MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO Unversdade Federal de Ouro Preto Escola de Mnas Departamento de Engenhara Cvl CÁCUO DOS ESFORÇOS INTERNOS E DEFEXÕES DE VIGAS SOBRE BASE EÁSTICA NÃO INEAR USANDO O MÉTODO DA FEXIBIIDADE AUTOR: UCAS FURTADO DA SIVA ORIENTADOR: Prof. Dr. Jame Florenco Martns Dssertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenhara Cvl da Escola de Mnas da Unversdade Federal de Ouro Preto, como parte ntegrante dos requstos para obtenção do título de Mestre em Engenhara Cvl. Área de concentração: Estruturas Metálcas. Ouro Preto, março de 2004.
S586c Slva, ucas Furtado da. Cálculo dos esforços nternos e deflexões de vgas sobre a base elástca não lnear usando o método da flexbldade./ ucas Furtado da Slva. - Ouro Preto : UFOP, 2004. xv, 96p. : l. color. grafs., tabs. Dssertação (Mestrado) Unversdade Federal de Ouro Preto. Escola de Mnas. Departamento de Engenhara Cvl. Programa de pósgraduação em Engenhara Cvl..Construção Metálca - Teses. 2. Mecânca computaconal - Teses. 3. Engenhara de métodos - Teses 4. Vgas - Método da flexbldade. I. Unversdade Federal de Ouro Preto. Departamento de Engenhara Cvl. Programa de pós-graduação em Engenhara Cvl. II. Título. CDU: 624:59.688 Catalogação: ssbn@ssbn.ufop.br
Meus agradecmentos Ao grande Deus. A meus pas Slvo e Thelma pelo amor. A eles mnha eterna gratdão. A meus rmãos Slvnho e Adrane e a mnha cunhada uzcássa por estarem sempre do meu lado e por sempre acredtarem em mm. A meus sobrnhos Vctor e Gabrella pelo carnho. Ao Douglas, a Rosana e a Ana Mara pela amzade. A meus amgos Antunes, Jance, esy e Céla. A mnha avó Mônca e as mnhas Tas Helena e Zca pelo ncentvo. A meus padrnhos Wlson e Tereza e ao Marlon. Ao Arsteu e a Aparecda por torcerem por mm. A todos os colegas do Mestrado, em especal a Fabana, Fabíola, Cdnha, Edéso, Gsele, Tatanna, Wellngton, Wllam e aos amgos da Ox. A Róva e ao professor Walter Dornelas pela boa vontade. A todos os professores do PROPEC e funconáros da Escola de Mnas, em especal a Irac Nede, e a Maríla. Ao Prof. Jame Florenco Martns pela orentação. À Fundação Gorcex pela ajuda fnancera.
Resumo O entendmento do comportamento das dversas peças que compõem um sstema estrutural é mprescndível para o estudo e o dmensonamento das estruturas em geral. Embora muto já se conheça a respeto deste comportamento, há anda, város problemas a serem estudados. Um de grande nteresse da engenhara devdo à sua larga aplcabldade, prncpalmente nas engenharas de fundações e geotécnca, é o problema de contato entre vgas e as bases elástcas nas quas elas se apoam. A análse desse tpo de problema vem sendo feta pela mecânca dos sóldos há váras décadas. No entanto, anda se consttu de um dos mas complexos tópcos desta área. Os textos clásscos consderam que a base pode resstr tanto aos esforços de tração quanto aos esforços de compressão, caracterzando um problema de contato conhecdo na lteratura como blateral. Na presente abordagem, será feta essa consderação, como também se assumrá que ela resste à compressão e tem resstênca nula à tração, o que caracterza um outro tpo de problema de contato conhecdo como unlateral. Dante dsso, tem-se como prncpal objetvo, o desenvolvmento de uma ferramenta capaz de auxlar no estudo e no dmensonamento de vgas suportadas por fundações elástcas solctadas por dversas formas de carregamento e sujetas a dversas condções de extremdade através da mplementação de um programa computaconal para cálculo de seus esforços nternos e deflexões. As dretrzes desse estudo serão fundamentadas por meo de um processo evolutvo, que se dará no decorrer de cada capítulo, através de uma abordagem teórca dos conteúdos, seguda de exemplos de valdação varados, com os quas se pretende um tratamento amplo e competente das prncpas questões dos problemas de contato.
The understandng of the behavour of the several peces that complete a structural system s essental to the research and the measurement of the structures n general. Although t s known very much about ths behavour, there s many problems stll n order to be resolved. One of those problems whch the engneerng has very nterested n due to ts comprehensve use manly nto the area of foundatons and geotechnque s that one of contact between the beams and elastc bases n whch they have been hold on. The analyse of ths knd of problem has been made through the mechancs of solds along several decades; however, t s stll consdered one of the most complex topcs of ths area. The classcal texts have consdered that the base mght endure to the tracton stresses, as those of the compresson, charactersng a problem of contact known nto the lterature lke blateral one. At the present research ths consderaton wll be made as well as wll be admtted that t endure to the compresson and has had null tracton what shows another knd of ssue of contact called unlateral one. Due to t, ths study has had lke man purpose the development of one tool able of helpng n the study and n the measurement of beams hold by elastc foundatons solcted by several knds of loadngs and submtted to several condtons of extremtes, through the mplementaton of one computatonal program to the calculaton of ther nternal stresses and deflectons. The drectons of ths research wll have been based through of evolutve process, that wll be completed durng each chapter, by one theoretcal study of ts contents, followed by vared examples of valdaton, wth whch t has be ntended one comprehensve and effcent treatment of the man ssues from the contact problems.
