3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Introdução É o conjunto de todos os números que estão ou podem ser colocados em forma de fração. Fração Quando dividimos um todo em partes iguais e queremos representar matematicamente uma ou algumas dessas partes, empregamos um par ordenado de números naturais, diferentes de zero. Lê-se: meio ou um meio Representa-se: 2 1 Lê-se: três quartos Representa-se 4 3 Então: 1
Denomina-se fração todo par ordenado de números naturais, com o segundo diferente de zero, onde: o primeiro número indica quantas partes foram tomadas do todo (numerador); o segundo número indica em quantas partes iguais o todo foi dividido (denominador). Tipos de Frações Observe as figuras. a) A figura nos mostra a fração 4 3, na qual o numerador é menor que o denominador. Essa fração é denominada fração própria ou ordinária. b) A figura nos mostra a fração 3 5, na qual o numerador é maior que o denominador. Esta fração é denominada fração imprópria c) 2
As figuras nos mostram frações cujo numerador é múltiplo do denominador. Estas frações são denominadas frações aparentes. Elas são consideradas numerais de números naturais. Assim: é numeral do número natural 1. é numeral do número natural 2. d) Quando o denominador da fração é 10 ou potência de 10 (100, 1000, 10000,...), a fração é denominada fração decimal. e) Número Misto - a expressão 3+ 2 1 (soma de um número inteiro com um número fracionário) é denominada número misto e é representada pela forma abreviada 3 2 1 (Lê-se: Três inteiros e um meio). Então: Todo número misto pode ser escrito em forma de fração imprópria por meio da seguinte regra prática: Toda fração imprópria pode ser escrita em forma de número misto por meio da seguinte regra prática: 3
Frações Equivalentes Observe: Duas ou mais frações que representam a mesma parte do todo são equivalentes. Obs.: Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. 4
Simplificação de Frações Simplificar uma fração é obter outra fração equivalente à fração dada, cujos termos sejam números primos entre si. 1º Processo Dividindo-se, sucessivamente, os termos da fração por um fator comum. 2º Processo Dividindo-se os termos da fração pelo seu m.d.c. m.d.c. (48, 72) = 24 Redução de Frações a um Mesmo Denominador Para reduzir duas ou mais fração ao menor denominador comum, procede da seguinte maneira: 1º) Calculamos o m.m.c. dos denominadores das frações dadas: esse m.m.c. será o denominador comum. 2º) Divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador. Exemplo: 5
Comparação de Frações Comparar frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre essas frações. Vamos analisar dois casos distintos. 1º Caso As frações têm o mesmo denominador. Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem maior numerador. 2º Caso As frações têm denominadores diferentes. Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos reduzi-las ao menor denominador comum para, em seguida, compará-las. Exemplo: 6
Operações Fundamentais em Q I - Adição e subtração de frações 1º Caso: As frações têm o mesmo denominador. Quando as frações têm o mesmo denominador, mantém-se o denominador comum e somam-se ou subtraem-se os numeradores. Exemplos: 1º) 2º Caso: As frações têm denominadores diferentes. Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar, reduzi-las ao menor denominador comum para, em seguida, efetuar a adição ou a subtração. Exemplos: II Multiplicação de Frações O produto de duas frações é uma fração onde: 7
O numerador é o produto dos numeradores; O denominador é o produto dos denominadores. Prof. Luiz Carlos Moreira Santos Observação: a) Para facilitar a multiplicação de frações, devemos, sempre que possível, simplificá-las antes da operação. b) Fração de Fração 3 1 Seja calcular de. 5 2 3 1 3 1 de é uma expressão que pode ser representada por x. 5 2 5 2 Portanto, na prática, substituímos a preposição de pela operação multiplicação. 3 1 3 1 3 Logo: de = x = 5 2 5 2 10 : III - DIVISÃO DE FRAÇÕES a) Números inversos ou recíprocos 2 Seja determinar o número que multiplicado por é igual a 1. 3 3 Verifica-se que o número procurado é, pois 2 8
Os números 3 2 e 2 3 são chamados inversos ou recíprocos. De um modo geral, para qualquer número racional a, com a 0, existe outro racional a 1, chamado inverso multiplicativo ou recíproco de a, tal que: Na prática, obtemos o inverso de um número racional, diferente de zero, trocando o numerador com o denominador. É evidente que não existe o inverso do número zero. b) Divisão Para se dividir uma fração por outra, deve-se multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. Exemplos: Observação: Todo quociente de dois números naturais, com o divisor diferente de zero, pode ser escrito em forma fracionária. 2º) Deste modo, toda fração representa um quociente do numerador pelo denominador. Exemplos: 9
