Introdução ao determinante - PDF Download grátis

ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44

Área e em R 2 A = u v matriz. P paralelogramo com arestas u e v. v u + v 0 u Definição det A é a área (com sinal) do paralelogramo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44

Volume e em R 3 A = u v w matriz 3 3. P paralelepípedo com arestas u, v e w. w v 0 u Definição det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44

Matriz Diagonal [ a 0 Considere A =, com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 44

O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44

det(a) = 0 em R 2 : s [ 12 4 det = 0 9 3 [ 3 3 det = 0 3 3 Por quê? 1 a col = 3 2 a col Por quê? 3 a col = 1 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 44

det(a) = 0 em R 3 : s 1 3 1 det 1 7 1 = 0 1 9 1 1 2 3 det 1 2 3 = 0 1 2 3 Por quê? 3 a col = 1 a col Por quê? 3 a col = 1 a col + 2 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 44

Sinal do Mantendo fixo u e variando v, como varia o sinal do determinante? vu + v vu + v 0 u determinante positivo vu + v determinante zero 0 u determinante negativo 0 u 0 vu + v u 0 vu + v u 0 u 0 u vu + v 0 u vu + v vu + v Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 44

Propriedade (a) (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero: paralelogramo ou paralelepípedo degenerado. [ 2 2 det = 0 3 3 det u v u = 0 det u v v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44

Propriedade (b 1 ) (b 1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o determinante será multiplicado por k: a altura (ou base) será multiplicada por k. v 3, 5u u 2u 3u 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 44

Propriedade (b 1 ): [ 5 0 det 0 1 [ 1 0 = 5 det 0 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 44

Propriedade (b 2 ) (b 2 ) det u + v w = det u u + v w + det v w v u 0 w Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 44

Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ 1 + 1 0 = 6 = det 5 + 3 3 + det [ 1 0 3 3 = = 3 + 3 = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! 1 0 1 0 2 0 det + = det = 4 0 1 0 1 0 2 [ [ 1 0 1 0 det + det = 1 + 1 = 2. 0 1 0 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44

linearidade Utilize [ a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det. 6 3 [ [ [ [ 2 2 + 0 2 0 Como = = +, 6 0 + 6 0 6 [ [ 2 0 2 + 0 0 det = det = 6 3 0 + 6 3 [ [ 2 0 0 0 det + det = 6 + 0 = 6. O primeiro 0 3 6 3 determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero pois uma coluna é múltipla da outra. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44

Propriedade (c) (c) o determinante da matriz identidade é 1: área de um quadrado de lado 1 = volume de um cubo de lado 1 = 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 44

em R n Um fato surpreendente é: Teorema Considere o conjunto M n n, o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma única função det : M n n R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas são iguais o valor é zero; (b) é linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor é 1. Definição O determinante é a função dada pelo teorema acima. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 44

Comentários Embora completa, a definição acima não apresenta uma fórmula para calcular o determinante. Segundo Klaus Jänich: Se você ainda acha que a informação mais importante acerca de um objeto matemático é uma fórmula para calcular o seu valor, certamente você compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas, mas com conhecimentos apenas superficiais de matemática. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 44

Propriedade Equivalente Lema As propriedades abaixo são equivalentes: (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero. (a ) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 44

Prova do Lema Prova Vamos provar para matriz 2x2. Suponha (a). Então det u + v (colunas iguais) u + v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 44

Prova do Lema (continuação) Prova Por (b) (linearidade) 0 = det det det det u u v u + v u + det v + det u v v u + v u + v + det u + v = v u = + Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 44

Prova do Lema (continuação) Prova Por (a) novamente det Logo 0 = det det u v u v u u + det = det v u = det v. u v v = 0. Suponha (a ). Tomando u = v, det(u u) = det(u u). Portanto 2 det(u u) = 0. Logo det(u u) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44

do Das três propriedades básicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades: 1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de outra, a j a j + αa k, k j, o determinante não se altera; 2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal; 3 determinante de matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal; 4 determinante é zero se uma coluna é combinação linear das outras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44

Produto de Matrizes Lema det(ab) = det(a) det(b) Prova Se det(a) 0, defina f A (B) = det(ab)/ det(a). É fácil ver que possui as propriedades da definição (f A (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo f A (B) = det(b). Corolário det(a) 0 se, e somente se, A possui inversa. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 44

Transposta de Matrizes Lema det(a t ) = det(a). Corolário Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: é linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 44

s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w + 2 0 = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44

s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44

Fórmula para : parte 1 [ a c Vamos deduzir fórmula do determinante de b d utilizando somente propriedades básicas. [ [ [ a a 0 Como = +, linearidade na primeira b 0 b coluna implica: [ [ [ a c a c 0 c det = det + det. b d 0 d b d Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 44

