Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/200 1 Teoria dos Núeros O resultado da divisão de dois núeros inteiros, dividendo e divisor, ne sepre é u núero inteiro. Ao aior núero inteiro enor do que a divisão chaa-se quociente e à diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente chaa-se resto. Se a for o dividendo, b o divisor, q o quociente e r o resto te-se que a = q b + r, co0 r b 1. Por exeplo, se dividiros 31 por obteos o resultado é 4.428..., e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto é igual a 31 4 = 3. 1.1 Algorito de Euclides O Algorito de Euclides serve para deterinar o áxio divisor cou de dois núeros inteiros. Exeplo. Deterinar o áxio divisor cou de 1154 e 35, dc(1154,35). dividendo divisor resto quociente 1154 35 18 48 35 18 15 19 18 15 3 1 15 3 0 5 O áxio divisor cou é o últio resto diferente de zero, que é igualente o últio dividendo, ou seja dc(1154,35)=3. 1.2 Núeros Prios Definição. U núero inteiro p > 1 é prio se só é divisível por 1 e por ele próprio. Os prieiros núeros prios são: 2 3 5 11 13 1 19 23 29 31 3 41 43 4 53 59 61 6 1 3 9 83 89 9 101 103 10 109 113 12 131 13 139 149 151 15 163 16 13 19 181 191 193 19 199 211 223 22 229 233 239 241 251 25 263 269 21 2 281 283 293 30 311 313 31 331 33 34 349 353 359 36 33 39 383 389 39 401 409 419 421 431 433 439 443 449 45 461 463 46 49 48 491 499 503 509 521 523 541 54 55 563 569 51 5 58 593 599 601 60 613 61 619 631 641 643 64 653 659 661 63 6 683 691 01 09 19 2 33 39 43 51 5 61 69 3 8 9 809 811 821 823 82 829 839 853 85 859 863 8 881 883 88 90 911 919 929 93 941 94 953 96 91 9 983 991 99 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 108 1091 1093 109 1103 1109 111 1123 1129 1151 1153 1163 111 1181 118 1193 1201 1213 121 1223 1229 1231 123 1249 1259 12 129 1283 1289 1291 129 1301 1303 130 1319 1321 132 1361 136 133 1381 1399 1409 1423 142 1429 1433 1439 144 1451 1453 1459 141 1481 1483 148 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 156 151 159 1583 159 1601 160 1609 1613 1619 1621 162 163 165 1663 166 1669 1693 169 1699 109 121 123 133 141 14 153 159 1 183 18 189 1801 1811 1823 1831 184 1861 186 181 183 18 189 1889 1901 190 1913 1931 1933 1949 1951 193 199 198 1993 199 1999. Teorea. Todo o núero natural (diferente de 1) escreve-se de fora única coo u produto de núeros prios. Este Teorea é conhecido por Teorea Fundaental da Aritética. Exeplos: 108 = 2 2 3; 225 = 3 2 5 2 ; 3260 = 2 2 163. Definição Dois núeros naturais a e b são prios entre si se dc(a, b)=1. Quaisquer dois núeros prios são prios entre si, as o recíproco não é verdadeiro. 1
1.3 Congruências Definição. Seja u núero natural. Dois núeros a e b são congruentes ódulo se a b é divisível por. Escreve-se a b (od ). Proposição. a b (od ) se e só se a e b tê o eso resto na divisão por. Exeplos: 13 151 (od 2); 352 122 (od 10); 5 19 (od ). Soas, produtos e potências ódulo. a b = r se r é o resto da divisão de a + b por. (Lê-se a ais b ódulo.) a b = s se s é o resto da divisão de a b por. (Lê-se a vezes b ódulo.) a b = t se t é o resto da divisão de a b por. (Lê-se a elevado a b ódulo.) Exeplos: 3 = 2; 59 3 = 32; 8 100 59 = 53; 11 = 2; 60 13 2 9 1.4 Exercícios = 1; 63 3 = 11. 1 1. Calcule o áxio divisor cou e diga quais dos pares são prios entre si. (a) dc(12, 2); (b) dc(1112, 144); (a) dc(5552, 341); (b) dc(1239, 14544). 2. Decoponha e factores prios os seguintes núeros: 10, 55, 98, 308, 115, 26569, 30030. 3. (a) Deterine os prieiros 10 núeros naturais congruentes co ódulo 9. (b) Deterine os dois prieiros núeros naturais congruentes co 13 ódulo 11. (c) Calcule u núero natural n tal que n 3 (od 6) e n 5 (od 8). 4. Calcule o resultado das seguintes operações: (a) 345 1020; (b) 1 164; (c) 9994 1063; 13 1050 11200 (d) 590 53; (e) 16 53; (f) 85 55; 123 60 135 (g) 15 3 ; (h) 21 10 ; (i) 63 31 ; 2 11 (j) 2 19 ; (k) 29 2 35 ; (l) 123 2. 5. Calcule o valor das seguintes expressões ódulo 11, 12 e 23, respectivaente. (a) 5 + 3 6 9; 5 5 2. (od 11) (b) 6 9 + 3 + 10 2 ; 2 + 10 99. (od 12) (c) 22 22 22; 4 45 + 6. (od 23) 123 2
Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/200 1.5 Siétrico ódulo Definição. Seja u núero natural. Dois núeros naturais 0 a, b < são siétricos ódulo se a b 0. Exeplos. 2 e 3 são siétricos ódulo 5 (2 3 1). 5 0 é siétrico de si próprio ódulo (0 0 0). 5 é siétrico de si próprio ódulo 10 (5 5 0). 13 é o inverso ódulo 3 de 24 (13 24 0). 3 O siétrico ódulo de u núero natural enor do que existe e é único. Se a 0, então o seu siétrico ódulo é igual a a. 1.6 Inverso ódulo Definição. Seja u núero natural. Dois núeros naturais 0 < a, b < dize-se inversos ódulo se a b 1. Exeplos. 2 e 3 são inversos ódulo 5 (2 3 1). 5 1 é inverso de si próprio ódulo (1 1 1). 4 não te inverso ódulo 8. Para a = 1, 2,..., ; 4 a 1. 8 2 é o inverso ódulo 101 de 51 (2 51 1). 101 10 é o inverso ódulo 19 de 8 (10 8 1). 19 6 é inverso de si próprio ódulo (6 6 1). Se o inverso ódulo existe, então ele é único. O núero a te inverso ódulo se e só se dc(a,)=1. Se p é prio, então todos os núeros naturais enores do que p tê inverso ódulo p. 1. Exercícios 1. Escreva os siétricos ódulo 13 de todos os núeros naturais inferiores a 13. 2. (a) Deterine, caso exista, o inverso ódulo 11 de todos os núeros naturais inferiores a 11. (b) Deterine, caso exista, o inverso ódulo 14 de todos os núeros naturais inferiores a 14. (c) Calcule x < 41 tal que x 5 1 (od 41). 3. (a) Deterine a < 11 de odo que a + 2 3 + 3 + 4 2 + 5 0 + 6 3 + 2 + 8 1 0 (od 11). (b) Deterine b < 11 de odo que 5 + 3 + 4 3 + 6 b + 3 + 8 2 + 9 + 10 9 0 (od 11). (c) Deterine c < 22 de odo que 2 + 13 c + 15 0 (od 22). 3
2 Códigos de identificação detectores de erros Ua Mensage é ua sequência de dígitos (algarisos ou não) que pretendeos transitir. (Enviar por eail, escrever nu forulário, dizer ao telefone.) U código detector de erros é u conjunto de regras a que ua ensage te que obedecer para estar correcta. Se a ensage recebida não obedecer a essas regras, então houve u erro na counicação. Nesse caso diz-se que o código detectou o erro. Exeplos: 1. Códigos de barras (leitura óptica pequena possibilidade de erro). 2. Núero de cheque (escrito pelo bancário ou lido opticaente). 3. Código ISBN: usado para encoendas de livros,... (para uso huano aior possibilidade de erro). 4. Núero do Bilhete de Identidade (para uso huano aior possibilidade de erro). 5. Núero de série de notas. (a) Actualente é usado para controlo de reessas e outras operações de transferência de notas. O código das notas de Euro é deasiado eleentar. (b) Anteriorente os códigos fora usados para evitar falsificações e feitos de aneira a não sere decifrados. Co a evolução tecnológica, isso deixou de ser necessário. Por exeplo, o código das notas de Marco Aleão era bastante evoluído. 6. Núero de cartão crédito (2 dígitos de controlo).. Coandos à distância: televisão, leitor de DVD, portão da garage,... O coando eite ua ensage (nuérica) e o receptor transfora essa ensage nua acção (udar de canal, abrir a garage,...). Neste caso a possibilidade de erro é bastante elevada. Nos exeplos anteriores o código perite detectar erros as não os corrige. E certos casos, existe a necessidade de corrigir os erros. O exeplo ais usual de ua situação onde são usados códigos de identificação correctores de erros é o da transissão de dados (iage, so ou texto). Neste tipo de sisteas são usados aplificadores de