1 Estatística e Probabilidade Aula 6 Medidas de Tendência Central Professor Luciano Nóbrega
Somatório Quando queremos representar uma soma de valores que obedecem à uma sequência, podemos codificá-la através da expressão: n x i Que siginifica: Soma dos valores x i i = 1 para i variando de 1 até n Exemplos: 5 a) xi i=1 9 b) 2xi i=6
Testando os conhecimentos 1 Utilize a notação sigma para representar as somas: a)x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 b) 3x 8 + 3x 9 +... + 3x 15 c) (x 9 + 1) + (x 10 + 1) +... + (x 23 + 1) d) x 1 /2 + x 2 /2 +... + x 9 /2 e) (7x 5 2) 3 +... + (7x 51 2) 3 n x i i = 1
Testando os conhecimentos 2 Escreva as parcelas das somas indicadas: 4 a) x i i=2 3 b) x i 3 i=1 5 c) (4xi - 3) 2 i=3
Testando os conhecimentos 3 Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas: a) i i x i f i 1 2 3 2 4 6 3 8 2 4 9 4 b) x i 3 c) (xi f i ) 2
Medidas de Tendência Central Média aritmética É a razão entre o somatório dos valores das variáveis e a quantidade de variáveis. n n x = x i x = 1. x i i = 1 n i = 1 n
Média aritmética Exemplo: 1 Os valores abaixo, referem-se às notas obtidas por um aluno nas quatro provas da disciplina de estatística: 9,5; 7,0; 4,0; 2,5; Qual a média aritmética desse aluno?
Média aritmética Exemplo: 2 Em uma escola, trabalham 20 funcionários e seus salários estão representados a seguir: Números de funcionários 8 12 Salário (em reais) 3000 450 Qual é o salário médio dos funcionários dessa escola?
Média aritmética Média aritmética de dados agrupados Nesse caso, as frequências indicam a intensidade de cada valor da variável, ou seja, elas representam fatores de ponderação. Exemplo: x = x i f i x = f i Idade (x i ) 18 3 19 4 20 5 21 6 Nº alunos (f i ) x i f i
Média aritmética x = x i f i f i Média aritmética de dados agrupados com intervalos de classe Nesse caso, devemos convencionar que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio. x i Ponto médio da classe Exemplo: Altura (cm) f i x i x i f i 155 --- 165 3 165 --- 175 4 175 --- 185 5 185 --- 195 6 x =
Testando os conhecimentos 4 Calcule a média aritmética em cada caso: Acidentes de trabalho no mês de agosto Acidentes por dia (x i ) 0 13 1 9 2 7 3 2 Quantidade de dias (f i ) x i f i
Testando os conhecimentos 4 Calcule a média aritmética em cada caso: Gerenciamento de alugueis de casas Aluguel (R$) Nº de casas (f i ) 0 --- 200 30 200 --- 400 52 400 --- 600 28 600 --- 800 7 800 --- 1000 3 x i x i f i
Medidas de Tendência Central Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Dados não agrupados Basta identificar o elemento de maior frequência. Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 7, 9, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2 mo = 2 Dados agrupados mas sem Intervalos de classes É só observar a variável (x i ) correspondente a maior frequência (f i ). Exemplo: mo = 21 Idade (x i ) 18 3 19 8 20 5 21 9 Nº alunos (f i )
Medidas de posição Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Dados agrupados com intervalos de classes Denominamos por classe modal a classe que apresenta a maior frequência. Existem vários métodos para o cálculo da moda com intervalos de classes. O método mais simples, conhecido como moda bruta, consiste em tomar como moda o ponto médio da classe modal. Exemplo: Altura (cm) f i x i 155 --- 165 3 165 --- 175 8 175 --- 185 5 185 --- 195 9 Formalizando: moda bruta mo = l* + L* Aqui, 2 mo = 185 + 195 = 190 2
Medidas de posição Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Classificação modal Bimodal É quando os dados observados possuem duas modas; Exemplo: 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 1, 3, 5 mo = 2 mo = 8 Trimodal É quando os dados observados possuem três modas; Exemplo: mo = 18 mo = 19 mo = 21 Idade (x i ) 18 8 repetições 8 19 8 repetições 8 20 5 21 8 repetições 8 Nº alunos (f i ) Polimodais Genericamente, é assim que denominamos quando os dados observados possuem mais que três modas. Amodal É como denominamos uma distribuição sem repetições.
Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados não agrupados Inicialmente, devemos ordenar os elementos em ROL; Em seguida, determinar a quantidade total n de elementos; E então: Se n é ímpar A mediana é o termo que ocupa a posição [ (n + 1) /2]º Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 9, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2 Em ROL: n = 13 md = (13 + 1) /2 md = 7º termo md =
Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados não agrupados Inicialmente, devemos ordenar os elementos em ROL; Em seguida, determinar a quantidade total n de elementos; E então: Se n é par A mediana é convencionada como sendo a média dos valores centrais do ROL. md = [( n /2)º+ ( n /2+ 1)º]/2 Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 7, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2, 9 Em ROL: n = 14 md = (7º + 8º)/2 OBS: O valor da mediana pode coincidir ou não com um dos elementos da série. md = (3 + 5) /2 md = 4
Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados agrupados mas sem classes Inicialmente, devemos construir a coluna da frequência acumulada (Fi); Em seguida, utilizar o mesmo procedimento para dados não agrupados para determinar a posição do elemento mediano. Exemplo: Idade (x i ) 18 3 19 8 20 5 Nº alunos (f i ) Freq. Acum. (F i ) 21 9 25 Total 25 //////////////////// 3 11 16 n = 25 (ímpar) md = (25 + 1) /2 md = 13º termo O 13º termo está na 3ª classe, portanto a mediana é 20.
Testando os conhecimentos 1 Calcule a média, a moda e a mediana da série: x i f i x i f i F i 2 5 4 8 6 12 8 9 Total
Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados agrupados com intervalos de classes Precisaremos utilizar a fórmula: md = lmd + n /2 - Fant. h Altura (cm) f i F i fmd Para entendermos de onde vem essa fórmula, vejamos o seguinte exemplo: 1º) Determinamos a classe mediana 155 --- 165 3 3 165 --- 175 8 11 175 --- 185 4 15 185 --- 195 9 24 fi = 24 = 12 ou seja, entre 12 e 13 2 2 A classe mediana é a 3ª classe, pois é ela que contém as posições 12 e 13.
Medidas de Tendência Central Dados agrupados com intervalos de classes Precisaremos utilizar a fórmula: md = lmd + n /2 - Fant. h 1º) Determinamos a classe mediana fi=12 2 Altura (cm) f i F i 155 --- 165 3 3 165 --- 175 8 11 175 --- 185 4 15 185 --- 195 9 24 fmd Frequência da classe mediana. 2º) Decompomos a classe mediana uniformemente na quantidade de elementos da classe; 3º) Calculamos md md = 175 + x 11 12 15 175 md 185 Ou seja: 15 11 = 12 11 185 175 md 175 4 = 12 11 10 x Limite inferior da classe mediana; md = 175 + 12 11. 10 4 x = 12 11. 10 4 Metade dos elementos da série; Frequência Acumulada Anterior; Amplitude da classe;
Testando os conhecimentos 2 Calcule a média, a moda e a mediana da série: Classes f i x i x i f i F i 3 --- 6 7 6 --- 9 5 9 --- 12 2 12 --- 15 9 15 --- 18 5 md = lmd + n /2 - Fant. h fmd x = xifi fi