Sumáro Resumo... Abstract... sta de Fguras... v sta de Tabelas... x sta de Símbolos... x Capítulo - CONSIDERAÇÕES INICIAIS.... INTRODUÇÃO....2 OBJETIVO E DESCRIÇÃO DO TRABAHO... 2 Capítulo 2 - TEORIA DE VIGAS SOBRE BASE EÁSTICA... 5 2. INTRODUÇÃO... 5 2.2 MODEOS DE BASES EÁSTICAS... 6 2.2. MODEO DE WINER... 8 2.2.2 MODEO DE MOAS DISCRETAS... 8 2.2.3 MODEO DE PASTERNA... 9 2.3 REVISÃO BIBIOGRÁFICA... 0 2.4 MODEAGEM DO PROBEMA... 3 2.5 EQUAÇÃO DIFERENCIA DA INHA EÁSTICA...4 v
Capítulo 3 - EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS E EQUAÇÃO DOS CINCO MOMENTOS... 8 3. INTRODUÇÃO... 8 3.2 REVISÃO BIBIOGRÁFICA... 9 3.3 EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS... 20 3.4 EQUAÇÃO DOS CINCO MOMENTOS... 25 Capítulo 4 - PROGRAMA COMPUTACIONA... 29 4. INTRODUÇÃO... 29 4.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS... 30 4.3 ESQUEMA ESTRUTURA DO PROGRAMA... 30 4.3. SUB-ROTINA PARA O CÁCUO DE C E C 2... 34 4.3.2 SUB-ROTINAS PARA MONTAGEM DA ETM E ECM... 34 4.3.3 SUB-ROTINA PARA CÁCUO DAS REAÇÕES DE APOIO... 35 4.3.4 SUB-ROTINA PARA CÁCUO DOS DESOCAMENTOS... 35 Capítulo 5 - EXEMPOS NUMÉRICOS... 36 5. INTRODUÇÃO... 36 5.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS... 37 5.3 PROBEMA DE CONTATO BIATERA... 37 5.3. EXEMPO... 39 5.3.2 EXEMPO 2... 43 v
5.3.3 EXEMPO 3... 47 5.3.4 EXEMPO 4... 5 5.4 PROBEMA DE CONTATO UNIATERA... 55 5.4. EXEMPO 5... 56 5.4.2 EXEMPO 6... 6 5.4.3 EXEMPO 7... 66 5.4.4 EXEMPO 8... 7 5.4.5 EXEMPO 9... 76 5.4.6 EXEMPO 0... 8 Capítulo 6 VIGAS SOBRE BASE EÁSTICA SUJEITAS A VARIAÇÃO DE TEMPERATURA... 85 6. INTRODUÇÃO... 85 6.2 ASPECTOS GERAIS... 86 6.3 EXEMPO... 86 6.4 EXEMPO 2... 89 Capítulo 7 CONCUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS... 9 7. CONCUSÕES... 9 7.2 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS... 92 Referêncas Bblográfcas... 93 v
sta de Fguras Capítulo 2 Fgura 2. Base Elástca... 6 Fgura 2.2 Curva de Deformação da Base... 7 Fgura 2.3 Modelo de Wnkler (Slva, 998)... 8 Fgura 2.4 Modelo de Molas Dscretas (Slva, 998)... 9 Fgura 2.5 Modelo de Pasternak (Slva, 998)... 0 Fgura 2.6 Modelo Adotado... 3 Fgura 2.7 Problema de Contato Blateral... 3 Fgura 2.8 Problema de Contato Unlateral... 4 Fgura 2.9 - Vga Genérca... 5 Fgura 2.0 Vga Deformada... 5 Fgura 2. Elemento Infntesmal de Vga... 6 Capítulo 3 Fgura 3. Vga Contínua Sujeta a um Carregamento Genérco (Martns, 99)... 2 Fgura 3.2 Vga Genérca Sobre Apoos Deformáves (Martns, 99)... 26 Capítulo 4 Fgura 4. Análse Computaconal... 30 Fgura 4.2 Estrutura do Programa... 3 Capítulo 5 Fgura 5. Exemplo Esquema Estrutural... 39 Fgura 5.2 Exemplo - Confguração Deformada... 40 Fgura 5.3 Exemplo Momentos Fletores... 4 Fgura 5.4 Exemplo Deflexões... 42 v
Fgura 5.5 Exemplo 2 Esquema Estrutural... 43 Fgura 5.6 Exemplo 2 - Confguração Deformada... 44 Fgura 5.7 Exemplo 2 Momentos Fletores... 45 Fgura 5.8 Exemplo 2 Deflexões... 46 Fgura 5.9 Exemplo 3 Esquema Estrutural... 47 Fgura 5.0 Exemplo 3 - Confguração Deformada... 48 Fgura 5. Exemplo 3 Momentos Fletores... 49 Fgura 5.2 Exemplo 3 Deflexões... 50 Fgura 5.3 Exemplo 4 Esquema Estrutural... 5 Fgura 5.4 Exemplo 4 - Confguração Deformada... 52 Fgura 5.5 Exemplo 4 Momentos Fletores... 53 Fgura 5.6 Exemplo 4 Deflexões... 54 Fgura 5.7 Exemplo 5 Esquema Estrutural... 56 Fgura 5.8 Exemplo 5 - Confguração Deformada... 57 Fgura 5.9 Exemplo 5 Momentos Fletores... 58 Fgura 5.20 Exemplo 5 Comparação dos Problemas de Contato Momento Fletor... 59 Fgura 5.2 Exemplo 5 Deflexões... 59 Fgura 5.22 Exemplo 5 Comparação dos Problemas de Contato para as Deflexões... 60 Fgura 5.23 Exemplo 6 Esquema Estrutural... 6 Fgura 5.24 Exemplo 6 - Confguração Deformada... 62 Fgura 5.25 Exemplo 6 Momentos Fletores... 63 Fgura 5.26 Exemplo 6 Comparação dos Problemas de Contato Momento Fletor... 64 Fgura 5.27 Exemplo 6 Deflexões... 64 Fgura 5.28 Exemplo 6 Comparação dos Problemas de Contato para as Deflexões... 65 Fgura 5.29 Exemplo 6 Reação R b da Base Elástca... 65 Fgura 5.30 Exemplo 7 Esquema Estrutural... 66 Fgura 5.3 Exemplo 7 - Confguração Deformada... 67 Fgura 5.32 Exemplo 7 Momentos Fletores... 68 Fgura 5.33 Exemplo 7 Comparação dos Problemas de Contato Momento Fletor... 69 v
Fgura 5.34 Exemplo 7 Deflexões... 69 Fgura 5.35 Exemplo 7 Comparação dos Problemas de Contato para as Deflexões... 70 Fgura 5.36 Exemplo 8 Esquema Estrutural... 7 Fgura 5.37 Exemplo 8 Confguração Deformada... 72 Fgura 5.38 Exemplo 8 Momentos Fletores... 73 Fgura 5.39 Exemplo 8 Comparação dos Problemas de Contato Momento Fletor... 74 Fgura 5.40 Exemplo 8 Deflexões... 74 Fgura 5.4 Exemplo 8 Comparação dos Problemas de Contato para as Deflexões... 75 Fgura 5.42 Exemplo 8 Reação R b da Base Elástca... 75 Fgura 5.43 Exemplo 9 Esquema Estrutural... 76 Fgura 5.44 Exemplo 9 - Confguração Deformada... 77 Fgura 5.45 Exemplo 9 Momentos Fletores... 78 Fgura 5.46 Exemplo 9 Comparação dos Problemas de Contato Momento Fletor... 79 Fgura 5.47 Exemplo 9 Deflexões... 79 Fgura 5.48 Exemplo 9 Comparação dos Problemas de Contato para as Deflexões... 80 Fgura 5.49 Exemplo 9 Reação R b da Base Elástca... 80 Fgura 5.50 Exemplo 0 Esquema Estrutural... 8 Fgura 5.5 Exemplo 0 - Confguração Deformada... 8 Fgura 5.52 Exemplo 0 Momentos Fletores... 82 Fgura 5.53 Exemplo 0 Comparação dos Problemas de Contato Momento Fletor.. 83 Fgura 5.54 Exemplo 0 Deflexões... 83 Fgura 5.55 Exemplo 0 Comparação dos Problemas de Contato para as Deflexões.. 84 Capítulo 6 Fgura 6. Exemplo - Esquema Estrutural... 87 Fgura 6.2 Exemplo - Deformada PCB... 87 Fgura 6.3 Exemplo - Deformada PCU... 87 Fgura 6.4 Exemplo Momentos Fletores - PCB X PCU... 88 Fgura 6.5 Exemplo Deflexões - PCB X PCU... 88 x
