SCIENTIA PLENA VOL. 11, NUM. 015 www.scietiaplea.org.br Aálise Harmôica das Chuvas Mesais para as Cidades de Pelotas, Rio Grade e Sata Vitória do Palmar, RS - Brasil Daiel Souza Cardoso 1 ; João Baptista da Silva ; Gilberto Barbosa Diiz 3 1 Coordeação da Física, Istituto Federal de Ciêcia e Tecologia Sul-Rio-Gradese, 96060-90, Pelotas-RS, Brasil Departameto de Matemática e Estatística, Uiversidade Federal de Pelotas, 96160-000, Capão do Leão-RS, Brasil 3 Departameto de Meteorologia, Uiversidade Federal de Pelotas, 96160-000, Capão do Leão-RS, Brasil daielcardoso@cavg.ifsul.edu.br (Recebido em 30 de ovembro de 013; aceito em 0 de setembro de 014) No Rio Grade do Sul (RS), o setor agropecuário represeta um terço do produto itero bruto (PIB) e seu desempeho apreseta flutuações decorretes da variabilidade de elemetos meteorológicos, sedo a água fudametal. No setido de cotribuir para estudos e políticas de plaejameto para o setor e para a previsão de racioametos a utilização dos recursos hídricos, realizou-se um estudo da variabilidade dos totais mesais de chuva, a partir de uma série histórica com 60 aos de dados (1948-007), para as cidades de Pelotas, Rio Grade e Sata Vitória do Palmar, as quais costituem um grupo homogêeo o que tage à variabilidade do elemeto estudado. Com o objetivo de obter um modelo que possa represetar o comportameto da precipitação pluvial mesal média, realizou-se uma aálise harmôica dos dados previamete ajustados a meses de 30 dias, após a verificação das propriedades de ormalidade, homogeeidade de variâcias e estacioariedade. O modelo obtido é costituído por três odas seoidais e represeta 87% da variabilidade dos dados. Destacaram-se os harmôicos: semestral com 64% de represetatividade, quadrimestral e aual com 1% e 11%, respectivamete. Os modelos foram validados para previsão de valores futuros, por meio de aálise de resíduos, mostrado-se adequados ao ível de probabilidade de 5%. Palavras-chave: precipitação pluvial, aálise harmôica, previsão. Harmoic aalysis of mothly raifall for the cities of Pelotas, Rio Grade ad Sata Vitória do Palmar, the extreme south of Rio Grade do Sul, Brazil I Rio Grade do Sul (RS), the agricultural sector accouts for a third of gross domestic product (GDP) ad its performace shows fluctuatios caused by the variability of meteorological elemets, beig water the key elemet. I order to cotribute to studies ad plaig policies for the sector ad for predictig shortages i water use, a study of the variability of mothly totals of raifall was performed, from a time series of 60 years of data (1948-007), for the cities of Pelotas, Rio Grade ad Sata Vitória do Palmar, which costitute a homogeeous group regardig the variability of the elemet studied. Aimig to obtaia model that ca represet the behavior of the average mothly raifall, a harmoic aalysis of data previously adjusted to 30-day moths was performed, after checkig the properties of ormality, homogeeity of variace ad statioarity. The obtaied model is comprised of three sie waves ad represets 87% of variability i the data. Stood out the harmoics: semiaual with 64% of represetativeess, quarterly, ad aual with 1% ad 11%, respectively. The models were validated for predictig future values, by meas of residual aalysis, which showed them to be appropriate at the 5% probability level. Key words: raifall, harmoic aalysis, predictio. 1. INTRODUÇÃO A ecoomia o Brasil tem em suas bases a atividade agropecuária. No Rio Grade do Sul (RS), segudo Fochezato e Grado [1], um terço do Produto Itero Bruto (PIB) é represetado pelo setor agropecuário, os quais ressaltam o impacto da ocorrêcia de estiages sobre este setor ecoômico, observado a queda do mesmo devido a estiagem de 007/008; ode apotam que a ausêcia de estiagem em 008 teria como efeito um crescimeto de,1 potos percetuais do PIB. A agricultura, especificamete, é prejudicada, uma vez que o período do ao em que as estiages apresetam maior frequêcia, coicide com a fase de desevolvimeto das culturas de verão. Cerca de 60% da produção destas se deve às culturas de soja, fumo, feijão e do milho que, segudo Bergamashi et al. [], tede a apresetar sua máxima produtividade para o período de maior dispoibilidade de radiação solar, desde que ão exista déficit hídrico. A exemplo da cultura de milho ecessita de aproximadamete 7 mm de água por dia. 01703-1
