APÍTULO III TORÇÃO PROBLEMAS ESTATIAMENTE INDETERMINADOS TORÇÃO - PEÇAS DE SEÇÃO VAZADA DE PAREDES FINAS A- TORÇÃO PROBLEMAS ESTATIAMENTE INDETERMINADOS Vimos aé aqui que para calcularmos as ensões em um eixo, era necessário primeiro, calcularmos os momenos de orção inernos nas várias pares do eixo.os momenos eram calculdos parindo-se a esruura, em equilibrio, na seção onde queriamos conhecer o esforço, aplicando-se a seguir a condição de equilíbrio a roação, iso é, somaório dos momenos ao redor do eixo longiudinal da esruura igual a zero. Exisem siuações em que não se consegue deerminar os esforços inernos de orção apenas com o uso da esáica. Neses casos, mesmo os esforços exernos de orção provenienes dos apoios se ornam impossíveis de calcular somene com as equações da esáica. As equações de equilíbrio devem ser complemenadas por ouras relações, que levam em cona as deformações do eixo e as resrições da geomeria do problema.os exercícios proposos a seguir abordam ese ipo de problema. Exercícios: 1. O eixo AB em 250mm decomprimenoe 20mm de diâmero, endo seção ransversal circular. O eixo em seção vazada, com diâmero inerno de 16mm, no recho de 125mm a parir da exremidade B. O eixo é de aço, sendo engasado nas exremidades.deerminar os momenos orçores reaivos, quando é aplicado um irque de 120N.mno pono médio de AB. 120Nm 125mm 125mm
2. Um eixo circular de aço e um ubo de alumínio esão ligados a um pono fixo e a um disco rígido, como mosra a seção longiudinal da figura. Sabendo-se que as ensões iniciais são nulas, deerminar o máximo orçor Mo, que pode ser aplicado ao disco, sendo a ensão admissível ao cisalhameno de 70MPa npara o alumínio e 120MPa para o aço. Adoar G=70Mpa para o aço e G=27Mpa para o alumínio 8mm 5mm 50mm 5mm 8mm 500mm B- TORÇÃO - PEÇAS DE SEÇÃO VAZADA DE PAREDES FINAS B1. HIPÓTESE DE BREDT Para o esudo da orção em peças de paredes delgadas,ias, consideramos: 1. Eixo reilíneo 2. A seção ransversal é qualquer, mas consane ao longo do eixo.
3. A espessura da parede é pequena em relação às dimensões da seção ransversal: dm 10 4. Admiimos que só exise momeno DE TORÇÃO em qualquer seção. 5. HIPÓTESE DE BREDT A disribuição das ensões angenciais ao longo da espessura de um ubo de parede delgada, segue o modelo abaixo, crescendo do cenro para as exremidades: Pelo fao da espessura ser muio pequena, Bred considerou as ensões angenciais consanes em uma mesma espessura: HIPÓTESE DE BREDT: Em uma peça de paredes delgadas, e submeida à orção, as ensões angenciais, nos ponos de uma mesma espessura, são paralelas e de valor consane. Esa hipóese conduz a uma disribuição uniforme de ensões angenciais ao longo de uma espessura.