Fgura 6.6 Exemplo 2 - Esquema Estrutural... 89 Fgura 6.7 Exemplo 2 - Deformada PCB... 89 Fgura 6.8 Exemplo 2 - Deformada PCU... 89 Fgura 6.9 Exemplo 2 Momentos Fletores - PCB X PCU... 90 Fgura 6.0 Exemplo 2 Deflexões - PCB X PCU... 90 x
sta de Tabelas Capítulo 3 Tabela 3. Valores de C e C 2 (Martns, 99)... 23 Capítulo 5 Tabela 5. Exemplo Análse Comparatva dos Momentos Fletores e Deflexões... 4 Tabela 5.2 Exemplo 2 Análse Comparatva dos Momentos Fletores e Deflexões... 45 Tabela 5.3 Exemplo 3 Análse Comparatva dos Momentos Fletores e Deflexões... 49 Tabela 5.4 Exemplo 4 Análse Comparatva dos Momentos Fletores e Deflexões... 53 Tabela 5.5 Exemplo 5 Análse Comparatva dos Deslocamentos... 58 Tabela 5.6 Exemplo 6 Análse Comparatva dos Deslocamentos... 63 Tabela 5.7 Exemplo 7 Análse Comparatva dos Deslocamentos... 68 Tabela 5.8 Exemplo 8 Análse Comparatva dos Deslocamentos... 73 Tabela 5.9 Exemplo 9 Análse Comparatva dos Deslocamentos... 78 Tabela 5.0 Exemplo 0 Análse Comparatva dos Deslocamentos... 82 x
sta de Símbolos Capítulo 2 dv dx 4 d w 4 dx 2 d M 2 dx b dm dv dx EI 0 M P p q r b V w w b Dervada da força cortante em relação a x Dervada quarta da deflexão em relação a x Dervada segunda do momento fletor em relação a x argura da vga Varação nfntesmal do momento fletor Varação nfntesmal da força cortante Comprmento nfntesmal da vga Rgdez à flexão da vga Parâmetro de rgdez da base elástca ou fundação Módulo da fundação (em N/m³) Comprmento longtudnal da vga Momento Fletor Carga concentrada Forças reatvas da base elástca ou fundação Carga unformemente dstrbuída Reação exercda pela base elástca Força cortante Deflexão lateral da vga Deslocamento da base elástca x, y Coordenadas cartesanas x
Capítulo 3 α Coefcente de dlatação térmca da vga φ` Rotação à esquerda do apoo φ`` Rotação à dreta do apoo t Varação da temperatura na face superor da vga t 2 Varação da temperatura na face nferor da vga a, b Comprmento longtudnal parcal da vga ou comprmento da carga dstrbuída C* Valor de C calculado em função dos recalque nos apoos C* 2 Valor de C 2 calculado em função dos recalque nos apoos C C 2 EI h I M P q RA RB δ VA VB Contrbução do carregamento para a rotação à esquerda do apoo Contrbução do carregamento para a rotação à dreta do apoo Rgdez à flexão da vga Altura da vga Apoo consderado Momento de nérca Parâmetro de rgdez da base elástca ou fundação Comprmento longtudnal da vga Momento Fletor Carga concentrada Carga unformemente dstrbuída Reações de apoo à esquerda do vão devdo somente ao carregamento Reações de apoo à dreta do vão devdo somente ao carregamento Recalques nos apoos Reações de apoo à esquerda do vão Reações de apoo à dreta do vão Capítulo 4 C Matrz dos coefcentes das ncógntas da ETM x
C Contrbução do carregamento para a rotação à esquerda do apoo C, C2 Vetores das carga externas C 2 D DESOC EI VA,VB Contrbução do carregamento para a rotação à dreta do apoo Vetor da soma dos valores dos vetores C e C2 multplcada por 6 e dvdda por EI Vetor dos valores dos deslocamentos Rgdez à flexão da vga Parâmetro de rgdez da base elástca ou fundação Vetores com os valores das reações de apoo Capítulo 5 Ap Apoo CM Constante de mola EI Rgdez à flexão da vga Erro Erro calculado em percentagem (%) dado pela dferença exstente entre a solução analítca e a numérca Parâmetro de rgdez da base elástca ou fundação Comprmento longtudnal da vga M, M,M 2 Momentos Fletores P Carga concentrada 4 λ Parâmetro da fundação λ = 4EI q Carga unformemente dstrbuída s Seção qualquer da vga Sol. Num. Resultados dos deslocamentos de Perera (2003) Sol. Num.2 Resultados dos deslocamentos do presente trabalho w Deflexão lateral da vga x, y Coordenadas cartesanas ou dstâncas x` Dstânca xv
Capítulo 6 α Coefcente de dlatação térmca da vga t Varação da temperatura na face superor da vga t 2 Varação da temperatura na face nferor da vga EI Rgdez à flexão da vga Parâmetro de rgdez da base elástca ou fundação Comprmento longtudnal da vga s Seção qualquer da vga w Deflexão lateral da vga x, y Coordenadas cartesanas ou dsâncas x` Dstânca xv
Capítulo - CONSIDERAÇÕES INICIAIS. INTRODUÇÃO Alguns elementos estruturas de prédos, pontes, trlhos e outras estruturas são, geralmente, suportados apenas nas extremdades e/ou em alguns pontos ntermedáros por outros membros. Há, porém, aqueles que são apoados em todo o comprmento. Ao se estudarem essas estruturas, o prncpal problema encontrado está na regão de contato entre esses membros e seus apoos, devdo, prncpalmente, à dferença de comportamento dos materas que os compõem. Os textos clásscos consderam que o meo em que essas peças se encontram apoadas oferecem resstênca às solctações em todas as dreções, no entanto, mutas vezes, esses meos não possuem um comportamento lnear, ou seja, não reagem às ctadas solctações. No caso em que a fundação reage tanto às solctações de tração quanto às de compressão, o problema de contato é denomnado blateral. Já na condção em que a base elástca se caracterza por reagr apenas aos esforços de compressão, o problema é conhecdo na lteratura como unlateral. Dversos modelos foram desenvolvdos no passado para se descreverem esses problemas. Há algumas aproxmações consderadas nesses modelos que são devdas às dfculdades exstentes na formulação e solução do problema. Mnmzar essas dfculdades sgnfca vablzar, em stuações prátcas, a aplcação de estruturas sujetas à restrções de contato.