D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) No Brasil, a atividade agrícola apreseta variações de sua produção, em relação a variabilidade de determiados elemetos meteorológicos, sedo que o RS o elemeto hídrico apreseta efeitos mais sigificativos, de acordo com Matzeauer et al. [3], o qual costata que as variáveis hídricas são estimadoras do redimeto de grãos da cultura do milho. Nas comuidades estudadas, tedo em vista sua codição orográfica plaa, cuja maior altitude ão ultrapassa 4 m em relação ao ível do mar, chuvas itesas podem ocasioar alagametos ou cheias, já que o escoameto e dreagem são geralmete isuficietes. Em aos de El Niño é comum a ocorrêcia de chuvas itesas a primavera, o RS. Quado, muitas vezes, o esperado mesal em milímetros precipita um curto espaço de tempo resulta em alagametos, por outro lado se a freqüêcia deste eveto é relevate implica a ocorrêcia de echetes. Por exemplo, as echetes de 1941 (em Pelotas, Rio Grade, Porto Alegre, etc.) e 1956, em Pelotas. Outras echetes foram registradas, o Estado, em 198/83, 1997/98 e uma grade seca em 005 [4]. Cosiderado que a média de precipitação para dadas estações do ao o RS proporcioam iformações importates para a comuidade local, sejam estas para a educação a utilização dos recursos hídricos, bem como para políticas de plaejameto para as áreas rural e urbaa, realizou-se um estudo com objetivo de descrever a variabilidade da precipitação pluvial média mesal, a região do extremo sul do RS, que compreede as cidades de Pelotas, Rio Grade e Sata Vitória do Palmar. Para tato, modelou-se os totais de chuvas mesais, a partir de uma série histórica, com 60 aos de dados, adotado-se a técica de aálise harmôica que, segudo Amaral [5], é o método mais bem sistematizado quado o período fudametal é cohecido.. MATERIAL E MÉTODOS Para estudar a variabilidade da precipitação média mesal, realizou-se um estudo de uma série histórica de dados (1948-007). Os dados utilizados foram coletados por estações meteorológicas, dispoibilizados pelo Istituto Nacioal de Meteorologia (INMET), obtidos através do 8 DISME (8 Distrito de Meteorologia, Porto Alegre). Os dados de precipitação pluvial relativos as cidades de Pelotas, Rio Grade e Sata Vitória do Palmar foram agrupados uma região homogêea (região 1), coforme ilustrado abaixo (figura 1), segudo a aálise de agrupameto coduzida por Marques [6], para o Estado do RS, em relação à variabilidade espacial e temporal. Figura 1: Regiões homogêeas (MARQUES, 005) Iicialmete os dados foram ajustados 1 a meses de 30 dias, de modo que os doze meses do ao fossem igualmete represetados por 30 graus o círculo trigoométrico. O cojuto dos 60 aos foi dividido em duas partes: os primeiros 55 aos para modelagem e, os 5 aos restates para previsão. Ates da modelagem dos dados, foram verificadas as propriedades de homogeeidade de variâcias [7], de ormalidade [8] e de estacioariedade. Para isto, os dados foram submetidos aos testes de Cochra, Shapiro-Wilk e regressão liear (teste t), ao ível de probabilidade de 5%. Quado esses requisitos ão se verificaram, adequadas trasformações de dados foram buscadas. 1 Para ajustar à meses de trita dias, multiplicou-se a precipitação do mês por 30 e dividiu-se pelo úmero de dias do respectivo mês, respeitado os aos bissextos.
