FUNÇÕES E INEQUAÇÕES

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA ANDRÉIA SCHMIDT GEHHANNY ASSIS JAQUELINI ROCHA SIMÃO LARISSA VANESSA DOMINGUES FUNÇÕES E INEQUAÇÕES CURITIBA 2012

1 SUMÁRIO 1. APRESENTAÇÃO... 2 2. FUNÇÃO... 3 2.1 Definição... 3 3. INEQUAÇÕES... 3 3.1Definição... 3 3.2 Inequação- Produto do 1º Grau... 4 4.PROBLEMAS PROPOSTOS....5 5. REFERÊNCIAS... 9

2 1. APRESENTAÇÃO Relatos de professores apontam que grande parte do desinteresse dos estudantes pela matemática deve-se ao fato deles terem uma visão errada da disciplina. Segundo D' Ambrosio (1989) os alunos acreditam que aprender matemática se dá a partir de um acúmulo de fórmulas e algoritmos, e que matemática é um corpo de conceitos que não se questiona e que nem mesmo nos preocupamos em compreender. Levando em consideração que a aplicação deste trabalho acontecerá para alunos candidatos ao curso de Licenciatura em Matemática e para alunos que já iniciaram este curso, o presente trabalho tem como objetivos: auxiliar, de uma maneira geral, os alunos participantes da oficina a esclarecer noções que permeiam função e inequação; propor problemas que sejam interessantes e que explorem de maneira completa os conteúdos de funções e inequações; oferecer aos participantes da oficina a oportunidade de discutir e compartilhar diferentes formas de resolução de problemas, como também concepções de funções. Seguido de uma proposta baseada na resolução de problemas, propõe-se aplicações do conteúdo que permitem aos estudantes construir seu próprio conhecimento. De acordo com os PCN s a resolução de problemas é uma importante estratégia de ensino. Os alunos confrontados com situações-problema novas, mas compatíveis com os instrumentos que já possuem ou que possam adquirir no processo, aprendem a desenvolver estratégia de enfrentamento, planejando etapas, estabelecendo relações, verificando regularidades, fazendo uso dos próprios erros cometidos para buscar novas alternativas; adquirem espírito de pesquisa, aprendendo a consultar, a experimentar, a organizar dados, a sistematizar resultados, a validar soluções; desenvolvem sua capacidade de raciocínio, adquirem autoconfiança e sentido de responsabilidade; e, finalmente, ampliam sua autonomia e capacidade de comunicação e de argumentação.

3 2. FUNÇÕES DO 1º GRAU 2.1 Definição Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B qualquer relação entre tais conjuntos que faça corresponder a cada elemento de A um único elemento de B. Indicaremos a função de A em B por. O conjunto A é chamado de domínio da função; o conjunto B, contradomínio. Numa função de A em B há um relacionamento entre duas variáveis. A variável que assume valores em A é chamada de variável independente, enquanto a variável que assume valores em B é a variável dependente. denota-se: Notação: Se A é o domínio, B o contradomínio e f é uma função de A em B, Domínio: conjunto dos pontos para os quais faz sentido a aplicação da regra de correspondência entre os conjuntos A e B. É denotado por. Imagem: é definida como sendo o conjunto dos pontos para os quais que existe tal que. A imagem de uma função está sempre contida no contradomínio da função. Sua denotação é. Gráfico: é um subconjunto do produto cartesiano. Define-se o gráfico de uma função, denotado por, o seguinte conjunto. É possível visualizá-lo geometricamente usando-se o sistema cartesiano ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma. 3. INEQUAÇÕES 3.1 Definição: Inequações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax + b > 0 (ou com as representações, <,, ou ) em que a e b são

