APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA: PROF. ALBERTO Taxa de juros: relação percentual entre os juros cobrados, por unidade de tempo, e o capital [principal] emprestado. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Montante: capital acrescido dos juros, ao fim de um período de capitalização.(valor futuro). A Matemática Financeira reconhece que o dinheiro tem valor no tempo. É intuitivo que cem reais em seu bolso hoje, tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. Matemática Financeira: Dentre várias definições, é a ciência que estuda o dinheiro no tempo (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar no mercado financeiro e de capitais. A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo. Estrategicamente serão colocadas ao longo do curso observações, assim como uma revisão de alguns conceitos matemáticos necessários à compreensão de certas expressões e afirmações usadas na matemática financeira. Algumas informações básicas: Existe um agente que empresta o dinheiro e que é denominado credor e um agente que toma o dinheiro emprestado e que é denominado devedor. Agente econômico: Agente econômico é qualquer entidade física ou jurídica capaz de praticar um ato econômico. Assim, entende-se por agente econômico qualquer pessoa, empresa ou instituição que possa praticar : uma venda, uma compra, um empréstimo ou quaisquer operações que tenham consequências financeiras. Inflação: perda do poder aquisitivo da moeda, durante um determinado intervalo de tempo. Correção monetária: instrumento de correção do efeito da inflação que, do ponto de vista teórico, repõe integralmente as perdas de poder aquisitivo por ela ocasionadas. Valor nominal: O valor nominal (N) (ou de face) é definido como o valor do compromisso financeiro na data de seu vencimento. Valor atual: O valor atual (V) é definido como o valor do compromisso financeiro em uma data anterior a de seu vencimento. Juros Juros simples : Chamamos de juros simples a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro, considerando-se uma taxa previamente estabelecida por um tempo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial. No juros simples a taxa de juros incide apenas sobre o capital (principal). J = C. i. t Onde: J = Juro C = Capital i = taxa t = tempo Convenção: 1mês = 30 dias e 1ano = 360 dias Observação: Montante é o valor acumulado de um capital C, ou seja:m = C + J Capitalização: Ato ou efeito de capitalizar, isto é, de adicionar [juros] ao capital [principal] ou montante. Período de capitalização é a unidade de tempo ao fim da qual incide a taxa de juros. 1
Para preenchimento em aula d) Pelo produto dos juros no período ao capital inicial 05 - Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples de cinco anos, taxa de juro de 14% ao ano e valor de resgate, único, igual a R$100.000,00? a) R$58.823,00 b) R$51.936,00 c) R$52.854,00 d) R$59.325,00 EXERCÍCIOS 01 - O valor dos juros de uma aplicação prefixada com um único resgate é sempre igual: a) Ao valor de resgate da aplicação menos o valor da aplicação b) Ao valor da aplicação menos o seu valor de resgate c) À taxa de juro multiplicada pelo prazo e pelo valor do resgate se for capitalização simples d) À taxa de juro multiplicada pelo prazo da aplicação 02 - Os juros em capitalização simples são sempre iguais ao: a) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo valor do capital inicial b) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo montante final c) Valor dos juros somado ao capital inicial dividido pelo montante final d) Valor do montante final subtraído dos juros e dividido pelo capital inicial 03 - (TRT-2008-CETRO) Um capital de R$ 10.500,00 foi aplicado no sistema de juros simples, à taxa de 6% ao ano, durante 4 meses. O juro recebido por esta aplicação foi de a) R$ 310,00. b) R$ 300,00. c) R$ 280,00 d) R$ 230,00. e) R$ 210,00. 04 - O valor do montante em capitalização simples pode ser obtido: a) Pela soma dos juros no período ao capital inicial b) Pelo produto do capital inicial sobre a taxa de juro mais 1 c) Pela subtração dos juros em relação ao capital inicial multiplicado pelo prazo 06 - Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remuneração desse capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juro simples ao mês dessa operação? a) 2,11% ao mês b) 2,18% ao mês c) 8,7% ao mês d) 1,09% ao mês 07 - (PETROBRAS-CESGRANRIO-2008) Para que R$ 3.200,00, submetidos a juros simples, correspondam, em 7 meses, a um montante de R$ 4.600,00, é necessária uma taxa de juros de i% ao mês. O valor de i está entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 e) 7 e 8 08 - Uma empresa toma empréstimo de R$80.000,00 à taxa de 14,5% ao ano no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita quatro meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período. a) R$80.966,67 b) R$126.400,00 c) R$87.733,33 d) R$83.866,67 09 - Você aplicou R$5.000,00 à taxa de juro simples de 13% ao ano. Quantos anos serão necessários para triplicar o valor? a) 31 anos b) 25 anos c) 15 anos d) 22 anos 2