D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) 3 Baseado-se a distribuição F de Fisher, Cochra [7] desevolve um teste de hipóteses para uma população de dados 3, comparado a maior variâcia de uma população com a soma de todas as variâcias dessa população. O teste é usado para verificar se as variâcias são homogêeas. É idicado quado uma das variâcias é muito maior do que as demais. O valor da estatística (C ) do teste de Cochra é calculado por: Maior Si Ccalc. ; i 1,,3,..., N N S i i 1 (01) Os 95 e 99 percetis da distribuição amostral de C tab. ecotram-se a tabela A-17 [9]. Eles podem ser usados para testes os íveis de sigificâcia de 5% e 1%, respectivamete. A hipótese de variâcias iguais é rejeitada se o valor calculado da estatística acima excede ao valor tabelado. Valores críticos são idicados somete para o caso ode as variâcias amostrais tem igual umero de graus de liberdade. Shapiro e Wilk [8], itroduziram um ovo procedimeto estatístico para testar uma amostra completa para ormalidade. O teste é obtido dividido o quadrado de uma adequada combiação liear de um amostral estatístico pela estimativa da variâcia. Para estimar a icliação da reta de regressão é ecessário usar uma técica chamada de míimos quadrados geeralizados, de modo a corrigir para o fato de que as observações foram ordeadas e, portato são correlacioadas. Para simplificar este procedimeto uma tabela de costates foi icluída. O teste estatístico é desigado por W e o seu cálculo segue o roteiro abaixo: Para determiar o valor de W, dada uma completa amostragem aleatória de tamaho, X 1,, X, procede-se como segue. (i) A ordem de observações para obter uma amostra ordeada é: y 1 (ii) S (iii) b y... y Verifica-se que: y i y i1 (a) Se é par, = k, escreve-se: k ai1 y i 1 i1 y i (b) Se é ímpar, = k+1, o ajuste ocorre em (iii)-(a), desde a k+1 = 0 quado = k+1. Deste modo verifica-se b a y y... a y y i k k i, ode os valores de y k+1, da média amostral, ão estão presetes em b. (iv) Aplica-se b² W S² (0) (v) Valores (potos percetuais) pequeos (meores que o ível de sigificâcia) de W são sigificativos, idicado ão ormalização. Utiliza-se a Tabela A-, da mesma referêcia bibliográfica, para determiar o ível de sigificâcia de W cujo teste é uilateral à esquerda, isto é, pequeos valores de W idicam ãoormalidade; etão, se o valor computado de W é meor do que o valor tabelado W α, rejeita-se a hipótese de ormalidade ao ível de sigificâcia α. Para o caso de ão se verificar uma distribuição ormal e variâcias homogêeas, é ecessária uma trasformação dos dados origiais, de acordo com Amaral [5]. Segudo Baptista da Silva e Amaral [10], dispodo-se de um cojuto de amostras, de cada uma das quais se possam calcular a média, X, e o desvio padrão, S x, represetam-se os pares de valores (X, S x ) em um sistema cartesiao ortogoal. Se os potos assim obtidos se dispuserem,
D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) 4 aproximadamete, ao logo de uma reta paralela ao eixo das abscissas, pode-se admitir a idepedêcia do desvio padrão em relação a média. Se tal ão for o caso, a relação de depedêcia etre o desvio padrão e a média poderá traduzir-se uma expressão aalítica. A partir destas aálises, os autores ecotram a trasformação: y i = AZ i 1 a (03) A modelagem seguiu o método da aálise harmôica (séries temporais de Fourier), tedo em vista as características dos dados. Por esse processo, decompõem-se as observações em odas seoidais (harmôicos) de diferetes freqüêcias. O modelo de aálise harmôica é represetado pela expressão abaixo: Y N a0 ( a cost b sit) e 1 (04) Sedo: Y : valor estimado da variável temporal. = 1,, 3,, N:o úmero de harmôicos. ω = π/t: a freqüêcia