.2 OBJETIVO E DESCRIÇÃO DO TRABAHO Esse trabalho tem como objetvo prncpal o desenvolvmento de uma ferramenta capaz de auxlar no estudo e no dmensonamento de vgas suportadas por bases elástcas, através da mplementação computaconal de uma metodologa de solução numérca, capaz de resolver problemas de equlíbro de vgas com restrções de contato. Na formulação proposta, essas restrções são mpostas por bases elástcas do tpo Wnkler. Consdera-se aqu a teora dos pequenos deslocamentos e deformações e materal elástco lnear. É relevante colocar, que o presente trabalho é parte ntegrante da lnha de pesqusa Análse Numérca e Computaconal em Engenhara, do Mestrado em Construção Metálca (Decv/EM/UFOP), que tem como objetvo a aplcação de métodos numércos na determnação das respostas de sstemas de Engenhara. Serão tratados dos tpos de problemas anterormente ctados: um caracterzado pela condção de que a base pode resstr tanto aos esforços de tração quanto aos esforços de compressão, desgnado problema de contato blateral (PCB); o outro, caracterzado pela condção de que a base resste apenas aos esforços de compressão, nttulado problema de contato unlateral (PCU). Vale ctar, que as forças de atrto, devdas ao contato entre as vgas e seus suportes, são desconsderadas, uma vez que sua magntude é rrsóra quando se trata destes tpos de problema. A teora adotada para a mplementação do programa computaconal será a de flexão de vgas sobre base elástca desenvolvda por Wnkler em 867. A hpótese fundamental é a de que as forças reatvas da base, em um ponto da vga, são proporconas à deflexão daquele ponto, sto é, o modelo da base elástca segue a e de Hooke. Em 946, Hetény, usando a hpótese de Wnkler, chega à equação dferencal da lnha elástca de vgas sobre base elástca que desencadeou o desenvolvmento de equações analítcas para solução de város problemas, consderando apenas o contato blateral entre vga e fundação. Na teora acma descrta, a fundação é um meo de suporte contínuo, caracterzado pelo módulo da fundação 0 em N/m³. Tomando como base esta teora, o método de solução 2
numérca, aqu proposto, além de consderar o contato blateral, também levará em consderação o contato unlateral entre os elementos componentes da estrutura. Também fundamentado na Teora de Wnkler, o modelo de base elástca é equvalente a uma camada de molas estretamente espaçadas e ndependentes entre s, de acordo com Slva (998). Essas molas serão tratadas como apoos elástcos ndependentes; conseqüentemente, o estudo fnal do problema, resultará da análse de vgas que são estudadas como se estvessem sobre apoos elástcos. As técncas de solução para o modelo numérco adotado são: o Método da Equação dos Três Momentos para solução de vgas contínuas sobre apoos ndeformáves e o Método da Equação dos Cnco Momentos, usado para a obtenção dos momentos fletores nos apoos deformáves. Assm, a solução do problema de contato blateral dar-se-á de forma dreta bastando consderar que os apoos elástcos resstem tanto aos esforços de tração quanto aos esforços de compressão. Partndo-se desta solução, para o problema de contato unlateral, a resolução dar-se-á de forma que os apoos elástcos sujetos a esforços de tração sejam desconsderados. Isso é possível uma vez que a constante de mola dos apoos elástcos que modelam a base poderá assumr valores dferentes para cada apoo, e, desta forma, a solução do problema dar-se-á de forma teratva. O capítulo 2 apresentará a demonstração da equação dferencal da lnha elástca de vgas sobre base elástca desenvolvda por Hetény (946), consderando a Teora de Wnkler. O capítulo 3 demonstrará a Equação dos Três Momentos, usada para a determnação dos momentos fletores nos apoos de vgas hperestátcas. Também será demonstrada a Equação dos Cnco Momentos, ferramenta mportante no estudo de vgas sobre apoos deformáves. O capítulo 4 trará, de forma sucnta, os procedmentos adotados na mplementação computaconal do modelo numérco proposto. O capítulo 5 mostrará alguns exemplos numércos, usados para valdar a formulação proposta. Para o problema de contato blateral serão mostrados quatro exemplos dos quas três tratam de vgas fntas e um caso partcular de vga nfnta. Em ambos, as vgas se 3
encontram apoadas sobre base elástca. Para o problema de contato unlateral, serão apresentados ses exemplos; dentre eles, dos tratam de vgas que têm apenas as extremdades apoadas sobre apoos rígdos e dos de vgas contínuas. Nesses dos casos, as vgas também se apoam em todo o comprmento sobre base elástca. Os dos últmos tratam de vgas apoadas somente sobre base elástca. No capítulo 6, serão apresentados mas dos exemplos numércos a serem analsados levando-se em consderação o efeto da varação de temperatura entre as faces da vga. Fnalmente, no capítulo 7, mostrar-se-ão as conclusões e algumas sugestões para futuras pesqusas que possam vr a ser desenvolvdas nessa área. 4
Capítulo 2 2 - TEORIA DE VIGAS SOBRE BASE EÁSTICA 2. INTRODUÇÃO No dmensonamento de algumas estruturas há uma grande preocupação, por parte dos engenheros estruturas e geotécncos, relaconada aos problemas que envolvem o contato de vgas com bases deformáves, uma categora mportante de problemas de Engenhara. Consderar a contrbução da base no dmensonamento dessas peças e quantfcar os esforços atuantes devdo à condções dversas de carregamento e extremdade, são os objetvos deste trabalho. Devdo à complexdade do problema, esse estudo requer uma metodologa sofstcada; no entanto, é precso que seja sufcentemente exata e smples o bastante para fnaldades prátcas. Neste capítulo, apresenta-se o modelo de base elástca aqu consderado, acompanhado da teora de flexão de vgas apoadas sobre bases elástcas, demonstrada através da equação dferencal da lnha elástca, desenvolvda por Hetény (946), consderando o modelo de base elástca de Wnkler, de onde se desenvolveram equações que serão utlzadas para a obtenção de valores analítcos, através dos quas se comprovará a valdade dos valores numércos aqu encontrados para o problema de contato blateral.
2.2 MODEOS DE BASES EÁSTICAS Destna-se, este trabalho, à nvestgação de problemas de contato nos quas um dos corpos é consderado como uma base elástca deformável, conforme lustrado na Fgura 2.. Como o comportamento real do sstema estrutura-fundação é de dfícl descrção, dferentes modelos matemátcos foram desenvolvdos para descrevê-lo smplfcadamente. Antes da exstênca de modelos matemátcos, a dfculdade de se determnarem as pressões de contato era superada adotando-se algumas smplfcações arbtráras como, por exemplo, assumndo-se a pressão de contato unforme (Slva, 998). Em mutas stuações prátcas, o nteresse da resposta na base elástca lmta-se à obtenção das forças na regão de contato dessa com a estrutura, não mportando o campo de deslocamentos ou estado de tensões que se desenvolvem no seu nteror. Surge, então, a necessdade de se buscarem modelos matemátcos relatvamente smples para descrever, com razoável precsão, o comportamento da base elástca na regão de contato. q M P Base elástca q M P Base elástca modelada Fgura 2. Base Elástca. Há modelos matemátcos que apresentam apenas um parâmetro defnndo as propredades do materal que compõe a fundação elástca. Destacam-se, entre eles, o sstema de molas dscretas, dspostas ao longo da regão de contato e o modelo proposto 6