10 -Apliquei R$ 500,00 durante 5 meses, a uma taxa de juros simples de 4% ao mês. O montante resgatado depois de 5 meses de aplicação foi reaplicado durante 2 meses, a uma taxa de juros simples de 5%, em um outro Banco. O valor do montante final, decorridos os 2 meses da segunda aplicação, é de: a) R$ 650,00. b) R$ 660,00. c) R$ 550,00. d) R$ 750,00. e) R$ 720,00. 11 - (PETROBRAS-CESGRANRIO-2008) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? a) 1,04% a.m. b) 16,67% a.m. c) 25% a.m. d) 16,67% a.a. e) 25% a.a. 12 - (PETROBRAS CESGRANRIO - 2008) Uma dívida feita hoje, de R$ 5.000,00, vence daqui a 9 meses a juros simples de 12% a.a.. Sabendo-se, porém, que o devedor pretende pagar R$2.600,00 no fim de 4 meses e R$1.575,00 um mês após, quanto faltará pagar, aproximadamente, em reais, na data do vencimento? (Considere que a existência da parcela muda a data focal.) a) 1.000,00 b) 1.090,00 c) 1.100,00 d) 1.635,00 e) 2.180,00 13 - (Fiscal de Tributos) Um investidor aplicou 1/4 do seu capital a 36% a.a.; 2/3 do mesmo a 48% a.a. e o restante a 60% a.a. Após 1 ano e 8 meses recebeu R$ 618.930,00 de juros. O capital inicial era: a) R$ 897.000,00 b) R$ 742.716,00 c) 742.776,50 d) 807.300,00 e) 807.300,50 Que prazo foi esse se o juro total obtido foi igual a 30% do capital que eu tinha para investir? a) 6 meses b) 5 meses e 3 dias c) 4,5 meses d) 4 meses e 6 dias e) 4 meses e 2 dias 15 - (BB) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% ao mês. Considerando o imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são, respectivamente: a) 10.200,00 e 2,35% b) 10.240,00 e 2,35% c) 10.240,00 e 2,40% d) 10.240,00 e 2,45% e) 10.300,00 e 2,40% Juros compostos (juros sobre juros) Chamamos de regime de juros compostos aquele em que o juro gerado pela aplicação será a ela incorporado em cada período, passando assim a participar da geração de juro no período seguinte. Assim, teremos juro gerado sobre o montante do período anterior, ou seja, juro também rende juro. Onde: M= Montante C= Capital i= taxa de juros t= tempo Para preenchimento em aula M = C. (1 + i) t Lembrando: M = C + J 14 - (CEF-2004) Eu tinha certo capital para investir. Apliquei 2/3 dele a 9% a.m. durante 1 trimestre; 1/5 dele a 8% a.m. durante dois bimestres e o restante 10% a.m. durante um certo prazo. 3
04 - Um agente realiza investimento no banco GOHL no valor de R$ 220.000,00 à taxa de 1,25% ao mês, pelo prazo de oito meses, no regime de capitalização composto. Calcule o valor de resgate desta operação. a) R$242.000,00 b) R$564.472,59 c) R$222.209,65 d) R$242.986,94 EXERCICIOS 01 - Uma empresa tomou um empréstimo de dois anos, taxa de juro compostos de12% ao ano. Sabendo que o valor devolvido após dois anos foi R$ 500.000,00,então, o empréstimo inicial é mais próximo do valor de: a) R$398.597,00 b) R$403.226,00 c) R$446.429,00 d) R$423.550,00 02 - (TRF-FCC-2010) Considere uma aplicação referente a um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Este mesmo capital aplicado a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante um certo período, apresenta o mesmo valor de juros que o da primeira aplicação. O tempo de aplicação a que se refere o regime de capitalização simples é de, em meses: a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20 03 - Certa pessoa tomou um empréstimo de R$ 12.000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$ 7.230,00 desse empréstimo e, dois meses após esse primeiro pagamento, liquidou todo seu débito. O valor desse segundo pagamento, em reais, foi: a) 5.000,40 b) 5.200,00 c) 6.208,80 d) 6.320,00 e) 6.615,00 05 - A qual taxa de juro (ao mês) um capital quintuplica de valor no regime de capitalização composto no final de 12 meses? a) 60% ao mês b) 1,12% ao mês c) 41,67% ao mês d) 14,35% ao mês 06 - (PETROBRAS-CESGRANRIO-2008) A aplicação do capital C é realizada a juros compostos de taxa 10% a.m. por 4 meses. Para se obter o mesmo montante, devemos aplicar o capital C, pelo mesmo prazo, a juros simples, à taxa mensal mais próxima de: a) 11,6% b) 11,5% c) 11,0% d) 10,5% e) 10,0% 07 - Um agente de mercado toma financiamento de R$15.000,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação daqui a três meses por R$16.250,00. Qual é a taxa anual de juro desta operação, considerando o regime de capitalização composto? a) 37,74% ao ano b) 2,7% ao ano c) 33,33% ao ano d) 2,78% ao ano 08 - A caderneta de poupança pagou, ao final de um trimestre, 17,6% de correção monetária e 1,5% de juros. Uma quantia de R$ 80.500,00, rendeu, nesse trimestre: a) R$ 95.875,50 b) R$ 153.755,00 c) R$ 15.375,50 4
d) R$ 14.168,00 e) R$ 141.680,00 09 - (BRDE) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em uma instituição de crédito que paga 10% ao mês, no regime de capitalização composta. Se o juro recebido foi de R$ 3.310,00, o período em que o capital esteve aplicado foi de: a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses d) 5 meses e) 6 meses 1 - Calcule o capital que deve ser aplicado, a juros compostos, por um período de 8 meses, à taxa de 4% ao mês, para que produza um montante de R$3.831,99. Dados log 1,04 = 0,017 e log 1,367= 0,136. 10 - (CEF RS - 2010) André deseja comprar uma moto à vista e decidiu poupar mensalmente da seguinte maneira: - No dia 1º de julho de 2010 depositará R$ 2 500,00. - No dia 1º de agosto de 2010 depositará R$ 2 000,00. - No dia 1º de setembro de 2010 depositará R$ 2 500,00. Se a taxa de juros é de 0,8% ao mês, qual a quantia que ele terá no dia 1º de setembro de 2010? a) R$ 7.016,00. b) R$ 7.036,16. c) R$ 7.056,16. d) R$ 7.076,16. e) R$ 7.576,00. 2 - [FEPESE] Determine durante quanto tempo o capital inicial de R$ 10.000,00 esteve aplicado à taxa de 5% ao mês, gerando o montante de R$ 13.400,00. Dados: log 1,34=0,12 e log 1,05=0,02 3 - [FGV] Um lote e posto a venda e o comprador tem duas opções de adquiri-lo. A vista, pagando uma única parcela de R$124.000,00; ou pode dar R$50.000,00 de entrada e financiar o restante em um ano, a taxa de juros compostos de 4% ao mês. Qual será o valor pago for escolhida a segunda opção? Dados: log 1,04=0,017 e log 1,60=0,204 4 - Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00 aplicado a juros compostos, durante um ano à taxa de 3,5%a.m. Juros com Logaritmos Dados: log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788 ) Para preenchimento em aula Capitalização e Descontos (Teoria em sala de aula) Exercícios para resolução em sala: 01 - Os bancos vêm aumentando significativa as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2 semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em: a) 50% b) 30% c) 150% d) 56% e) 20% 5