agular do -ésimo harmôico sedo esse iversamete proporcioal ao período (0 T 1) de oscilação associado. t = 0, 1,,, 11: assumido os meses do ao. a 0 /: a média aritmética da média mesal dos dados observados. a, b : são os coeficietes da série a serem estimados, que vão caracterizar as amplitudes associadas ao -ésimo harmôico. e :resíduos Por meio do periodograma dos 660 dados (1 meses por 55 aos) estimou-se os seis harmôicos correspodetes ao ciclo aual [11]. Os harmôicos foram selecioados para o modelo pela magitude de suas amplitudes, através dos coeficietes: p R os quais defiem a represetatividade do harmôico quato a variabilidade dos dados [1]. Sedo p = a + b, a amplitude da oda e é variâcia total. O modelo ajustado é obtido pela soma das odas selecioadas. Neste estudo, as odas foram selecioadas pela magitude de suas amplitudes, atededo a uma represetatividade míima de 80% da variabilidade dos dados. A verificação dos modelos obtidos, quato à previsão, foi realizada por meio da autocorrelação dos resíduos (r k ). Para uma série temporal com elemetos, a auto-correlação com atraso k é defiida por: r k k t1 ( y t yt y t1 y)( y tk y) (06) ode y é a média da serie de tempo. Se os r k idicarem as auto-correlações dos resíduos e N, etão se deve ter r k = 0. Cosiderado que r k tem aproximadamete distribuição ormal, com média zero e variâcia 1/, sedo o tamaho da amostra, pode-se cosiderar que o modelo é adequado quado r k está detro itervalo ±/, aceitado-se, o máximo, 5% dos seus valores fora deste itervalo. A existêcia de ruído braco também pode ser determiada a partir da comparação de r k com ±σ(r k ), sedo o desvio padrão de r k, σ(r k ), dado por (05)
D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) 5 1/ q 1 ( rk ) 1 v v1,k > q (07) ode q é o maior lag, além do qual as fuções de auto-correlação tedem a zero. (maiores detalhes em Box, Jekis & Reisel [1]) Assumido que a serie seja um processo ruído braco, isto é, que todas as auto-correlações são iguais a zero, o erro padrão de r k fica determiado como 1 k ( r k ) 1/ (08) Da mesma forma, aceita-se como ruído braco quado, o máximo, 5% das auto-correlações ficam fora do itervalo ±σ(r k ). 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Os dados ajustados a um mês de 30 dias, foram submetidos aos testes Cochra e Shapiro- Wilk, ode os dados origiais mostraram-se sigificativos ao ível de 5% e os trasformados, ão sigificativos ao mesmo ível. A trasformação utilizada é dada pela expressão (03), cujas estimativas de A e 1 - a correspodem a 10 e 0,16, respectivamete. Os dados trasformados mostraram-se estacioários (tedêcia ão sigificativa a 5%), coforme se observa a figura. Costatou-se que o harmôico semestral represetou 64% da variabilidade dos dados, seguido pelos harmôicos quadrimestral e aual com 1% e 11%, respectivamete. A oda aual, pelo seu sigificado físico, já que represeta um ciclo do movimeto da Terra a sua órbita elíptica em toro do Sol, deve ser sempre icluída o modelo idepedetemete de sua magitude. Neste estudo, etretato, sua magitude foi cosiderável. 38 Dispersão dos dados trasformados em relação ao úmero de dados 36 34 3 Dados trasformados ( y ) 30 8 6 4 0 18 16 14-100 0 100 00 300 400 500 600 700 800 Número de dados ( x ) p = 0,0909; y = 6,3633 + 0,001*x Figura : Gráfico de dispersão dos dados, em relação ao úmero de dados ordeados o tempo. O modelo que estima o comportameto dos dados represeta 87% de sua variabilidade e é composto de 3 harmôicos (odas seoidais): Y t Grupo = Y + Y t semestral + Y t quadrimestral + Y t aual (09) Pelo fato de os dados ão se mostrarem tedeciosos, ao ível de 5%, o modelo expresso pela eq. 09 é estacioário, que a forma umérica pode-se observar os argumetos das fuções seoidais e os respectivos coeficietes:
Dados trasformados Dados trasformados D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) 6 Y t = 6,74 + (0,3739) cos(1,04719t) + (0,8706)se(1,04719t) + (0,0807) cos(1,5708t) + (0,4101)se(1,5708t) (0,3887) cos(0,5360t) + (0,0998)se(0,5360t) Na figura 3, o modelo harmôico ajusta-se aos dados quado comparado aos valores médios mesais dos dados trasformados. Foi possível costatar que a difereça máxima etre as estimativas do modelo, e os valores dos dados mesais é de 0,6 mm 1 a. 9 Comparação do modelo (série ) com os dados observados (série 1) 8 7 6 5 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Meses do ao Série1 Série Figura 3: Comportameto médio da precipitação (dados trasformados) ao logo dos 1 meses do ao,comparado com a estimativa do modelo. As estimativas do modelo são comparadas com os diagramas climáticos de Pelotas, Rio 3Grade e Sata Vitória do Palmar ecotrados em Buriol et. al. [13] e, de forma geral, apreseta seus máximos e míimos em acordo com aqueles dos diagramas, embora existam pequeas variações etre as localidades. O modelo cocorda com os modelos obtidos para a cidade de Pelotas por Amaral [5] e por Baptista da Silva, Basgalupp e Paz [14]. O modelo obtido expressa apeas a sazoalidade e aleatoriedade dos 660 dados. Para previsão de valores futuros (extrapolações) foi icluída a tedêcia da série temporal. Para a previsão o modelo é comparado com o comportameto dos 60 dados (meses) restates que ão participaram da modelagem, compreedidos o itervalo de 003 à 007. Comparação do modelo(série ) com os dados de previsão (série 1) 38,0 36,0 34,0 3,0 30,0 8,0 6,0 4,0,0 0,0 18,0 16,0 14,0 1,0 10,0 1 6 11 16 1 6 31 36 41 46 51 56 úmero de meses Série1 Série Figura 4: Comparação etre o modelo e os dados, para previsão(003/007) Nota-se, a figura 4, que o modelo, de forma geral, ateua as amplitudes, ajustado-se etre os dados, descrevedo o comportameto médio destes.
D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) 7 O modelo para previsão teve sua validade verificada pela auto-correlação dos resíduos, mediate dois testes, ode se observou que ehum dos valores de r k apresetaram-se fora dos itervalos de ± 60 = ±0,58 e de ±σ(r k), coforme a figura 5. Figura 5: Auto-correlação dos resíduos etre o modelo e os dados para a previsão. Portato, a partir destes testes aceita-se o modelo como adequado para a previsão de ovos valores. Embora o modelo seja estacioário, já que os dados ão apresetaram tedêcia sigificativa ao ível do teste, poder-se-ia icluí-la o modelo de previsão, permitido sua progressão para H passos a frete, coforme a equação 10: Y t Grupo = Y + Y t semestral + Y t quadrimestral + Y t aual + 0,001 (660 + H) (10) Cotudo, previsões de logo prazo são sempre muito arriscadas, tedo em vista o caráter diâmico da atmosfera, bem como os seus ciclos de mudaças, em sempre fáceis de detectar. O correto é fazer previsões para poucos passos a frete. Para o primeiro semestre do ao de 003, os valores trasformados (mm 1-a ) previstos pelo modelo (eq. 09) foram: 6,8079 (ja.); 7,8063 (fev); 7,104 (mar.); 6,0578 (abr.); 6,166 (mai.) e 6,9716 (ju.). Comparam-se aos correspodetes valores (mm 1-a ) verificados o período: 1,87; 34,586; 8,309; 9,348; 8,9055 e 31,8687, dode costata-se que as difereças são pequeas variado de 1, a 6,8. Para obteção dos valores, em milímetros de chuva, utiliza-se a seguite trasformação iversa da eq. (3): log k Z i = 10 log y i 1 a (11) Como exemplo do emprego da eq. 11, realizou-se a trasformação iversa dos valores estimados pelo modelo de previsão dos doze meses do ao de 015 (figura 6).
