Disciplina: Biologia Série: 2ª série EM - 1º TRIM Professora: Ivone Azevedo da Fonseca Assunto: Probabilidade Genética PROBABILIDADE GENÉTICA A CIÊNCIA E AS LEIS DAS PROBABILIDADES - Podemos prevenir ou controlar a ocorrência de eventos? Durante nossa vida, com todas as atribulações diárias, tempo contado para cada compromisso, longe de pensarmos que cálculos de probabilidade sejam de responsabilidade dos laboratórios de matemática, podemos não nos dar conta de que, a todo o momento, também estamos fazendo uso deles em muitas ocasiões. Ao chegarmos ao meio-fio de uma rua em que, ao longe, vem vindo um veículo, a decisão de atravessar ou esperar nada mais é do que um cálculo de probabilidade. Quando escolhemos um determinado horário para sairmos de casa e chegarmos a tempo para um espetáculo de teatro, por exemplo, devemos levar em conta a probabilidade de um fluxo de trânsito mais intenso ou mesmo o horário ou o itinerário em que vai se dar esse deslocamento também é um cálculo de probabilidade. Se estudarmos, nos prepararmos adequadamente, aumentaremos as nossas probabilidades de sucesso nos exames de seleção que vamos prestar. Se conhecermos como funciona um cassino, saberemos que as probabilidades de acerto em cada tipo de jogo existem, mas são, de fato, muitíssimo pequenas. Daí o imenso lucro que eles geram, já que, para os jogadores desavisados, essas probabilidades parecem ser muito maiores e tornam-se muito atraentes. Assim podemos entender que o cálculo de probabilidades é um fato muito presente e importante em todos os âmbitos da vida. Na ciência não é diferente. Na genética, por exemplo, após a descoberta das Leis de Mendel, ou seja, da elucidação do modo como as características são passadas através das gerações, começou-se a pensar que, se podemos saber como são os genes dos pais, para determinada característica desejável, podemos prever como poderão ser os filhos em relação a essa mesma característica. www.unificado.com.br 1
Porém sabemos que nem todas as características genéticas são desejáveis por produzirem fenótipos com baixa viabilidade ou produzirem deformações ou bloqueios em rotas importantes do metabolismo. Então, do mesmo modo como a matemática é uma importante ferramenta para os cálculos de freqüência gênica, também aqui essa ciência vem auxiliar os serviços de aconselhamento genético na previsão da possibilidade de ocorrência de eventos indesejáveis, como o nascimento de filhos com daltonismo, hemofilia, distrofia muscular, fibrose cística e tantas outras doenças. Há casos também em que se pode prever as possibilidades para o nascimento de filhos de determinado sexo em determinada seqüência, qual a probabilidade de que nossos filhos tenham olhos castanhos ou azuis, sejam mulatos claros ou médios, tenham sangue do tipo A ou AB etc. Nunca é demais lembrar que casamentos consangüíneos produzem filhos com maior quantidade de genes em comum e, conseqüentemente, aumentam as probabilidades de homozigozes deletérias (que produzem doenças ou malformações). Como se calcula a probabilidade de determinado evento? A probabilidade da ocorrência de determinado evento calcula-se utilizando o número de possibilidades que me interessam (eventos favoráveis) e o número total de possibilidades (eventos possíveis), dividindo-se o primeiro pelo segundo, assim: Número de eventos favoráveis Probabilidade = ------------------------------------------- Número de eventos possíveis VAMOS ANALISAR ALGUNS EXEMPLOS: 1) Qual a probabilidade de obtermos face 5 no arremesso de um dado? Visto que um dado tem 6 faces, a probabilidade calcula-se dividindo o número de eventos favoráveis (1) pelo número de eventos possíveis (6), ou seja, 1 / 6 ou 16,66%. 2) Qual a probabilidade de obtermos cara ao atirarmos para cima uma moeda? www.unificado.com.br 2