4 constantes reais, com a 0, e x é variável. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas propriedades das desigualdades descritas a seguir: 1) Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma inequação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a desigualdade se mantém. 2) Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma inequação por um mesmo número positivo, a desigualdade se mantém. 3) Dividindo ou multiplicando por um mesmo número negativo ambos os membros de uma inequação do tipo >,, < ou, a desigualdade inverte o sentido. Observação: É fácil perceber que a resolução de uma inequação do 1º grau baseia-se nos mesmos princípios da resolução de uma equação do 1º grau, atentando-se ao item 3) acima que diferencia. Uma inequação do 1º grau é resolvida da mesma forma que se resolve uma equação do 1º grau, só que quando o x admite apenas valores negativos, no final da resolução multiplica-se ambos os membros da inequação por (-1) e aí o sinal da desigualdade se inverte: se é > fica <, se é < fica >, se é fica e se é fica. 3.2 Inequação-produto do 1º grau: Dadas as funções f(x) e g(x), chamamos de inequação-produto toda inequação que pode assumir uma das seguintes formas: f(x). g(x) > 0 f(x). g(x) 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) 0

5 4. PROBLEMAS PROPOSTOS Problema 1: Uma livraria recebe certo livro por um custo de R$ 40,00 por exemplar. O gerente vendeu inicialmente 36 desses livros por semana a R$ 100,00 cada. Sabendo que, se reduzisse o preço por cada livro de R$ 5,00 por semana, venderia mais 6 livros por semana, ele resolveu experimentar e foi reduzindo o preço do livro R$ 5,00 a cada semana. I) Complete a tabela e responda às perguntas. Semana Inicial 1 2 3 4 5 Custo de 1 livro R$ 40 R$ 40 R$ 40 R$ 40 R$ 40 R$ 40 R$ 40 Preço da venda de 1 livro R$ 100 R$ 95 R$ 90 R$ 85 R$ 80 R$ 75 R$ 100 5 Lucro com 1 livro R$ 60 R$ 55 R$ 50 R$ 45 R$ 40 R$ 35 R$ 60 5 Nº de livros vendidos na semana 36 42 48 54 60 66 36 + 6 Lucro total R$ 2160 R$ 2310 R$ 2400 R$ 2430 R$ 2400 R$ 2310 R$ (60 5 ) (36 + 6 ) 1) O preço de custo do livro varia com o tempo? 2) I) a) A cada semana o que acontece com o preço de venda do livro? b) E com o número de livros vendidos por semana? c) E com o lucro obtido na venda de cada livro? d) E com o lucro total? II) Na última coluna da tabela você escreveu na expressão para o preço de venda de 1 livro. Ela está coerente com o que você respondeu no item a acima? III) Pelo que você observou na tabela, valeria a pena o gerente continuar a diminuir o preço de venda do livro? A partir de que semana ele deveria fixar o preço de venda do livro? Explique sua resposta. IV) Considere as expressões obtidas para: - o preço de venda de um livro

6 - o lucro com um livro - o número de livros vendidos por uma semana. Para que valores de cada uma dessas expressões tem sentido? Justifique. E para que todas essas expressões tenham sentido, juntas, que valores pode assumir? V) Faça gráficos cartesianos representando cada uma dessas grandezas indicadas abaixo em função do número de semana. a) lucro com um livro; b) número de livros vendidos; c) lucro total. Problema 2: Decaimento da cafeína: o tempo de meia-vida da cafeína no organismo é de 6 horas. a) Se alguém ingeriu às 15 horas uma xícara de café, que contém cerca de 100 mg de cafeína, que horas haverá em seu corpo apenas 25 mg de cafeína? b) É possível gerar alguma fórmula que permita encontrar qual a quantidade de cafeína em função do tempo? c) Em uma grávida que o tempo de meia-vida da cafeína é de 10 horas, responda o item (a) com este novo dado. d) Esboce o gráfico referente aos itens (a) e (c). Há alguma diferença neles? Justifique. Problema 3: Em determinado país ocorreu uma epidemia provocada por uma espécie de vírus. Inicialmente, foram detectadas 2.000 pessoas infectadas. A estimativa de médicos especialistas é a de que o número N de doentes cresça até o valor máximo L, que deverá ocorrer após seis semanas do aparecimento do vírus, devendo decrescer a partir de então. Supõe-se que a diferença N(t) - L seja diretamente proporcional ao quadrado da diferença entre t e 6, ou seja, quando dobra a distância entre t e 6 (que será o pico da doença), a queda no número de infectados torna - se 4 vezes maior: N (t) = k.( t - 6) ² + L (k é uma constante)

