TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I MATRIZES E DETERMINANTES. Prof. Rogério Rodrigues

TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I MATRIZES E DETERMINANTES Prof. Rogério Rodrigues

) Conceito e Apresentação Genérica: MATRIZES Uma tabela, como a seguinte, dispõe os dados numéricos que objetiva apresentar em linhas (horizontais) e colunas (verticais): DISCIPLINAS ETAPAS a a a MATEMÁTICA 5 7 LÍNGUA PORTUGUESA 8 9 6 BIOLOGIA 9 6 8 QUÍMICA 6 As notas nas disciplinas (dispostas em linhas) correspondentes a cada uma das etapas do ano letivo (dispostas em colunas) formam o núcleo objetivo da tabela; esse núcleo é uma matriz, que deverá ser representada assim: 5 7 8 9 6 9 6 8 6 5 7 ou assim 8 9 6 9 6 8 6 Se designarmos essa matriz por A, teremos, por exemplos : -Nota de Matemática da a etapa a = -Nota de Língua Portuguesa da a etapa a = 6 -Nota de Biologia da a etapa a = 6 -Nota de Química da a etapa a 4 = Genericamente, essa matriz seria assim definida: A= (a ij ) 4x, em que a ij é a nota da disciplina i na etapa j. número de linhas número de colunas

Outros exemplos : a) Matriz B = (b ij ) x, em que b ij = i j. Neste caso, o formato da matriz é B = e de acordo com a expressão de b ij, temos: b = =, b = = -, b = = e b = =. Logo, a matriz é B =. b) Matriz C = (c ij ) x, em que c ij = hipotenusa do triângulo retângulo de catetos medindo i e j. Neste caso, o formato da matriz é C = e de acordo com a descrição de b ij, temos: c ij =, pelo Teorema de Pitágoras. Exemplo: c = =. A matriz é C = 5 5!. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais, se, e somente se, a ij = b ij, para todo i e j. Exemplo : Calcule x e y de modo que " 5 " = # 5 " #!. Pela definição anterior, temos x = y, x + = - x = -, x = -y y = ) Alguns tipos especiais de matrizes:.) Matriz linha: Toda matriz que só possui uma linha. Exemplo: A = [- 6 8] matriz x5

.) Matriz coluna: Toda matriz que só possui uma coluna. Exemplo: B = 8 4 matriz 4x,) Matriz quadrada: Toda matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. 6 Exemplo: C =% 7 & matriz x (matriz quadrada de ordem ) 4 4 9 Elementos da diagonal secundária Elementos da diagonal principal (i = j).4) Matriz Identidade: Matriz quadrada I n =(i ij ), em que i ij = ',)* +,)*, -. Exemplos: a) I = matriz identidade de ordem. b) I = % & matriz identidade de ordem..5) Matriz triangular: Matriz quadrada cujos elementos situados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: a) M= matriz triangular de ordem. 9 7 6 b) N= % 6& matriz triangular de ordem..6) Matriz diagonal: Matriz quadrada de elementos d ij, tais que d ij =, se i j. Exemplo: 8 D= % & matriz diagonal de ordem. 4

.7) Matriz nula: Qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplo: N = % & matriz nula de ordem. ) Operações elementares:.) Adição: Dadas duas matrizes de mesma ordem (número de linhas e número de colunas) A= (a ij ) e B=(b ij ), a matriz A + B será C, tal que c ij = a ij + b ij, para todo valor de i e de j naturais e diferentes de zero. Exemplos: a) 5 5 + = = 7 4 7 4 4 b). 4/ -. / =. 4/ +. / 5 8 8 5 9.) Multiplicação por número real: Dado um número real k, k e uma matriz M = (m ij ), o produto de k por M é a matriz P = =(p ij ), tal que p ij = k. m ij, para todo i e todo j, naturais não nulos. Exemplo: (). =... = 9 6.) Matriz transposta: Dada uma matriz A = (a ij ) mxn, chama-se Transposta de A, indica-se A t, a matriz B = (b ij ) nxm 4

