Escola Secundária de Lousada Matemática do 9º ano FT 14 Data: / / 013 Assunto: Ficha de Preparação para o 3º Teste Apresentação dos Conteúdos e Objetivos para o 3º Teste de Avaliação de Matemática Data da Realização : / 01/ 013 Conteúdos Equações do grau: -Incompletas. -Completas. -Fórmula resolvente. Trigonometria Funções - Proporcionalidade direta; - Função afim; - Proporcionalidade inversa; - Função quadrática; - Análise de Gráficos Preparação para o Teste de Avaliação 1. Acerca das grandezas x e y sabe-se que quando x = 10, y =. 1.1. Admite que as grandezas x e y são diretamente proporcionais. 1.1.1. Escreve y em função de x. 1.1.. Representa graficamente a função. 1.1.3. Qual é o valor da constante de proporcionalidade? 1.. Admite que as grandezas x e y são inversamente proporcionais. 1..1. Escreve y em função de x. Material necessário: material de escrita (esferográfica de cor azul ou preto), compasso e régua e máquina de calcular científica. Não é permitido o uso de tinta correctora. 1... Representa graficamente a função. 1..3. Qual é o valor da constante de proporcionalidade? Objetivos -Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para linguagem matemática. - Operar com polinómios. - Aplicar os casos notáveis da multiplicação, na resolução de equações de º grau. - Decompor um binómio ou trinómio em fatores, com vista à resolução de equações. - Resolver equações do grau, procurando utilizar o processo mais adequado a cada situação (lei do anulamento do produto, fórmula resolvente, noção de raiz quadrada, artifício do quadrado do binómio). -Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma equação, no contexto de um problema. - Escrever equações a partir da soma e do produto das soluções. - Resolver problemas. - Determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo. - Resolver problemas que envolvam o cálculo das razões trigonométricas. - Utilizar as razões para determinar a amplitude de um ângulo. - Aplicar fórmulas trigonométricas para fazer demonstrações. - Resolver problemas. - Reconhecer uma função através de: gráficos e tabelas; - Determinar imagens e objetos, recorrendo a: expressões algébricas, gráficos e tabelas; - Indicar o domínio e o contradomínio de uma função; - Escrever a expressão algébrica de uma função afim, de proporcionalidade inversa ou quadrática; - Fazer a representação gráfica de uma função afim, de proporcionalidade inversa ou quadrática, dada a sua expressão algébrica; - Encontrar as coordenadas dos pontos de interseção de retas, hipérboles e parábolas; - Resolver equações literais; - Resolver sistemas de equações com duas incógnitas; - Resolver problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa; - Analisar e interpretar gráficos. Deves também: - Dominar conhecimentos lecionados em anos anteriores, como é o caso do Teorema de Pitágoras, Cálculo de Áreas e de Volumes, Semelhança de figuras e triângulos, Resolução de Sistemas de Equações, utilização de números escritos em Notação Científica, operar com Potências de Expoente Inteiro, operar com valores exatos e aproximados e Sequências de Números Naturais. - Resolver problemas de estratégia e comunicar, por escrito, as estratégias e os procedimentos usados na resolução de problemas. Em todas as questões, deves apresentar todas as justificações, explicações e os cálculos que sustentem a tua resposta. Por onde deves estudar: caderno diário, fichas de trabalho, manual adotado e em http://planomat.wordpress.com/ cujo site contém uma Sala de Estudo com inúmeros materiais importantes. 1
