Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE COECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo 7-8 - o Semestre Exame Final em 7 de Janeiro de 8 Versão B Duração: horas e 3 minutos Não é permitido usar máquinas de calcular nem telemóveis Não tenha o seu telemóvel consigo Não se tiram dúvidas Simpli que os cálculos ao máximo Justi que sempre as suas respostas Pode usar o verso das folhas de resposta Os rascunhos devem estar bem identi cados Não pode desagrafar as folhas do teste ATENÇÃO: NÃO SE ESQUEÇA DE ESCEVE O SEU NÚMEO EM TODAS AS FOLHAS
N o : Nome:. Comente num máximo de 5 linhas as seguintes proposições: (a) ( valores) Se o limite de uma sucessão é ponto de acumulação do conjunto dos seus termos, a sucessão é monótona. FALSO. Pense por exemplo nas sucessões U n = ( ) n n ou W n = ( n ; ; n n impar n par O ponto zero é o limite de ambas as sucessões, e é ponto de acumulação do conjunto dos termos de ambas as sucessões. No entanto, nenhuma delas é monótona. (b) ( valores) Se uma função real de variável real não tiver derivada nita em x = a, então a função não pode ter limite em x = a por não ser diferenciável em x = a: FALSO. Se uma funcão real de variável real não tem derivada nita em x = a, isso signi ca ou que tem derivada in nita em x = a, ou que as derivadas laterais não são iguais. Atentemos nos seguintes dois casos: f(x) = j 3p xj f(x) = ( ; x < x + ; x y y 5.5 4.5 3.75.5 5.5.5 5 4 4 x x Em ambos os casos, as funções em causa não têm derivada nita em x = : No entanto, ambas têm limite no ponto x = e são contínuas: no primeiro caso, o limite é zero; no segundo, o limite é. O facto de a funcão não ser diferenciável em x =, sem mais informação, não nos diz nada relativamente à continuidade ou à existência de limite em x = :
N o : Nome:. Determine a área delimitada pelas condições: (a) ( valor) y x ^ y jxj ^ y (b) ( valor) y 3e x ^ y + e x ^ y ^ x ^ x NOTA: ESTA PEGUNTA SÓ É COTADA SE APESENTA O GÁ- FICO E A(S) ÁEA(S) ESPECTIVA(S). APESENTE TODOS OS POMENOES DO GÁFICO!!! (a) ( valor) y x ^ y jxj ^ y Há que desenhar as três curvas descritas e delimitar a área por elas compreendida: Temos também que encontrar as intersecções relevantes entre os grá cos. Para x > ; jxj = x: Assim, as intersecções ocorrem em: x = x () x(x ) = () x = _ x = x = () x = Para x < ; jxj = ( x): Assim, a intersecção ocorre em: x = x () x(x + ) = () x = _ x = x = () x = 3
Finalmente, a parábola intersecta a recta y = x = () x = () x = p _ x = p nos pontos: E agora, é só calcular a área sombreada, que calcularemos como duas vezes a área do lado direito: p Area = [ ( x)] dx + p p = [ x + x ] h p = = 3 p 4 + 4 + 3 x3 + x p + p 6 [ x ( x)] dx = = + 4 i h + = 3 p + p = 7 4p 3 6 p i + + = 3 6 4 (b) ( valor) y 3e x ^ y + e x ^ y ^ x ^ x Area = [ + ex ( )] dx + [3e x ( )] dx = = [x + e x + x] + [ 3e x + x] = = ( + + ) + + 3 + ( 3 + ) = 4 e e e = 9e e 3 e 3 + 5 e 4