tal que b ij = a ji, para todo i e todo j da matriz A. Exemplo: 4 Se A = % & A t = 4 5. Observe que os elementos da a linha transpostos 5 viraram elementos da a coluna. O mesmo ocorreu com os elementos da a linha. Observações: a) Se uma matriz quadrada é igual à sua transposta, então essa matriz é uma Matriz simétrica. 8 6 8 6 Exemplo: S = % 6 5& e S t == % 6 5& S é simétrica. 5 4 5 4 b) Se uma matriz quadrada é igual ao oposto da sua transposta, então essa matriz é uma Matriz Antissimétrica. 6 7 6 7 Exemplo: S = % 6 5& e - S t = % 6 5& 7 5 4 7 5 4 S é antissimétrica. 4) Multiplicação e Inversão de matrizes; 4.) Multiplicação de matrizes: Exemplo introdutório : Um técnico monta computadores equipados com componentes em três modelos diferenciados; veja a tabela seguinte: MODELO A MODELO B MODELO C HD de gb Unid. Remov. 4 Como a demanda por esses pc s é grande, o técnico deve prover seu estoque de componentes de modo a atender as encomendas. Nos meses de janeiro, fevereiro e março, as encomendas foram as da tabela abaixo: Janeiro fevereiro março MODELO A 5 4 MODELO B 5

MODELO C 4 Como montar uma tabela que indique os números de componentes necessários para atender as encomendas? Veja a tabela abaixo: Janeiro fevereiro março HD de gb.5 +. +..4 +. +.. +. +.4 Unid. Remov..5 +. + 4..4 +. + 4.. +. + 4.4 E os números pedidos serão os da tabela: Observe que: Janeiro fevereiro março HD de gb 4 Unid. Remov. 9 o ) as três tabelas são associadas às matrizes A= matriz x com formato componentes x modelos 4 5 4 B = % & matriz x com formato modelos x meses 4 C =.5 4. 5..4 4. 5.. 4. 5.4 4.5 5. 6. 4.4 5. 6. 4. 5. 6.4 4 C= matriz x com formato componentes x meses 9 o ) De fato, temos: A.B = C, ou seja, 5 4 4.% 4 & = 9 4 6

No cálculo da matriz C, os primeiros fatores das multiplicações, em negrito, são os elementos das linhas de A e os segundos fatores são os elementos das colunas de B. Então, multiplica-se respectivamente, os elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos de cada coluna da segunda matriz. Daí, tem-se, por exemplo, c = (linha de A) x (coluna de B) = a. b + a. b + a. b = c = (linha de A) x (coluna de B) = a. b + a. b + a. b = 4 o ) A multiplicação só foi possível porque o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. 4 o ) A matriz produto (C) ficou com o número de linhas da primeira (A) e com o número de colunas da segunda(b). 5 o ) A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B B.A. Outro exemplo : % 4&.,,..4 4 = %,4..4.4& = % 4 8&....4 4.) Inversão de matrizes: A matriz identidade I n, definida no item.4, página, é também chamada de Matriz unidade, uma vez que ela é o elemento neutro na multiplicação de matrizes. Observe: 7 a) % 8&. 7 * 9 = % 8& e 7 * 9. % 8& = não existe * 9 7 7 7 7 b) % &.% 8 * 9& = % 8 * 9& e % 8 * 9&. % & = % 8 * 9& : ; : ; : ; : ; No conjunto dos números reais, o inverso de um número x não nulo, é o número y, tal que x.y = y.x = (elemento neutro na multiplicação de reais). Do mesmo modo, pode-se definir: A inversa de uma matriz quadrada de ordem n A é A -, também de ordem n, tais que A. A - = A -.A = I n (matriz unidade de ordem n) 7