sinal que perite corrigir u certo núero de erros. A possibilidade de corrigir erros é ua das vantagens dos sisteas digitais: internet, TV digital, gravação de CD s. 2.1 Código de barras EAN - European Article Nuber. O código EAN consiste nu núero de 13 dígitos. Os dois prieiros dígitos identifica o país onde o artigo foi produzido, os cinco seguintes o fabricante, os próxios cinco identifica o produto e o últio dígito é u dígito de controlo. x 1 x }{{} 2 x 3x 4 x 5 x 6 x } {{ } x 8x 9 x 10 x 11 x } {{ 12 } x 13 }{{} país fabricante produto dígito controlo Exeplos. Copal Pêra: 56-01151-54330-6 Copal Lião Light: 56-01151-1100-2 Lipton Yellow Label Black Tea: 80-00099-10001-0 Alguns exeplos de identificação do país produtor: França-30, Japão-49, Reino Unido-50, Portugal-56, Itália-80, Espanha-84, livros-9. 4
Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/200 U código de barras EAN verifica a seguinte regra: x 1 + 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 + x 5 + 3 x 6 + x + 3 x 8 + x 9 + 3 x 10 + x 11 + 3 x 12 + x 13 0(od10) Copal Pêra. 5 + 3 6 + 0 + 3 1 + 1 + 3 5 + 1 + 3 5 + 4 + 3 3 + 3 + 3 0 + 6 = 80 0(od10) O núero 80 é divisível por 10. Lipton 8 + 3 0 + 0 + 3 0 + 0 + 3 9 + 9 + 3 1 + 0 + 3 0 + 0 + 3 1 + 0 0(od10) 2.2 Exercícios 1. Verifique se os seguintes núeros EAN estão correctos. (a) 9-80201-34292-5 (b) 9-80301-34292-5 (c) 55-00000-11111-6 (d) 12-12345-54321-0 2. Deterine os dígitos de controlo dos seguintes códigos de barras. (a) 56-01163-12081- (b) 49-00012-3500- (c) 20-11253-05932-2.3 Núero ISBN ISBN - International Standard Nook Nuber O código ISBN de u livro é u núero de 10 dígitos. Os prieiros dígitos identifica a língua e que foi escrito ou o país onde foi publicado, confore os casos, os núeros seguintes a editora e o livro e o últio é u dígito de controlo, tal coo nos caso dos códigos de barras. O livro Nubers and Beyond de Stephen Barnett é identificado co o seguinte núero }{{} 0 }{{} 201 34292 }{{} 8 inglês Prentice dígito Hall controlo U núero x 10 x 9 x 8 x x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 é u núero ISBN se verifica a seguinte regra: x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 + 6 x 6 + x + 8 x 8 + 9 x 9 + 10 x 10 0(od11) Nota: Os códigos que usa núeros prios, coo neste caso o 11, perite detectar u aior núero de erros. O dígito de controlo é adicionado ao ISBN de tal odo que o núero resultante verifique o teste de controlo. Coo se calcula o dígito de controlo x 1? 1. Calcula-se o resto R da divisão inteira de 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 + 6 x 6 + x + 8 x 8 + 9 x 9 + 10 x 10 por 11, ou seja R = 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 + 6 x 6 + x + 8 x 8 + 9 x 9 + 10 x 10 = 0 (od11). 2. Se R = 0, então x 1 = 0. Se R 0, então x 1 = 11 R. E se R = 1? Neste caso x 1 = 10. Por conveniência usa-se o dígito X (dez roano) para substituir o núero dez, que é usualente representado por dois dígitos. Exeplo. O livro As Aranhas Douradas de Rex Stout te o ISBN 92 611 69 X 5
O código do núero ISBN detecta: erros singulares e trocas de dois algarisos. Proposição. Se na leitura de u núero ISBN ocorre apenas u erro nu dígito ou apenas ua troca de algarisos, então o núero resultante da leitura não verifica o teste de controlo. 2.4 Bilhete de Identidade O núero 1005214 6 é u núero de BI. Podeos reparar que 6 + 2 4 + 3 + 4 1 + 5 2 + 6 5 + 0 + 8 0 + 9 1 = 0 (od11). Podeos verificar para outros núeros e chegar á esa conclusão. A verdade é que o código do BI é idêntico ao código ISBN, co ua diferença. Já algué viu o dígito de controlo do BI igual a 10 ou a outro dígito que o identifique? Não, porque o 10 foi substituído por 0!!! Assi o núero 931405-0 é u núero de BI existente e Portugal cujo a soa de controlo é 166 = 1(od11) O núero 933405-0 tabé é u núero de BI e difere do núero anterior e apenas u dígito. Conclusão Devido à substituição do núero 10 por 0, o código do BI não detecta erros singulares. 