por Wnkler (Hetény, 946; err, 964; Slva, 998). Esses modelos não consderam as nterações entre as molas e, em conseqüênca dsso, não representam precsamente as característcas de mutas fundações. Por sso, são consderados métodos bastante smples se comparados a outros métodos de modelagem que apresentam dos parâmetros na defnção do comportamento da base elástca. Exemplos desses modelos são os de Pasternak, Flonenko-Borodch e Vlasov (err, 964; Harr et al., 969; Yang, 972; Zhaohua e Cook, 982; Horvath, 993; Slva, 998), que, de alguma forma, assumem as nterações entre as molas. Consderando que há uma grande dfculdade em se determnarem os parâmetros adotados nesses modelos, como por exemplo, a rgdez do solo, questonam-se algumas das metodologas utlzadas na determnação desses parâmetros, adotados nos modelos das bases (err, 964). Em se tratando do modelo matemátco proposto, um fator relevante é a suposção de que a fundação se deforma apenas ao longo da porção que se localza dretamente sob o carregamento, como mostra a Fgura 2.2a. Esta suposção é verdadera para uma grande varedade de solos, conforme mostram os expermentos fetos por A. Föppl s em 922 (Hetény, 946). É mportante destacar que a maora das fundações se deformam de forma contínua; nestes casos, a curva de deformação devera ser também contínua como mostra a Fgura 2.2b (Slva, 998 ). (a) (b) Fgura 2.2 Curva de Deformação da Base. 7
Enfm, as aplcações do modelo de Wnkler devem ser consderadas apenas como aproxmações prátcas uma vez que as propredades físcas dos materas que compõem as fundações são, obvamente, de natureza muto mas complexas do que a smples relação matemátca assumda por ele (Hetèny, 946). 2.2. MODEO DE WINER Esse modelo assume que a ntensdade da reação normal r b exercda em um dado ponto da vga é dretamente proporconal à deflexão que ocorre nesse ponto, ou seja: r b = w b (2.) onde é o parâmetro de rgdez elástco da fundação. q q Fgura 2.3 Modelo de Wnkler (Slva, 998). 2.2.2 MODEO DE MOAS DISCRETAS É um modelo de base elástca, no qual, apenas um parâmetro descreve as característcas dos materas da fundação. Um sstema de apoos dscretos consttuído por 8
molas é usado para representá-la, conforme mostra a Fgura 2.4. A reação da base elástca é descrta pela segunte expressão: r b w b x= = (2.2) x onde r b e w b são, respectvamente a reação e o deslocamento da base elástca, representa o parâmetro de rgdez da mola na posção x = x, que caracterza o ponto da estrutura e da base elástca que estão em contato. q q Fgura 2.4 Modelo de Molas Dscretas (Slva, 998). 2.2.3 MODEO DE PASTERNA No modelo lustrado na Fgura 2.5, é assumdo que as molas são nterlgadas por uma camada ncompressível que resste apenas às deformações csalhantes. Tem-se: r b = w b - G ²w b (2.3) com G representando o parâmetro de rgdez csalhante da camada. 9
Vga G Vga Fgura 2.5 Modelo de Pasternak (Slva, 998). 2.3 REVISÃO BIBIOGRÁFICA Esse estudo teve níco em 867, quando Wnkler modelou os trlhos de uma estrada de ferro como vga elástca contnuamente apoada e sujeta à aplcação de um par de forças concentradas. A hpótese fundamental da teora é a de que as forças reatvas da base em um ponto da vga, são proporconas à deflexão naquele ponto. Incalmente, os campos de aplcação dessa teora anda eram restrtos. Após os prmeros nvestgadores colocarem que o solo era o únco meo de suporte, descobrram que hava outros campos onde as condções de Wnkler, para a análse de flexão de vgas sobre base elástca, eram mas rgorosamente satsfetas. Dos exemplos de campos de aplcação são de partcular mportânca: um é a aplcação em malhas de vgas, as quas são característcas na construção de assoalhos de embarcações, edfícos e pontes; o outro, na aplcação de cascas de revolução, que ncluem objetos como recpentes, calderas, contaners, etc (Hetèny, 946). Mas tarde, város estudosos dscorreram sobre o assunto. Até então, estudos desenvolvdos nessa área possuíam em comum a admssão da hpótese de que os modos de tensão se transferam através da nterface entre vga e fundação e que as propredades dessa nterface eram as mesmas, tanto para tração quanto para compressão, ndcando, assm, que a fundação poda suportar esforços de tração (Tsa e Westmann, 967), o que alguns estudos, fetos até então, já começavam a questonar. Um 0
dos fatores que determnou esse questonamento fo a percepção de que, quando algumas estruturas eram submetdas a determnadas condções de carregamento, estavam sujetas à formação de regões sem contato sob sua base. Surge, a partr daí, a suposção de que, para mutos materas da fundação, a admssão de esforços de tração, que se dava através da relação comum entre placas e vgas e seus suportes, não era realístca. O prncpal problema, então, passou a ser determnar as crcunstâncas sob as quas se davam a formação de regões sem contato e determnar suas localzações e extensões. Com sso, ncógntas adconas eram ntroduzdas ao problema, tornando esta análse cada vez mas complexa (Wetsman, 970). A partr daí, uma vasta lteratura consderando o contato unlateral entre vgas e bases elástcas começou a se desenvolver, mostrando que esse estudo se tornava cada vez mas dversfcado. Város pesqusadores trataram o problema sob dversas condções, como por exemplo Johnson e ouskoulas (973) que estudaram o problema de uma vga apoada sobre fundação elástca blnear. Nesse estudo, fo desenvolvda uma metodologa para solução de problemas de vgas sobre fundações blneares. Equações dferencas ordnáras não-lneares foram lnearzadas, dvdndo a vga em pontos de deflexão nula. Também Choros e Adams (979) estudaram o problema de uma vga nfnta de Euler-Bernoull apoada em uma fundação de Wnkler. A solução fo obtda para uma força concentrada móvel de velocdade constante. Prmeramente, a carga crítca necessára para ncar a separação entre a vga e a fundação fo determnada para uma certa escala de velocdade. Para cargas maores que as crítcas, uma ou mas regões sem contato podam surgr. As soluções das equações dferencas foram obtdas em termos de sstemas de coordenadas locas. A dmensão e posção das regões sem contato, bem como as deflexões da vga, puderam ser determnadas para escalas de força e velocdade, usando o crtéro da energa. Manoach e aragozova (992) estudaram a nteração dnâmca do contato entre uma vga elasto-plástca de seção transversal varável e uma fundação elástca com dos parâmetros. O Método das Dferenças Fntas fo aplcado para o domíno espacal e o Método Rung utta de Quarta Ordem fo usado para resolver o problema não-lnear.