B. TENSÕES Imaginemos um ubo de paredes delgadas sujeio à um momeno orsor, conforme a figura. oramos ese ubo por planos P1 e P2 disanes de um elemeno de comprimeno L Após, o recho isolado pelos cores é corado novamene, agora por um plano longiudinal P 3. As ensões angenciais τ1 e τ2 nas espessuras 1 e 2 esão represenadas de acôrdo com a hipóese de Bred, levando-se ambém em cona a reciprocidade das ensões angenciais. omo nas seções coradas devem aparecer ensões que equilibrem o sisema, podemos verificar as equações de equilíbrio esáico. Σ Fy = 0 τ1.1.l - τ2.2.l = 0
τ1.1 = τ2.2 omo esávamos raando com espessuras genéricas, podemos generalizar a conclusão: τ1.1 = τ 2. 2 = τ3.3 =... = τn.n = f f - fluxo das rensões angenciais "Em uma peça de paredes delgadas, submeida à um momeno DE TORÇÃO, o fluxo das ensões angenciais é consane." Passemos à considerar agora uma seçã genérica "S": Seja: - conôrno médio da seção dω - elemeno de área compeendido pelo conôrno médio (área oab) - arco elemenar componene do conôrno médio dω = r. 2 onsideremos um elemeno de área ao longo do conôrno: da =. A ensão desenvolvida nese elemeno de área da, dá origem à uma força df: df = τ.. O momeno desa força em relação ao cenro de orção o é: m = df. r = ( τ.. ). r = τ.. r. O momeno de orção oal da seção será: = τ.. r. = τ. r. observe que τ. = f = ce observe ambém que r. = 2.dω daí iramos que: τ.. 2. dω = 2. τ.. dω =
dω = Ω onde Ω represena a área da superfície englobada pelo conôrno médio. Subsiuimos a inegral por seu significado, represenado por Ω :. = 2. τ.. Ω ou τ = 2..Ω Obs: 1. Esa expressão possibilia calcular as ensões angenciais em qualquer espessura da parede do ubo. 2. A ensão máxima ocorre nos ponos de menor espessura. τmáx = 2.Ω. mín. DEFORMAÇÕES Sabemos que τ = 2. Ω. e que : τ = G. θ.r enão: G. θ.r = 2. Ω. Inegrando esa igualdade ao longo do conôrno médio da seção, obemos: G. θ. r = ou 2. Ω. 2.Ω = G. θ r. Já vimos que: enão: 2. G. θ. Ω r. = 2.Ω = 2. Ω
ou θ = 4.G. Ω 2 Esa expressão nos possibilia calcular o angulo uniário de orção em uma peça ubular de paredes delgadas submeida à orção. A deformação oal pode ser obida por H = θ. L Observação : Avaliação de 1. asos de peças de espesura consane: = 1 = onde = comprimeno do conôrno médio 2. Seção ransversal consiuida por rechos de espessura consane: = n i= 1 i i θ = 4.G. Ω 2 n i = 1 i i 3. Seção ransversal com lei maemáica para variação da espessura ao longo do conôrno médio: Nese caso basa subsiuirmos pela sua lei maemáica e resolvermos maemáicamene a inegral. 4. Se a seção ransversal não se enquadrar nos casos aneriores a inegral deve ser avaliada por um processo aproximado. 5. As seções da figura abaixo são consruidas com o mesmo maerial e esão submeidas ao mesmo orsor. alcular a relação R/e à fim de que rabalhem com a mesma segurança.
R: 7,4 6. Uma peça ubular cuja seção rea e indicada na figura, é consruida com maerial que apresena ensão de cisalhameno admissível de 20 MPa. O comprimeno da peça é de 4 meros, seu módulo de elasicidade longiudinal 2. 105 MPa e seu coeficiene de Poisson 0,3. Deermine: a. Maior orsor que a seção admie. b. Ângulo oal de orção. R: a. 10,08 kn. m b. 0,1032 rad 7. A figura abaixo mosra a seção de uma peça ubular de paredes delgadas com maerial que apresena ensão de cisalhameno admissível de 4 kn/cm 2. Pedese a dimensão '' da seção sabendo-se que ela esa submeida a um orsor de 1 kn.m.
R: 0,32 cm 8. Aplica-se uma orção de 90 N.m ao eixo de seção vasada da figura. Deermine as ensões de cisalhameno nos ponos A e B. R: pono A = 4,73 MPa pono B = 9,46 MPa 9. Uma barra vasada, endo seção ransversal indicada é feia com uma lamina meálica de 1,6 mm de espessura. Sabe-se que um orque de 339 N.m será aplicado a barra. Deerminar a menor dimensão 'd' de modo que a ensão de cisalhameno não ulrapasse 3,45 MPa. R: d 184,4 mm