Fundamentos da Eletrostática Aula 17 O Campo Elétrico no interior de um Dielétrico

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1 Densidades de cargas polarizadas Fundamentos da Eletrostática Aula 17 O Campo Elétrico no interior de um Dielétrico Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Na aula passada, mostramos que o potencial devido à polarização P r) de um material dielétrico que ocupa um volume do espaço, delimitado pela S, é dado por onde e ϕ P r) = 1 4πε 0 S σ P r ) r r da + 1 4πε 0 ρ P r ) P r ) σ P r ) P r ) n. ρ P r ) r r d3, É muito claro que a expressão acima é precisamente o potencial gerado por uma dada distribuição de carga volumétrica ρ P e supercial σ P. Este resultado foi obtido, contudo, por manipulações matemáticas, e ca em aberto a questão: qual a interpretação física de ρ P e σ P? Existe efetivamente um acúmulo de cargas no volume e/ou na superfície do dielétrico? de mesma intensidade. Para começar a responder, considere a gura ao lado, onde alinhamos lado a lado vários pequenos dipolos elétricos, Nos pontos intermediários, existe sempre o cancelamento entre a carga positiva de um dipolo e a negativa do seguinte, mas nos extremos iniciais e nais existe realmente um acúmulo de carga. Esta é a raiz da densidade supercial de carga σ P. NH Fundamentos da Eletrostática t1 NH Fundamentos da Eletrostática t1 1

2 em b). Por clareza, desenhamos o mesmo cilindro em perl, à direita, onde ca claro que novamente o momento de dipolo elétrico contido no cilindro é P Ad e portanto a carga na superfície exterior é De fato, considere a gura a) acima, onde inicialmente supomos que a superfície externa do dielétrico é perpendicular à polarização. Tomemos o pequeno elemento de volume cilíndrico como indicado, de comprimento d e base de área A, desenhado separadamente, para maior clareza, à direita da gura. Suponhamos este elemento pequeno o bastante para que P possa ser considerado constante em seu interior. A polarização P mede o momento de dipolo médio por unidade de volume; o momento de dipolo total no cilindro é portanto P A d, que por sua vez deve ser igual a q d onde q é a carga acumulada em cada uma das bases do cilindro, já que no interior todas as cargas se cancelam: daí P Ad = qd σ = q A = P. Ora, nem sempre teremos que a superfície externa do dielétrico é perpendicular a P; a situação mais geral, portanto, é como desenhado q = P Ad d = P A. Só que agora a superfície exterior do cilindro tem área e portanto A = A cos θ σ P = P A A = P cos θ = P n. Note que esta expressão se reduz corretamente à anterior quando θ = 0. Por m, note que esta é justamente a expressão para σ P que havíamos encontrado através de manipulações matemáticas. Fica assim explicada a origem física do acúmulo de cargas representado por σ P. Consideremos agora a densidade volumétrica ρ P. Armamos que ρ P = P. Uma polarização com P > 0 num dado ponto do espaço corresponde a uma distribuições de dipolo com uma fonte no ponto, como na gura ao lado. Claramente, em tal situação, há aí um acúmulo de carga negativa. Para medir a quantidade de carga, considere uma superfície NH Fundamentos da Eletrostática t1 2 NH Fundamentos da Eletrostática t1 3

3 esférica S ao redor do ponto, como na gura. Note que S P da representa a carga positiva que saiu do volume englobado por S, e portanto, ρ P d 3 = P da = S Pd 3, onde usamos o teorema da divergência de Gauss. Como esta igualdade deve valer para qualquer volume em torno do ponto, temos ρ P = P. ponto central) em cada cubo, mas supomos que P não é constante dentro do dielétrico, ou seja, P varia de cubo para cubo. amos nos xar na componente P y da polarização. cubo, ela corresponde a um acúmulo de carga q = P y 3 = P y 2 Para cada nas duas faces perpendiculares ao eixo dos y. Como P varia de cubo para cubo, as quantidades de carga acumulada não vão cancelar-se em duas paredes adjacentes, e daí vem a densidade volumétrica de carga ρ P. Para determinar a densidade de carga em torno do ponto y da gura, note que a carga positiva acumulada no cubo de centro x, y 2, z) é +P y x, y ) 2, z 2 P y x, y, z) 2 P y 3 x, y, z) y 2 Tal argumento parece particular ao caso de P radial relativo a um dado ponto, mas este não é o caso. Para perceber a generalidade da armação, considere a situação representada na gura acima. Dividimos o dielétrico em pequenos cubos innitesimais de aresta, tal que P seja considerado constante igual à polarização em seu para entender a origem do sinal +, perceba que estamos considerando a contribuição da face da direita do cubo da esquerda, na gura anterior). centro Por outro lado, a carga negativa acumulada no cubo de x, y + 2, z) é P y x, y + ) 2, z 2 P y x, y, z) 2 P y 3 x, y, z) y 2 NH Fundamentos da Eletrostática t1 4 NH Fundamentos da Eletrostática t1 5

