Tomando um exemplo concreto: Vamos supor que o potencial de Nernst do potássio é E K = 75 mv e que o potencial de membrana é V m = 70 mv. Note que V m E K = 70 mv ( 75 mv) = 5 mv > 0. Se cargas positivas saem da célula, o potencial dentro tende a ficar mais negativo, por exemplo indo a V m = 72 mv, que é mais próximo de E K. Quando V m = E K, a corrente para. Se V m E K < 0, então J K < 0. Isto corresponde a: Corrente para dentro da célula; Cargas positivas entrando da célula; Íons de potássio entrando na célula; Potencial dentro fica mais positivo em relação ao exterior (por causa da entrada das cargas positivas); V m aumenta; V m vai em direção a E K. Exemplo: E K = 75 mv e V m = 80 mv, portanto V m E K = 80 mv ( 75 mv) = 5 mv < 0. Se cargas positivas entram na célula, o potencial dentro tende a ficar mais positivo, por exemplo indo a V m = 78 mv, que é mais próximo de E K. Quando V m = E K, a corrente para. Podemos dizer que a corrente de potássio através da membrana é provocada pela diferença V m E K (em inglês diz-se que V m E K é a driving force para a corrente). O sentido da corrente é sempre tal que o potencial de membrana tende para o valor do potencial de equilíbrio (Nernst) do íon. 5
Faça como exercício para casa o mesmo estudo acima considerando o íon de sódio (Na + ) e depois o íon de cloreto (Cl - ). Use como valores de E Na e E Cl os valores da tabela da página 6 da aula 11. O resultado será o mesmo. O sentido da corrente sempre será o de forçar o potencial de membrana V m em direção ao potencial de equilíbrio do íon. Eletrodifusão Estacionária pela Membrana Celular O modelo de circuito elétrico para um canal iônico apresentado acima pode ser interpretado da seguinte maneira. Suponhamos que a membrana seja constituída por uma matriz impermeável na qual existam canais (poros) cheios de água, pelos quais os íons possam passar por eletrodifusão (figura abaixo). O fluxo iônico por esse poro pode ser modelado pelas equações de eletrodifusão vistas nas aulas passadas. 6
Para simplificar, vamos supor que a eletrodifusão é estacionária. Neste caso, como visto na aula 12, a densidade J n é constante e o problema de eletrodifusão é descrito pelas equações (6) e (7) daquela aula, reproduzidas abaixo: e, " J n = u n z n F$ RT dc n(x) # + z n Fc n (x) dv(x) % ' &, (3) 2 d V ( x) 2 ρ ( x) ε =. (4) Como vamos considerar aqui a corrente (ou a densidade de corrente) por um único canal da membrana, vamos usar um super-índice c (de canal) para indicar isto. Então, a equação de Nernst-Planck para um único canal fica: " J c n = u n z n F$ RT dc n(x) # + z n Fc n (x) dv(x) % '. & (5) Multiplicando a equação (5) por A (a área da seção reta do canal), obtemos uma expressão para a corrente passando pelo canal, I n c = AJ n c : " I c n = AJ c n = u n Az n F RT dc (x) n $ # + z n Fc n (x) dv(x) % ' &. (6) Esta equação pode ser manipulada da seguinte maneira. Primeiramente, vamos reescrevê-la como, " I c n = u n Az 2 n F 2 c n (x) $ RT # z n F 1 dc n (x) c n (x) + dv(x) % '. (7) & 7
Usando o fato de que 5910187 Biofísica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 13 1 c dc d = lnc, podemos escrever a equação (7) na forma (note que estamos apenas usando um artifício matemático para transformar a equação em outra que possa ser mais facilmente interpretada): I c n = u n Az 2 n F 2 c n (x) d " RT z n F lnc (x)+v(x) % $ n ' # & I n c u n Az n 2 F 2 c n (x) # RT = d z n F lnc (x)+v(x) & % n (. (8) $ ' Integrando ambos os lados de x = 0 a x = d: I n c u n Az n 2 F 2 d x=d # = d RT c n (x) z n F lnc (x)+v(x) & % n ( $ ' 0 x=0 I c n u n Az 2 n F 2 d 0 c n (x) $ = RT z n F lnc ' & n(x)+v(x) ) % ( x=d x=0 I c n u n Az 2 n F 2 d 0 c n (x) = RT ( z n F lnc (d) lnc (0) n n ) + ( V(0) V(d) ) I c n u n Az 2 n F 2 d 0 c n (x) = RT z n F ln $ c (d) ' n & )+V m, % c n (0) (9) ( onde se usou a definição de potencial de membrana: V m = V(0) V(d). 8