N o : Nome: 3. Considere as funções reais de variável real de nidas por. f(x) = 9 x g(x) = ln (x) h(x) = g(x) = ln x (a) (,5 valores) Determine a expressão analítica da função j(x) = (h g f)(x): x! f(x) = 9 x! g [f(x)] = ln(9 x )! h [g (f(x))] = ln [ ln(9 x )] Assim, j(x) = ln [ ln(9 x )] (b) ( valor) Determine o domínio da função j: D f = fx : 9 x > ^ ln(9 x ) > g = (x < 9) ^ [x > 8] = = (] 3; 3[) \ p 8; + p 8 = p p 3; 8 [ 8; 3 (c) (,5 valores) Pronuncie-se sobre a continuidade e diferenciabilidade da função j(x) no seu domínio. j(x) é contínua no seu domínio porque é a composição de 3 funções contínuas:! 9 x : função polinomial, logo contínua em! ln x : função logaritmo, logo contínua no seu domínio. j(x) é diferenciável em D f e j x (x) = ( x) = ln(9 x ) (9 x ) [ ln(9 x )](9 x ) (d) ( valor) Estude k(x) = jf(x)j quanto à possibilidade de ser aproximada por um polinómio de Taylor de primeira ordem em qualquer ponto do seu domínio. k(x) = j9 x j y 5.88 5 4 3 3 4 5 x 5
Como se pode constatar, a função k(x) não é diferenciável em x = 3 nem em x = 3, logo não pode ser aproximada por um polinómio de Taylor nestes pontos. Nos restantes pontos do seu domínio, pode ser mas é inútil! Porquê?? 6
N o : Nome: 4. Sejam as sucessões u n = ( ) n n+ n e w n = u n+ : (a) ( valor) Existe limite da sucessão u n? E da sucessão w n? Em caso a rmativo, indique o seu valor. u n = ( n+ n n+ n se n par se n ímpar ou seja, u n = ( + se n par n + n se n ímpar A sucessão u n não tem limite pois contém duas subsucessões que convergem para valores distintos. Quando n é par, os termos da sucessão convergem para, quando n é ímpar, os termos da sucessão convergem para - (note que n é um in nitésimo!) Como o limite, se existir, é único, podemos concluir que a sucessão u n não tem limite. A sucessão w n é de nida pelo seguinte termo geral: w n = ( ) n+ n+ = n+ n+ n+ Como n+ corresponde a uma sucessão de números ímpares, podemos concluir que ( ) n+ = : Assim, lim w n = lim n+ n+ = lim n+ n+ = lim n n = lim = : (b) ( valor) Determine o conjunto dos majorantes e dos minorantes, o supremo, o máximo, o ín mo, o mínimo, a fronteira e o derivado dos termos da sucessão u n. Seja sucessão U n : A = fx : x = u n ; n Ng, ou seja, A é o conjunto dos termos da Majorantes de A = 3 ; + Minorantes de A = ] ; ] Supremo de A : 3 Máximo de A : 3 Ín mo de A : Mínimo de A : Fronteira de A = fr(a) = fu n g [ f Derivado de A = A = f ; g ; g 7
(c) (,5 valores) Veri que que a expressão da sucessão v n = jw n j é dada por n+ e mostre, pela de nição, que é o seu limite: n+ v n = jw n j = u(n+) = ( ) n+ n+ = n+ n+ n+. Pela de nição: 8" > ; 9n(") N : 8n > n(") =) jv n j < " n+ n+ < ", n+ n n+ < ", < ", n > " n+ " Dado " > arbitrário, escolha-se para n(") o primeiro natural superior a " " : Deste modo está provado que o limite da sucessão v n é. Note que lim! = +; o que faz sentido! 8