7 Com base neste modelo, e sabendo que duas semanas após o início da epidemia havia 2.100 pessoas infectadas, responda: a) Quais são os valores de k e L? b) Qual será o número máximo de pessoas infectadas? c) Depois de quantas semanas o número de infectados cairá à zero? Problema 4: Um jovem atleta sente-se atraído pela prática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe-se por experiência que: A natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser expresso em um custo médio de R$ 3,00 por sessão de treinamento de uma hora. O ciclismo mais simples acaba custando R$ 2,00 a sessão de uma hora. O orçamento do rapaz dispõe de R$ 72,00 para seu treinamento. Sabendo-se que, por questões de saúde, o rapaz poderá fazer no máximo 18 horas de ciclismo por mês, qual é a quantidade de natação e ciclismo que ele poderá fazer de modo que tenha o maior número possível de horas de treinamento? Problema 5: Um carro é denominado flex se ele pode ser abastecido com gasolina ou com álcool. O consumo de um carro costuma ser dado (no Brasil) em quilômetros por litro, que indicamos por km/l. Já o custo desse consumo é dado pelo preço do quilômetro rodado, em reais por km. Suponha que os preços do litro de álcool e de gasolina sejam, respectivamente, R$ 1,59 e R$ 2,49. a) Digamos que um certo carro flex rode 12,3 km por litro de gasolina. Qual deve ser o consumo de álcool desse carro para que a utilização do álcool seja financeiramente mais vantajosa que a de gasolina? b) Com os preços dados, em que condições é mais vantajoso, financeiramente, ouso do álcool em vez do de gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça ascondições. c) Escreva a expressão da função g(x) que fornece o custo de rodar 100 quilômetroscom esse carro utilizando gasolina e a expressão da função a(x) que fornece ocusto de rodar 100 quilômetros utilizando álcool.

8 d) Para que o custo seja o mesmo, tanto com álcool como com gasolina, qual deveser o consumo em km/l para a gasolina e para o álcool? e) Com o consumo dado, em que condições é mais vantajoso, financeiramente, ouso do álcool em vez do de gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça ascondições. Problema 6: Um galinheiro com 240 m 2 de área deve abrigar galinhas e pintinhos, sendo desejável que haja um espaço livre de 4 m 2 para cada galinha e 2 m 2 para cada pintinho. Além disso, cada pintinho come 40 g de ração por dia e cada galinha come 160 g por dia, sendo permitido um gasto diário máximo de 8 kg de ração. a) Represente algebricamente as condições do problema. b) Represente graficamente, no plano cartesiano xoy, as condições do problema. c) Esse galinheiro comporta 20 galinhas e 80 pintinhos? E 30 galinhas e 100 pintinhos? d) Qual é o número máximo de galinhas que podem ser colocadas no galinheiro, respeitando os espaços desejáveis e o gasto máximo de ração? E de pintinhos?

9 5. REFERÊNCIAS AGUIAR,R.Matemática Básica. Joinville, 2008. D' AMBROSIO, B. S. Como ensinar Matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II. N2. Brasília. 1989. P. 15-19. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Paraná: SEEP, 2008. Acesso em 8 de dezembro de 2011. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/file/diretrizes_2009/ matematica.pdf >. PROJETO FUNDÃO, INSTITUTO DE MATEMÁTICA/ UFRJ. Construindo o conceito de Função. Rio de Janeiro, 2009. SIGAUD,J. J. M. Inequação do 1 Grau. Campos do Jordão, São Paulo. Acedido em 20 de dezembro de 2011. Disponível em <http://quimsigaud.tripod.com/inequacaodo1grau/>.