. Escreve, na forma canónica, uma equação de º grau, em que: 1.1. as soluções sejam 1 e ; 3.. a soma das soluções seja 7 e produto seja 1;.3. a soma das raízes é -3, sendo uma delas. 3. A figura representa a vista lateral de uma casa. Encostada a uma parede da casa está uma escada. De acordo com os dados da figura, determina: 3.1. o valor arredondado às décimas do comprimento do telhado; 3.. o valor exato do comprimento da escada; 3.3. um valor aproximado às unidades do ângulo α. 4. Na noite de fim de ano, o pai do Bernardo lançou um foguete a partir do solo. A altura h alcançada pelo foguete h t = 5t + 80t. após t segundos é dada pela expressão ( ) 4.1. Calcula os valores de t em que o foguete é lançado do chão e em que volta a cair ao chão. 4.. Determina a altura máxima atingida pelo foguete. 5. Ao diminuir 6 m ao lado de um quadrado, a área do retângulo obtido passou a ser 5.1. Determina a medida do lado do quadrado inicial. 91 m. 6. No gráfico seguinte estão representadas as funções f ( x) = x e ( x) x g =. 6.1. Por observação do gráfico, quantas soluções tem a equação ( x) g( x) f =? 6.. Determina as coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos. 7. O Tiago sabe que a fórmula n c = 100 relaciona, aproximadamente, o número de passos, n e o comprimento de cada passo, c, em metros, quando efetua o percurso de casa para a escola. 7.1. Num dia o Tiago demorou 4 minutos a efetuar o percurso casaescola. A que velocidade média, em metros por minuto, caminhou o Tiago nesse dia? Explica como obtiveste a tua resposta. 8. Resolve as equações seguintes: (A) ( x +1) = 5, recorrendo à Lei do Anulamento do Produto. = (B) ( x 3) 9 (C) x x( x + 5) = 0, pelo método da raiz quadrada., pela Lei do Anulamento do Produto. 9. Na função de expressão algébrica y = 7x, se y = 0, então o valor de x é: 1 (A) 7 (B) 7 (C) 7 (D) 0
10. As focas do antárctico consomem, entre outros alimentos, um crustáceo parecido com o camarão com um peso de cerca de gramas, designado por krill. 10.1. Se numa região oceânica houver krill suficiente para alimentar 0 focas durante 10 dias, para quantos dias dará esse krill, se o número de focas diminuir 0 unidades? 11. A diagonal de um retângulo tem 10 cm de comprimento. Sabendo que o comprimento tem o dobro da largura, determina: 11.1. a área do retângulo; 11.. o perímetro do retângulo. 1. Na figura está representada uma planificação de uma pirâmide hexagonal regular recta. Sabe-se que: - AB = 4 cm e que MC = 10 cm Em relação à pirâmide, determina: 1.1. A área da base; 1.. A altura; 1.3. O volume, apresentando o resultado aproximado às centésimas; 1.4. A área total. x k + x + = é uma equação 13. Para cada valor de k, a equação ( ) 0 0 de º grau. 13.1. Qual é o valor de k que torna a equação incompleta? 13.. Considera k = 7 e resolve a equação, aplicando a fórmula resolvente. 14. Num referencial estão representadas as funções f, g, h e j, que são, respetivamente, uma função quadrática, uma função afim, uma função de proporcionalidade direta e uma função constante. 14.1. Define as funções f, g, h e j. recorrendo a expressões algébricas. 14.. Determina gráfica e analiticamente os valores de x tais que: x f x f x = h x (A) g ( ) = ( ) (B) ( ) ( ) 15. Resolve, pelo método que te parecer mais indicado, as equações seguintes: (A) 3x 7 = 0 (B) + 3 = 0 4 9 + 7 x 7 7 x (C) ( x )( x + ) + x = (D) ( x 1) = 3x + 1 3
16. Para determinar a altura h de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, pois não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43º, parte da sombra da antena estava projectada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades da sombras da vara coincidissem. A vara, com 1,8m, de altura, estava a 14m de distância da antena. Na figura que se segue, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita. 16.1. Qual é a altura, h, da antena? Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 17. Um projétil foi lançado de cima de um muro e percorreu uma trajetória que, com o h t, em metros do projétil é dada pela decorrer do tempo t, em segundos, a altura ( ) h t = 5t + t +, com t 0. função ( ) 60 3 17.1. Qual é a altura do muro do qual foi lançado o projétil? h 1 e interpreta o resultado. 17.. Calcula ( ) 17.3. Mostra que o projétil esteve no ar menos de 13 segundos. 18. No referencial da figura está representada graficamente a função y = x 4x + 3. 18.1. Determina as coordenadas do ponto C, ponto de interseção do gráfico da função com o eixo Oy. 18.. Determina as coordenadas dos pontos A e B, de interseção do gráfico com o eixo Ox. 19. Quatro amigos vão alugar um apartamento no Algarve, para gozarem duas semanas de férias. O valor do aluguer será dividido igualmente pelos rapazes. Cada um deles pagará 400 euros. 19.1. Quanto pagará cada um dos amigos se ao grupo se juntar mais um rapaz? 19.. Qual das equações traduz a relação entre o número de amigos, n, e o valor a pagar por cada um deles, p? (A) 1600 p = (B) n 400 p = (C) p = 400 + n (D) p = 1600 + n n 4