Exemplo: Determine, se existir, a inversa da matriz < + 5. Seja M - = 7, caso ela exista. Então, pela definição anterior, tem-se: 8. 7 5 8 = = 7. 8 5 + 7 5 58 8 = E daí, tem-se 5b = b = /5, 5d = d =, a +b = a + /5 = a = -/ e c + d = c + = c = /. A inversa pedida é A - / /5 = /!. 5) COMPLEMENTO: Propriedades das operações: 5.) Para a adição de matrizes valem as seguintes propriedades: Comutativa : A + B = B+A, sendo A e B matrizes de mesma ordem. Associativa : A + (B + C) = (A + B) + C, sendo A, B e C matrizes de mesma ordem. Elemento Neutro: A + N = A, sendo N a matriz nula com a mesma ordem de A. Elemento Simétrico : A + (A ) = N, sendo N a matriz nula com a mesma ordem de A. 5.) Para a multiplicação de número real por matriz valem as seguintes propriedades: Associativa : a. (b. A) = (a. b).a, sendo A uma matriz e a e b números reais. Distributiva : a.(a + B) = a.a + a.b e (a + b). A = a.a + b.a, sendo A uma matriz e a e b números reais. 5.) Para a multiplicação de matrizes valem as seguintes propriedades: Associativa : A.(BC) = (AB).C Distributiva à direita em relação à adição: (A + B).C = AC + BC. Distributiva à esquerda em relação à adição: C(A + B) = CA + CB. Associativa com número real : k.ab = AkB = ABk. *********************************************************************** * Exercícios Propostos: ) Determine cada matriz definida a seguir: a) A = (a ij ) X, em que a ij = i j. 8

b) B = (b ij ) X, em que b ij = i + j. c) C = (c ij ) X, em que c ij = i - j. d) D = (d ij ) X, em que d ij = i - j. e) E = (e ij ) X, em que e ij = i + j, se i - j < e e ij = i j, se i j. f) F = (f ij ) X, em que f ij = + i.j, se i < j e e ij = i.j, se i j. g) G = (g ij ) X, em que g ij = i +, se i < - j e g ij = j -, se i - j. h) H = (h ij ) X, em que h ij = g ij. i) K = (k ij ) X, em que k ij = g ji. j) L = (l ij ) X, em que l ij = g ij -. j) M = (m ij ) X, em que m ji = l ji +. j) N = (n ij ) X, em que n ij = m ij - l ij. ) Montar a matriz P = (p ij ) X, em que p ij é o perímetro do retângulo de base i e altura j. Qual e a soma dos elementos da diagonal principal? ) Montar a matriz S = (s ij ) X, em que s ij é a área do retângulo de base i e altura j. 4) Montar a matriz R = (r ij ) X5, em que r ij é o segundo termo da PA, cujo primeiro termo é i e a razão é j. 5) Montar a matriz T = (t ij ) X, em que t ij é o quarto termo da PG, cujo segundo termo é i e a razão é j. 6) Montar a matriz V = (v ij ) 4X4, em que v ij é a soma dos termos da PA cujo primeiro termo é i e o vigésimo é j. 7) Na matriz U = 6 8 5 7 9, u ij é a quantidade de chip s do tipo j utilizados na montagem do computados modelo i. Quantos chip s do tipo serão necessários para montar, em determinado dia, 5 computadores modelo e 6 computadores modelo? 8) Na matriz Y = % 5 4&, y ij é o número de faltas de um determinado aluno na 6 disciplina i e na etapa j. Montar uma matriz Z = (z ij ), em que z ij seja o total de faltas i na disciplina j. 9

9) Uma tabela de preços de uma pizzaria é uma matriz que tem nas linhas, em ordem crescente, os sabores presunto, calabreza, frango, marguerita, vegetariana e rúcula com mussarela. Nas colunas, em ordem crescente, a tabela traz os tamanhos brotinho, média, grande e gigante. Sabe-se que os preços de todas as pizzas brotinho formam uma PA de razão igual a R$ 4, a partir do primeiro sabor, que custa R$,, e os preços por cada tamanho em cada sabor formam uma PA de razão igual a R$ 9,. Considere a matriz W = =(w ij ) associada a essa tabela de preços. Se numa noite o dinheiro arrecadado com as vendas é dado pela expressão w + 8w + 6w 4 + 5w 4, determine a) a lista de pizzas vendidas; b) O total de dinheiro arrecadado. ) Considere apenas as matrizes definidas no exercício. Determine a matriz X e/ou a matriz Y tais que a)x = A H + K b)x = -B L 5M c) C X = N F d) X G = 5D e) X = A H T f) X = -B T + G T g) C X = N T h) (L M) + X = L - D T i) (A K + X) = - H T >? + @ j) ' >? + B - C ) Multiplique, se possível, as matrizes dadas em cada caso a seguir:

4 a) % &. 5 b) 4.5 5 4 c) D E.F4 G 8 d) % 4&.% & e) % &. 4 f) 4 4 ) Resolva, se possível, cada equação a seguir: 4.% & a) " 5. " = 7 7 b) A = " 8 e A = 7 " ) Determine, se possível, o(s) par(es) ordenado(s) do tipo (x, y) que soluciona(m) cada Equação a seguir: a) 5. " # = 4 8 b) 5. " # = c) 9 6 6 4. " # = " 9 " d) % 5 &.. #/+% & e) )% 5 &.. #/+% 7& H 8 H Questões Abertas de Vestibulares : ) (UFMG) - Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região e a matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura: Milho Soja Feijão 5 A = 4 X Y Z B = % 5 4& 6 P Q Milho Soja Feijão

. CALCULE a matriz C = AB.. EXPLIQUE o significado de C, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C. ) (CEFET - MG) Se a matriz A = 5 # é a inversa de B =, calcule a " diferença (x y). ) (UFV Viçosa) 4) (Unicamp SP) Uma matriz real quadrada P é dita Ortogonal se P t = P -, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo, Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P - P = I em que I é a matriz identidade. / / / P = % / 7 /& / /

b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A - b. Q = K J J J I N M 6 M, R = % &, b = % & M L 5) (UFRS) Considere o quadrado da figura I e o paralelogramo da figura II. y Figura I v Figura II x - - u 7 8. " # = O P 7 8. = Se as coordenadas cartesianas (u, v) dos vértices do paralelogramo são obtidas das coordenadas cartesianas (x, y) dos vértices do quadrado pelo produto matricial anterior, calcule os valores de a, b, c e d. 6) (PUC GO) Calcule x tal que a matriz A= seja igual à sua inversa. " 7) (UFBA) Considere as matrizes A = % & e B = = % &. Sabendo que X é uma matriz simétrica e que AX = B, determine y - 4y, sendo Y = (y ij ) = X -. 8) (ITA SP) Determine a R, de modo que o produto das matrizes reais x A = = Q Q e B = 7QR 8 QR R seja uma matriz inversível. 7

9) (Unifesp SP) Considere a matriz A = % )*S" &, onde x varia no conjunto dos reais. Calcule a) o determinante de A; T)" b) o valor máximo e o valor mínimo desse determinante. Questões Fechadas de Vestibulares : ) (ITA SP) Seja A uma matriz real x. Suponha que α e β sejam dois números reais distintos e V e W duas matrizes reais x não nulas, tais que AV = αv e AW = = βw. Se a,b R são tais que av + bw é igual à matriz nula x, então a + b vale a) b) c) - d) / e) -/ ) (UFOP MG) - Considere a matriz M = sen 75 cos 75 o o sen 5 cos5 o o Então, podemos afirmar que : a) M é inversível e det M =. b) M é inversível e de t M =. c) M é inversível e det M =. d) M é inversível e det M = e) M é inversível e det M =. 5 b - 6-7 ) (UFJF MG) - Considerando a equação matricial. = que a, b e c são números reais, pode mos afirmar que : a - 4 c 4 em a) c + b = 4. b) a é um número positivo. c) não existem a, b e c que satisfazem à equação matricial dada. d) c não é um número inteiro. 4) (UFSJ São João Del Rey) Se A - = % & é a inversa da matriz A e Se b = 4 5 =% &, então a soma de todas as entradas da matriz X, tal que AX = b, é 4

