Exercícios e questões de Álgebra Linear

CEFET/MG Exercícios e questões de Álgebra Linear Versão 1.2 Prof. J. G. Peixoto de Faria Departamento de Física e Matemática 25 de outubro de 2012 Digitado em L A TEX (estilo RevTEX).

2 I. À GUISA DE NOTAÇÃO Vetores são representados por letras latinas minúsculas sob uma seta como u; matrizes por letras latinas em negrito, como A; e números, muitas vezes, por letras gregas minúsculas. A t indica a transposta de A. A indica o conjugado hermiteano da matriz A, i.e., A = (A ) t. α indica o conjugado complexo de α. O conjunto das matrizes reais (ou complexas) de ordem n m é designado por M n m (R) (ou M n m (C)). O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n é P n ; o conjunto de todos os polinômios de grau qualquer é P. C 0 designa o conjunto das funções contínuas; C 1, o conjunto das funções diferenciáveis; C n, o conjunto das funções n-vezes diferenciáveis. O espaço gerado pelo conjunto de vetores { v } span 1, v 2,..., v n. { v 1, v 2,..., v n } det M é o determinante da matriz quadrada de ordem n n M = [a ij ], i.e., det M = σ S n sgn (σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n), é designado por onde S n é o conjunto de todas as permutações σ do conjunto {1, 2,..., n} e sgn (σ) é o sinal da permutação σ. tr M é o traço da matriz quadrada M, i.e., a soma dos elementos da diagonal principal de M. II. ALGUMAS PROPRIEDADES ÚTEIS 1. Propriedades do traço de uma matriz: (a) tr M = tr M t ; (b) tr (M + N) = tr M + tr N; (c) tr (αm) = α tr M, α R; (d) tr (MN) = tr (NM). 2. Propriedades do determinante de uma matriz:

3 (a) det (MN) = det M det N; (b) det M t = det M; (c) det αm = α n det M.

4 III. MATRIZES 1. Sejam A, X e J as matrizes A = 1 1 2 0, X = x y z w, J = 0 1 1 0 Obtenha a(s) solução(ões) (i.e., obtenha X) da equação matricial AX XA = J. 2. Considere a equação matricial AX = J, onde 1 2 2 0 0 A = 2 1 1, J = 0 6 1 1 1 6 0 (a) Qual deve ser a ordem da matriz X para que a equação acima esteja bem definida? (b) Verifique se a matriz A possui inversa. (c) Determine a solução da equação matricial, i.e., determine o conjunto das matrizes X que satisfazem a equação acima. 3. Formalmemente, a exponencial de uma matriz quadrada M de ordem n é a matriz quadrada e M, também de ordem n, dada pela expressão e M = I + M + 1 2 M2 + + 1 k! Mk + = I + k=1. 1 k! Mk. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que A 2 = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. (a) Mostre que e ta = I cosh t + A senh t, onde t é um número. (b) Mostre que a inversa de e A é e A. Lembretes: cosh x = ex + e x 2 senh x = ex e x 2 = = 1 + k=0 k=1 cosh 2 x senh 2 x = 1. 1 (2k)! x2k, 1 (2k + 1)! x2k+1,

5 4. Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A 2 = A, onde A 2 = AA. (a) Calcule os possíveis valores de k que tornem a matriz abaixo idempotente. A = 1 k 4. k 3 4 (b) Seja B a matriz-coluna B = cos θ. e iφ sen θ Verifique que a matriz BB é idempontente. 5. Sejam A = [a ij ] e B = [b ij ] matrizes quadradas de ordem n n. Mostre que tr ( A B ) = ( tr ( B A )). Adjutório: use as propriedades do traço e lembre-se que A = (A t ) = (A ) t. 6. Uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M é positiva (ou semidefinida positiva) se v t Mv 0, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n 1. Verifique que, se λ é autovalor de M positiva, então λ 0. Por outro lado M é estritamente positiva se v t Mv > 0. Neste caso, se λ é autovalor de M estritamente positiva, então λ > 0. 7. Sejam λ m e λ M o menor e o maior autovalor de uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M. Verifique que λ m v t Mv λ M, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n 1 tal que v t v = 1. IV. SISTEMAS LINEARES 1. Considere os sistemas lineares x y + az = 1 I. ax + y + z = 1 2x 2ay + 2z = 2 a 2x + by + z = 3 + b II. x + 2y + 2bz = 2 x y bz = 2. Usando o escalonamento à forma escada linha-reduzida, obtenha os valores de a e de b que tornem cada um dos sistemas acima