4 agora o sinal vem de considerarmos a face da esquerda do cubo da direita na gura). Portanto, a densidade de carga num cubo de lado englobando a parede é ρ Py = P y = P y y x, y 2, z) 2 P y x, y + 2, z) 2 3 x, y, z). Considerando agora as cargas devidas a P x e P z teremos, nalmente, ρ P = P. O resumo da história é que a presença de uma polarização P num dielétrico induz um acumulo de carga super- cial σ P = P n na sua superfície, e caso P 0, também um acúmulo de carga volumétrica ρ P = P no seu interior. diretamente nós a conhecemos medindo ou calculando a polarização P. Para marcar esta diferença, as densidades σ P e ρ P são chamadas densidades de cargas polarizadas. Em inglês, cargas polarizadas são chamadas bound charges cargas xas, para lembrar que são cargas xas a átomos neutros. Em contraposição, cargas em excesso presentes no material, que não estão xas em átomos e moléculas, são chamadas de free charges cargas livres, e de agora em diante denotaremos a correspondente densidade de carga como ρ f. Exercício: Sempre assumimos que o dielétrico é neutro, mesmo no caso em que há uma polarização P. Se houver carga em excesso, ela está na forma de cargas livres ou seja, em ρ f. ocê sabe dizer, sem fazer a conta, o valor da carga polarizada total do dielétrico, ρ P r ) d 3 + S Depois de responder sem fazer contas, faça as contas e conra seu resultado. σ P r ) da =? Note que as cargas descritas pelas densidades σ P e ρ P estão presas a átomos neutros. Agora, além de uma polarização P, um dielétrico pode também estar carregado, ou seja, possuir uma densidade de carga em excesso ρ. Geralmente, nós temos algum conhecimento direto sobre ρ, mas as densidades σ P e ρ P não são controláveis NH Fundamentos da Eletrostática t1 6 NH Fundamentos da Eletrostática t1 7

5 Campos microscópicos e macroscópicos Já mostramo que o campo elétrico gerado pela polarização P de um dielétrico pode ser obtido através de E P = ϕ P, onde ϕ P é calculado a partir de σ P e ρ P, conforme já discutimos, ou diretamente de ϕ P r) = 1 r r ) 4πε 0 dielétrico r r 3 P r ) d 3, que foi nossa expressão de partida na aula passada. Esta expressão para o potencial de um dipolo dependia de uma única suposição de que o ponto de observação r é distante do ponto r onde se localiza cada dipolo elementar. Para pontos de observação fora do dielétrico, podemos supor que este requisito está atendido, mas para pontos no interior do dielétrico, já não temos a esperança de poder fazer tal suposição. A validade da equação acima, para calcular E P dentro do dielétrico é questionável, e é preciso tomar mais cuidado. Pensando sicamente no problema, o campo gerado pelos dipolos elementares dentro do material, que chamaremos de campo microscópico E micro, varia rapidamente de ponto a ponto, tornando-se muito intenso quando estamos próprios de algum átomo ou molécula polarizada, e enfraquecendo muito rapidamente quando nos afastamos dela. Não é este campo, que varia muito em escalas de distâncias atômicas ou moleculares, que temos esperança de medir em laboratório, usando instrumentos que são certamente muito maiores que estas dimensões. O que medimos é uma média apropriada deste campo, média que chamaremos de campo macroscópico E macro. A gura ao lado representa um pedaço de material dielétrico não polarizado. As setas em vermelho são os dipolos elementares, que se encontram orientados de forma absolutamente aleatória. As setas em azul indicam a direção do campo elétrico gerado por estes dipolos que, claramente, varia rapidamente de um ponto a outro cuidado, na gura, o módulo do vetor campo elétrico não é representada). Neste caso, P = 0 já que os dipolos estão orientados aleatoriamente, e pelo mesmo motivo, o campo elétrico médio em qualquer volume dentro do dielétrico será nulo. Considerando agora um caso em que há polarização, a orientação dos dipolos elementares já não é totalmente aleatória eles estão parcialmente alinhados, de forma que P 0. Na gura ao lado, em particular, P faz um ângulo de 45º com a horizontal. O campo NH Fundamentos da Eletrostática t1 8 NH Fundamentos da Eletrostática t1 9

