Unidade V - Desempenho de Sistemas de Controle com Retroação Introdução; Sinais de entrada para Teste; Desempenho de um Sistemas de Segunda Ordem; Efeitos de um Terceiro Pólo e de um Zero na Resposta Sistemas de Segunda Ordem; Estimativa da Relação de Amortecimento; Localização das Raízes no Plano s e a Resposta Transitória; Erro de Estado Estacionário de Sistemas de Controle com Retroação; Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Não-Unitária; Índice de Desempenho; A Simplificação de Sistemas Lineares; Exemplo de Projeto e Desempenho de Sistema usando ATLAB.
Índices de Desempenho Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que a ênfase seja dada as especificações de sistema importantes A medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para:. Operação de sistemas de controle adaptativos,. Otimização paramétrica de sistemas de controle, 3. Controle ótimo Um sistema de controle é considerado ótimo quando seus parâmetros são ajustados de modo que o índice alcance um valor extremo, comumente um valor mínimo. Um índice de desempenho para ser útil deve ser um numero positivo ou nulo. O melhor sistema é definido como o sistema que minimiza este índice. Índices de Desempenho mais usados:. ISE (Integral of the Square of the Error) Integral do quadrado do Erro. IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error) Integral do valor absoluto do erro 3. ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute of the Error) Integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro. 4. ITSE (Integral of Time multiplied by the Squared Error) - Integral do tempo multiplicado pelo quadrado do erro.
. ISE (Integral of the Square of the Error) Integral do quadrado do Erro ISE = T e dt O limite superior é um tempo escolhido de modo que a integral tenda a um valor estacionário. Resposta a um degrau para um sistema de controle Este sistema irá discriminar sistemas excessivamente superamortecidos dos subamortecidos.. IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error) Integral do valor absoluto do erro IAE = T e( t) dt Particularmente útil para implementação em computador 3
3. ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute of the Error) Integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro. ITAE Indicado para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral de desempenho, bem enfatizar os erros que acontecem mais tarde na resposta. t e( t) dt 4. ITSE (Integral of Time multiplied by the Squared Error) - Integral do tempo multiplicado pelo quadrado do erro. = T ITSE = T te ( t) dt elhor seletividade dentre os índices de desempenho, pois o valor mínimo da integral é prontamente discernível ao serem variados os parâmetros do sistema. Forma geral da integral de desempenho = T I f ( e( t), r( t), y( t), t) dt 4
Exemplo: Critério de Desempenho Um sistema de controle com retroação monomalha, onde a freqüência natural é o valor normalizado, n =. A FT a malha fechada é T ( s) = s + ζ s + Três critérios de desempenhos ISE, ITSE e ITAE 5
A Simplificação de Sistemas Lineares É bastante útil estudar sistemas complexos com FT de ordem elevada usando modelos aproximados de ordem mais baixa. Uma maneira simples para eliminar um determinado pólo sem importância é observar o pólo que tenha parte real negativa muito maior que a dos outros pólos. Por exemplo, se se tiver um processo onde G( s) = K s( s + )( s + 3) É possível desconsiderar o impacto do pólo s=-3. Contudo, deve-se observar a resposta em RP, assim o sistema reduzido será G( s) = K /3 s( s + ) Uma abordagem mais sofisticada tenta casar a resposta de freqüência da FT de ordem reduzida com a da FT original. Considerando um sistema de ordem elevada sendo m ams + a s + K + a s + H ( s) = K b s n + b s + + b s + n m m n n K 6
A FT aproximada de ordem mais baixa é c s + K + c s + p p L( s) = K d g g s K d s + + + onde p g < n O método é baseado na seleção de c i e d i de maneira que L(s) tenha uma resposta de freqüência muito próxima a de H(s). Assim, H(j )/ L(j ) deve se desviar o mínimo da unidade para várias freqüências. Os coeficientes c e d são obtido a partir de Numerador e denominador de H(j )/ L(j ) Define-se q = q k= k+ q k q k ( ) () () k!( q k)! k k d ( s) = ( s) k ds k k d ( s) = ( s) k ds Sendo, q=,,... E uma equação completamente idêntica de q. As soluções para os coeficientes c i e d i são obtidas para = q q Para q=,...até o número requerido para resolver os coeficientes desconhecidos. 7
Exemplo: Um modelo simplificado Considere-se um sistema de 3a. ordem 6 H ( s) = s + 6s + s + 6 = + (/ 6) s + s + (/ 6) s Usando um modelo de a. ordem L( s) = + d s + d s Então, () = () = () = d () = / 6 () = d () = () = () = 3 3 3 3 ( s) = + d s + d s e ( s) = + (/ 6) s + s + (/ 6) s ( s) = ds ds De modo semelhante 3 + + () = d ( s) = ( + ds + ds ) = d + ds () = d ds Prosseguindo o processo, encontra-se 8
Iguala-se = q q, para q= e. Encontra-se para q=: () () () () () () = ( ) + + = d + d d = d + d Como a equação para é semelhante, tem-se Segue, com q= que =, portanto () () () () () () = + + ( ) 49 = + = 36 36 d + d = 49 36 Concluindo o processo para =, obtém-se d = 7 8 9
Solucionando d=,65 e d=,65. (outros conjuntos de soluções são rejeitados porque conduzem a pólos instáveis. A FT do sistemas de ordem mais baixa é,6 L( s) = = + s + s s + s +,65,65,584,6 É interessante observar que os pólos de H(s) são s=-, -, -3, enquanto os pólos de L(s) são s=-,9 e -,555. Agora o sistema é de a. Ordem, então estima-se que a resposta ao degrau seria ligeiramente superamortecida com T s 3s (para uma faixa de % do VF). As vezes, é desejável reter os pólos dominantes do sistema original, H(s), no modelo de ordem mais baixa. Especifica-se o denominador de L(s) para ser os pólos dominantes de H(s) e permite que o numerador de L(s) seja submetido a aproximação. étodo de Routh baseado na idéia de truncar a tabela de Routh usada para determinara estabilidade. Podendo ser usado por um algoritmo recursivo finito que é adequado para ser empregado em um computador digital.
Desempenho do Sistema usando ATLAB ω Y ( s) = R( s) s n + ζωns + ωn
Desempenho do Sistema usando ATLAB ω Y ( s) = R( s) s n + ζωns + ωn
Estabilidade de Sistemas de Controle com Retroação Próxima Aula Unidade VI 3