18/06/01 Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel 1 Superfícies geradas por uma geratriz (g) que passa por um ponto dado V (vértice) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz), V d. Se a diretriz é um polígono, que não contém V, tem-se a união de dois ângulos poliédricos (opostos pelo vértice); Reunião dos segmentos de reta, com uma das extremidades no ponto V e outra no círculo de raio r. Se a diretriz é uma circunferência tem-se uma superfície cônica circular. 4 1
18/06/01 5 6 O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base. Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto, caso contrário o cone é oblíquo. V Eixo ltura altura B O* h g R 1) O eixo é perpendicular ao plano da base. ) No VO : g h + R Neste caso a geratriz também é chamada apótema. 7 8
18/06/01 Seção Meridiana B g R V * O secção meridiana é a intersecção de um cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base do cone. Se o triângulo VB é equilátero, temse um Cone Equilátero. ssim gr O VB é a seção meridiana do cone. 9 secção meridiana corta o cone passando pelo centro da circunferência. No cone reto a secção meridiana é um triângulo isósceles. 10 11 1
18/06/01 b l t t πr πr. g πrg + πr πr ( g + r πrg ) V 1. πr.h V 1. πr.h O cone menor, acima da secção é semelhante Seção Transversal g ao cone h original, H G então suas dimensões são proporcionais. r Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base. r R g G h H k Suas áreas são proporcionais. b l t k b l t Seus volumes são proporcionais. R v k V secção transversal forma o tronco de cone. 16 4
18/06/01 ltura do cone original (H) Geratriz do cone semelhante (g) ltura do cone semelhante (h) ltura do tronco (H T ) G g + G T Geratriz do Tronco (G T ) Outra conclusão: V v + V T 17 18 DEFINIÇÃO: Dado um ponto O e um segmento de medida r, denomina-se esfera de centro O e raio r o conjunto de pontos do espaço tais que o segmento OP é menor ou igual a r. SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: esfera é o sólido gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo e. É a reunião da superfície esférica com os pontos interiores a esta. Denomina-se superfície esférica o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de um ponto fixo que é o centro da esfera. 19 0 5
18/06/01 SECÇÃO PLN: intersecção de um plano (secante) com uma esfera gera um círculo, chamado secção plana. Observe que o PO é retângulo, assim: r x + d seção que passa pelo centro da esfera (d 0) é chamada círculo máximo da esfera. 1 Distância polar: distância entre qualquer ponto pertencente a um paralelo, isto é, qualquer ponto da esfera, e um dos polos. Usando as relações métricas no P 1 P, tem-se: p 1 r (r d) p r (r + d) 4 6
18/06/01 VOLUME D ESFER: Sobre um plano α, tomemos uma esfera de raior, um cilindro equilátero de raio r e altura r(altura do cilindro igual a altura da esfera). VOLUME D ESFER: Vamos analisar a área das secções mostradas na imagem. Desse cilindro retira-se dois cones (clépsidra) com raio r e vértice no ponto médio da altura do cilindro. 5 6 ssim, a anticlépsidra e a esfera têm o mesmo volume. O volume da anticlépsidra volume do cilindro.volume do cone nalisando a área das secções tem-se: x πr r V πr (r). πr 4πr V πr Área da coroa π r πh π.(r h ) Área do círculo π x, mas como x r h, teremos Área do círculo π.(r h ) CONCLUSÃO: O volume de uma esfera de raio r é : 4π r V 7 8 7
18/06/01 Área da Superfície Esférica: Supomos que a superfície esférica está recoberta por uma malha constituída um número muito grande (tendendo ao infinito) de pequenos círculos. Supomos ainda que todos esses círculos estão ligados ao centro da esfera, que ficará subdividida em uma quantidade infinita de cones. Seja a área destes pequenos círculos. soma de todas elas é igual a área da superfície esférica (S). soma dos volumes destes cones é igual ao volume da esfera. altura de cada um desses pequenos cones será aproximadamente igual ao raio r da esfera. Área r. r. r. 4πr + + +... ( + + +...). r 4πr S. r 4πr S 4πr 9 Fuso Esférico e Cunha Esférica: Fuso Esférico: Fuso esférico é a parte da superfície esférica compreendida entre dois de seus círculos máximos (secção transversal que passa pelo centro). área de um fuso pode ser determinada, lembrando que a área da superfície esférica corresponde a um fuso de 60º. Veja: 60º 4 π r αº 4π r α π r α 60 90 0 Cunha Esférica: cunha esférica é a parte da esfera compreendida entre dois de seus círculos máximos. Dolce, O., Pompeo, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar, vol. 10, Ed. tual. O volume de uma cunha esférica pode também ser obtido, a partir do volume da esfera. Veja: 60º 4πr αº V 4π r α π r α V.60 70 Estudo das Esferas: Prof. Ilydio Pereira de Sá UERJ - USS lgumas imagens foram copiadas da internet, porém não anotei os links. 1 8