a) 5 b) 5 c) 55 d)45 5) (UFV Viçosa) Conforme J. L. Pastore Mello (Folha de São Paulo, de Janeiro de 4), uma forma alternativa de definir o conjunto dos números complexos consiste na utilização do conceito de matriz e suas operações, da forma abaixo: Dada uma matriz quadrada 7, em que a e b são números reais, I = 7 representa a unidade e U = representa a unidade imaginária. Assim, podemos identificar o número complexo z = a + bi pela matriz Z= ai + bu. Utilizando essa identificação, é CORRETO afirmar que o produto das matrizes e 5 6 representa o seguinte número complexo: 6 5 a) 8 + i. b) + 8i. c) = 8i. d) 8 i. 6) (UFV Viçosa) - Sejam as matrizes A = 6 e "!, onde x e y são # números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é: a) / b) / c) / d) /4 e) /4 7) (UFV Viçosa) Considere as matrizes A =, I = 6 8, X = " # e O = " #. O conjunto solução da equação (A 4I ).X = O é formado por pontos de uma reta de coeficiente angular igual a: a) / b) / c) / d) 5/ e) / 8) (UFOP MG) Dadas as matrizes A = 7 e B =, sabe-se que 7 A.B t = 4. O valor de a + b é a) b) 7 c) d) 9) (ITA SP) - Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B) t ] é igual a a) (A + B) b) (A t.b t ) c) (A t + B t ) d) A t + B t e) A t.b t ) (UFV Viçosa) Considerando - se a matriz A x cujo termo geral é dado a xy = = (-) x+y, é correto afirmar que 5

a) A = -A t b) A é inversível c) a + a + a d) a xy = cos(x + y)π e) a + a + a DETERMINANTES ) Determinantes e Sistemas Lineares (conceito empírico) : A resolução de sistemas lineares com duas incógnitas com o uso de matrizes tem registros históricos milenares, que remontam aos chineses das mais antigas dinastias, mas a Teoria dos Determinantes teve sua origem em meados do século XVII. 7" # + Considere o sistema ' 8" *# + 9 -. Explicitando-se a incógnita x na primeira equação: x = U R VW Q e substituindo esse resultado na segunda equação : XU R XVW Q *# + 9 QY R UX dc dby + eay = af y(ae bd) = af cd y = QZ R VX UZ R VY resultado na primeira equação, tem se x = QZ R VX.. Substituindo-se esse Observe que o sistema está associado às seguintes estruturas matriciais: D = [ 7 [ coeficientes das incógnitas. O produto dos elementos da diagonal 8 * principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o denominador dos resultados de x e y anteriores. D x = \ \ Na estrutura anterior, substitui-se a coluna relativa aos coeficientes 9 * de x pela coluna de termos independentes de x e y. O produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o numerador do resultado de x anterior. D y = [ 7 8 9 [ Na estrutura anterior, substitui-se a coluna relativa aos coeficientes de y pela coluna de termos independentes de x e y. O produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o numerador do resultado de y anterior. 6

Pode-se registrar o que é conhecido como Regra de Cramer : 7" # + Dado o sistema ' 8" *# + 9 -, em que a,b,c,d,e, f R, tem-se como conjunto solução * 9 S = ] 7* 8,- 79 8 ^ ēm que ae bd. De modo mais funcional, temos 7* 8 x = _` _ e y = _ a _, em que D = [7 8 * [, D x = \ 9 * \ * D y = [ 7 8 9 " 5# + 8 Exemplo: Resolver o sistema ' " # + 7 -. [, sendo D. Temos D = [ 5 [ + 6 5 +, D 8 5 x = [ [+ 4 5 + * 7 D y = [ 8 _` [ = -4-8 = -. Logo, x = 7 = _ + e y = _ a + R _ + S = {(-, )} As estruturas matriciais D, D x e D y são chamadas de determinantes x. Operacionalmente, temos para uma matriz x : Se A = 7 7 7 7 det A = [ 7 7 7 7 [ = a.a a.a ) Definição de determinante para matrizes de ordem n < 4 : Consideremos o conjunto de todas as matrizes reais quadradas A de ordem n, n =,,. Chama-se Determinante de A, indica-se det A, o número real resultante de operações com os elementos de A, assim determinadas: o ) Se n = A = [a ] det A = 7 = a ; o ) Se n = A = 7 7 7 7 det A = [ 7 7 7 7 [ = a.a a.a 7 7 7 7 7 7 o ) Se n = A = % 7 7 7 & det A = c7 7 7 c = (a.a.a + 7 7 7 7 7 7 + a.a.a + a.a.a ) (a.a.a + a.a.a + a.a.a ) 7

