A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN Otmzação de ustos de Transporte e Trbutáros em um Problema de Dstrbução Naconal de Gás Fernanda Hamacher 1, Fernanda Menezes 1, Oscar Porto 1, Eduardo Uchoa 2 1 Departamento de Engenhara Elétrca, PU-Ro R. Marques de São Vcente, 225, Ro de Janero, Brasl, 22453-900 {hamacher, fmenezes, oscar}@ele.puc-ro.br 2 Departamento de Engenhara de Produção, Unversdade Federal Flumnense R. Passo da Pátra, 156, Bloco E, sala 440, Nteró, Brasl, 24210-240 uchoa@producao.uff.br Resumo Este trabalho descreve um modelo de programação lnear para a otmzação dos custos envolvdos em uma dstrbução naconal de um produto. A partculardade que esse problema assume no Brasl provém da grande complcação das regras de trbutação de IMS de cada Estado, o que faz que as soluções que otmzam os valores a serem recolhdos sejam bastante não-ntutvas. Mas do que sso, os ganhos que podem ser obtdos através da otmzação trbutára costumam domnar os ganhos com a smples otmzação dos custos de transporte. O modelo fo aplcado a um problema real de uma grande dstrbudora de gás. omparando-se as respostas fornecdas pelo modelo com o que essa empresa efetvamente realzou ao longo de 5 meses, verfca-se a possbldade de economas de custo da ordem de 2%. Abstract In ths work we descrbe a lnear programmng model for the optmzaton of the costs nvolved n a dstrbuton of a product along the country. The dffculty of ths problem n Brazl s based manly on the complexty and partculartes of the tax (IMS) rules n each of the states. As a consequence of that the solutons obtaned are not very ntutve, showng also that the cost savngs related to tax optmzaton are more sgnfcant than the transportaton ones. The model was appled n a real gas dstrbuton problem of a partcular natonal company. omparng the results obtaned wth the model presented here wth the real costs of 5 dfferent months, a possblty of a cost reducton of about 2 % was observed. 1. Introdução O problema básco de dstrbução de um produto tratado neste artgo pode ser descrto da segunte forma. Suponha que uma empresa possa comprar um produto de algumas fontes para abastecer seus centros de dstrbução que por sua vez devem atender a demanda de um grande número de clentes fnas. As fontes fornecem o produto a dferentes preços e têm capacdades lmtadas. Os centros de dstrbução também têm capacdades lmtadas. Os custos de transporte por undades de produto entre fontes, centros de dstrbução e clentes fnas são dados. A mnmzação do custo total de aqusção do produto mas o custo de transporte pode ser faclmente modelado como um fluxo em redes. Entretanto, suponha que as fontes, centros de dstrbução e clentes fnas estejam localzados em dferentes estados brasleros. Nesse caso, a mnmzação do custo total de dstrbução exge que, além dos custos anterores, os custos trbutáros referentes ao recolhmento de IMS também sejam levados em conta. onforme veremos na seção segunte, dferentes estados não apenas aplcam
dferentes alíquotas sobre um produto, como anda usam sstemas de cálculo dferentes. A legslação é partcularmente bzantna quando se consdera produtos que são comprados de uma fonte no estado A por um centro de dstrbução no estado B pra serem revenddos no estado. Às vezes se é obrgado a pagar os maores valores cobrados por algum estado na cadea. Em outros casos, pode haver um ressarcmento de valores pagos a maor, contra a apresentação de um conjunto de notas fscas adequadas. Este trabalho tem como objetvo descrever um modelo para a otmzação dos custos de aqusção, de transporte e trbutáros na dstrbução naconal de um produto. Esse modelo fo aplcado a um caso real de uma grande dstrbudora de gás, que compra esse produto em refnaras, engarrafa parte deste em botões nos seus centros de dstrbução e o vende, a granel ou envazado, através de dferentes canas de venda para 1200 dferentes muncípos brasleros. Pudemos comparar as operações planejadas manualmente e efetvamente realzadas por essa empresa durante 5 meses consecutvos com as operações que poderam ter sdo fetas usando a solução ótma fornecda pelo modelo. Dessa forma, pode-se avalar o potencal de economas que tal modelo tera a oferecer para essa empresa. É mportante notar que as questões trbutáras fazem com que as decsões ótmas oferecdas pelo modelo sejam bastante não ntutvas. Mutas vezes é preferível onerar o transporte, comprando de ou vendendo para estados mas dstantes, para obter ganhos trbutáros maores. 