6 (a) possível e indeterminado; (b) impossível; (c) possível e determinado. 2. Considere o sistema linear x + 2y 2z = 1 2x y z = 2 x y + z = 2 (a) Verifique que o sistema é possível e determinado, calculando o determinante da matriz de coeficientes. (b) Use o escalonamento à forma escada linha-reduzida e obtenha a matriz inversa da matriz de coeficientes. (c) Obtenha a solução do sistema usando a matriz calculada no item (2b). V. ESPAÇOS LINEARES 1. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, M n n (R). São subconjuntos de M n n (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n simétricas, S n n (R) = {A M n n (R) A = A t }, e o conjunto das matrizes quadradas antisimétricas, A n n (R) = {A M n n (R) A = A t }. N.B. A t indica a matriz transposta de A. (a) Verifique que S n n (R) e A n n (R) são subespaços de M n n (R). (b) Verifique que M n n (R) = S n n (R) A n n (R). 2. Dizemos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Seja M uma matriz quadrada de ordem n n. Mostre que o conjunto das matrizes n n que comutam com a matriz M formam um subespaço vetorial do conjunto das matrizes quadradas de ordem n n, M n n. 3. Dizemos que duas matrizes A e B anticomutam se AB = BA. Seja M uma matriz quadrada de ordem n n. Mostre que o conjunto das matrizes n n que anticomutam

7 com a matriz M formam um subespaço vetorial do conjunto das matrizes quadradas de ordem n n, M n n. 4. Considere os seguintes conjuntos E = {1, 1 + x, x + x 2 } e F = {2, x 1, 4x 2 }. (a) Mostre que E e F são bases de P 2, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2. (b) Encontre a matriz de mudança de base M F E. 5. Sejam V = span {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 1, 3), (3, 6, 1, 4)} e U = span {(0, 0, 1, 1), (1, 2, 3, 4)} subespaços de R 4. Obtenha uma base para V U. 6. Considere o subespaço vetorial de R 3, V = {(x, y, z) x + y = 0, z 3x = 0}. (a) Determine uma base para V. (b) Determine um subespaço U tal que V U = R 3. 7. Verifique que os seguintes conjuntos são espaços lineares: (a) O conjunto das funções reais definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] R}. (b) O conjunto das funções reais contínuas definidas em R, C 0 = {f : R R f é contínua}. Adjutório: i. A soma de duas funções contínuas é uma função contínua. ii. O produto de uma função contínua por uma constante é uma função contínua. (c) O conjunto das funções reais definidas em R e com primeira derivada contínua em todo seu domínio, C 1 = {f : R R f é contínua}. Adjutório: i. A soma de duas funções diferenciáveis é uma função diferenciável. ii. O produto de uma função diferenciável por uma constante é uma função diferenciável. (d) O conjunto das funções reais contínuas definidas no intervalo [a, b], f : [a, b] R, tais que b a K (x) f (x) dx <,

8 onde K é uma dada função contínua em [a, b]. 8. Sejam W e W subespaços do espaço linear V, tais que W = U X e W = U Y, { 0 } onde U = W W. Mostre que X Y =. VI. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 1. Sejam E = {(1, 1), (1, 1)} e F = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} bases de R 2 e R 3 respectivamente. Considere a transformação linear T : R 2 R 3, representada pela matriz 1 2 [T ] E F = 1 2. 1 0 (a) Determine T (x, y). (b) Determine ker T e im T. (c) Determine a base ordenada G de R 3 em que T é representada pela matriz 1 0 [T ] E G = 0 0. 0 1 2. Considere o conjunto das funções de uma única variável real definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] R}. Definimos a seguinte transformação M : F F, tal que Mf (t) = tf (t). M é uma transformação linear? 3. Considere o conjunto das funções de uma única variável real definidas no intervalo [0, 1], F = {f : [0, 1] R}. Definimos a seguinte transformação M g : F F, tal que M g f (t) = g (t) f (t), onde g é uma dada função contínua no intervalo [0, 1]. M g é uma transformação linear? VII. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 1. Sejam M 2 2 (R) o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2 e T : M 2 2 (R) M 2 2 (R) a aplicação definida por T A = A t. Em outras palavras, a aplicação T mapeia uma matriz quadrada de ordem 2 na sua transposta.