Observação : Essa última regra, conhecida como Regra de Sarrus, pode ser memorizada através do seguinte dispositivo: a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas: 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 b) No primeiro par de parênteses da expressão estão os produtos dos elementos situados nas posições paralelas à diagonal principal, assinaladas em azul e no segundo par de parênteses, os produtos dos elementos situados nas posições paralelas à diagonal secundária, assinalados em vermelho: a a a a a a a a a a a a a a a Exemplo : Calcule o determinante 8 +c c. Então, temos: - - - 8

d = ( + o) ( + ) = = =. Observação : Ao invés de repetir as duas primeiras colunas à direita, pode-se repetir as duas primeiras linhas em baixo e seguir o mesmo procedimento. ) Cofator de um elemento numa matriz quadrada: Dada uma matriz quadrada A= (a ij ) de ordem n, chama-se Cofator de uma entrada a ij o número real Cof (a ij ) = (-) i + j.d ij Em que D ij é o determinante gerado pela supressão da linha e da coluna do elemento a ij. Exemplo : Considere as matrizes A = 7 5 e B = % 5 4 &. Calcule 4 a) Cof (a ); Cof (a ) = (-) + =. =. b) Cof (b ); Cof (b ) = (-) + [ [= -.( + ) = -. 4 c) O valor da expressão D = a. Cof (a ) + a. Cof (a ) e o determinante da matriz A; o ) D =.(-) +. 5 +..(-) +. 7 = 7 = o ) D =.5.7 = 7 = d) O valor da expressão D = b. Cof (b ) + b. Cof (b ) + b. Cof (b ) e o determinante da matriz B. o ) D =.(-) +.[ 5 4 4 [ +.(-)+.[ 4 [ -.(-)+.[ 5 [ =.( 6) -.( ) 4 - (4 5) = + = 5. o ) D = + 6 8 + - 6 = 5 9

Observação : Nos itens c e d do exemplo anterior, antecipamos um resultado importantíssimo, por seu grau de generalidade : trata-se do Teorema de Laplace, usado para calcular determinantes de qualquer ordem. 4) O Teorema de Laplace : O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é a soma dos produtos parciais de cada elemento de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Exemplos : 4 ) Calcule o determinante c 5c com o Teorema de Laplace. 4 Vamos escolher uma fila a primeira coluna. Então, temos : 6 c5 5c + 4.(-) + [ 5 4 [ +.(-)+ [ 5 [ +. (-)+ [ [ = 4(- ) 4 5 4 - ( 5) +( + ) = -84 + + = -4. É claro que a melhor escolha de fila aponta para a linha ou coluna que tiver mais zeros; Para elementos nulos, não é preciso calcular cofator. ) Use o Teorema de Laplace para calcular o determinante d = d - - Aplicando o Teorema de Laplace à segunda coluna do determinante, temos: 4 d = + +.(-) + c c+(-),(-) 4+ c c= -(+6+6-4-9-)-(6+8+-- 4-6) = + 4 = 6. 5) Processos Complementares: d.

5.) Determinante da Matriz de Vandermonde: Uma matriz quadrada é chamada de Matriz de Vandermonde se: o ) Todos os elementos da primeira linha são iguais a ; o ) Todas as colunas têm seus elementos em progressão geométrica na ordem crescente das linhas. Exemplos : a) A = % 4 & 4 6 b) B = D 9 7 - - 4 8 E O determinante da Matriz de Vandermonde é o produto das diferenças estabelecidas da direita para a esquerda na segunda linha da matriz. Vejamos os determinantes das matrizes acima: a) det A = (- 4)(- )(4 ) = (-5)(-)() =. b) det B = (-- )(- -)(- )( )( )( ) = (-)(-)(-4)()(-)(-) = -48. 5.) Regra de Chió: Se numa matriz quadrada A o elemento a é igual a, pode-se reduzir a ordem do determinante e calculá-lo mais facilmente com o seguinte procedimento: ) Exclui-se a linha e a coluna do elemento a ; o ) De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos elementos das filas excluídas que estão em posições perpendiculares a ele. Exemplos : 4,, a) c 4 c = [ 64, 4, [ = [ [ = - 6+6 =. 4 6 4 b) D 9 7 - - 4 8 4... 4 E = c9. 49. 9.c = c8 5 8 c = 7. 87. 7. 6 9 8 58 8 4 = [ [ = [ [ =.76 8 = - 84. 96 84 45