IV - Potenciação de Números Racionais Se a Q e n IN a n Q Pela definição de potência, já estudada para os números naturais, temos: Para se elevar uma fração a uma dada potência, deve-se elevar o numerador e o denominador a essa potência. Também para os números racionais, tem-se que a) A potência de expoente 1 é igual à própria base. b) A potência de expoente 0 é igual a 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01)Resolva a expressão: 10
02) Retira-se de um tonel 1/4 do volume que ele continha; em seguida retiram-se 21 litros e o tonel fica então cheio até os 2/5. Qual é a sua capacidade? Resposta: 60 litros. 03) Uma avenida tem 400 m de extensão. Quantos metros terá percorrido uma pessoa após andar 3/4 desta distância? Resposta: A pessoa percorreu 300 metros. 11
04) Da quantia que recebo mensalmente, aplico 2/5 em caderneta de poupança, o que corresponde a uma aplicação de R$ 1 000,00. Qual é a quantia que recebo, mensalmente? Resposta: Recebo, mensalmente, R$ 2 500,00. 05) De uma peça de tecido, o comerciante vendeu 1/4 para um freguês A e, a seguir, mais 1/3 para um freguês B. Desse modo, o comerciante já vendeu 14 metros desta peça. Qual é o comprimento da peça? Resposta: O comprimento da peça é de 24 m. 06) Uma torneira enche um tanque em 2 horas e outra torneira, em 3 horas. Em quanto tempo as duas torneiras encheriam o mesmo tanque? 12
07) Dois operários fizeram um trabalho em 27 dias. Um deles trabalhando sozinho, poderia fazê-lo em 108 dias. O outro em quantos dias o faria? EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resposta: 36 dias. 13
01) Vários lápis foram distribuídos entre 3 pessoas de modo que a primeira recebeu 2/3 dos mesmos: a segunda recebeu 1/5 do resto e a terceira ficou com 24 lápis. Quantos lápis foram repartidos? Resposta: 90 02) Uma torneira enche um tanque em 5h e outra o esvazia em 8h. Abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque ficará cheio? Resposta: 13h 20min 03) Uma torneira com vazão de 50l/min gasta 27 min para encher um determinado tanque. Quanto tempo será necessário para encher o mesmo tanque, utilizando-se três torneiras que têm vazão de 45l/min cada uma? Resposta: 10 min 04) A diferença entre os 4/5 e os 2/3 do preço de um automóvel é R$ 4.800,00. Qual o preço do automóvel? Resposta: R$ 36.000,00 05) Qual a fração equivalente a 0,75 cuja soma dos termos é igual a 84? Resposta: 36/48 06) Um tanque está cheio de água até sua terça parte. Adicionando-se 35 litros de água ele fica cheio até os seus 4/5. Qual a capacidade do tanque? Resposta: 75 litros. 07) Um automóvel percorre inicialmente os 3/11 de uma estrada. Numa segunda etapa roda 3/8 do que resta do percurso. Após essa segunda etapa ainda lhe faltam 340 km para percorrer. Qual o comprimento em quilômetros da estrada toda? Resposta: 748 km. 08) Eu tenho 2/3 da idade de meu irmão e juntos temos 30 anos. Quais são as nossas idades? Resposta: 12 e 18 anos. 09) Os 3/4 dos 2/6 de minha mesada são R$ 80,00. Qual a minha mesada? Resposta: R$ 320,00 10) De sua verba mensal para envio de correspondência, uma firma gastou, no mês passado, 4/15 com telegramas, 11/24 com cartas e 4/11 do restante com fax. A despesa com fax foi de R$ 68,00. Calcule, a verba total gasta por essa firma com correspondência, nesse mês. Resposta: R$ 680,00 11) Numa corrida, 2/9 dos ciclistas que dela participavam desistem durante a 1ª volta. Dos que começaram a 2ª volta, 1/7 desiste antes do término da corrida, que se encerra com 18 ciclistas. Qual o número de ciclistas que iniciaram a corrida? Resposta: 27 14
Números Decimais Fração Decimal É a fração cujo denominador é uma potência de 10. Número Decimal As frações decimais podem ser escritas na forma: O número de algarismos da parte decimal é igual ao número de zeros do denominador da fração decimal correspondente. Exemplos: Propriedades dos números decimais a) Um número não se altera quando acrescentamos ou retiramos zeros à direita de sua parte decimal. Exemplo: 5,7 = 5,70 = 5,700 = 5,7000 b) Para multiplicarmos um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca para a direita uma, duas, três, etc., casas decimais. Exemplo:0,851 10 = 8,51 15