02 - Uma televisão foi revendida por R$859,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado? N = V + D 03 - Quanto por cento sobre o custo se perdeu, ao se vender por R$238,00 um objeto que custou R$280,00? 04 Vendendo um imóvel por R$150.000,00 tive um prejuízo de 17% sobre o preço de venda. Por quanto comprei? 05 Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$540,00 tendo perdido 20% do preço de venda? DESCONTOS SIMPLES No comercio em geral, é comum a venda a prazo, recebendo em contrapartida ao serviço prestado ou a mercadoria, um título para ser cobrado posteriormente na data acordada. Onde: N = Valor nominal V = Valor atual D = Desconto. DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) Denotamos o desconto racional por D r Neste caso o desconto é exatamente os juros aplicados sobre o valor atual. D r = V r. i. t Este título pode ser cheque, duplicata ou nota promissória. Se esta empresa estiver com problemas de fluxo de caixa e precisar de dinheiro na data presente (hoje), poderá ir até uma instituição financeira ou bancária e realizar o desconto dos títulos pré-datados. A empresa entrega seus títulos ao banco e recebe dinheiro em troca. O banco, naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título. Esta operação chama-se desconto de títulos, e a taxa cobrada pelo banco de taxa de desconto. O valor de face do título, ou seja, aquele valor que está registrado no cheque, duplicata ou nota promissória e será pago pelo dono do título ao banco na data futura, é chamado de valor nominal ou também valor futuro. O valor em dinheiro recebido à vista pela empresa é chamado de valor atual. A diferença entre o valor nominal e ovalor atual e que será retido pelo banco é chamado de desconto. Assim sendo temos a seguinte relação entre valor nominal, valor atual e desconto: Onde o valor atua nominal do seguinte modo Onde:N : Valor nominal. D r: Desconto racional V r: Valor racional atual I :Taxa de desconto t :Período. lv r pode ser escrito em função do valor V r = N 1 + it EXEMPLO 01 - (BRDE) Uma nota promissória no valor de R$ 5.300,00 foi comprada, numa financeira, por R$ 5.000,00. Se a taxa de juros simples exigida pelo comprador foi de 18% ao ano, sob o critério do desconto racional, então o vencimento dessa Nota Promissória era de: a) 2 meses b) 2 anos c) 3meses d) 3 anos e) 4 meses 6
O desconto propriamente dito é calculado como nos descontos DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (POR FORA) É denotado por D c e é bastante similar ao desconto racional. Neste critério, no entanto, não capitalizamos o valor atual, mas simples por D c = N V descapitalizamos o valor nominal. Por este motivo o desconto no critério comercial é sempre maior do que o desconto no critério Onde D c representa o desconto composto comercial. racional, o que justifica a adoção desse critério pelos bancos em geral. EXERCÍCIOS D c = N. i. t e V c = N(1 i. t) 01 - Um título de R$ 100 mil, com vencimento para daqui a três meses, foi descontado (desconto composto comercial) por uma taxa de 4% ao mês. Qual foi o desconto? Qual o valor recebido EXEMPLO 01 - (AFRF) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 700,00 e) R$ 500,00 pelo título? 02 - [Tribunal de Contas] Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de: a) R$ 1.600,00 e R$ 400,00 b) R$ 1.620,00 e R$ 80,00 c) R$ 1.640,00 e R$ 360,00 d) R$ 1.653,00 e R$ 360,00 e) R$ 1.666,67 e R$ 333,33 DESCONTO COMPOSTO Os descontos (simples ou composto) têm metodologias parecidas, diferenciando-se apenas pela forma cálculo dos juros. DESCONTO COMPOSTO RACIONAL (POR DENTRO) Atenção : Observe que o desconto racional é obtido pela diferença entre o nominal e o valor atual DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL (POR FORA) D r = N V Primeiramente, encontramos o valor atual dado pela fórmula: V = N(1 i) n O valor atual, neste tipo de desconto é obtido pela fórmula: Onde V é o valor atual valor atual, N o valor nominal (ou futuro), i a taxa de juros e n o período. Observe que o desconto comercial composto nada mais é do que os juros aplicados sobre o valor V = N (1 + i) n atual do título. Onde V representa o valor atual, N o valor nominal, i a taxa de juros e n o período. 7
EXERCÍCIOS 01 - CESPE/UnB Adaptado) Calcule o desconto racional sofrido por um título cujo valor atual é de R$100.000,00 dois anos antes do seu vencimento a uma taxa de 2% ao ano. 02 - Para se calcular o desconto comercial (ou bancário) é preciso conhecer: a) A taxa de desconto, o prazo e o valor nominal do título b) A taxa de desconto, o prazo e o valor presente do título c) A taxa de desconto e o valor nominal do título d) A taxa de desconto e o valor presente do título 03 - Para mesmo prazo, mesmo valor nominal e mesmo valor descontado, uma taxa de desconto comercial (ou bancário) é: a) Sempre menor que a taxa de juro simples da mesma operação b) Sempre maior que a taxa de juro simples da mesma operação c) Igual à média da taxa de juro simples e de juro compostos da mesma operação d) Sempre igual à taxa de juro simples da mesma operação RELAÇÃO ENTRE A TAXA DE JUROS E A DE DESCONTO SIMPLES A taxa de juros simples e a de desconto simples da operação de desconto comercial podem ser relacionadas por: d = i 1 + i ou ainda i = d 1 d Onde i é a taxa efetiva de juros da operação e d a taxa de desconto. EXERCÍCIOS 02 - Um título se descontado dois meses antes de seu vencimento sofre um desconto de 9% a.m. qual é a taxa efetiva de juros desta operação? 