6) Propriedades dos determinantes : a) O valor de um determinante é zero se ele possui - uma fila (linha ou coluna) de zeros; - duas filas do mesmo tipo iguais (duas linhas ou duas colunas); - duas filas, do mesmo tipo, tais que uma é múltipla da outra. b) Se uma única fila de um determinante é multiplicada por um real k não nulo, então, o valor do determinante fica multiplicado também por k. c) Se duas filas do mesmo tipo são trocadas de posição entre si num determinante, então, o sinal desse determinante se inverte. d) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. e) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, ou seja, det(a.b) = det(a).det(b) f) Se A - é a inversa da matriz A, então, det (A - ) = /det A. g) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal prtincipal. h) O determinante de uma matriz não se altera quando uma fila é multiplicada por um real k, não nulo, e o resultado é somado com outra fila do mesmo tipo. i) Se um determinante tem uma fila que é combinação linear de outras duas do mesmo tipo, então esse determinante é igual a zero. Exercícios Propostos : ) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matriz A = (a ij ) X, em que a ij = -i - j. b) Determinante da matriz B = (b ij ) X, em que b ij = ( i j). c) Determinante da matriz C = (c ij ) X, em que c ij = i j, se i for par e c ij = i + j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I (identidade de ordem ). 4 e) Determinante da matriz D = 5. ) Se m = [ 4 5 [ e n = [ 4 4 [, calcule o valor da expressão m n. ) Se p = [ " 4 " " [ e q = [ 4 [, calcule x tal que p = q.

4) Se a = [ [, b = [ 4 5 [ e c = [ 7 5 [, resolva a equação ax + bx + c =.5) Se p = [ 8 4 4 4 [ e q = e 5 e, calcule log q p. 5) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir: a) ' " # + 5 " 5# +9-5" + # 7 c) ' " 5# +7 - " 4# + b) ' " # +4 - d) ' " 7 + # " 5# +6-6) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 56 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos? b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 8 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de e de 5 reais. Se alguém saca 6 reais e leva notas, quantas notas de cada espécie ele leva? d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 76,. Se cada suco custa R$,5 e cada salgado custa R$,, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos? 7) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matriz A = (a ij ) X, em que a ij = -i + j. b) Determinante da matriz B = (b ij ) X, em que b ij = - ( i + j). c) Determinante da matriz C = (c ij ) X, em que c ij = i j, se i for par e c ij = i + j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I (identidade de ordem ). e) Determinante da matriz % 5 &. 4 4

5 8) Se m = % &. e n = % 4 5 &., calcule o valor da expressão m + n. 4 4 " " 6 9) Se p = % "&. e q = % 5 &., calcule x tal que p = q. 4 4 4 4 4 ) Se a = % 5 &, b = % & e c = % 5 &, resolva a equação ax + 4 4 4 5 9 bx + c =. ) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num cofre há apenas moedas de, 5 e 5 centavos totalizando 6 moedas e R$ 4,45. Se o número de moedas de 5 centavos é o dobro do número de moedas de 5 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre? b) Num estacionamento, há veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? ) No plano cartesiano, três pontos A(x A, y A ), B(x B, y B ) e C(x C, y C ) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se " f # f c" g # g c = " h # h a) Verifique se os pontos A(, -), B(5, ) e C(, -4) estão alinhados. b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, ), Q(, 5) e C(, ) pertençam a uma mesma reta. c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-, -m) e T(, -) sejam vértices de um triângulo. 7 ) Se c8 * 9c =, determine o valor de cada determinante a seguir: : ; 4