2. Detalhamento do Problema O problema consste em determnar qual, ou quas, refnaras, doravante chamadas de Fontes, abastecem cada um dos centros de dstrbução, doravante chamados de Undades, que por sua vez devem abastecer cada muncípo clente em cada canal de venda. É possível haver transferêncas entre Undades. A otmzação é realzada segundo crtéros econômcos do custo do gás, eventuas taxas e despesas de armazenagem por terceros,, encargos fnanceros, fretes de suprmento, despesas com IMS e fretes de dstrbução. A segur estão descrtos os custo envolvdos nos esquemas de suprmento e dstrbução do gás: usto base do gás Preço pelo qual a Fonte vende uma tonelada de gás à Undade. Quando uma Undade compra gás de uma Fonte, deve-se pagar o, nterno ou externo, dependendo da localzação da Fonte e da Undade envolvdos na compra em questão. Ele é calculado da segunte forma: usto Base nt = Fator (1- Alíquota - Fator ) usto Base ext = Fator (1- Fator ) 1928
Encargo Fnancero Da mesma forma que o o encargo fnancero também é pago pela Undade quando esta compra gás de uma Fonte. Este pode ser calculado da segunte forma: Encargo = (usto Base + ) Fator Encargo Frete de Suprmento É o custo de envar uma tonelada de gás de uma Fonte, ou de uma Undade, para uma Undade. Este, também engloba os custos com pedágo. O frete de suprmento é fxo de cada lgação possível. Este transporte pode ser feto por dutos, camnhões própros ou de terceros. Frete de Dstrbução usto de envar uma tonelada de gás de uma Undade para um muncípo clente. Para efeto do planejamento, a curva de frete é aproxmada por uma equação lnear com um custo fxo, ndependente da dstânca da entrega, e um custo varável, que opera sobre a dstânca estmada em km. Assm, os fretes de dstrbução são calculados através de equações lneares, com dferentes constantes para cada tpo de canal de venda. Esses canas podem ser separados em dos grupos: venda para comercalzação (revenda) e para consumdor fnal. Os canas de venda para comercalzação são camnhões própros que levam botões de gás para lojas que rão revender. Já os consumdores fnas vão desde donas de casa que compram botões de gás até fábrcas que compram gás a granel. IMS Frete = ustofxo + ustovarável dstânca Em Dezembro de 2002 entrou em vgor um novo sstema de trbutação para a venda do gás. O cálculo do IMS depende de uma sére de parâmetros que dependem do estado em que está sendo feta a compra, a transferênca ou a venda do gás, assm como do tpo de canal em se que está comercalzando o gás. Um estado pode adotar dos crtéros de cálculo de IMS dferentes: PMPF (Preço Médo Ponderado Fxo) ou MVA (Margem de Valor Agregado). No prmero deles, exste uma base de preço fxa por tonelada de gás, no estado. Este crtéro vsa facltar o cálculo do IMS, dado que o IMS é calculado em cma de um preço fxo para o gás no estado. Assm, todas as Undades de um mesmo estado, apresentam o mesmo valor de IMS por tonelada de gás nas suas notas de compra de gás, ndependente do preço que pagaram na compra do seu gás. O segundo crtéro é mas complcado do que o anteror. Neste, o IMS dependerá dos preços de compra do gás pela Undade. No caso de Undades comprando de dferentes Fontes a dferentes preços (o que é o usual), o IMS será função do preço médo ponderado dessas compras. 1929