03 -Uma financiadora oferece empréstimos a uma taxa efetiva de juros de 19% a.a. Calcule a taxa de desconto que essa empresa emprega em suas transações. TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES A diferença entre taxas proporcionais e equivalentes refere-se, exclusivamente, ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais aparecem em regime de juros simples e as equivalentes em juros compostos. Para encontrarmos a taxa proporcional equivalente a uma taxa dada em um regime de juros simples basta que se aplique a seguinte fórmula: i p = i n Onde i é a taxa dada e n o número de capitalizações no período da taxa. A igualdade que permite encontrar taxas equivalentes a juros compostos pode ser escrita como a fórmula abaixo: i eq = (1 + i) np nc Onde np é o tempo em que se procura a nova taxa, nc o tempo da taxa conhecida, i eq é a taxa que se procura e i c a taxa conhecida. A tabela a seguir compara resultados, proporcionais e equivalentes para melhor sensibilização das diferenças de taxas anuais obtidas com juros simples e compostos. 01 - Qual a taxa efetiva de juros de uma operação de desconto comercial de 15% a.a. 8
EXERCÍCIOS (para resolução em sala de aula) 01 - Uma taxa de 24% aa, é proporcional a que taxa em mês? EXERCÍCIOS 01 - Calcular a taxa efetiva anual equivalente a 24% aa com capitalização semestral. 02 - ( Vunesp, Banco Central) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros simples, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a: a) 8% b) 8,16% c) 8,08% d) 8,0816% e) 8,16% 03 - A taxa de 1% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa anual equivalente a: a) 12,00% b) 12,68% c) 13,68% d) 14,00% e) 15,17% TAXA NOMINAL E EFETIVA Para que uma taxa seja considerada efetiva, é necessário que o período coincida com o período de capitalização, caso contrário a taxa será dita nominal. Taxa efetiva é a taxa que é verdadeiramente cobrada nas transações financeiras. Ela é dada pela seguinte fórmula: i f = (1 + i k )k 1 02 - Uma pessoa aplicou uma importância de R$ 100.000,00 por 2 anos a uma taxa de 18%a.a. com capitalização semestral. Qual a taxa efetiva anual e qual o montante recebido? 03 - Um título, com valor nominal de R$100.000,00, foi descontado 90 dias antes de seu vencimento, proporcionando valor atual de R$89.625,75. Determine a taxa de desconto simples mensal desta operação. a) 0,12% ao mês b) 11,57% ao mês c) 3,86% ao mês d) 3,46% ao mês 04 - Considere uma operação de desconto comercial (ou bancário) de dois anos, taxa de 24% ao ano. Neste caso, a taxa de juro simples que gera os mesmos valores numéricos da operação de desconto é: a) 24% b) 46,2% c) 38,7% d) 18,3% 05 - Aumentando a freqüência de capitalização de uma taxa nominal expressa ao ano: a) Aumenta a taxa efetiva ao ano b) Diminui a taxa efetiva ao ano c) Não altera a taxa efetiva ao ano d) Dependendo do prazo pode ou não alterar a taxa efetiva ao ano. EXERCICIOS DE FIXAÇÃO Onde i é a taxa nominal de juros e k o número de capitalizações para um período nominal. Exemplo: Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada quadrimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual. 01 - Considere uma taxa nominal igual a 24% ao ano com capitalização mensal. Neste caso, a taxa efetiva ao mês é: a) 2% b) 2,1% c) 1,9% d) 1,8% 9
02 - A taxa efetiva ao ano que equivale a uma taxa nominal igual a 16% ao ano com capitalização trimestral é mais próxima da taxa de: a) 17% b) 17,1% c) 16,9% d) 16,8% 03 - O banco XYZ fez uma aplicação de R$1.000.000,00 por 12 meses a uma taxa de18% ao ano com capitalização semestral. O valor resgatado após os 12 meses foi de: a) R$1.188.100,00 b) R$1.180.000,00 c) R$1.192.300,00 d) R$1.193.700,00 04 - Qual é a taxa proporcional ao bimestre de uma taxa de 18% ao ano? a) 3% ao bimestre b) 2% ao bimestre c) 2,5% ao bimestre d) 1,5% ao bimestre 05- Qual a taxa proporcional em seis meses de uma taxa igual a 16% para oito meses? a) 12% ao semestre b) 11% ao semestre c) 10% ao semestre d) 13% ao semestre 06- A afirmação: As taxas proporcionais estão para os juros simples, assim como as taxas equivalentes estão para os juros compostos. a) É verdadeira sob quaisquer circunstâncias b) É falsa sob quaisquer circunstâncias c) É falsa apenas para prazos menores que um ano d) É verdadeira apenas para prazos menores que um ano 07 -Qual é a taxa equivalente ao semestre de uma taxa de 12% ao ano? a) 6,14% ao semestre b) 5,83% ao semestre c) 5,39% ao semestre d) 6,26% ao semestre CORREÇÃO MONETÁRIA A correção monetária é o mecanismo utilizado para corrigir o valor da moeda corroída pela inflação. Pode-se calcular a correção monetária sobre um dado capital aplicando-se a seguinte fórmula: V c = C. (1 + J 1 ). (1 + J 2 ) (1 + J n ) Onde V c é o valor corrigido e J 1, J 2,...,J n as taxas de correção correspondentes aos períodos de 1 até n. EXERCÍCIOS 01 - Uma dívida de R$ 50.000,00 deve ser atualizada monetariamente por 3 meses com as seguintes taxas de correção: 1,8%, 2% e 2,2%. Qual o valor da dívida corrigida? 02 - Paulo comprou em uma loja mercadorias no valor total de R$ 22.500,00, que deveria ser pago um mês após a compra. Por motivos financeiros Paulo só efetuou o pagamento três meses depois do vencimento. As taxas de correção nos meses de atraso foram respectivamente 0,8%, 0,9% e 1,2%. Quanto Paulo pagou pela dívida, sem juros? FLUXO DE CAIXA É uma linha horizontal sobre a qual se fixa uma escala de tempo. Os eventos são marcados nos tempos de ocorrência, utilizandose geralmente a seguinte convenção: Setas apontadas para baixo: Desembolsos, aplicações, pagamento. Setas apontadas para cima: receitas, recebimentos, resgates Uma máquina foi comprada por uma entrada de R$ 2.000,00 mais uma parcela de R$ 3.500,00 com vencimento para 4 meses. Sabendo que o lucro gerado pela máquina é de R$ 800,00 por mês, construa a solução: 10