6 elétrico gerado pelos dipolos continua a variar rapidamente de um ponto a outro mas, agora, o campo elétrico médio não é mais zero, e é na verdade exatamente o campo elétrico gerado pela polarização P. Para provar este importante resultado, vamos considerar um volume esférico de raio R e centro r 0 dentro do dielétrico, como indicado na gura; tem que ser muito pequeno do ponto de vista macroscópico, mas deve ser grande o bastante para ainda conter um grande número de dipolos elementares. macroscópico E macro em r 0 como sendo E macro r 0 ) 1 E micro r ) d 3. Nestas condições, vamos denir o campo O campo microscópico E micro r ) pode ser dividido em duas partes, E micro r ) = E int) micro r ) + E ext) micro r ), em que E int) micro r ) é o campo gerado pelos dipolos dentro de, e E ext) micro r ) aquele gerado pelos dipolos fora de. Agora entram os resultados que demonstramos na aula 15. Mostramos que a média do campo elétrico, na esfera, gerado por cargas externas, não é mais que o valor do campo no centro da esfera, i.e., 1 E ext) micro r ) d 3 = E ext) micro r 0) e este valor, por sua vez, pode ser calculado a partir de um potencial ϕ ext) P, E ext) P, r0 ϕ ext) P = 1 4πε 0 micro r 0) = ϕ ext) fora de r r ) r r 3 P r ) d 3. Por outro lado, também mostramos que a média do campo elétrico, gerado por cargas dentro da esfera é dado em termos do momento de dipolo, 1 E int) micro r ) d 3 = 1 4πε 0 = 1 3ε 0 p R 3 3 4πR 3p Supondo que seja sucientemente pequeno para que P seja aproximadamente constante em, a expressão em parêntesis, a quantidade ). NH Fundamentos da Eletrostática t1 10 NH Fundamentos da Eletrostática t1 11

7 de momento de dipolo por volume, é justamente a polarização em, 1 E int) micro r ) d 3 = 1 3ε 0 P. Por outro lado, vimos na aula passada que o campo elétrico dentro de uma esfera com polarização constante P é justamente 1 3ε 0 P. Portanto, podemos escrever, 1 E int) micro r ) d 3 = ϕ int) P, r0 ϕ int) P = 1 4πε 0 dentro de Juntando toda a informação que obtivemos, r r ) r r 3 P r ) d 3. E macro r 0 ) 1 [ E ] int) micro r ) + E ext) micro r ) d 3 = ϕ int) P + ϕ ext) P, r0 procedimento de média sobre campos microscópicos que não são diretamente observáveis. Assim como já discutimos em aulas passadas, a eletrodinâmica clássica lida com idealizações como a distribuição contínua de carga ρ, que é entendido como uma média sobre distribuições de cargas pontuais os elétrons). Da mesma forma, o campo elétrico sobre o qual iremos nos dedicar é o campo macroscópico E macro, tanto que de ora em diante vamos suprimir a palavra macro. podemos aplicar as expressões, E P r) = ϕ P r) ϕ P r) = 1 r r ) 4πε 0 r r 3 P r ) d 3, Desta forma, dentro e fora do dielétrico, apesar de nossas suspeitas quanto à validade desta última no interior do dielétrico, desde que entendemos que E P r) é o campo macroscópico. onde ϕ int) P + ϕ ext) P = 1 r r ) 4πε 0 dielétrico r r 3 P r ) d 3. Mas esta é justamente a fórmula que usamos para calcular E P r) em pontos fora do dielétrico, agora obtida através de um cuidadoso NH Fundamentos da Eletrostática t1 12 NH Fundamentos da Eletrostática t1 13

