Estatística e Probabilidade Aula 5 Cap 03 Probabilidade
Na aula anterior vimos... Conceito de Probabilidade Experimento Probabilístico Tipos de Probabilidade Espaço amostral Propriedades da Probabilidade Propriedade Condicional Regra da Multiplicação
Nesta aula... Regra da Adição Eventos mutuamente exclusivos Princípios de contagem Fim do cap. 03...
Compare A e B a A ou B O evento composto A e B significa que tanto A quanto B ocorreram no mesmo experimento probabilistico. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação. O evento composto A ou B significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição. A A e B B A A ou B B
Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa. Exemplo: A = ter menos de 21 anos. B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos. A = ter nascido na Filadélfia. B = ter nascido em Houston. A B Exclusão mútua P(A e B) = 0 Se o evento A ocorre, isso exclui o evento B da tentativa.
Eventos não mutuamente exclusivos Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos. Exemplo: A = ter menos de 25 anos. B = ser um engenheiro de alimentos. A = ter nascido em Imperatriz. B = ver Big Bang Theory na TV. Sem exclusão mútua P(A e B) 0 A A e B B
Regra da Adição A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: P (A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Ao subtrair P(A e B) você evita uma dupla contagem da probabilidade dos resultados que ocorrem em A e B. Se os dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, a regra pode ser simplificada para P (A ou B) = P(A) + P(B) Esta regra simplificada pode ser estendida a um número qualquer de eventos mutuamente exclusivos.
Regra da Adição Exemplo: Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho. A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha. O fato da carta ser um rei não impede que a carta seja vermelha P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 mas P(A e B) = 2/52 (um rei vermelho) P(A ou B) = 4/52 + 26/52 2/52 = 28/52 = 0,538
Regra da Adição Exemplo: Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10. A = a carta é um rei. B = a carta é um 10. P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52 P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0/52 = 8/52 = 0,054 Quando os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B)
Tabela de contingência Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir: Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(Miami e sim) 2. P(Miami e Seattle) 3. P(Miami ou sim) 4. P(Miami ou Seattle)
Tabela de contingência Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 Solução 1. P(Miami e sim) 2. P(Miami e Seattle) =0 250 150 150 = = 0,15 1000 250 1000
Tabela de contingência Omaha Seattle Miami Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 3. P(Miami ou sim) 4. P(Miami ou Seattle) 250 400 150 500 + = = 0,5 1000 1000 1000 1000 250 450 0 700 + = = 0,7 1000 1000 1000 1000
Um breve resumo Para eventos complementares P(E') = 1 P(E) Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. Probabilidade de que ambos os eventos ocorram P(A e B) = P(A) P(B A) Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu. Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.
Estatística e Probabilidade
Princípio Fundamental da Contagem Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento de n maneiras, o número de maneiras em que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m. n Esta Regra pode ser estendida p/ um número qualquer de eventos
Princípio Fundamental da Contagem Exemplo (diagrama de árvore): Se uma refeição consiste em duas opções de sopa, três de prato principal e duas de sobremesa, quantas refeições diferentes podem ser compostas? Sopa Principal Sobremesa Início 2 3 2 = 12 refeições
Princípio Fundamental da Contagem Exemplo (diagrama de árvore): Você está comprando um carro. Usando as informações a seguir fabricante, tamanho e cor- diga de quantas maneiras diferentes podemse selecionar um fabricante, um tamanho e uma cor. Fabricante: Ford, GM, Fiat Tamanho: pequeno, médio Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), verde (Vd)
Fatoriais Suponha que você queira colocar n objetos em ordem Há n opções para o primeiro lugar. Restarão n 1 opções para o segundo, depois n 2 opções para o terceiro e assim por diante, até que, no último lugar, não vai mais haver opções. Com base no Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras em que n objetos podem ser arranjados é: n(n 1)(n 2) 1 Essa expressão chama-se n fatorial e escreve-se n!.
Permutações Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos. O número de permutações para n objetos é n! n! = n (n 1) (n 2)... 3 2 1 Permutação de n objetos tomando r a cada vez Suponha que você queira escolher alguns objetos em um grupo e colocá los em ordem. Essa ordenação é chamada de permutação de n objetos tomando r a cada vez. O número de permutações de n objetos, tomando-se r a cada vez (onde r n), é:
Permutação de n objetos tomando r a cada vez Exemplo: Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. Em quantas seqüências diferentes você pode fazê-lo? Há 6.720 permutações de oito livros para se lerem cinco.
Permutações distinguíveis Suponha que você queira agora ordenar um grupo de objetos sendo alguns deles iguais, como por exemplo as letras AAAABBC. De quantas maneiras diferentes você pode ordenar esse grupo? Se usarmos a formula anterior, pode-se concluir que existem 7P 7 = 7! Entretanto, como alguns objetos são iguais, nem todas essas ordenações são distinguíveis.
Permutações distinguíveis O número de permutações distinguíveis de n objetos, sendo n 1 de um tipo, n 2 de outro tipo e assim por diante, é: n! n! n n!! n! n 1 2 3 4 k Onde n 1 +n 2 +n 3 +...n k =n! Assim, o número de maneiras que as letras AAAABBC podem ser rearranjadas é 7! 7 6 5 = = 105 4! 2! 1! 2
Combinações Suponha que voce queira comprar três CDS de uma seleção de cinco. Há dez maneiras de fazer suas seleções: ABC, ABD, ABE ACD, ACE ADE BCD, BCE CDE Em cada seleção, a ordem não importa (o conjunto ABC é o mesmo que BAC). O número de maneiras de escolher r objetos dentre n objetos, não importando a ordem, é chamado de número de combinações de n objetos tomando r a cada vez
Combinação de n objetos tomando r a cada vez Uma combinação é uma seleção de r objetos de um grupo de n objetos, sem que tenha importância a ordem. O número de combinações de objetos selecionados em um grupo de n objetos é: n C r = ( n n! r)! r!
Combinação de n objetos tomando r a cada vez Exercício: Uma departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova estrada e recebe 16 propostas para o projeto. O estado planeja contratar 4 das companhias que fizeram ofertas. Quantas combinações diferentes de 4 companhias podem ser selecionadas a partir das 16 que fizeram oferta? Lembre que: Solução: n C r = ( n n! r)! r! C 16 4 16! 16! 16 15 14 13 12! = = = = 1820 (16 4)!4! (12)!4! 12!4! Podemos obter 1820 combinações diferentes.
Combinação de n objetos tomando r a cada vez Exercício: Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. De quantas maneiras você pode escolher os livros se a ordem não importar? Há 56 combinações de 8 objetos tomando-se 5.
Princípios da contagem- resumo
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