De acordo com a periodicidade das prestações eles podem ser Periódicos (quando os intervalos de tempo entre as prestações são iguais) ou Não-Periódicos (quando os intervalos de tempo entre as prestações são diferentes. REGRA NÚMERO 1 DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Jamais podemos somar, subtrair, comparar ou fazer qualquer operação entre capitais que estão em datas diferentes, isto é, podemos apenas operar capitais que estão em uma mesma data, pois sempre tem taxa de juros implícita na operação. Portanto como os capitais em um fluxo de caixa estão normalmente em datas distintas é preciso capitalizar ou descapitalizar, conforme o caso, tais capitais, para que fiquem em uma data. Para efetuar a dita operação usamos Equações de equivalências de capitais. Por convenção quando não se estipula a data de comparação dos títulos usamos sempre a data focal zero, isto é, o início da operação. Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. Os fluxos de caixa podem ser classificados de diferentes maneiras de acordo com certos critérios que são: De acordo com o período de ocorrência das prestações eles podem ser Postecipados, (são aqueles em que as prestações são exigidas ao final de cada período, ou seja, primeira prestação (data 01); Antecipados (são aqueles em que as prestações são exigidas no início de cada período, ou seja, primeira prestação na data ou diferidos são aqueles onde existe um prazo de carência para o pagamento da primeira prestação, por exemplo, (primeira prestação na data 4). De acordo com o valor das prestações eles podem ser Constantes (quando as prestações são iguais) ou Variáveis (quando as prestações são diferentes. Quando o fluxo de caixa é periódico e constante ele é chamado de fluxo de caixa uniforme. A princípio nós vamos trabalhar com um modelo padrão de fluxo de caixa que e o fluxo Postecipado, Periódico e Constante. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA VALOR PRESENTE LÍQUIDO O método do Valor Presente Líquido ( VPL) tem como finalidade valorar em termos de valor presente o impacto dos eventos futuros associados a um projeto ou alternativa de investimento, ou seja, mede o valor presente dos fluxos de caixa gerados pelo projeto ao longo da sua vida útil. A seguinte expressão define o VPL: R VPL I (1 k) 1 R (1 k) 2 R (1 k) 3 R... (1 k) Onde: VPL = é o valor presente líquido R = é o fluxo de caixa no n-ésimoperíodo(prestações) I = è o investimento inicial k = è o custo do capital. Critério de decisão : Se VPL > 0 então o projeto é economicamente viável. n 11
EXEMPLO 01 - (BB - DF) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa: Critério de decisão:se TIR > k, então o projeto é economicamente viável. EXEMPLO Ano Projeto XR$ Projeto YR$ 0 1 2 - D 10.800,00 11.664,00-40.000,00 16.200,00 17.496,00 01 - ( Banco central) Considere o fluxo de caixa abaixo: Período 0 1 2 (Ano) Valor -100 80 x (Milhares de URVs) A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano ( capitalização anual) e verifica-se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a (a) R$ 30.000,00 (b) R$ 40.000,00 (c) R$ 45.000,00 (d) R$ 50.000,00 (e) R$ 60.000,00 O valor de x para o qual a taxa interna de retorno anual é igual a 10% é: a) 25 b) 26 c) 28 d) 30 e) 33 02 - (BB-2006-DF) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja a taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: Ano Fluxo de caixa R$ TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Por definição, a TIR é a taxa de retorno esperada do projeto de investimento. O método da TIR não tem como finalidade a avaliação da rentabilidade absoluta a um determinado custo de capital( processo de atualização), como o VPL, mas, ao contrário, seu objetivo é encontrar uma taxa intrínseca de rendimento. Matematicamente, a TIR é a taxa hipotética de desconto que anula o VPL, ou seja, é aquele valor de i que satisfaz a seguinte equação: 0 1 2 3 O valor de X é igual a: (a) R$ 11.000,00 (b) R$ 11.550,00 (c) R$ 13.310,00 (d) R$ 13.915,00 (e) R$ 14.520,00-25.000,00 0,00 X 17.303,00 R R I (1 TIR) (1 TIR) R (1 TIR) R... (1 TIR) 2 3 n 0 VALOR ATUAL DE UMA SERIE DE PAGAMENTO UNIFORME Onde: I= é o investimento inicial R= é o fluxo de caixa no n-ésimo período. TIR = é a taxa interna de retorno k =é o custo do capital. Considere uma série uniforme postecipada com n parcelas de valor P, considerada a uma taxa de juros compostos i ao período (observe que a unidade de tempo da taxa deve estar de acordo com a periodicidade dos pagamentos). O valor atual C desta série de pagamentos será dado por: 12
C = P 1 + i + P (1 + i) 2 + P (1 + i) 3 + + P (1 + i) n OU C = P. a n i Ondea n i é chamado de fator de valor atual de uma série de pagamentos e é encontrado nas tabelas financeiras. Ou então pode ser calculado pela fórmula: C 0 1 1 (1 + i) n a n i = n P P P P... 1 2 3 n EXERCÍCIOS PARA RESOLUÇÃO EM SALA a) R$ 1.667,00 b) R$ 1.700,00 c) R$ 1.822,00 d) R$ 1.891,00 e) R$ 1.915,00 04 - Um empresário tomou um empréstimo no BNDES no valor de R$ 100.000,00 a uma taxa de 7% ao semestre para ser pago em 5 prestações semestrais, vencendo a primeira 2 anos após o recebimento do dinheiro. Calcule o valor de cada prestação. a) R$ 28.684,25 b) R$ 29.877,65 c) R$ 30.954,45 d) R$ 31.784,15 e) R$ 32.647,35 05 - (ESAF/ AFTN) O pagamento de um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será efetuado por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação, em reais, será de: a) 1.000/6 b) 1.000 x 2, 31306 c) 1.000/ 3, 784482 d) 1.000 /2, 31306 01 - Uma pessoa tem que pagar dez parcelas mensais no valor de R$ 1.000,00 cada uma, sendo que a primeira deve ser paga no dia 10/05/09 e a última no dia 10/02/10. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 10/04/09 para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerado juros compostos de 4 % ao mês. 02 - Uma pessoa tem que pagar dez parcelas mensais no valor de R$ 1.000,00 cada uma, sendo que a primeira deve ser paga no dia 10/05/09 e a última no dia 10/02/10. Todavia ela combina com o credor, um pagamento único equivalente no dia 10/05/09 para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros compostos de 4 % ao mês. MONTANTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORME Considere uma série uniforme postecipada com a parcela de valor P, considerada a uma taxa de juros compostos i ao período (observe que a unidade de tempo da taxa deve estar de acordo com a periodicidade dos pagamentos. O montante M desta série de pagamentos na data n será dado por: 03 - (Analista de TI/ SEFAZ/ CE/ 2007/ ESAF) Uma pessoa compra um carro usado por R$ 25.000,00, dá R$ 5.000,00 de entrada e financia o restante em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira dentro de um mês e assim sucessivamente. Considerando uma taxa nominal de 24 % ao ano com capitalização mensal, calcule o valor mais próximo da prestação. M = P. (1 + i) n 1 + P. (1 + i) n 2 + + P. (1 + i) + P ou M = P. S n i 13
Onde Sn i o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos e é encontrado nas tabelas financeiras. Ou então pode ser calculado pela fórmula: S n i = (1 + i)n 1 i EXERCICIOS PARA RESOLUÇÃO EM SALA 04 - (ESAF/AFTN) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000,00 ao fim de um ano, sabendose que a taxa é de 4% ao mês e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês? a) R$ 12.000,00/ 15, 025805 b) R$ 12.000,00/ (12x1, 48) c) R$ 12.000,00/ 9, 385074 d) R$ 12.000,00/ (12 x 1,601032) e) R$12.000,00/ 12 01 - Uma pessoa tem de pagar dez parcelas no valor de R$ 2.000,00 cada uma, que vencem todo o dia 10 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor o pagamento único equivalente no dia 10 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros compostos de 2% ao mês. 02 - Uma pessoa está planejando uma viagem para ver a Copa do Mundo de Futebol na África do Sul em 2010 e deseja, para realizar esta viagem, ter R$ 30.000,00 no dia 10/03/10. Ela resolve então fazer 18 depósitos mensais iguais, numa aplicação que rende juros compostos de 1% ao mês, sendo o primeiro no dia 10/10/08 e o último no dia 10/03/10. Qual deve ser o valor de cada depósito? a) R$ 1.357,14 b) R$ 1.438,58 c) R$1.529,46 d) R$ 1.654,87 e) R$ 1.749,12 03 - (AFRF 2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6 cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ 94.608,00 b) R$ 88.149,00 c) R$ 82.265,00 d) R$ 72.000,00 e) R$ 58.249,00 05 - (ESAF/ AFRF-00) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra. a) R$ 3.155,00 b) R$ 2.048,00 c) R$ 1, 970,00 d) R$ 2.530,00 e) R$ 2.423,00 EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 01 - O valor presente de uma série uniforme de 12 pagamentos em que o primeiro pagamento ocorre na data de início do fluxo: a) É igual à soma de uma prestação mais o valor presente de 11 prestações onde a primeira delas ocorre um período após a data inicial b) É igual à soma do valor presente de 12 prestações onde a primeira delas ocorre um período após a data inicial c) É igual ao valor futuro das seis primeiras prestações d) É igual ao valor presente das seis primeiras prestações e do valor futuro das seis últimas prestações 02 - Um agente de mercado contraiu um financiamento no valor de R$50.000,00para ser amortizado em 60 parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo quea primeira será feita no ato da contratação. Sabendo que a taxa de juro é de2,5% ao mês, qual é o valor das parcelas do financiamento? a) R$1.617,67 b) R$1.578,21 c) R$2.726,24 d) R$3.666,49 14
03 - Um agente de mercado contraiu financiamento no valor de R$30.000,00 para ser amortizado em 36 parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira será feita no ato da contratação. Sabendo que a taxa de juro é de1,8% ao mês, qual é o valor das parcelas do financiamento? a) R$1.139,51 b) R$588,91 c) R$1.944,00 d) R$1.119,37 08 - Um agente de mercado tomou empréstimo, cuja amortização será feita no prazo 30/60/90 dias com as respectivas prestações: R$30.000,00, R$40.000,00 e R$45.000,00. Considerando taxa de juro de 3,5% ao mês, qual é o valo represente líquido deste empréstimo? a) R$106.913,36 b) R$110.655,32 c) R$115.000,00 d) R$103.723,41 04 - Considere uma série postecipada com 12 pagamentos mensais iguais ar$10.000,00 exceto o sexto pagamento que é igual a R$5.000,00. Determine o valor mais próximo do valor presente da série considerando que a taxa de juro é 2% ao mês. a) R$101.313,00 b) R$99.272,00 c) R$102.925,00 d) R$101.932,00 05 - Um veículo custa a vista R$50.000,00 ou então em 12 prestações mensais com uma taxa de 1,5% ao mês, sendo que primeira prestação é a entrada do financiamento (plano 1 + 11 prestações). Determine o valor aproximado das prestações. a) R$4.516,00 b) R$4.584,00 c) R$4.622,00 d) R$4.699,00 09 - Quando o valor presente líquido dos fluxos de um projeto da data zero até seu final for igual a zero então: a) A TIR é igual à taxa de retorno exigida para investir no projeto b) A TIR é menor que a taxa de retorno exigida para investir no projeto c) A TIR é maior que a taxa de retorno exigida para investir no projeto d) A TIR é igual ao quociente do valor futuro sobre o custo do projeto 10 - Considere dois projetos de investimento com mesmo desembolso inicial. O projeto mais rentável é aquele que: a) Apresenta o menor valor presente líquido b) Apresenta o maior valor presente líquido c) Apresenta a menor taxa interna