Com o avanço das técncas computaconas, devdo a vabldade de mplementação, métodos como o dos Elementos de Contorno, de Raylegh-Rtz, das Dferenças Fntas e dos Elementos Fntos têm recebdo atenção especal no tratamento de problemas estruturas complexos. Slvera (995) desenvolveu uma solução numérca para resolver problemas de equlíbro e establdade de elementos estruturas esbeltos com restrções de contato, mpostas por bases elástcas. Na metodologa de solução proposta, foram utlzados, o Método dos Elementos Fntos e as técncas de programação matemátca. Hosur e Bhavkatt (996) estudaram uma varação parabólca, presumda através do Método das Dferenças Fntas, para uma dstrbução de pressão de contato, com a fnaldade de se obterem lnhas de nfluênca para curvas de momento fletor de vgas sobre fundação elástca. Slva (998) propôs uma metodologa numérca para análse de placas com restrções blateras e unlateras de contato mpostas por bases elástcas. O efeto decorrente da força de atrto entre a placa e a base elástca fo desprezado. O Método dos Elementos Fntos fo usado para dscretzar a placa e a base elástca, e o problema de contato unlateral fo tratado dretamente como um problema de mnmzação. Perera (2003) Desenvolveu um trabalho para se resolver problemas de equlíbro de vgas com restrções de contato, mpostas por bases elástcas. Na prmera parte do trabalho, uma metodologa geral de solução baseada no emprego do Método de Raylegh-Rtz fo proposta e usada para se resolver três problemas partculares de vgas com restrções unlateras de contato. Uma estratéga de solução teratva, baseada no Método de Newton-Raphson, fo usada para a solução do sstema de equações não-lneares resultante da formulação do problema. Na Segunda parte da pesqusa, o Método dos Elementos Fntos fo usado para dscretzar a vga e a fundação elástca, e o problema de contato é tratado dretamente como um problema de mnmzação, envolvendo somente as varáves orgnas do problema, sujetas às restrções de desgualdade e à condção de complementardade. Duas formulações foram então desenvolvdas (prmal e dual) onde as equações relevantes para a 2
solução do problema de contato são escrtas na forma de um problema de complementardade lnear e resolvdas através do algortmo de emke. 2.4 - MODEAGEM DO PROBEMA Na seção 2.2., fo apresentado o modelo de base elástca consderado neste trabalho. Ele consste na representação da base através de molas que são consderadas como apoos elástcos ndependentes, consequentemente, o estudo fnal do problema resultará da análse de vgas que são tratadas como se estvessem sobre apoos elástcos, conforme mostra a Fgura 2.6. Vga Vga EI, x EI, x Base elástca Base elástca modelada Apoos elástcos y,w y,w Fgura 2.6 Modelo Adotado. Para a solução do problema de contato blateral tanto os apoos sujetos a esforços de compressão como os sujetos a esforços de tração são consderados, como mostra a Fgura 2.7. P P2 P3 P4 P5 x y,w Fgura 2.7 Problema de Contato Blateral. 3
Já no caso do problema de contato unlateral, os apoos sujetos a esforços de tração são desconsderados. Através de um processo teratvo, partndo dos valores encontrados para o problema de contato blateral, chega-se à solução do problema. Nota-se, nesse caso, a formação de regões sem contato, formadas onde os apoos elástcos são desconsderados, conforme lustrado na Fgura 2.8. P P2 P3 P4 P5 x y,w Regões sem contato Fgura 2.8 Problema de Contato Unlateral. 2.5 - EQUAÇÃO DIFERENCIA DA INHA EÁSTICA A segur, será demonstrada a equação dferencal da lnha elástca de vgas sobre base elástca, consderando o modelo de Wnkler. Dessa equação, város autores descrevem as equações para se resolverem város tpos de problemas, envolvendo o contato blateral entre vga e fundação, das quas algumas serão utlzadas nesse trabalho. Consdere uma vga reta, AB, suportada ao longo de seu comprmento por uma base elástca e sujeta a forças atuantes em um plano de smetra vertcal (Fgura 2.9). 4
P q(x) A EI, B x y,w Fgura 2.9 - Vga Genérca. A deflexão da vga produz forças reatvas p conforme mostra a Fgura 2.0. Consderam-se apenas as forças reatvas vertcas. A P B x p = w y,w Fgura 2.0 Vga Deformada. A hpótese fundamental é a de que a força reatva p em um ponto é proporconal à deflexão w da vga naquele ponto: p = w (2.4). Isto mplca que o meo de suporte é lnear, em outras palavras, que o materal da base segue a e de Hooke. Essa elastcdade, no entanto, pode ser caracterzada pelo módulo da fundação 0 (em N/m³). Assumndo que a vga tem seção transversal constante e sendo b a largura da vga em contato com o solo, a constante é calculada da segunte forma: 5
= b 0 (2.5) portanto: p = b 0 w (2.6). A Fgura 2. mostra um elemento de comprmento dx retrado da vga por dos cortes vertcas magnáros. q V MdM M VdV p dx Fgura 2. Elemento Infntesmal de Vga. O equlíbro de forças vertcas fornece a expressão: V (VdV) wdx qdx = 0 (2.7) portanto: dv dx = w q (2.8). Usando a relação V = dm/dx (Tmoshenko, 983), pode-se escrever: 6
2 d M 2 dx = w q (2.9) Dervando duas vezes a equação dferencal da lnha elástca de flexão de vgas, EId²w/dx² = - M (Tmoshenko, 983) em relação a x, tem-se: 4 d w EI 4 dx 2 d M = (2.0). 2 dx Com as equações (2.9) e (2.0), pode-se escrever: 4 d w EI w = q (2.), 4 dx que é a equação dferencal da lnha elástca de vgas sobre base elástca. 7
Capítulo 3 3 - EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS E EQUAÇÃO DOS CINCO MOMENTOS 3. INTRODUÇÃO No capítulo anteror, foram mostrados o modelo de base elástca adotado neste trabalho e a demonstração da equação dferencal de vgas sobre base elástca, desenvolvda por Hetény (946), consderando o modelo de Wnkler. Neste capítulo, será apresentada a metodologa de solução, para o modelo matemátco proposto no capítulo 2, que retrata problemas decorrentes do contato entre vgas e fundações elástcas, consderando a teora de pequenos deslocamentos e deformações e desprezando os efetos decorrentes do atrto exstente entre esses corpos. O método de solução do modelo numérco proposto se basea na Equação dos Três Momentos, para o cálculo de vgas sobre apoos rígdos. A seção 3.3 traz as equações necessáras para demonstrá-la. Para as vgas sobre apoos deformáves, o método a ser usado é o da Equação dos Cnco Momentos. As equações necessáras à sua demonstração estão apresentadas na seção 3.4.