Fórmula para : parte 2 [ a c det b d [ c Como d [ a c = det 0 d = [ c 0 + [ 0 d coluna implica: [ [ a c a c det = det 0 d 0 0 [ [ 0 c 0 c det = det b d b 0 [ 0 c + det b d., linearidade na segunda [ a 0 + det 0 d + det [ 0 0 b d. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 44

Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ 0 0 0 0 [ 0 0 a 0 1 0 det + ad det + [ 0 d [ 0 1 0 c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ 1 0 0 0 0 0 det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44

Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ 0 0 1 0 +ad det +ad 1 [ 0 1 0 1 +bc det bc det [ 1 0 0 0 +bd det +bd 0 1 1 [ 1 0 0 1 bc 1 (colunas iguais) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44

Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ 0 0 1 0 +ad det +ad 1 [ 0 1 1 0 bc det bc 1 [ 0 1 0 0 +bd det +bd 0 1 1 (colunas iguais) (identidade) (troca colunas) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44

Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ 0 0 1 0 +ad det +ad 1 [ 0 1 1 0 bc det bc 1 [ 0 1 0 0 +bd det +bd 0 1 1 (colunas iguais) (identidade) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44

Fórmula para : Fim! Finalmente, [ a c det = ac 0 + ad 1 bc 1 + bd 0 = ad bc b d Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 44

Regra de Sarrus Podemos repetir o que foi feito para matriz para matriz 3 3. Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada através da Regra de Sarrus: [ a11 a 12 a 21 a 22 + Observação (regra se Sarrus) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 + + + A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior que 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44

Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44

de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = 0 4 8 2 1 8 3 6 9 Troque l 1 com l 3 : det A = det. 3 6 9 2 1 8 0 4 8 Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det. 1 2 3 0 3 2 0 4 8 1 2 3 2 1 8 0 4 8.. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44

de cálculo de modo eficiente (continuação) det A = 3 det Faça l 3 l 3 + 4l 2 /3: det A = 3 det 1 2 3 0 3 2 0 4 8. 1 2 3 0 3 2 0 0 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos da diagonal: det A = 3(1)( 3)(32/3) = 96.. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 44

Matrizes em Blocos Lema (determinante de matrizes triangulares por blocos) [ [ A B A 0 Suponha que M = ou ou M =, com A 0 D C D e D matrizes quadradas. Então det(m) = det(a) det(d) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 44

e Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução? se det(a) 0, A possui inversa e portanto existe uma única solução v = A 1 b; se b = 0 e det(a) 0, a única solução será v = 0; se det(a) = 0 podemos garantir que o sistema homogêneo Av = 0 possui solução v 0, isto é, possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 44

e Concluímos que: Teorema Se A é matriz quadrada, são equivalentes: 1 o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente de zero; 2 A não possui inversa; 3 det(a) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 44

Sistema Homogêneo [ 1 2 Considere a matriz A =. Determine valores para λ 2 1 tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial. Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz identidade I. Assim temos que resolver Av = λiv ou (A λi)v = 0. Como queremos soluções não-triviais, queremos que o núcleo de A λi seja não-trivial, que pelo Teorema acima implica [ que det(a λi) = 0. Agora 1 λ 2 det(a λi) = det = (1 λ) 2 1 λ 2 4 = 0. Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos que λ = 3 ou λ = 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 44

de TLs Como definir o determinante de transformações lineares T : V V? T pode ter matrizes distintas A e B que a represente pois depende da base escolhida para o espaço V. No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de base P: B = PAP 1. Pela propriedade do produto, det(b) = det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = det(a). Logo podemos definir det(t ) por det(a), o determinante da matriz que a representa numa base qualquer. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 40 / 44

Definição de de TL Definição Dada transformação linear T : V V, seja A uma matriz que a represente. Definimos det(t ) como det(a). Lema Seja T uma transformação linear de V em V. São equivalentes: (a) o núcleo de T é não-nulo; (b) T não possui inversa; (c) det(t ) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 44

e Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear e Ω R 2 um conjunto limitado qualquer. Qual a relação entre volume de Ω e a área de T (Ω)? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 42 / 44

Relação e Teorema Área de T (Ω) é igual a área de Ω vezes det(t ). T Ω Q i T (Ω) T (Q i ) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 43 / 44

Uma aplicação deste Teorema é em cálculo de várias variáveis. Uma função qualquer f : R 2 R 2 pode ser aproximada localmente por uma transformação linear. Por este resultado, a distorção local de área será dado pelo determinante desta transformação linear, o chamado jacobiano de f. Este mesmo resultado poder ser generalizado para três dimensões: Seja T : R 3 R 3 uma transformação linear e Ω R 3 um conjunto qualquer. O volume de T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes det(t ). Podemos reinterpretar a propriedade do determinante do produto da seguinte forma. Dado C = AB, composição das TLs A e B, a distorção de área (ou volume) de C é igual ao produto da distorção de A e distorção de B. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 44 / 44