9 (a) Verifique que T é um operador linear. (b) Encontre os autovalores e os autovetores de T. 2. Considere o operador linear T : R 3 R 3 definido por T (x, y, z) = (2x + y, y z, 2y + 4z). (a) Encontre os autovalores e os autovetores de T. (b) T é diagonalizável? Justifique. 3. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3, P 3 (R) = {p (t) = at 3 + bt 2 + ct + d a, b, c, d R}. Seja T : P 3 (R) P 3 (R), a transformação linear definida como T ( at 3 + bt 2 + ct + d ) = (a + b) t 3 + (b a) t 2 + (2d c) t + (2c d). Obtenha (a) os autovalores de T e (b) os respectivos autovetores de T. 4. Considere o espaço linear V = W U, onde W e U são subespaços de V. O operador linear π : V V é definido como Dado v = w + u, onde w W e u U, então, π v = w, ou seja, π é uma projeção sobre o subespaço W. (a) Determine os autovalores de π. Adjutório: Use π 2 = π. (b) É π diagonalizável? 5. Considere o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, P 2 (R) = {p (t) = at 2 + bt + c a, b, c R}. Seja T : P 2 (R) P 2 (R) o operador linear definido como T ( at 2 + bt + c ) = (2b a) t 2 + (2a b) t 3c. Obtenha os subespaços de P 2 que são invariantes a T. Adjutório: W é subespaço invariante ao operador linear T se, dado w W qualquer, então T w W.

10 VIII. PRODUTO INTERNO 1. Seja f : R 2 R 2 R uma função definida como ( v ) ([ v ] ) t [ f, u = g B u ] B, B B [ v ] [ u ] onde e representam os vetores v e u em uma determinada base B de R 2 e g B B B B é uma matriz quadrada de ordem 2, dada por gb B = 1 b. b 4 Qual(is) deve(m) ser o(s) valor(es) de b para que f seja um produto interno em R 2? 2. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, M n n (R). Definimos a função f : M n n (R) M n n (R) R, como f (A, B) = tr (A t B). Verifique que f define um produto interno sobre M n n (R). Adjutório: Use as propriedades do traço e e a definição do produto de duas matrizes. 3. Considere o espaço vetorial R 4 com produto interno canônico. Seja W o subespaço de R 4 formado pelos vetores que são ortogonais a (1, 0, 1, 1) e (2, 3, 1, 2). Determine uma base ortonormal para W. v N.B. O produto interno canônico em R 4 é definido como, u = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 + x 4 y 4, onde v = (x 1, x 2, x 3, x 4 ), u= (y 1, y 2, y 3, y 4 ). { e } 4. Seja V um espaço vetorial real dotado de produto interno,. Seja B = 1,..., e n uma base ortonormal neste espaço. Pode-se mostrar que, se u= a 1 e 1 +... + a n e n, v = b1 e 1 +... + b n e n, então o produto interno entre u e u, v é dado por v = a 1 b 1 +... + a n b n. Considere o espaço vetorial R 2 dotado de um produto interno que, na base canônica C, é dado por onde u= (a 1, a 2 ) e v = (b 1, b 2 ). u, v = 2a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 + 3a 2 b 2, (a) Use o processo de ortonormalização de Gram Schmidt para obter uma base B em que o produto interno é escrito como u, v = α 1 β 1 + α 2 β 2,

11 [ u ] onde B = α 1 α 2 [ v ], B = β 1 β 2. (b) Obtenha a matriz de mudança de base M C B. IX. OPERADORES ESPECIAIS 1. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n n, M n (R), e o operador linear T : M n (R) M n (R), definido como T (M) = M t. Definimos o produto interno A, B = tr (A t B), onde A e B pertencem a M n (R) e tr M é o traço de M (a soma dos elementos da diagonal principal). O operador T é autoadjunto com relação a este produto interno? Adjutório: Use as propriedades do traço. 2. Considere o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n n, M n (R), e o operador linear T X : M n (R) M n (R), definido como T X (M) = XM MX, onde X é uma matriz quadrada real simétrica de ordem n n fixa. Define-se o produto interno A, B = tr (A t B), onde A e B pertencem a M n (R) e tr M é o traço de M (a soma dos elementos da diagonal principal). O operador T X é autoadjunto com relação a este produto interno? Adjutório: Use as propriedades do traço. 3. Considere o espaço vetorial C 2 e o operador linear T : C 2 C 2, tal que T (1, 0) = (1 + i, 1), T (0, 1) = (i, i). Vamos denominar T o adjunto de T em relação ao produto interno canônico definido sobre C 2. (a) Determine a matriz que representa T na base canônica. (b) T é auto-adjunto? Justifique. v N.B. O produto interno canônico em C 2 é definido como, u = x 1x 2 + y1y 2, onde v = (x1, y 1 ), u= (x 2, y 2 ). A base canônica em C 2 é o conjunto C = {(1, 0), (0, 1)}. 4. Considere o espaço vetorial R 2 e o operador linear T θ : R 2 R 2, tal que T θ (1, 0) = (cos θ, sen θ), T θ (0, 1) = ( sen θ, cos θ), com 0 θ < 2π. Vamos denominar T θ o adjunto de T θ em relação ao produto interno canônico definido sobre R 2.