Precipitação estimada em mm D.S.Cardoso, J.B. da Silva, G.B.Diiz, Scietia Plea 11, 01703 (015) 8 Comportameto do modelo de previsão 140 130 10 110 100 90 80 70 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Meses do ao de 015 Figura 6: Previsão do modelo para 015 4. CONCLUSÕES A região homogêea que compreede as cidades de Pelotas, Rio Grade e Sata Vitória do Palmar, tem o seu regime de chuvas bem represetado pelo modelo de aálise harmôica, com 87% de represetatividade, composto pelas odas semestral, quadrimestral e aual. Este modelo foi testado para previsão de uma série de 60 meses, mostrado-se adequado, em geral, para a previsão de valores futuros. Etretato, observa-se que os modelos harmôicos ão são capazes de acompahar satisfatoriamete as oscilações máximas e míimas apresetadas pelos dados de previsão. Sugere-se para trabalhos futuros, que objetivam a previsão, um estudo e avaliação de ovas metodologias, como a metodologia tipo MOS em previsão estatística idicada por Wilks, 1995 [15]. 1. Fochezato A, Grado ZM, Efeitos da estiagem a Ecoomia do Rio Grade do Sul: uma abordagem multissetorial Fud. de Ecoomia e Estatística: textos para Discussão FEE, ISSN 1984-5588. 009; (6): 1.. Bergamaschi H, Dalmago GA, Bergoci J, Biachi CA, Müller AG, Comira F, Heckler BM. Distribuição hídrica o período crítico do milho e produção de grãos. Brasília: Pesq. Agropecuária Bras. set.004; 39(9): 831-839. 3. Matzeauer R, Bergamaschi H, Berlato MA, Riboldi J. Relação etre redimeto de milho e variáveis hídricas. Sata Maria (RS): Rev. Bras. de Agrometeorologia, ISSN 0104-1347. 1995; 3: 85-9. 4. MetSul Meteorologia [iteret]: São Leopoldo, RS; 011 [acesso: julho de 014]. Dispoível em: http://www.metsul.com/ 5. Amaral E. Aálise harmôica. Brasília: Pesq. Agropecuária Bras. 1968; 3: 7-34. 6. Marques JR. Variabilidade espacial e temporal de precipitação pluvial o Rio Grade do Sul e sua relação com idicadores oceâicos. 005. 10f. Tese (Doutorado-Agrometeorologia) - Programa de Pós-graduação em Fitotecia, Faculdade de Agroomia, Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Porto Alegre, 005. 7. Cochra WG. The distributio of the largest of a set estimated variaces as a fractio of their total. Aals of Eugeics. 1941; 11: 47 51. 8. Shapiro SS, Wilk MB. A aalysis of variace test for ormality (complete samples). Biometrika. Dec. 1965; 5(3/4): 591-611. 9. Dixo WJ, Massey Jr. FJ. Itroductio to statistical aalysis. Tokio: McGraw-Hill Kogakusha Ltda. 1969: 639. 10. Baptista da Silva J, Amaral E. Probabilidades das precipitações pluviométricas em Pelotas, RS.Sata Maria (RS): Rev. Bras. de Agrometeorologia, ISSN 0104-1347. 1987; : 167-177. 11. Box GE, Jekis GM, Reisel GC. Time series aalysis: forescastig ad cotrol. 3 ed. New Jersey: Pretice Hall, 1994: 598. 1. Baptista da Silva J, Basgalupp MP. Aálise estatística das chuvas auais em Pelotas, RS.49 Reuião da RBRAS. 004.
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