A probabilidade é 1 / 2, ou seja, 50%, visto que uma moeda tem duas faces. AGORA PENSE: será que ao disputarmos apostas usando dados teremos sempre uma chance menor do que ao disputarmos com uma moeda? A resposta é NÃO. Vai depender de como você considerar o dado. Se for considerar a chance de obter uma determinada face no total de seis faces possíveis, a chance é mesmo de 16,66%. Mas se você considerar a probabilidade de face par x face ímpar, então as chances de sucesso quando se usar um dado se igualarão às chances de sucesso quando se usar uma moeda, isto é, 50%, uma vez que um dado tem três faces pares e três faces ímpares. IMPORTANTE: É bom não esquecer que quanto maior a amostragem (n. o de tentativas), mais o resultado obtido se aproximará ao resultado esperado. Desse modo, o que se esperaria em seis arremessos de um dado seria que cada face aparecesse uma vez, já que cada uma tem exatamente a mesma probabilidade de aparecer: 1 / 6. Mas em apenas seis arremessos, é possível obtermos duas vezes a face 4, duas vezes a face 1, uma vez a face 2 e uma vez a face 3. Isso não significa que as chances de obtenção de cada face não sejam iguais. É por isso que cada experimento científico ou estatístico deve contar com uma amostragem suficientemente variada e grande. Repetindo:quanto maior for a amostra, mais os resultados obtidos se aproximarão dos resultados esperados e menores serão as probabilidades de ocorrência de distorções que não representem a realidade. AS REGRAS DA PROBABILIDADE www.unificado.com.br 3
1. A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO (ou regra do e ) Usa-se essa regra para calcular a probabilidade da ocorrência de eventos simultâneos. Para isso, multiplicam-se as probabilidades da ocorrência dos eventos em questão. Exemplo: Qual a probabilidade de um casal de heterozigotos para o albinismo (pele normal) terem dois filhos, sendo o primeiro albino e o segundo de pele normal, independente do sexo? P: O Aa x O Aa 1 / 4 x 3 / 4 = 3 / 16, já que para filho albino há 1 / 4 de chance de nascimento e há 3 / 4 de chance para o nascimento de filho com pele normal. 2. A REGRA DA ADIÇÃO (ou regra do ou ) Usa-se essa regra para calcular a probabilidade da ocorrência de eventos mutuamente exclusivos. Para isso, somam-se as probabilidades da ocorrência dos eventos em questão. Exemplo: Qual a probabilidade de um casal com pele normal, portador de gene para o albinismo ter dois filhos, de qualquer sexo, sendo o primeiro com pele normal e o outro albino ou ambos normais? P: O Aa x O Aa F 1 : 3 / 4 x 1 / 4 + 3 / 4 x 3 / 4 = 3 / 16 + 9 / 16 = Somando-se as probabilidades, teremos um total igual a 12 / 16 ou 3 / 4. NOTE QUE ( 1 ): sempre que for exigido o cálculo da probabilidade envolvendo o sexo dos filhos, a probabilidade de um evento será multiplicada por 1 / 2, que corresponde à chance de nascimento de um determinado sexo em duas probabilidades possíveis (feminino ou masculino). NOTE QUE ( 2 ): nos dois exemplos dados, a ordem dos eventos sempre foi explicitada, como acima: o primeiro filho com pele normal e os demais albinos. Mas quando essa ordem não for solicitada na questão, deveremos aplicar uma fórmula para calcular de quantos modos tal evento poderia acontecer e considerar todos esses modos no cálculo. Então, no exemplo acima, se o autor tivesse pedido apenas um filho com pele normal e dois albinos, sem dar a ordem, faríamos o cálculo da seguinte maneira: www.unificado.com.br 4
F 1 : 3 / 4 x 1 / 4 x 1 / 4 = 3 / 16 Utilizando-se a fórmula: C = n! P! (n-p)! n= número total de filhos (eventos),no caso, três filhos. p= número de uma das parciais, no caso, dois albinos. n-p= a outra parcial, no caso, um filho com pele normal. Aplicando-se ao exemplo, teremos: C= 3x2x1 = 6 / 2 = 3, o que significa que há 2x1 (1) três modos de, tendo três filhos, um casal ter dois albinos e um normal (se pensarmos bem é lógico, pois o filho normal poderá ser o primeiro, o segundo ou o último filho a nascer). Resultado final: multiplica-se a fração inicial pelo coeficiente obtido com a aplicação da fórmula, assim: 3 / 16 x 3 = 9 / 16 Se há três modos de se obter dois filhos albinos e um normal, é lógico concluir que para um casal que não faça questão de uma determinada ordem tenha três vezes mais chance de sucesso do que outro casal, que deseje que o filho normal seja o primeiro, em uma seqüência de três. ***** NOTE QUE ( 3 ): Há ocasiões em