Lembrando que o potencial de Nernst do íon n é E n = RT z n F ln! c (d) $ n # &, " c n (0) % podemos reescrever a equação (9) como: 5910187 Biofísica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 13 I n c u n Az n 2 F 2 d = V m E n. c n (x) (10) 0 Podemos isolar I n c no lado esquerdo da equação acima, obtendo: I n c = γ n ( V m E n ), (11) onde definiu-se γ n = u naz 2 n F 2 d. (12) 0 c n (x) A grandeza γ n definida por (12) é a condutância do canal aberto. Portanto, no estado estacionário a equação de Nernst-Planck para um canal iônico pode ser colocada numa forma similar à do modelo da equação (1). Para verificar isto, basta dividir a equação (11) pela área da seção reta do canal iônico: J n c = I n c A = γ n A V m E n ( ) = g n c V m E n ( ). (13) 9
Nesta equação, J n c é a densidade de corrente pelo canal iônico e g n c é a condutância do canal aberto dividida pela área de sua seção reta. Como será visto mais para a frente neste curso, o transporte iônico passivo através de membranas é feito por canais iônicos microscópicos. Porém, eles não estão sempre abertos. Um canal pode estar aberto ou fechado para a passagem de íons em função de fatores como o valor do potencial de membrana ou a ligação de alguma molécula à membrana. Em um dado instante de tempo um canal iônico pode estar aberto ou fechado (ele não pode estar meio aberto ou meio fechado). Portanto, a corrente total através da membrana num dado instante de tempo pode ser calculada multiplicando a corrente por um canal, dada por (13), pelo número de canais abertos nesse instante de tempo. Como estamos estudando uma condição de estado estacionário, vamos supor que o número de canais abertos não varia no tempo, ou seja, embora os canais estejam se fechando e abrindo constantemente, a fração de canais abertos em relação ao número total de canais da membrana permanece constante ao longo do tempo. Esta fração pode ser entendida como a probabilidade p de que um canal esteja aberto. Se N for o número de canais da espécie iônica n presentes na membrana, pn dá o número de canais abertos (uma constante ao longo do tempo no regime estacionário). 10
Então, a corrente iônica total da espécie n através da membrana é I n = pni n c = pnγ n ( V m E n ). (14) Em geral, é muito difícil determinar o número total de canais em uma membrana, mas pode-se estimar a densidade ρ de canais por unidade de área da membrana. Se A for a área total da superfície da membrana (não confundir com A, que é a área da seção reta de um canal), o número total de canais da espécie iônica n pode ser escrito como N = ρa. (15) Substituindo (15) na equação (14) obtemos: I n = pρaγ n ( V m E n ) = G n (V m E n ). (16) Nesta equação, G n = pρaγ n é a condutância da membrana à espécie iônica n no estado estacionário. Em palavras: Condutância G n = condutância de um canal número total de canais fração do número total de canais que estão abertos A equação (16) nos dá a corrente total pela membrana. Para obter a densidade de corrente total pela membrana temos que dividir a corrente total pela área A da membrana. Fazendo isso, obtemos: J n = I n A = pργ n ( V E m n) = g n (V m E n ), (17) 11
onde definiu-se a densidade de condutância da membrana à espécie iônica n como: g n = G n A. (18) Preste atenção na notação: estamos usando letras minúsculas para indicar grandezas por unidade de área da membrana (ditas específicas) e letras maiúsculas para indicar grandezas para toda a membrana. Note que a equação (17) é idêntica à equação (1). Portanto, o modelo desenvolvido nesta segunda parte da aula, baseado na equação de Nernst-Planck e na hipótese de corrente estacionária pelos canais iônicos da membrana, reproduz a equação macroscópica para a relação entre densidade de corrente e potencial de membrana do modelo (ôhmico) de circuito elétrico equivalente usada na primeira parte da aula. Apêndice: Lei de Ohm e Condutividade Molar para Soluções Eletrolíticas Consideremos um condutor cilíndrico de seção reta de área S. Quando uma corrente flui pelo condutor, cargas se movem e existe um campo elétrico em seu interior. 12