3.2 REVISÃO BIBIOGRÁFICA Este capítulo objetva apresentar uma solução para o modelo numérco proposto no capítulo anteror, consderando os problemas de contato blateral e unlateral entre vgas e bases elástcas, uma vez que as soluções analítcas, desenvolvdas para város problemas até então, consderavam apenas o contato blateral entre estrutura e fundação. Outro objetvo desta seção é trazer forma detalhada, a demonstração do Método da Equação dos Três Momentos e do Método da Equação dos Cnco Momentos. É mportante salentar que a Equação dos Três Momentos surgu através da déa de se resolverem problemas envolvendo vgas hperestátcas. O prmero a dscorrer sobre o assunto fo Naver, em 825 (Tmoshenko, 953). Ele consderou uma vga sobre três apoos e tomou a reação uma das quantdades estatcamente ndetermnadas, mas quando hava mas que três apoos, tornava-se nconvenente seleconar as reações desconhecdas. O estudo de um caso partcular de uma vga com vãos guas e carga unformemente dstrbuída atuando sobre todo seu comprmento, ou de cargas concentradas guas, aplcadas no centro de cada vão, mostrou que o problema poda ser smplfcado e a relação lnear entre as três reações consecutvas encontrada. Usando essa relação, as reações podam ser calculadas sem muta dfculdade para alguns números de vãos. Posterormente, a análse de vgas contínuas fo feta por Clapeyron (Tmoshenko, 953). Ele usou expressões de ângulos que a tangente à lnha elástca forma nos apoos com o exo ncalmente reto da vga, dando o prmero passo para se chegar à Equação dos Três Momentos. A equação em questão, fo publcada pela prmera vez em sua forma atual, pelo engenhero Bertot em 855 (Tmoshenko, 953). É fácl ver, entretanto, que a transformação feta por Bertot para a conversão da equação de Clapeyron na Equação dos Três Momentos é comparatvamente smples, daí a justfcatva do nome Equação de Clapeyron ser mutas vezes dado como Equação dos Três Momentos, que é o nome dado nesta publcação. Nesse estudo, Bertot fez referênca à déa de Clapeyron, mas ele não demonstra sua a teora, dando apenas o método de solução ao sstema de equações. 9
Mas tarde, Clapeyron publcou a Equação dos Três Momentos de forma semelhante à de Bertot, fornecendo então, seu própro método de resolução (Tmoshenko, 953). 3.3 EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS Uma vez que a solução do modelo numérco apresentado no capítulo 2 consste na determnação dos momentos fletores nos apoos de vgas hperestátcas, fca fácl compreender a aplcabldade da Equação dos Três Momentos, pos consste num método de cálculo smples e totalmente ajustável às partculardades desse estudo. O procedmento consste em consderar os momentos fletores nos apoos as ncógntas a serem determnadas, devendo ser escrta uma equação para cada apoo ntermedáro, resultando, desta forma, em tantas equações quantos forem os momentos fletores desconhecdos, formando, assm, um sstema de equações lneares. Um caso partcular de aplcação da equação em questão acontece quando, na extremdade, em vez de apoos smples, tem-se engastes. Se uma (ou ambas) extremdade for um engastamento, o número de momentos redundantes será maor. O modo mas smples de se resolver esse caso é substtur o engastamento por um vão extra, de rgdez nfnta. O efeto desse vão extra, de rgdez nfntamente grande, é evtar o deslocamento angular do apoo que substtuu o engaste, condção esta gual à mposta pelo engastamento. O comprmento dado ao vão extra não tem sgnfcado (apenas deve ser maor que zero) porque se smplfca na equação. A Equação dos Três Momentos se fundamenta na contnudade da lnha elástca, assm sendo, a condção de deslocamento a ser mposta é a de que a tangente à lnha elástca tem a mesma nclnação à dreta e à esquerda de um mesmo ponto. A demonstração feta a segur não consdera a contrbução da força cortante no cálculo das rotações e é partcularzada para vgas onde o módulo de elastcdade e o momento de nérca são constantes em cada vão. Seja a vga hperestátca da Fgura 3.. Fazendo um corte magnáro nos apoos -, e, os esforços que eram nternos tornam-se externos. O sentdo dos momentos 20
fletores M -, M e M dependem do carregamento aplcado à vga. Nesta demonstração, supõe-se que são todos postvos, conforme ndcado na fgura abaxo. - - E- I- E I M- M M M - E- I- E I Fgura 3. Vga Contínua Sujeta a um Carregamento Genérco (Martns, 99). A rotação φ é produzda pelos momentos fletores M -, M e pelo carregamento que atua ao longo do comprmento do vão -. Esses valores podem ser calculados através do Método da Integração Dreta (Martns, 99). O momento fletor M - contrbu com a parcela: M 6E (3.). I O momento fletor M contrbu com: M 3E (3.2). I Chamando de 2
E C I (3.3) a contrbução do carregamento, a rotação φ é obtda superpondo-se os efetos de M -, M e do carregamento: M φ = 6E I M 3E I E C I (3.4). Da mesma forma, chamando de C E 2 I (3.5) a contrbução do carregamento que atua no vão para a rotação à dreta do apoo (φ ), tem-se: M M φ = 3E I 6EI (3.6). C E 2 I As constantes C e C 2, que aparecem nas equações acma, representam a contrbução dos carregamentos para as rotações nos apoos. Podem ser obtdas usandose o Método da Integração Dreta ou o Segundo Teorema de Castglano. Estão apresentados na Tabela 3. os valores de C e C 2 para alguns casos de carregamento. É oportuno nformar que é váldo o prncípo da superposção dos efetos para o cálculo destas constantes (Martns, 99). 22
23 Uma vez que a vga é contínua, as rotações φ e φ são guas. Arbtrando-se que a rotação ocorre no sentdo ant-horáro, a condção de deslocamento fornece a expressão: φ = - φ (3.7) então: 2 I E C I 6E M I 3E M I E C I 3E M I 6E M = (3.8). Multplcando a expressão acma por 6 e agrupando, tem-se: = 2 I E C I E C 6 I E M I E 2M I E 2M I E M (3.9). A equação (3.9) é chamada de Equação dos Três Momentos e deve ser aplcada nos apoos onde os momentos fletores não são conhecdos, obtendo-se um número de equações gual ao número de ndetermnações estátcas. Partcularzando a equação (3.9) para dos vãos em que E - I - = E I, tem-se: ) C 6( C M ) ( 2M M 2 = (3.0). A tabela 3., mostrada a segur, traz os valores das constantes C e C 2, acma menconadas, para alguns casos de carregamento.
Tabela 3. Valores de C e C 2 (Martns, 99). Carregamento C C 2 q q 3 q 3 24 24 a a M P b b 2 M( 3a ) 6 2 Pa( 2 a 6 2 ) 2 M( 3b ) 6 2 Pb( b 6 2 2 ) q q 3 3 7q 45 360 q 3 7q 360 q 3 45 a q b 4 2 2 2 2 2 q[ a (2 a ) b (2 b) ] C = 24 q C = 4 2 2 2 2 2 [ a (2 a ) b (2 b ) ] 24 24
Tabela 3. Valores de C e C 2 Contnuação. Carregamento C C 2 t t2 h EIα( t 2 t) 2h EIα( t 2 t) 2h δ EIδ EIδ δ EIδ EIδ a q 2 2 2 qa (5 3a ) 90 2 2 2 qa (40 45a 2a ) 360 q b 2 2 2 qb (40 45b 2b ) 360 2 2 2 qb (5 3b ) 90 3.4 EQUAÇÃO DOS CINCO MOMENTOS Quando uma vga contínua está sobre apoos deformáves, a Equação dos Três Momentos pode ser usada conduzndo a uma equação com cnco momentos. Seja a vga contínua da Fgura 3.2a sobre apoos deformáves. Depos de aplcado o carregamento, os apoos da vga não fcam no mesmo nível. Para smplfcar, supõe-se que os apoos se deformam como mostra a Fgura 3.2b. A equação (3.9) pode ser aplcada no apoo da vga da Fgura 3.a. 25
-2-2 -2 - - (a) -2 E-2 I-2 - E- I- E I E I δ-2 M-2 M- VA-2 VB-2-2 E-2 I-2 δ- M- M VA- VB- - E- I- δ M VA E I M VB δ M VA M2 VB δ2 (b) E I Fgura 3.2 Vga Genérca Sobre Apoos Deformáves (Martns, 99). Quando a vga está sobre apoos deformáves, no cálculo das constantes C e C 2, deve-se levar em consderação os recalques dos apoos, portanto, somam-se aos valores de C e C 2, calculados em função do carregamento atuante nos vãos - e, as seguntes expressões (Martns, 99): C (3.) C 2 (3.2) EIδ = EIδ = ou: C E I = ( δ δ ) (3.3) 26
27 ( ) 2 I E C δ δ = (3.4). Consderando que os apoos seguem a e de Hooke (F = kx), têm-se: 2 VA VB = δ (3.5) VB VA = δ (3.6) VA VB = δ (3.7). As reações VA e VB dependem do carregamento que atua no vão e dos momentos fletores nos apoos. Chamando-se de RA e RB as reações referentes ao carregamento, têm-se: 2 2 2 2 M M RB VB = (3.8) M M RA VA = (3.9) M M RB VB = (3.20) M M RA VA = (3.2)
28 M M RB VB = (3.22) 2 M M RA VA = (3.23). Com as expressões acma, as equações (3.3) e (3.4) fcam da segunte forma: = 2 2 2 M M RA M M RB M M RA M M RB I E C (3.24) = 2 2 M M RA M M RB M M RA M M RB I E C (3.25). Substtundo as expressões acma na equação (3.9) e passando os momentos fletores para o prmero membro, tem-se:
29 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 RA RB RA RB RA RB RA RB E I C I E C 6 M 6 M 6E I 6 M 3E I I 3E 6 M I 6E 6 M 6 (3.26). A equação (3.26) deve ser usada nas vgas sobre apoos elástcos. Nessa equação as constantes C e C 2 são calculadas apenas em função do carregamento que atua no vão, uma vez que os recalques dos apoos já foram levados em consderação.