de retorno e o menor valor presente líquido d) Apresenta o menor valor futuro líquido 06 - Considerando que a taxa de juro é positiva, o valor futuro de um conjunto genérico de fluxos de caixa é: a) Sempre maior que seu valor presente b) Sempre menor que seu valor presente c) Sempre igual a seu valor presente d) Algumas vezes maior e outras vezes menor que seu valor presente 07 - Considere uma empresa que possui uma dívida de R$1.000.000,00 a ser paga em dois anos e R$2.000.000,00 em quatro anos. Considerando que a taxa de juro de mercado é igual a 12% ao ano, determine quanto ela deve aplicar hoje, para garantir recursos para saldar estes pagamentos futuros: a) R$2.068.230,00 b) R$1.855.290,00 c) R$2.490.210,00 d) R$2.285.120,00 11 - Considere dois projetos de investimento. O primeiro deles retornar$1.000.000,00 em um ano e$2.000.000,00 em dois anos. O segundo deles retorna R$2.000.000,00 em um ano e R$500.000,00 em dois anos. A taxa de retorno ao ano que torna os 2 projetos equivalentes financeiramente é iguala: a) 50% ao ano b) 25% ao ano c) 100% ao ano d) 75% ao ano AMORTIZAÇÃO SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um 15
planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que: Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor Os principais sistemas de amortização são: Sistema de Pagamento único: Um único pagamento no final. EXERCIOS PARA RESOLUÇÃO EM SALA 01 - Um banco empresta R$ 200.000,00 a uma empresa, a uma taxa de juros de 12% a.a., para ser devolvido após uma carência de 4 anos. Sabendo que os juros serão cobrados anualmente, calcular a planilha pelo sistema americano. Sistema Americano SAA. : Pagamento no final com juros calculados período a período. Anos Saldo Amortizado Juros Prestação Devedor Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual em cada período. Sistema Price ou Francês (PRICE): Os pagamentos (prestações) são iguais. Sistema de Amortização Misto (SAM): Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price. Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é: Pagamento = Amortização + Juros Estudaremos três sistemas de amortizações normalmente usado em concursos públicos. PRICE - SAC - SAA No pagamento de um financiamento através de prestações, observamos que cada uma delas é composta de duas partes: Amortização do principal (saldo devedor) e juros. Assim, podemos escrever que Prestação = Amortização + Juros 02 - Uma empresa toma um empréstimo de R$ 500.000,00 reais a juros de 8% AA, para ser devolvido após 5 anos. Se os juros serão cobrados anualmente, calcule o valor a ser pago se o contrato é em sistema de amortização (SAA). Essa composição vale para os três sistemas a serem abordados. Anos Saldo Amortizado Juros Prestação Devedor SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (S.A.A.) Neste esquema de amortização o principal é restituído por meio de uma parcela única ao fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos com o principal no fim do prazo acertado. 16
Sistemas de amortização constante (SAC) As parcelas são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior. Sem prazo de carência 01 - Uma empresa pede emprestado R$ 200.000,00 que o banco entregue no ato. Sabendo que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a planilha. 03 - Um empréstimo de R$ 500,00 reais, junto a um banco, é realizado a juros de 48% aa. Para ser amortizado em 6 meses pelo SAC. Qual o valor da quarta parcela? 04 - Um imóvel de R$ 200.000,00 reais é financiado pela CEF, pelo sistema de amortização constante em 4 anos, a juros de 10% aa, com 2 anos de carência. Calcule o total pago até a segunda parcela. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO, SISTEMAS PRICE OU TABELA PRICE Ano Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação Este sistema é um caso particular do sistema Francês, com as seguintes características: a) A taxa de juros contratada é dada e, termos nominais. Na pratica, esta taxa é dada em termos anuais. b) As prestações têm período menor que aquela a que se refere a taxa. Em geral, as amortizações são feitas em base mensal. c) No calculo é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. Sem prazo de carência EXERCICIOS PARA RESOLUÇÃO EM SALA 02 - Uma empresa pede emprestado R$ 200.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuías, construir a planilha. 01 - Um banco emprestou R$ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo bando é de 12% ao ano, tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 6 meses, construir a planilha. Solução: Ano Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação 0,12 12 Cálculo da taxa: 0, 01 a.m. Cálculo das prestações: a6 1 5, 7954765 100.000,00 5,7954765 Logo R 17.254, 83 17
Ano Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação 02 -Considere um empréstimo de R$240.000,00 a ser amortizado em 24 mesespelo sistema de amortização constante (SAC), taxa de 1% ao mês. Após dez pagamentos o saldo a amortizar é igual a: a) R$140.000,00 b) R$120.000,00 c) R$240.000,00 d) R$150.000,00 02 - Um veículo de R$ 27.508,00 reais, é financiado em 18 meses a juros de 36% aa, tabela Price. Qual o valor amortizado na primeira parcela? 03 - (FCC) Uma empresa toma um empréstimo de 300.000,00 reais a juros 8% aa, para ser devolvidos após 5 anos. Se o juros serão cobrados anualmente, calcular o valor total a ser pago se o contrato é em sistema americano de amortização (saa). 04 - (CEF) Um empréstimo de 300,00 reais, junto a uma banco, é realizado a juros de 48% aa, para ser amortizado em 6 meses pelo SAC. Qual o valor da quarta parcela. 05 - (FGV) Um imóvel de 200.000,00 reais é financiado pela CEF, pelo sistema de amortização constante, para ser amortizado em 4 anos a jutos de 10% aa, cdom 2 anos de carência. Calcular o total pago até a segunda parcela. 