2.5 Exercícios 1. Deterine os dígitos de controlo dos seguintes núeros ISBN incopletos. (a) 0-205-0450- (b) 0-8162-8604- (c) 2-512-43005- (d) 92-21-1608-2. ua biblioteca encoendou vários livros enviando os respectivos núeros ISBN. O fornecedor recebeu a encoenda, as dois dos núeros estava incopletos: 92-3?-0310-5 e 0-19-850?30-0. Quais são os núeros copletos? 3. Deterine duas alternativas correctas para os seguintes núeros incorrectos: (a) 0-13-132334-3 (b) 3-550-05329-8 (c) 0-386-05329-8 (d) 0-110-23142-X 4. Coplete os seguintes núeros de Bilhete de Identidade. (a) 1234568-? (b) 1023?219-9 (c) 1531?000-0 (d) 19235132-? (e) 1254432?-1 6
Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/200 2.6 O caso geral Os sisteas de detecção de erros que estudáos, EAN e ISBN, são dois códigos que pertence a ua classe aior: os códigos odulares. Definição U código odular de copriento n e ódulo k é constituído por n núeros naturais, (p 1, p 2,..., p n ), inferiores a k. U núero x 1 x 2 x 3...x n 1 x n pertence a este código se verifica a seguinte regra: p 1 x 1 + p 2 x 2 +... + p n 1 x n 1 + p n x n 0(od k) Nota: Os dígitos x 1,..., x n pode não ser algarisos. Apenas é necessário que identifique u valor nuérico. No código ISBN X representa o núero 10. Exeplos. O código ISBN é u código odular de copriento 10 e ódulo 11. O código de barras te copriento 10 e é u código ódulo 10. Proposição. U código odular (p 1, p 2,..., p n ) de ódulo k detecta: (a) erros singulares na posição i se e só se dc(p i, k)=1; (b) a troca dos dígitos nas posições i e j se e só se dc(p i p j, k)=1. Deste resultado, conclui-se facilente que se k é u núero prio, então u código ódulo k detecta todos os erros singulares. Esse é o caso do código ISBN, ua vez que 11 é prio. 2. Exercícios 1. Para se transitir palavras através de u canal foi construído u código detector de erros, para se ter a certeza que a palavra recebida foi a enviada. Nesse código cada letra corresponde a u núero A-0, B-1,..., Z-22. A cada palavra junta-se u dígito de controlo. Ua palavra x n...x 2 x 1 (x 1 é o dígito de controlo) pertence ao código se x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 +... + n x n 0 (od 23). (a) Deterine o dígito de controlo da palavra PORTUGAL. (b) Fora recebidas as palavras ANOJ e PAULOC. Será que estão correctas. 2. Nua biblioteca foi ipleentado u sistea de leitura óptica dos cartões de leitor dos utentes. Para evitar erros, ao núero de leitor foi acrescentado u dígito de control. Assi, o núero x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 é u núero de leitor se x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 0 (od 10). Por exeplo 1542-8 é u núero deste código, ua vez que 1 + 5 + 4 + 2 + 8 = 20 0 (od 10). (a) Verifique se os núeros 2345-0 e 1841-6 pertence a este código. (b) Deterine o algariso de controlo do núero 130?. 3. Verifique que o código de barras não detecta todas as trocas de dois algarisos consecutivos. Dê u exeplo. 4. Verifique que o código ISBN detecta todas as trocas de dois algarisos. 5. Os núeros do cartão de cliente de ua gasolineira tê u código detector de erros. Ao núero do cartão fora acrescentado dois dígitos de control, f e g Assi, o núero abcde fg é u núero de clientes se a + b + c + d + e + f + g 0 (od 9) e a b + c d + e f + g 0 (od 9). (a) Verifique se os núeros 3546-25 e 82356-51 pertence a este código. (b) Deterine os algarisos de controlo do núero 2025 xy.