Capítulo 4 4 - PROGRAMA COMPUTACIONA 4. INTRODUÇÃO Na engenhara moderna, dversos problemas estruturas formulados não possuem uma solução analítca que possa representá-los adequadamente. Também há os que possuem geometra muto complexa para seu equaconamento. Portanto, é precso que sejam avalados de manera aproxmada, porém satsfatóra, através de métodos numércos. Com o desenvolvmento das técncas computaconas, váras metodologas, como o Método dos Elementos Fntos e o dos Elementos de Contorno, tornam-se cada vez mas aplcáves. Com sso, busca-se cada vez mas resolver problemas nunca antes consderados em aplcações prátcas, devdo, prncpalmente, à dfculdade de se desenvolverem, analtcamente, métodos que possam soluconá-los e vablzá-los nestas aplcações. Neste capítulo, serão mostrados os procedmentos adotados na mplementação computaconal das metodologas de solução propostas nos capítulos 2 e 3.
4.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS Em resumo, o programa desenvolvdo neste trabalho solucona problemas de vgas hperestátcas sem contato com fundações elástcas e problemas de vgas onde se consdera o contato destas com bases deformáves. Para se obter a solução de estruturas sostátcas, podem-se adconar ao sstema estrutural apoos elástcos com valores de constante de mola, desprezíves, que transformam a estrutura sostátca em hperestátca, mas não afetam o resultado do problema. O programa computaconal desenvolvdo fo escrto em lnguagem de programação FORTRAN versão 4.0 (994-995). A Fgura 4. mostra um esquema geral do programa. Vgas Análses Problema sem Contato Problema com Contato Blateral Unlateral Fgura 4. Análse Computaconal. 4.3 ESQUEMA ESTRUTURA DO PROGRAMA A segur, na Fgura 4.2, mostrar-se-á um esquema da estrutura do programa que coordena a execução das tarefas desenvolvdas durante processo de solução. As rotnas responsáves pela execução das tarefas ctadas serão apresentadas nas seções subseqüentes com os respectvos procedmentos envolvdos em suas mplementações. 30
Programa Dados Cálculo de C e C2 Identfcação dos Apoos Externos sm Há Apoos Elástcos? não ECM ETM Montagem e Solução do Sstema de Equações Processo Iteratvo Reações de Apoo Momentos Fletores Deflexões Contato Unlateral Contato Blateral Saída de dados Fm Fgura 4.2 Estrutura do Programa. O prmero procedmento realzado pelo programa refere-se ao reconhecmento do sstema estrutural a ser analsado. Isso se dá através da letura dos dados necessáros a esta análse. O prmero dado contém o título do exemplo analsado, os outros dados são ndcadores da geometra da vga, de suas propredades físcas, das forças externas atuantes e das condções de extremdade mpostas. Os dferentes tpos de carregamento 3
externo estão ndcados na Tabela 3.. São fornecdas também, para solução dos problemas de contato, as propredades físcas e geométrcas do modelo da base elástca. Todos os dados são repassados ao programa através da letura de um únco arquvo de entrada de dados, contendo: Prncpas dados geométrcos da vga! Número de vãos com varação de temperatura;! Número de apoos com recalque;! Comprmento do vão;! Altura. 2 Prncpas dados das forças externas aplcadas à vga! Número de cargas concentradas;! Número de cargas parcalmente dstrbuídas;! Número de cargas dstrbuídas;! Número de cargas momento;! Número de cargas dstrbuídas trangulares;! Valores das cargas concentradas;! Dstânca das cargas concentradas até os apoos esquerdos para cada vão;! Valores das cargas parcalmente dstrbuídas;! Dstâncas das cargas parcalmente dstrbuídas até o apoo esquerdo;! Dstâncas das cargas parcalmente dstrbuídas até o apoo dreto;! Valores das cargas dstrbuídas;! Valores das cargas momento;! Dstânca das cargas momento até os apoos esquerdos para cada vão;! Códgo das cargas trangulares;! Valores das cargas trangulares. 3 Prncpas dados das propredades físcas da vga! Rgdez à flexão EI;! Temperatura na face superor;! Temperatura na face nferor;! Coefcente de dlatação térmca. 4 Prncpas dados das condções de extremdade mpostas à vga! Número total de apoos; 32
! Valores dos recalques nos apoos;! Número de apoos com recalque;! Tpo dos apoos externos. 5 Prncpas dados das propredades físcas e geométrcas da base elástca! Número de apoos elástcos;! Coefcente de mola dos apoos elástcos. Os próxmos passos, como mostra o fluxograma lustrado na Fgura 4.2, consstem na análse e resolução do problema em questão. Após a letura dos dados, segue-se, então, com a execução da rotna responsável pelo cálculo das constantes C e C 2 ndcadas nas tabelas dos carregamentos, daí segue à dentfcação dos apoos externos. A próxma rotna a ser executada é ndcada pelo tpo de análse que se pretende fazer. Para a análse de problemas de vga sem contato, ndcado pela ausênca de apoos elástcos, o programa executa a rotna responsável pela montagem da Equação dos Três Momentos. Para a análse de problemas de vga com contato, caracterzados pela presença de apoos elástcos, o programa executa a rotna responsável pela montagem da Equação dos Cnco Momentos ; assm, é executada a rotna responsável pela solução do sstema de equações. A partr de então, são executadas as rotnas para o cálculo das reações de apoo e deslocamentos vertcas dos apoos elástcos, respectvamente. Dessa forma, tornam-se conhecdos, para todos os problemas, os valores dos esforços solctantes e deslocamentos consderando o problema de contato blateral. No caso, esse tpo de análse, torna possível o reconhecmento dos apoos elástcos solctados por esforços de tração. Assm, esses são desconsderados com a atrbução de valores muto pequenos para as respectvas constantes de mola. Na seqüênca, os valores dos deslocamentos dos apoos elástcos, são transformados em valores absolutos e armazenados no vetor CMP. Esse vetor é subtraído do vetor CMP2 que ncalmente possu dados nulos e o resultado desta dferença é comparado com o valor acetável para a convergênca, que no caso do presente trabalho, admtu-se valores menores ou guas a 0-6. Posterormente, os dados de CMP são armazenados em CMP2. O programa, então, retorna à montagem do sstema de equações e um novo esquema estrutural é analsado da mesma forma que o anteror, dando níco a um processo teratvo. Imposta a dferença acetável entre os valores absolutos dos deslocamentos entre uma teração e outra posteror, tem-se a 33