O IMS pago pela empresa será dado pelo seu valor em uma das notas fcas retradas no decorrer da operação do gás que envolve a compra, a transferênca e a venda do gás. Esses valores serão aqu chamados de parcelas do IMS. O IMS pago será então dado por uma das parcelas resultantes do cálculo do IMS da operação, que engloba a compra (IMS, Fonte Undade), a transferênca (IMS T, Undade Undade) e a venda (IMS v, Undade lente) do gás, de acordo com os crtéros de cada um dos estados envolvdos na operação, ou canal de venda. IMS IMS T IMS V Fonte Undade1 Undade2 lente SUPRIMENTO DISTRIBUIÇÃO A segur estão descrtas as formas de cálculo de cada uma dessas parcelas do cálculo de IMS: IMS : Este é o valor do IMS na nota fscal da compra do gás da Fonte pela Undade. De acordo com o crtéro adotado no estado da Undade temos as seguntes formas de cálculo para o IMS : Estados do tpo PMPF: IMS = alíquota PreçoBasePMPF Estados do tpo MVA: Para compras realzadas dentro do própro estado: IMS = alíquota (1+MVA nterno) preço do gás da Fonte/(1-alíquota) Para compras nterestaduas: IMS = alíquota (1+MVA externo) preço do gás da Refnara Padrão Obs: os parâmetros acma são sempre relaconados ao estado da Undade. IMS T : Este é o valor do IMS na nota fscal da transferênca do gás da Undade 1 para a Undade 2. Neste caso são adotadas as mesmas formas de cálculo do caso acma, no entanto o preço do gás, que antes era o da Fonte, agora é dado pela méda ponderada dos de todos os preços de gás pagos pela Undade que faz a transferênca. Aqu os parâmetros são todos relatvos ao estado da Undade 2. Outra questão mportante é o ressarcmento. Sabemos que as parcelas não são todas pagas ao estado, o que acontece é uma comparação das notas dessas parcelas para chegar ao IMS realmente pago até o fnal da operação. Nesse ponto, a nota retrada na transferênca de gás da Undade 1 para a Undade 2 deverá ser comparada com a nota da compra do gás. Assm temos que vale sempre a nova parcela exceto no caso em que ela é menor do que a anteror e o estado da Undade 1 não tem dreto a ressarcmento, neste caso vale a maor que é a anteror. 1930
IMS V : Neste caso o IMS anda depende do canal em que está sendo comercalzado o gás. Assm, se o gás for venddo para Revenda são utlzados as mesmas formas de cálculo anterores. No entanto se a venda for para consumdor fnal precsamos saber anda se a venda esta sendo feta dentro do estado ou não. Se venda for dentro do estado, são utlzadas as mesmas formas de cálculo. Se venda Interestadual ou nterna no estado de SP: IMS = alíquota preço de venda Aqu também vale a regra de ressarcmento da undade dstrbudora, dependendo do seu estado. Neste caso temos que todos os parâmetros são relatvos ao estado do clente. Para o cálculo de cada uma dessas parcelas precsamos de uma tabela de estados com os parâmetros necessáros. Assm a tabela deve conter o estado, o tpo, o preço médo do estado caso ele seja do tpo PMPF, a MVA nterna e externa, caso o clente seja do tpo MVA, a alíquota, a exstênca ou não de ressarcmento no estado e a Refnara Padrão desse estado. Abaxo se encontra a tabela com as nformações de cada estado relatvas ao calculo do IMS. SglaEstado NomeEstado TpoIMS AlíquotaIMS MVAInterna MVAExterna FontePadrão BasePMPF Ressarcmento A Acre PMPF 17,00% 2856,80 AL Alagoas PMPF 12,00% 2346,10 AP Amapá PMPF 12,00% 2669,20 AM Amazonas PMPF 17,00% 2387,10 BA Baha MVA 12,00% 98,32% 138,97% FLAM E eará MVA 17,00% 95,61% 135,68% FLUB DF Dstrto Federal PMPF 12,00% 2595,00 SIM ES Espírto Santo MVA 17,00% 70,70% 105,66% FDU GO Goás PMPF 12,00% 2293,30 SIM MS M.Grosso do Sul PMPF 12,00% 2527,60 MA Maranhão PMPF 17,00% 2335,60 MT Mato Grosso PMPF 17,00% 3068,90 MG Mnas Geras PMPF 18,00% 2090,00 SIM PA Pará PMPF 17,00% 2365,80 SIM PB Paraíba PMPF 17,00% 2267,10 PR Paraná MVA 12,00% 115,03% 144,35% FPAR PE Pernambuco PMPF 17,00% 2260,80 PI Pauí PMPF 17,00% 2296,50 RN R.Grande do Norte MVA 17,00% 119,34% 164,26% FGUA RS R.Grande do Sul MVA 12,00% 105,31% 133,30% FFAP SIM RJ Ro de Janero PMPF 12,00% 2061,00 RR Rorama PMPF 17,00% 2520,00 RO Rondôna MVA 17,00% 80,68% 105,32% FMAN S Santa atarna PMPF 12,00% 2433,00 SIM SP São Paulo MVA 12,00% 94,51% 121,04% FPLA SIM SE Sergpe PMPF 19,00% 2307,00 TO Tocantns PMPF 12,00% 2538,50 A segur são mostrados dos exemplos para o calculo do IMS que sera efetvamente pago numa seqüênca de operações que envolvem desde a compra do gás pela Undade até a venda para o clente. 1931
