INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA II ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volume 2 Por : Gregório Luís I
PREFÁCIO O presente texto destina-se a apoiar a disciplina de Análise Matemática II do curso de Matemática Aplicada à Economia e Gestão do Instituto Superior de Economia e Gestão. Para além da abordagem teórica dos temas em estudo, o texto inclui ainda, no final de cada capítulo, exercícios e respectivas soluções. Os exercícios marcados com * são de resolução mais difícil podendo ser ignorados pelos alunos médios. Aconselha-se contudo a sua resolução aos alunos mais interessados. A maior parte dos exercícios incluídos têm sido utilizados nos últimos 30 anos nas aulas práticas das disciplinas de Matemática dos primeiros anos dos cursos ministrados no Instituto Superior de Economia e Gestão, tornando-se impossível referenciar a sua proveniência ; para além destes há ainda exercícios originais e outros que foram retirados ou adaptados da bibliografia indicada no final. Cada capítulo tem uma numeração independente para os pontos, teoremas e propriedades. Nas referências feitas no texto subentende-se que os pontos, teoremas e propriedades pertencem ao próprio capítulo, salvo quando expressamente seja indicado o contrário. Este prefácio não poderia terminar sem uma referência aos professores que ao longo dos últimos 60 anos contribuiram decisivamente para a tradição que o ensino da matemática tem nesta escola de economia e gestão. Correndo o risco de injustamente esquecer alguns, citam-se aqui os Profs. Mira Fernandes, Bento Caraça, Leite Pinto, Vicente Gonçalves, José Ribeiro de Albuquerque e Bento Murteira. Lisboa, 22 de Maio de 2002 António Gregório Luís II
ÍNDICE CAPÍTULO I Primitivas 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata. 1 2. Primitivação por partes... 4 3. Primitivação por substituição.. 5 4. Exercícios 7 CAPÍTULO II Integral de Riemann em R 1. Definição e primeiras propriedades... 12 2. Nova definição de integral. Equivalência com a anterior... 17 3. Condição de integrabilidade 23 3.1 Introdução.. 23 3.2 Conjuntos com medida nula segundo Lebesgue 23 3.3 Condição de integrabilidade.. 24 4. Interpretação geométrica do conceito de integral... 24 5. Novas propriedades do integral de Riemann.. 26 6. Fórmula fundamental do cálculo integral... 31 7. Integral indefinido... 33 8. Integração por partes... 36 9. Integração por substituição. 39 10. Segundo teorema da média. 44 11. Integrais impróprios de primeira espécie 46 12. Integrais impróprios de segunda espécie 60 13. Outros tipos de integrais impróprios.. 66 14. Funções Beta e Gama. 67 15. Exercícios 70 CAPÍTULO III Sucessões e séries de funções 1. Convergência ponto a ponto e convergência uniforme... 85 2. Continuidade da função limite 87 3. Aplicação ao caso das séries de funções reais de variável real... 88 4. Aplicação às séries de potências. 91 5. Derivação e primitivação termo a termo. 97 6. Derivação e primitivação termo a termo das séries de potências... 102 7. Aplicação no cálculo de soma de séries. 104 8. Integração de séries termo a termo. 107 9. Exercícios 109 CAPÍTULO IV Desenvolvimentos em série 1. Série de Taylor e de Mac-Laurin 116 III
2. Técnicas de desenvolvimento em série... 119 2.1 Introdução.. 119 2.2 Obtenção prática de desenvolvimentos.. 120 3. Exercícios 123 CAPÍTULO V Noções topológicas e sucessões em R n 1. Distância e vizinhanças... 127 2. Conceitos topológicos básicos 131 3. Conjuntos limitados 138 4. Pontos impróprios em R n 140 5. Sucessões em R n. 141 5.1 Generalidades. 141 5.2 Conceito de limite. Teoremas fundamentais.. 141 5.3 Sublimites. Teoremas fundamentais.. 146 6. Exercícios 151 CAPÍTULO VI Limites e continuidade de funções em R n 1. Generalidades.. 154 1.1 Funções reais de variável vectorial n dimensional.. 154 1.2 Funções vectoriais m dimensionais de variável real... 156 1.3 Funções vectoriais m dimensionais de variável vectorial n dimensional 158 2. Definição de limite de uma função num ponto.. 158 3. Condição necessária e suficiente para existência de limite pertencente a R m. 159 4. Sublimites 160 5. Regras de cálculo de limites 162 5.1 Caso das funções de A R n em R 162 5.2 Caso das funções de A R n em R m.. 171 6. Continuidade pontual.. 172 7. Descontinuidades 173 8. Continuidade num conjunto. Propriedades especiais das funções contínuas. 174 8.1 Definição de função contínua num conjunto. 174 8.2 Generalização do teorema de Cauchy 174 8.2.1 Conexão por arcos. 174 8.2.2 Teorema de Cauchy.. 178 8.3 Funções contínuas num conjunto limitado e fechado 179 9. Continuidade da função inversa.. 180 10. Continuidade uniforme. Teorema de Heine Cantor 180 11. Noção de contracção. Teorema do ponto fixo 183 12. Exercícios 185 CAPÍTULO VII Derivação e diferenciação em R n 1. Derivadas parciais de funções reais de n variáveis reais 191 2. Derivadas segundo vectores para funções reais de n variáveis reais.. 193 3. Diferenciabilidade de funções reais de n variáveis reais 195 IV
4. Condição suficiente de diferenciabilidade.. 198 5. Derivação parcial e diferenciação de funções de A R n em R m.. 201 6. Diferenciabilidade de uma função composta.. 204 7. Funções homogéneas.. 210 8. Teorema dos acréscimos finitos.. 214 9. Igualdade das derivadas mistas... 216 10. Exercícios 225 CAPÍTULO VIII Diferenciais de ordem superior. Fórmula de Taylor e aplicações 1. Diferenciais de ordem superior... 237 2. Fórmula de Taylor... 239 3. Aplicação à determinação de extremantes interiores.. 241 4. Estudo da convexidade e concavidade 253 5. Exercícios 257 CAPÍTULO IX Funções definidas implicitamente. Invertibilidade 1. Introdução... 261 2. Derivadas de funções definidas implicitamente. 263 3. Teoremas de existência... 267 3.1 Caso de uma só equação 267 3.2 Caso de um sistema de equações... 278 4. Invertibilidade local 298 5. Exercícios 307 CAPÍTULO X Extremantes condicionados em R n 1. Introdução... 313 2. Primeira condição necessária de extremante.. 314 3. Pontos de estacionaridade singulares e não singulares... 319 4. Segunda condição necessária de extremante.. 322 5. Condições suficientes de extremante.. 328 6. Condições suficientes. Técnica do determinante orlado. 334 6.1 Generalidades sobre formas quadráticas reais... 334 6.2 Classificação das formas quadráticas no conjunto das soluções de um sistema homogéneo indeterminado... 337 7. Determinação de extremantes condicionados: exemplos 353 8. Exercícios 361 CAPÍTULO XI Dependência e independência funcionais 1. Conceitos básicos 364 2. Teoremas fundamentais sobre dependência e independência funcionais... 365 3. Derivação de um determinante funcional... 375 4. Estudo especial da dependência linear para as funções reais de variável real... 377 5. Exercícios 382 BIBLIOGRAFIA. 384 V
VI