4,931 100 = 493,1 7,2 1000 = 7200 c) Para dividirmos um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca para a esquerda, uma, duas, três, etc., casas decimais. Exemplo:73,2 : 10 = 7,32 8,3 : 100 = 0,083 43,8 : 1000 = 0,0438 Operações com Números Decimais I Adição Colocamos uns sobre os outros, vírgula debaixo de vírgula. Exemplo: 3 + 0,487 + 2,9 3,000 + 0,487 2,900 6,387 II Subtração Procede-se como na adição, colocando minuendo sobre subtraendo e vírgula sob vírgula. Se o minuendo tiver menos casas decimais que o subtraendo, é preciso acrescentar zeros de forma a igualar as casas decimais. Exemplo: 5,08 3,4852 5,0800-3,4852 1,5948 III Multiplicação Multiplica-se como se os números fossem inteiros, dando ao resultado um número de casas decimais igual à soma dos números de casas decimais dos fatores. Exemplo: 5,32 3,8 5,32 3,8 4256 1596 20,216 IV Divisão 16
Iguala-se o número de casas decimais no dividendo e no divisor; eliminam-se as vírgulas e efetuamos a divisão. Obtido o quociente inteiro, acrescenta-se um zero no resto e coloca-se uma vírgula no quociente à direita. Continua-se a divisão, colocando-se sempre um zero à direita de cada novo resto. Exemplo: 72,2379 : 5,873 72,2379 : 5,8730 A seguir, efetua-se a divisão como se fossem números inteiros. Dízima Periódica É número decimal que tem infinitas casas decimais, o algarismo ou número que repete é chamado de período. Ex.: 1 0,333... = = 0, 3 3 Indica-se por: 3 1 0,333... = 0,(3) = 0,3 = = (Dízima Periódica Simples- DPS) 9 3 Observação: Numa DPS a fração geratriz possui numerador igual ao período e denominador formado por tantos 9 quantos forem os algarismos do período. 0,1727272... = 0,1(72) = 0,1 72 172 1 = = 990 171 19 = (Dízima Periódica Composta- DPC) 990 110 Observação: Numa DPC a fração geratriz possui numerador formado pela diferença entre o número formado, depois da vírgula, até o período e o ante-período. No denominador escrevemos um número formado por tantos 9 ( noves) quantos forem os algarismos do período acompanhados de tantos 0 (zeros)quantos forem os algarismos do ante- período. 17
0,333... Q/ e 0,1727272... Q/ A fração equivalente a uma dízima periódica denomina-se fração geratriz. Potenciação de Números Decimais Pela definição de potência, temos: (0,6) 3 = 0,6 0,6 0,6 = 0,216 (1,4) 2 = 1,4 1,4 = 1,96 Valem as convenções: 1ª) (2,5) 1 = 2,5 2ª) (3,2) 0 = 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Determine o valor de: 1,333... + 2,3222... 02) Coloque em ordem decrescente a, b e c se: 18
então: 2 > 0,5 > 0,2 c > b > a EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Converter em números decimais exatos ou periódicos, as seguintes frações: 02) Escrever as geratrizes das seguintes dízimas pe-riódicas: 19
03) Calcular o valor das expressões: Respostas: a) (3 0,333... ) 9 + (2 0,222... ) 18 a) 43 b) 8 0,666... - 9 0,5 b) 1 c) 4/3 04) Efetuar as seguintes adições: Respostas: a) 12,1 + 0,0039 + 1,98 a) 14,0839 b) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 b) 462,791 c) 0,003 + 101,6 + 0,5 c) 102,103 05) Efetuar as seguintes subtrações: Respostas: a) 6,03 2,9456 a) 3,0844 b) 1 0,34781 b) 0,65219 c) 142,2 0,9988765 c) 141,2011235 20
06) Calcular o valor das expressões: 07)Efetuar as seguintes multiplicações: 08) Calcular o valor das potências: TESTES 1) 0,72 : 12 é igual a a) 6 21
b) 0,6 c) 0,06 d) 0,006 2) Se x = 2 : 0,002, o valor de x é a) 10 000 b) 1 000 c) 100 d) 10 3) 7,4 0,2 e 7,4 : 0,2 valem, respectivamente, a) 14,8 e 37 b) 14,8 e 3,7 c) 1,48 e 3,7 d) 1,48 e 37 4) O valor da expressão (0,8) 2 : 4 é a) 0,16 b) 0,016 c) 0,0016 d) 1,6 5) O valor da expressão (0,012 + 1,5) : 16,8 é a) 0,06 b) 0,15 c) 0,09 d) 0,14 6) A expressão vale a) 1 b) 10 c) 100 d) 0,1 7) O valor da expressão é a) 20 b) 10 c) 2 d) 1 22
8) Sejam as afirmações: São verdadeiras: a) I e II b) I e III c) II e IV d) III e IV 9) O valor de x +y na forma irredutível do número x 1 = y 1 1 1 1 1 1,23 a) 7 b) 30 c) 37 d) 67 p 5,666... 10) Se é fração irredutível equivalente a q 2,333... a) 24 b) 25 c) 27 d) 28, o valor de p +q é igual a: 11) Considere x,y e z números naturais.na divisão de x por y,obtém-se quociente z e resto 8.Sabe-se que a representação decimal de y x é a dízima periódica 7,363636... Então, o valor de x+y+z é a) 190. 23
b) 193. c) 191. d) 192. Prof. Luiz Carlos Moreira Santos 12) Um determinado trabalho é feito por João em 9 dias, por José em 12 e por Pedro em 18. O número de dias que os três juntos gastariam para executar esse trabalho é a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 13) O valor de 1 2 1 2 N para a expressão = 2 + 2 N é igual a a) 4(3 2 2) 1 b) (2 + 2) 2 c) 5 d) 3 14) Dados os números reais x = 0,333..., y = igual a a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 27 8 1, z = 0,25, o valor da expressão y x 2 + z é GABARITO 1) C 2) B 3) D 4) A 5) C 6) B 7) A 8) B 9) D 10) A 11) C 12) A 13) A 14) A 24
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