A corrente elétrica I é a quantidade de carga passando por um dado ponto do condutor por unidade de tempo: A unidade de I é o ampère = coulomb/segundo. dq I =. (A1) dt Para haver corrente ao longo do condutor deve haver um campo elétrico em seu interior (sem campo elétrico as cargas se moveriam de forma aleatória em todas as direções e o movimento médio seria nulo). Portanto, deve haver uma diferença de potencial entre dois pontos do condutor. Seja V = V(A) V(B) a diferença de potencial entre as extremidades do condutor (veja a figura abaixo). A corrente I é uma função da voltagem: I = I(V). Na maioria dos casos, I é simplesmente proporcional a V: 13
V I = = GV. (A2) R Esta é a lei de Ohm. A constante R é denominada resistência elétrica do condutor (sua unidade é o ohm, Ω). A grandeza G = 1/R é denominada condutância elétrica do condutor (sua unidade é o siemens, S). Por convenção, a direção positiva de corrente elétrica é a que cargas positivas livres teriam se fossem colocadas entre os dois polos da bateria, ou seja, do polo positivo para o negativo (veja a figura acima). Se o condutor tiver comprimento L e área de seção reta A, a sua resistência será dada por, L R = ρ, (A3) A onde ρ é a resistividade elétrica do material de que é feito o condutor. A sua unidade é Ωm. A inversa de ρ é a condutividade elétrica do material, denotada por σ, com unidade S/m. A condutividade σ e a resistividade ρ são propriedades materiais de uma dada substância, que não dependem das dimensões do condutor. Combinando as equações vistas, a lei de Ohm para o fio condutor fica: V = RI = ρ LI A. (A4) 14
Lembrando que a densidade de corrente pelo condutor é podemos escrever a lei de Ohm como: J = I A, V = ρlj. (A5) (A6) Isto implica que J = 1 V ρ L = σ V L. (A7) Por outro lado, o campo elétrico e o potencial no interior do condutor estão relacionados por: E = dv = V(B) V(A) = V L L. (A8) Logo, podemos reescrever a lei de Ohm como: J = σ E. (A9) Esta forma de escrever a lei de Ohm é muito útil, pois não envolve grandezas que dependem da geometria do condutor. No estudo de materiais que conduzem eletricidade, esses materiais são caracterizados por sua resistividade ou condutividade. No caso de materiais biológicos é mais comum eles serem caracterizados pela condutividade. 15
Porém, na teoria de eletrodifusão desenvolvida nas aulas passadas as equações (por exemplo, a equação de Nernst-Planck) estão expressas em termos de grandezas como concentração e mobilidade. O objetivo do resto deste apêndice será relacionar essas grandezas com a condutividade do material, para obtermos equações que possam ser aplicadas ao caso biológico. Vamos considerar uma solução eletrolítica homogênea com concentração uniforme do íon n. Neste caso, o gradiente de c n é nulo e o movimento iônico é devido apenas ao campo elétrico presente. A equação de Nernst-Planck (equação 20 da aula 10) torna-se então: J n = u n z n 2 F 2 c n V x. (A10) Lembrando da relação entre potencial elétrico e campo elétrico, esta equação pode ser escrita como: J n = u n z n 2 F 2 c n E. (A11) Comparando esta equação com a lei de Ohm (equação A9), podemos definir a condutividade elétrica da n-ésima espécie iônica por σ n = u n z n 2 F 2 c n. (A12) Note que a condutividade depende da mobilidade do íon, da sua concentração e da sua valência. 16
Define-se a condutividade molar, Λ n, por 5910187 Biofísica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 13 Λ σ n 2 2 n = = unzn F = cn D n RT z 2 n F 2, (A13) onde se usou a relação de Einstein (equação 19 da aula 10, D n = u n RT), que relaciona a mobilidade molar ao coeficiente de difusão da n-ésima espécie iônica. Como medidas elétricas de condutividade são relativamente fáceis de serem feitas, esta equação é muitas vezes usada para se determinar o coeficiente de difusão de um íon. 17