0. A soma das idades de um pai e de um filho é igual a 56. Sabendo que o pai tem o quadrado da idade do filho, que idade tem cada um? 1. Na figura estão representados, em referencial o.n. xoy : Os pontos A e D, pertencentes ao eixo Oy O ponto C, pertencente ao eixo Ox A circunferência de centro na origem do referencial e raio 3, que contém os pontos A,C e D A recta BD, que contém o ponto C A recta AB, paralela ao eixo Ox 6 ; 3 O ponto B tem de coordenadas ( ) Estão assinaladas na figura duas regiões: Uma, tracejada, no primeiro quadrante Outra, sombreada, no quarto quadrante 1.1. Escreve a equação da recta BD. 1.. Determina a área da região sombreada, apresentando o resultado arredondado às centésimas. 1.3. Determina a área da região tracejada. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.. Quando se coloca um objeto sobre a areia, ela fica marcada devido à pressão por esse objeto. A tabela seguinte relaciona a pressão exercida por um tijolo sobre a areia, com a área da face do tijolo que está assente na areia. Área ( m ) 0, 005 0, 01 0, 0 Pressão ( N / m ) 4000 000 1000 A pressão está expressa em newton por metro quadrado ( N / m ) e a área em metro quadrado..1. A pressão exercida pelo tijolo é inversamente proporcional à área da face que está assente na areia? Qual é o valor da constante de proporcionalidade?.. Na figura ao lado, podes observar um tijolo. Na posição em que o tijolo se encontra, a pressão que ele exerce sobre a areia é de 4000N / m - A face do tijolo que está assente na areia é um retângulo, em que o comprimento é igual ao dobro da largura. De acordo com os dados da rabela, determina a largura, l desse retângulo. 3. A equação x = 3x + 1 (A) não tem raízes reais (B) tem uma raiz dupla (C) tem duas raízes distintas (D) tem três raízes 4. A área de um triângulo é igual a altura media metade da base. 4.1. Determina a altura do triângulo. 5 m. O João mediu a base e altura relativa a essa base e concluiu que a 5. Na figura ao lado, está representada, num referencial xoy, a recta r, que intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e o eixo Oy no ponto de ordenada. Qual é a equação da reta r? (A) y = x + (B) y = x + (C) y = x + (D) y = x + 5
6. Qual dos seguintes valores não pode representar o cosseno de um ângulo agudo? 5 1 5 (A) (B) (C) (D) 3 3 4 7. De seguida apresentam-se as representações gráficas das funções f, g, h, i, j e k. 7.1. Uma das funções representadas é de proporcionalidade direta. Qual? Porquê? 7.. Uma das funções representadas é de proporcionalidade inversa. Qual? Porquê? 7.3. Escreve as expressões algébricas que definem cada uma das funções. 8. Classifica os sistemas seguintes, através da sua resolução gráfica: (A) 6 + 6x = y y = 3x (B) x = y y = x 9. Um troço de auto-estrada demora 60 dias a asfaltar se trabalharem nessa obra 0 operários. Quantos operários serão necessários para asfaltar o mesmo troço de auto-estrada em 50 dias? (A) 17 (B) 0 (C) 4 (D) 30 30. Resolve as seguintes equações: (A) 36 x + 1 = 1x (B) 100 60x + 9 = 0 x (C) 3x = ( 3 x) x + x 3 (D) x + = 0 3 7 (E) 6 x = 30 6
31. Observa a seguinte sequência de construções, formadas por retângulos. 31.1. Escreve a expressão do termo geral da sequência. 31.. Quantos retângulos tem a construção 7? 31.3. Há alguma construção com 100 retângulos? 3. O par ordenado (1;0) é solução de um sistema em que uma das equações é x-3y=. Assinala com a letra correspondente a outra equação do sistema. (A) x-3y=1 (B) x+7y=5 (C) x+y = 1 (D) x+y = 10 33. Uma papelaria vendeu 70 cadernos a dois preços diferentes: os de tamanho A5 a 0,4 euros cada um e os de tamanho A4 a 0,6 euros cada um. Obteve com a venda 36 euros. Quantos cadernos vendeu de cada tamanho? 34. Num jardim retangular, uma parte é relvada e a outra, com a forma de um quadrado, é destinada a flores. A parte relvada tem de área 136 m. 34.1. Determina o valor de x. Apresenta o resultado arredondado à centésima do metro quadrado. 