12 (a) Determine a matriz que representa T θ na base canônica. (b) T θ é ortogonal? Justifique. v N.B. O produto interno canônico em R 2 é definido como, u = x 1 x 2 + y 1 y 2, onde v = (x1, y 1 ), u= (x 2, y 2 ). A base canônica em R 2 é o conjunto C = {(1, 0), (0, 1)}. 5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita dotado dos produtos internos, e,. Seja T : V V um operador linear autoadjunto em relação ao produto interno,. Pode-se afirmar que T também é autoadjunto em relação ao produto interno,? X. FORMAS LINEARES, BILINEARES E QUADRÁTICAS 1. Seja Φ : R 2 R 2 R a função definida por Φ ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 y 2 y 1 x 2. (a) Verifique que Φ é uma forma bilinear e que, além disso, é antisimétrica. (b) Encontre a matriz [Φ] B B associada a esta forma na base B = {(1, 1), (1, 1)}. ( v ) ( u, ) N.B. Uma forma bilinear Φ é antisimétrica se Φ, u = Φ v. 2. Seja Φ : R 2 R 2 R a função definida por Φ ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 +y 1 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1. (a) Verifique que Φ é uma forma bilinear e que, além disso, é simétrica. (b) Encontre a matriz [Φ] B B associada a esta forma na base B = {(1, 1), (1, 1)}. ( v ) ( u, ) N.B. Uma forma bilinear Φ é simétrica se Φ, u = Φ v. 3. Considere o espaço vetorial R 3. Definimos a função ( u, ) ω v = det + det a 1 a 2 b 1 b 2 onde u= (a 1, a 2, a 3 ), v = (b 1, b 2, b 3 ). a 2 a 3 b 2 b 3 + det a 3 a 1 b 3 b 1, (a) É ω uma forma bilinear? (b) Em caso afirmativo, ω é uma forma bilinear simétrica ou antisimétrica?

13 (c) Calcule a matriz que representa ω na base B = {(2, 1, 1), (0, 1, 1), ( 1, 1, 1)}. 4. Diagonalize (i.e., encontre os autovalores e autovetores) a forma quadrática definida por Q (x, y, z) = 16x 2 + 4y 2 + 4z 2 8xy 8xz 4yz. 5. Diagonalize a forma quadrática definida por Q (x, y, z) = 4x 2 + 2y 2 + 2z 2 4xy + 4xz. 6. Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita n e seja V o conjunto de todas as formas lineares f : V C definidas em V. Mostre que V é um espaço vetorial de dimensão n. XI. AVANÇADOS 1. Tente obter os autovalores e os autovetores associados aos operadores definidos nos exercícios 2 e 3 da seção VI. 2. Uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M é positiva (ou semidefinida positiva) se v t Mv 0, onde v é uma matriz-coluna não-nula de ordem n 1. Verifique que, se λ é autovalor de M então λ 0. Por outro lado M é estritamente positiva se v t Mv > 0. Neste caso, se λ é autovalor de M então λ > 0. 3. Sejam λ m e λ M o menor e o maior autovalor de uma matriz quadrada de ordem n n real simétrica M. Verifique que λ m vt Mv v t v não-nula de ordem n 1. λ M, onde v é uma matriz-coluna 4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n definido sobre o corpo K, com K = R ou K = C. Como se sabe, o conjunto de todas as formas lineares f : V K é um espaço vetorial cuja dimensão coincide com a de V. (a) Verifique que o conjunto de todas as formas bilineares (ou sesquilineares, caso K = C) Φ : V V K é um espaço vetorial. Qual é a dimensão deste espaço? (b) Verifique que o conjunto de todas as formas quadráticas Q : V V K é um espaço vetorial. Qual é a dimensão deste espaço?