06 - (CEF Rio) Um veículo de 27.508,00 reais, é financiado em 18 meses a juros de 36% aa, tabela Price. Qual o valor amortizado na primeira parcela. EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 01 -Considere um empréstimo de R$100.000,00 a ser pago em dez prestações mensais, taxa de juro de 2% ao mês, pelo sistema de amortização constante(sac). A segunda prestação vai ser igual a: a) R$11.800,00 b) R$12.000,00 c) R$12.200,00 d) R$11.600,00 03 -Uma empresa tomou um empréstimo de R$200.000,00 a ser pago em quatro prestações mensais pelo sistema Price (prestação constante). Considerand ouma taxa de juro de 1,5% ao mês o valor dos juros embutido na primeira prestação é aproximadamente igual a: a) R$3.000,00 b) R$1.971,00 c) R$4.195,00 d) R$8.322,00 04 - Um banco emprestou R$500.000,00 para um cliente a ser pago em 12prestações mensais pelo sistema Price (prestação constante). Para uma taxa de juro de 2% ao mês o valor da amortização embutido na primeira prestação é aproximadamente igual a: a) R$37.280,00 b) R$42.975,00 c) R$41.954,00 d) R$23.212,00 05 Um agente de mercado tomou empréstimo de R$60.000,00 pelo sistema de amortização constante (SAC) à taxa de juro de 2,85% ao mês com prazo de 36 meses para sua amortização. Admitindo que não exista correção monetária sobre o saldo devedor e as parcelas, qual é o valor da prestação inicial? a) R$1.666,67 b) R$1.710,00 c) R$3.346,67 d) R$3.376,67 06 - Uma empresa realizou financiamento de R$200.000,00 pelo sistema de amortização americano (SAA). Sabendo que o prazo da operação é de 18meses e a taxa de juro igual a 2,5% ao mês, calcule o valor dos juros na 15ª prestação. a) R$5.000,00 b) R$1.111,00 c) R$13.934,02 d) R$1.310,49 18
07 -Um agente de mercado realiza empréstimo de R$400.000,00 pelo sistema Price.A amortização será feita mensalmente ao longo de dez anos, considerando taxa de juro de 2% ao mês. Admitindo que não exista correção monetária sobre o saldo devedor, qual é o montante de juro pago após o pagamento da80ª prestação? a) R$429.333,33 b) R$640.000,00 c) R$530.891,50 d) R$546.793,60 08 - Um agente de mercado tomou empréstimo de R$60.000,00 pelo sistema de amortização constante (SAC) à taxa de juro de 15% ao ano com prazo de 60 meses para sua amortização. Admitindo que não exista correção monetária sobre o saldo devedor e as parcelas, qual é o valor da segunda prestação? a) R$1.000,00 b) R$1.397,90 c) R$9.850,00 d) R$1.691,18 02. Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é desconto em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples por fora, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é: a) 860,00 b) 850,00 c) 840,00 d) 830,00 e) 820,00 03. Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentado um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a: a) R$ 17.853,75 b) R$ 17.192,50 c) R$ 16.531,25 d) R$ 15.870,00 e) R$ 15.606,50 09 - Um agente obteve financiamento de R$100.000,00 pelo sistema Price à taxa de juro de 14% ao ano com prazo de 120 meses para sua amortização. Admitindo-se que não exista correção monetária sobre o saldo devedor e as parcelas, qual é o valor do saldo devedor após o pagamento da primeira prestação? a) R$99.166,67 b) R$99.594,46 c) R$98.902,11 d) R$98.496,58 EXERCICIOS COMPLEMENTARES 01. Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferente, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente: a) 0,5% b) 3,8% c) 4,6% d) 5,0% e) 5,6% 04. Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é desconto 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de: a) R$ 42.160,80 R$ 41.529,60 b) R$ 40.664,40 R$ 39.799,20 c) R$ 38.934,00 05. Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabese que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, encontrando-se R$ 17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, de S representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo, então: a) 81% S < 82% b) 80% S < 81% c) 79% S < 80% d) 78% S < 79% e) 77% S < 78% 19
6. Um jovem tinha um capital e faz com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesse período, o jovem: a) teve lucro de 2% b) teve lucro de 20% c) não teve lucro e nem prejuízo d) teve prejuízo de 2% e) teve prejuízo de 20% 10. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? a) R$ 110,00 b) R$ 108,00 c) R$ 106,00 d) R$ 104,00 e) R$ 102,00 7. Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o ultimo dos 6 depósitos, é: a) R$ 2.040,00 b) R$ 2.142,00 c) R$ 2.240,00 d) R$ 2.304,00 e) R$ 2.442,00 8. Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o inicio da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será: a) R$ 1.200,00 b) R$ 1, 224,00 c) R$ 1.241,21 d) R$ 1.368,03 e) R$ 2.128,81 11. Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D-d, em reais, vale: a) R$ 399,00 b) R$ 398,00 c) R$ 397,00 d) R$ 396,00 e) R$ 395,00 12. Um título de valor nominal igual a R$ 25.000,00 foi descontado por empresa 40 dias antes de seu vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, à taxa de desconto de 3% ao mês. Considerando a convenção do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da operação: a) R$ 24.000,00 b) R$ 23.850,00 c) R$ 23.750,00 d) R$ 23.500,00 e) R$ 22.500,00 9. Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será: a) R$50,00 b) R$52,00 c) R$ 54,00 d) R$ 56,00 e) R$ 58,00 13. Uma loja oferece duas opções de pagamento na compra de uma bicicleta: R$ 200,00 à vista, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$120,00, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Tomando-se a opção de pagamento à vista como referência, a taxa mensal de juros cobrada pela loja na venda a prazo é: a) 20% b) 25% c) 40% d) 50% e) 60 % 20