34.. Qual é o perímetro do jardim? Apresenta o resultado aproximado à centésima do metro. 35. Na figura seguinte, está representada, num referencial, xoy, a circunferência que tem como centro o ponto A ( 4, 7) e que contém o ponto ( 8,10) Sabe-se que:. [ CF ] é a corda da circunferência contida no eixo Oy ;. [ CD ] é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox ;. [ AE ] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy ;. [ ABCD ] é um trapézio retângulo 35.1. Determina a equação da reta que contém [ AD ]. 35.. Determina a equação da reta que contém [ AC ]. 35.3. Determina a área do trapézio [ ABCD ]. D. 7
36. O João tem de ler para a disciplina de Língua Portuguesa um livro, de entre os referenciados no Plano Nacional de Leitura. Para saber como deveria organizar a leitura do livro, decidiu construir a tabela seguinte que mostra a relação entre o número de dias (n) que o João demora a ler o livro e o número de páginas (p) que lê por dia. O número de dias (n) é inversamente proporcional ao número de páginas (p). Número de dias (n) 3 5 7 Número de páginas (p) 35 1 15 36.1. Indica a constante de proporcionalidade inversa e o que esta representa no contexto do problema. 36.. Escreve uma expressão que relacione o número de dias (n) e o respectivo número de páginas lidas (p). 37. Na figura, o quadrado [ ABCD ] está inscrito na circunferência de centro O. Sabe-se que AB = 4 cm e que A ED ˆ = 48º. 37.1. Mostra que o raio da circunferência é igual a cm. EAD, 37.. Determina a área da parte sombreada do triângulo [ ] indicando um valor aproximado às décimas. 38. Na figura está representado um reservatório para armazenar combustível. Uma parte do reservatório é cilíndrica e a outra tem a forma de um tronco de cone. 38.1. Atendendo às dimensões indicadas na figura, determina: 38.1.1. o diâmetro da parte superior do reservatório; 38.1.. a capacidade, em litros, da parte do reservatório correspondente ao tronco de cone. Apresenta o resultado aproximado às unidades. 38.1.3. a quantidade de combustível, em litros, que há no reservatório se a superfície de combustível estiver a 30 cm da base do reservatório. Apresenta o resultado arredondado à unidades. 39. Numa prova de ciclismo, os concorrentes têm de percorrer 60 quilómetros. O gráfico seguinte representa a velocidade média, em km/h, e o tempo, em horas, gasto por cada ciclista. 39.1. Justifica que existe proporcionalidade inversa entre as grandezas v e t. 39.. Qual a constante de proporcionalidade e qual o seu significado? 39.3. Escreve a expressão analítica da função. 39.4. Se a velocidade média fosse de 0 km/h, que tempo demorava o ciclista a fazer o percurso? 39.5. Se o ciclista demorou 1 horas a fazer o percurso, qual a sua velocidade média? 8
40. Na sequência de quadrados seguinte, o comprimento do lado do primeiro quadrado é 1 (fig. 1). Os outros quadrados são construídos de tal forma que o lado de cada um deles é sempre igual ao comprimento da diagonal do quadrado anterior. 40.1. Quais são as medidas exactas das diagonais do quarto e do quinto quadrados? Explica a tua resposta. 40.. Qual das expressões (A ou B) permite calcular a medida exacta da diagonal de cada um dos quadrados da sequência, a partir do número da figura (1,, 3,..., n,...) que lhe corresponde? Justifica a tua escolha. 41. Resolve as seguintes equações, utilizando a fórmula resolvente, apenas quando for absolutamente necessário. (A) 9x + 6x + 1 = 0 (B) 36 = x + 1x (E) y = y (F) + 4x = 5 4 x = (C) ( 5 ) 5 x G) ( x 3) 1 5x + = + + 16 1 3 1 x (D) x ( x 1) x x x x ( x + 5 ) (H) x x = + 4 1 = 3 4. Supõe que numa outra região da Antárctida, a relação existente entre a profundidade e a idade do gelo é dada pela função P ( i) = 0,0000i + 0,8i + 63 anos., em que P representa a profundidade em metros e i a idade em 4.1. Determina a que profundidade, em metros, se poderá encontrar na região anteriormente mencionada, gelo com 100 anos de idade. 4.. Uma amostra recolhida a 35 metros de profundidade, nessa mesma região, terá que idade? Indica um valor aproximado às unidades. ( Nos cálculos intermédios conserva 5 casas decimais) 43. Cada um dos gráficos seguintes traduz a variação da altura da água, num recipiente, com o tempo que decorre desde o início do seu esvaziamento. Associa cada recipiente ao gráfico que lhe corresponde 9