que não sabemos com certeza o genótipo de um determinado indivíduo. Nesse caso, devemos contar a probabilidade de que ele tenha esse genótipo. Por exemplo: um homem com pele normal, filhos de pais normais, é irmão de uma mulher albina e se casa com uma mulher normal que tem mãe normal e pai albino. Qual a probabilidade de que seu primeiro filho seja albino? (não importando o sexo) Resposta: sabemos que a mulher é heterozigota obrigatória. Mas o homem, sendo filho de pais normais (heterozigotos obrigatórios), tem 2 / 3 de chance de ser também heterozigoto (ele é Aa, aa ou AA), condição indispensável para gerar filho albino. Logo, o cálculo é: 2 / 3 (chance de o pai portar gene para o albinismo) x 1 / 4 (chance de esse casal gerar um filho albino) = 2 / 12 ou 1 / 6 é a probabilidade. www.unificado.com.br 5
QUESTÕES COMENTADAS: 1) Um casal deseja saber qual a probabilidade de ter cinco filhos, sendo dois meninos e três meninas: a) 1 / 16 b) 1 / 32 c) 10 / 32 d) 10 / 16 e) 5 / 32 2) Calcule a probabilidade de um homem com pele normal, filho de pais normais, cujo irmão é albino, ter duas meninas albinas, se casar com mulher heterozigota: a) 2 / 96 b) 1 / 64 c) 1 / 192 d) 1 / 96 e) 10 / 92 3) Se jogarmos, ao mesmo tempo, um dado e uma moeda para cima, qual a probabilidade de obtermos face 5 e cara ou face 3 e coroa? a) 2 / 10 b) 1 / 6 c) 1 / 12 d) 1 / 144 e) 6 / 12 4) Se admitirmos um casal onde ambos têm queratose (uma doença da pele), produzida por gene dominante, calcule a probabilidade de que eles gerem três filhos (de qualquer sexo), sendo o primeiro normal e os demais afetados pela queratose, sendo que ambos os pais são heterozigotos? a) 1 / 64 b) 9 / 64 c) 3 / 64 d) 9 / 16 e) 1 / 16 5) Um casal deseja saber qual a probabilidade de terem quatro filhos, sendo o segundo filho do sexo masculino e os demais do sexo feminino. a) 1 / 16 b) 4 / 16 c) 3 / 4 d) 1 / 4 e) 2 / 16 6) Se um determinado casal é heterozigoto para um determinado caráter, calcule a probabilidade de que tenham uma filha homozigota dominante ou uma filha que seja heterozigota. a) 6 / 16 b) 1 / 16 c) 10 / 64 d) 1 / 32 e) 3 / 32 7) Se um casal heterozigoto para o albinismo resolver investigar a probabilidade de terem três filhos albinos e um normal, sendo que qualquer ordem de nascimento serve, bem como não importa o sexo dos bebês, diríamos que suas chances são de: a) 3 / 256 b) 2 / 32 c) 1 / 32 d) 3 / 128 e) 12 / 256 www.unificado.com.br 6
COMENTÁRIOS: 1) Alternativa C: Calculando-se a probabilidade de 1 / 2 para cada filho, teremos (1 / 2) 5 = 1 / 32 Aplicando-se a fórmula da análise combinatória, encontra-se o número de possibilidades de um casal ter três meninos e duas meninas = 10 Multiplica-se 1 / 32 x 10 = 10 / 32 2) Alternativa D: A chance de que esse homem seja heterozigoto é de 2 / 3. A chance de uma menina albina é de 1 / 8. Para duas meninas, a chance é de 1 / 64. Multiplicando-se 2 / 3 x 1 / 64 = 2 / 192 ou 1 / 96. 3) Alternativa B: Para face 5 e cara = 1 / 12, para face 3 e coroa = 1 / 12. Como tratam-se de eventos mutuamente exclusivos (ou um ou outro), somam-se as probabilidades de cada um: 1 / 12 + 1 / 12 = 2 / 12 ou 1 / 6. 4) Alternativa B: A probabilidade de filhos normais é de 1 / 4 e a de filhos com queratose é de 3 / 4, já que a doença é produzida por gene dominante. Como a ordem dos nascimentos foi especificada, basta multiplicarmos: 1 / 4 x 3 / 4 x 3 / 4 = 9 / 64. 5) Alternativa A: Como é citada a ordem dos nascimentos, basta que multipliquemos as probabilidades de nascimento em relação ao sexo: 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 16. 6) Alternativa A: O cálculo para filha homozigota dominante é: 1 / 2 x 1 / 4 = 1 / 8 Para filha heterozigota é: 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 4 Somando as parciais temos: 1 / 8 + 1 / 4 = 3 / 8 ou 6 / 16. 7) Alternativa E: Multiplicando as chances dos nascimentos, temos: 1 / 4 x 1 / 4 x 1 / 4 x 3 / 4 = 3 / 256. Mas como qualquer ordem de nascimentos serve, aplicamos a fórmula, que fica assim: C = 4 x 3 x 2 x 1 = 4, logo, 3 / 2 5 6 x 4 = 12 / 256. 3 x 2 x 1 (1) www.unificado.com.br 7