N o : Nome: 5. Considere a seguinte função f(x) = g(x + ) em que g é diferenciável até à ordem 3 e em que g() = 3g () = g () = 4g () =. (a) ( valor) Determine a derivada de x:g(x ) no ponto de abcissa p. Sejam, como é dito no enunciado: g() = ; g () = 4 ; g () = 6 ; g () = 3 [xg(x )] = g(x ) + xg (x ):x = g(x ) + x g (x ) Avaliando em x = p, temos: [xg(x )] x= p = g(p ) + p g ( p ) = g() + 4g () = + 4:4 = 8 (b) ( valor) Determine a aproximação da função f através da fórmula de MacLaurin de ordem. Caso possa, escreva o resto de Lagrange associado a este desenvolvimento. f(x) = g(x + )! f() = g() = f (x) = g (x + ):! f () = g (): = 8 f (x) = g (x + ):4! f () = g ():4 = 4 f (x) = g (x + ):8! f (c) = g (c + ):8 f(x) ' f() + f ()(x ) + f (x ) () f(x) ' g(x + ) + g ()::x + g ():4: x f(x) ' + 8x + 4: x O resto de Lagrange associado a este desenvolvimento é dado por: = f (x )3 (c) = g (c + ):8: x3, com < c < x: 3! 6 Não se pode ir mais longe. 9
N o : Nome: 6. Considere a função g(x; y) = x + ln y: (a) (,5 valores) Determine o domínio da função g representando-o gra - camente. Determine também o seu interior, fronteira, aderência e derivado. Indique se o domínio é fechado ou aberto. D g = f(x; y) : y > g int(d g ) = f(x; y) : y > g = D g fr(d g ) = f(x; y) : y = g ader(d g ) = D g = int(d g ) [ front(d g ) = f(x; y) : y g deriv(d g ) = D g = f(x; y) : y g O domínio da função g é aberto porque D g = int(d g ): Não é fechado porque D g 6= D g : (b) ( valor) Determine o diferencial total de g no ponto (3; ) para acréscimos dx e dy genéricos. Genericamente, o diferencial total desta função de argumento vectorial é dado por: dg = h i @g @x dx + @g dy = dx + dy @y y
Como @g = e @g =, o diferencial da função no ponto (3,) será dado por: @x @y y dg (3;) = dx + dy (c) ( valor) Determine a curva de nível da função g de cota 4 e designe esta função por h(x): Indique dh: x + ln y = 4, ln y = 4 x, e 4 x = y, h(x) = e 4 x dh = @h @x dx, dh = e4 x dx (d) ( valor) Considere a seguinte equação xy + ln y =. Seja f a função de nida implicitamente por essa equação que transforma x em y: Determine f (x) no ponto onde y = : xy + ln y = Se y =, então x +ln =, x = : Assim, o ponto em estudo é o ponto (; ). Pela regra da derivada da função implícita, lembrando que y = f (x): (xy + ln y) x = () x, y + xy + y y =, y x + = y, y y = y x+ y Avaliando a derivada no ponto (; ); resulta: f y () = = = + 3 Assim, f () = 3 : (e) (,5 valores) Seja a função p dada por p(x) = g( x+ y de nição, a derivada da função p no ponto de abcissa p(x) = g( x ; e x ) = x + ln e x = x + x Pela de nição, sabemos que f (x) = lim h! Assim, f f(+h) f() () = lim h! h = lim h! ( h ) = f(x+h) f(x) : h = lim (+h) +(+h) h! h (;) x ; e x ): Determine, pela h = lim h h! h = lim h! h( h ) h =
N o : Nome: 7 ( valores) Seja f :! uma função com segunda derivada nita em [; ] tal que f() = 3. Supondo que: [f(x) + f (x)] sin(x)dx = calcule f(). (a) [f(x) + f (x)] sin(x)dx =, f(x) sin(x)dx + f (x) sin(x)dx = No primeiro integral, xemos u = sin x e v = f(x) para aplicação do método de primitivação por partes: f(x) sin(x)dx = [ cos (x) :f(x)] = [ cos (x) :f(x)] + f (x) cos (x) dx cos (x) :f (x)dx = No segundo integral, xemos u = f (x) e v = sin (x): f (x) sin(x)dx = [f (x) sin (x)] f (x): cos(x)dx Juntando agora os dois: f(x) sin(x)dx + f (x) sin(x)dx = [ cos (x) :f(x)] + f (x) cos (x) :dx + [f (x) sin (x)] f (x): cos(x)dx = [ cos (x) :f(x)] + [f (x) sin (x)] = [( cos()f()) ( cos():f())] + [(sin()f ()) (sin():f ())] = f() + f() = (como é dito no enunciado). Considerando que f() = 3 : 3 + f() = () f() =