8 O Campo Elétrico Total no interior de um Dielétrico: o etor Deslocamento à densidade de cargas livres, D = ρ f. Sabemos calcular o potencial elétrico induzido por uma polarização P num material dielétrico a partir dela, podemos obter o campo elétrico gerado por P, que denotamos por E P. Mas este não é, geralmente, o único campo elétrico presente no sistema pode haver também um campo elétrico E f gerado por todas as outras cargas que, por oposição ao nome bound charges, são chamadas de cargas livres free charges). Assim, em geral, E = E P + E f. A forma integral para esta equação é S D r) da = q, em que q é a quantidade total de carga livre contida pela superfície fechada S. Estas expressões são basicamente idênticas às satisfeitas pelo campo elétrico no vácuo só que D inclui o vetor de polarização P, que descreve o meio dielétrico. A divergência de E é igual à densidade total de carga em cada ponto do espaço, E = ρ f + ρ P ε 0. Lembrando que ρ P = P, podemos escrever ε 0 E = ρ f P ε 0 E + P) = ρ f. Denimos assim o vetor deslocamento D r) como D r) = ε 0 E r) + P r), sendo que D possui a propriedade de que seu divergente corresponde NH Fundamentos da Eletrostática t1 14 NH Fundamentos da Eletrostática t1 15

9 Um exemplo: casca esférica de material dielétrico sempre S E da = E r) 4πr 2 = 1 ε 0 Q r), Considere uma casca esférica de material dielétrico, com raio interno a e externo b, como na gura. Suponha que não exista nenhum campo externo aplicado, e mesmo assim, o material apresenta uma polarização P dada, num sistema de coordenadas esféricas com origem no centro da casca, por onde Q r) é a carga total livre e polarizada) contida na esfera de raio r. Temos três regiões a considerar: r < a; neste caso, Q r) = 0 e logo E = 0 P r) = k rr. amos calcular o campo elétrico gerado por esta polarização em todo o espaço. Não existem cargas livres, logo ρ f = 0. Quanto a ρ P e σ P, podem ser diretamente calculadas de P, ρ P = P = 1 r 2 r 2 k ) = k r r r 2 a < r < b), a < r < b; agora, Q r) recebe contribuições de σ P na superfície interna, em r = a, e do volume da casca contido entre a e r, ou seja, Q r) = 4πa 2 k ) ) r + 4π k a a r ) 2 r ) 2 dr = 4πka 4πk r a) = 4πkr σ P r = a) = P ar) r) = k a σ P r = b) = P br) r = k b E r) = 1 ε 0 k r a < r < b) Devido à simetria esférica do problema, podemos considerar uma superfície S esférica, com centro na origem, de raio r, e teremos r > b; neste caso, Q r) recebe contribuições do volume completo NH Fundamentos da Eletrostática t1 16 NH Fundamentos da Eletrostática t1 17

10 do dielétrico e das superfícies internas e externas, ou seja, Q r) =4πa 2 + 4πb 2 k ) b + 4π a ) k b a ) k r ) 2 = 4πka 4πk b a) + 4πkb = 0, donde E = 0 nesta região. Em resumo, encontramos que, E r) = 1 ε 0 k 0, r < a rr, a < r < b 0, r > b r ) 2 dr Para r < a e r > b, ou seja, Já para a < r < b, temos P = 0 logo D = ε 0 E = 0 E = 0. D = ε 0 E + P = ε 0 E + k rr = 0 E = 1 ε 0 k rr Obtemos assim exatamente o resultado que encontramos, de forma muito mais trabalhosa, calculando diretamente o campo elétrico. Mas esta não é a única forma de calcular o campo elétrico. Mostramos que o vetor deslocamento D = ε 0 E + P possui a propriedade D da = carga livre contida em S) S Como não existe carga livre no problema, somos forçados a concluir que em todos os pontos do espaço. D r) = 0 NH Fundamentos da Eletrostática t1 18 NH Fundamentos da Eletrostática t1 19