7 a) c8 * 9c : ; 7 c* 9 8c ; : 7 b) c9 * 8c ; : : ; c) c 8 * 9 c 7 7 8 : d) c * ; c e) 9 7 4) Sabendo que m = c8 * 9c, d = a, e = b e f = c, determine os valores de x : ; tais que m = =[ " " " [. 5) Calcule o valor do determinante a seguir: c 5c. 4 9 5 6) Para quais valores de x o determinante x x é positivo? 7) Calcule cada determinante a seguir: a) 4 - - b) - - - c) 4 8 9 7 - - d) - - - 8) Resolva cada equação a seguir: a) x x x = b) x 4 9 4 8 9 7 x x x x x x 4 = 9) Calcule o determinante da matriz M = c e f h = e cg - fd = -. c f a d g b e h, sabendo que d g e h = 4, 5

) Calcule os valores reais de x tais que x - x + - x =. Questões Abertas de Vestibulares: ) (UFRN) Na equação a seguir, envolvendo determinantes, encontre os valores reais de x. - x + - x x x = 4 ) (UFPR) Dadas as matrizes A = (A.B), encontre o valor de N. - - e B =, e sendo N = 5 + Det ) (UFOP MG) A = (a ij ) X4,com a ij =, se i + j 4 -, se i + j = 4. Calcule o determinante de A.B., se i + j 4 -, se i + j = 4 e B = (b ij ) 4X, com b ij = 4) (UFOP MG) Considere a matriz A = (a ij ) x, em que a ij = tg [(π/6)i]+cot [(π/6)j. a) Calcule o determinante de A. b) Calcule AB, sendo B =. 5) (UFOP MG) Considere a matriz M = %)*S5" )*S" &, com x [, π]. T)5" T)" 4 Então, resolva a equação det M =. 6) (UFOP MG) Considere a matriz S = % ) ) ) ) ) ) ) ) ) & dada pela expressão 6

)* j s ij = i )* + -. Então, resolva a inequação det S > x. )* k Questões Fechadas de Vestibulares : " ) (CEFET MG) - O(s) valor(es) de x para que c" c = -8 é (são) " a) - b) c) d) - e e) - e ) (CEFET MG) - Sendo A = (a ij ), uma matriz quadrada de ordem onde a ij = i ij + + j, então, o determinante de A é a) 8 b) 9 c) d) e) ) (UFOP MG) - Considere a matriz M = sen 75 cos 75 o o sen 5 cos5 o o Então, podemos afirmar que : a) M é inversível e det M =. b) M é inversível e de t M =. c) M é inversível e det M =. d) M é inversível e det M =. e) M é inversível e det M =. " 4) (UFOP MG) - Considere a matriz M = c " "c. A equação det M = " " tem como solução: a) três raízes racionais. b) duas raízes irracionais e uma racional. 7

c) apenas uma raiz racional. d) duas raízes racionais e uma irracional. e) três raízes irracionais 5) (UFOP MG) - A matriz A, dada a seguir, é igual à oposta da sua transposta, ou seja, A = At. " # H A =. " l/ " Seu determinante vale: a) b) c) d) 6) (UFV Viçosa) - Na matriz quadrada A = (a ij ) de ordem, os elementos a, a, a e a, nesta ordem, apresentam a seguinte propriedade: Os três primeiros estão em progressão aritmética e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma razão. Se a =, o determinante de A vale: a) 4 b) 4 c) d) 8 e) 8 7) (UFV Viçosa) -Seja f: R R definida por f(x) = det " 5 mn. Então, o maior valor de f é a) b) c) d) e) 5 8) (UFSJ São João Del Rey- MG) Analise as afirmações abaixo. I O determinante da matriz % & é igual a. II O produto matricial % /&.F/ /5G é uma matriz identidade. 5 7 " 7 # 7 H + III O sistema linear de incógnitas x. y e z o " # H + - poderá não ter " # H + solução, dependendo dos valores de seus coeficientes. IV - Uma matriz identidade e uma matriz quadrada nula são matrizes simétricas. Com base nessa análise, é CORRETO o que se afirma 8

a) apenas em IV. b) apenas em I e IV. c) apenas em I e II. d) em I, II, III e IV. 9) (CEFET MG) A soma das raízes da equação % " & = é " a) -5 b) -4 c) d) e) 5 ) (UFV Viçosa) Seja A uma matriz inversível de ordem. Se det (a) = det (A ), então o valor de det A a) b) 4 c) d) e) 9