44. Escreve uma equação de º grau, na forma ax + bx + c = 0 : 44.1. que tenha a solução dupla x = 3. 44.. que tenha como soluções 7 e -11. 44.3. em que = ( ) 4 ( 3) 5 45. Indica se são verdadeiras ou falsas as afirmações e corrige as falsas. x 45.1. A expressão = y traduz uma situação de proporcionalidade inversa e a constante é 3. 3 7 1 45.. A expressão = traduz uma situação de proporcionalidade inversa e a constante é 7. y x 1 1 45.3. A expressão y = traduz uma situação de proporcionalidade directa e a constante é. 7x 7 46. O pai da Ana, o Sr. Silva, necessitou de fazer umas reparações em casa. Para isso, contratou um electricista e um canalizador. Custos dos serviços prestados: Electricista Deslocação: 0 Trabalho: 1 por cada hora 46.1. Qual é o preço de cada hora de trabalho prestada pelo canalizador? Justifica a tua resposta. 46.. O eletricista efectuou a reparação em três horas e meia e o canalizador trabalhou durante cinco horas. Quanto pagou o Sr. Silva no total aos dois trabalhadores? Indica todos os cálculos que efetuares. 46.3. Escreve uma expressão analítica que relacione o custo do serviço prestado pelo canalizador ( c ), com o número de horas de trabalho ( t ). 47. A vista da frente de uma casa é a que a seguir se apresenta. 47.1. Determina a altura da casa. 47.. Calcula o comprimento de [ AD ]. 47.3. Calcula a área da figura. 48. Sobre uma pilha sabe-se que a potência P é dada pela expressão: P = 0,8I + 4, 5I em que I representa a intensidade da corrente debitada pela pilha (em amperes). Qual a intensidade da corrente se a potência fornecida à pilha for de 1 W? 10
49. A pedido de um dos clientes, um fabricante tem de construir peças metálicas de área máxima, com a forma de um trapézio, em que AB = BC = CD = dm. Designando por θ a medida da amplitude (em radianos) do ângulo ADC: 49.1. Exprime a altura h do trapézio e o comprimento da base maior em função de θ. 49.. Prova que a área A(θ) do trapézio é dada, em dm, por A(θ) = 4 sin (θ) + sin (θ). 50. Considera o triângulo retângulo [ ] ABC em que B AC ˆ = 8º. 50.1. Constrói um triângulo nessas condições. 50.. Determina, usando valores arredondados às centésimas, as razões trigonométricas de um ângulo de 8º. 50.3. Por qual dos seguintes gráficos pode ser representada a altura h da água, no depósito da figura, em função do tempo, t, de enchimento? 51. Mostra que: cosα sen 51.1. ( α ) + ( cosα + senα ) = 5. O quadrado [ ABCD ] tem 4 cm de lado e está inscrito numa circunferência de centro O. 5.1. Qual é a área da parte colorida da figura? Apresenta o resultado arredondado às décimas. 53. Na figura está representado o rectângulo [ ABCD ]. As medidas dos lados do rectângulo, em centímetros, são: AB = + 1 e BC. 53.1. Designando por P o perímetro do rectângulo e por A a área, mostra que: P = ( 4 + )cm ; A = ( + ) cm e AC = 5 + cm = 11
54. Relativamente à figura, sabe-se que: ABC é retângulo em C O triângulo [ ] O ponto E pertence ao segmento de reta [ AB ] O ponto D pertence ao segmento de reta [ AC ] O triângulo [ ADE ] é retângulo em E 54.1. Determina AC. 55. O Rogério encostou uma escada com 10 metros de comprimento a um prédio do lado esquerdo da sua rua, formando com o solo um ângulo de 50º. Depois, encostou-a a um prédio do lado direito da rua, sem alterar o ponto de apoio, formando com o solo um ângulo de 60º- Qual é o valor arredondado às décimas da largura da rua onde mora o Rogério? 56. A altura de um triângulo equilátero mede 1 cm. Qual é o valor exato do perímetro desse triângulo? 57. Em relação a uma sequência sabe-se que o 6º termo é 14 e o 8º termo é 4. Qual das seguintes expressões algébricas pode representar o termo geral da sequência? n( n + ) n (A) n 4n + (B) + ( n 1) 4 (C) 1 (D) 4 n( n +1) 3 58. Sabendo que os triângulos [ ACB ] e [ DCE ] são retângulos em C, determina a área total da figura. 1