Exemplo 1: Supondo que uma Undade em São Paulo compre gás de uma Fonte também em São Paulo, transfra para uma outra Undade em Mnas Geras, que vende para um Revendedor dentro do própro estado de Mnas: IMS IMS T IMS V Fonte em SP Undade1 em SP Undade2 em MG lente em MG SUPRIMENTO DISTRIBUIÇÃO Para este caso o IMS é calculado da segunte forma: O estado da Undade 1 que efetua a compra é do tpo MVA e a operação é nterna logo o valor do IMS que constará nessa nota será IMS alíquota x (1+ MVA = (1- alíquota) nterno ) x preço O estado da Undade 2 que recebe por transferênca (MG) é do tpo PMPF e o estado da Undade 1 que transfere (SP) tem dreto a ressarcmento, assm, ndependente do valor do IMS na nota anteror, o IMS da nova nota será IMS T = alíquota PMPF A venda é realzada para um clente revendedor nterno, de tal forma que o IMS seja o mesmo da nota anteror. IMS = alíquota PMPF om sso temos que o IMS efetvamente pago na operação é a alíquota vezes o PMPF do estado de Mnas Geras. 1932
Exemplo 2: Supondo que uma Undade em Pernambuco compre gás de uma Refnara no eará e venda para um clente consumdor fnal na Paraíba: IMS IMS V Fonte no E Undade em PE lente em MG SUPRIMENTO DISTRIBUIÇÃO Para este caso o IMS é calculado da segunte forma: O estado que efetua a compra (PE) é do tpo PMPF logo o valor do IMS que constará nessa nota será IMS = alíquota PMPF A venda é realzada para um clente consumdor fnal em estado do tpo MVA (MG) a partr de Undade em estado sem dreto a ressarcmento (PE) IMS V = alíquota (1+ MVA nterno ) preço (1-alíquota) omo o estado que realza a venda não tem dreto a ressarcmento o IMS efetvamente pago pela empresa é dado pelo maor resultado entre o IMS e o IMS V. 3. Modelagem O problema fo modelado como um problema de fluxo em redes, com restrções adconas para controlar as capacdades das Undades, onde queremos encontrar o fluxo de custo mínmo. Problema de Fluxo em Redes de usto Mínmo Seja G = (N,A) uma rede com custos c, lmtes nferores l e capacdades u assocados com cada arco (,j) A. Assocado a cada vértce N exste um número ntero b() representando a sua oferta (b() > 0), demanda (b() < 0) ou vértce de passagem (b() = 0). 1933
Mnmzar Z = c x j Sujeto a x x = k b Equlíbro de fluxo j k l x u apacdade de fluxo No nosso problema temos vértces que representam Fontes, vértces que representam Undades dstrbudoras e vértces que representam os clentes. Os vértces que representam Fontes têm uma oferta assocada, os que representam Undades são vértces de passagem e os que representam clentes têm uma demanda assocada a cada um deles. A capacdade é controlada pela soma dos fluxos dos arcos que chegam nos vértces da Undade em questão. Os possíves arcos são de fonte para undade, de undade para undade e de undade para clente, esses arcos têm lmtes nferores guas a 0 e são lmtados superormente. Seja fontes o conjunto das fontes, undades o conjunto das undades e clentes o conjunto dos muncípos clentes-canal. A varável x representa o número de toneladas de gás envadas através do arco (,j), temos que a modelagem do problema é dada por: j x = oferta fontes xjk k x = 0 j undades x x k = demanda k = apacdade j j undades Os custos de envar uma undade através de um dado arco: - usto dos arcos fontes-undades: Estes custos são formados pelo custo do gás em cada fonte somado às suas taxas adconas e o frete de levar o gás até a undade. - usto dos arcos Undade-Undade: São formados pelo frete (fxo da lgação) para a undade de destno. - usto dos arcos Undades-Muncípos lentes: São formados pelo frete (equação em função da qulometragem e que depende do canal de venda) para o muncípo mas os mpostos. 1934
usto do gás 0, se Flal1 = Flal2 + Frete Frete, c.c. Frete + IMS Fonte Oferta Undade1 apacdade Undadel2 Demanda lente SUPRIMENTO DISTRIBUIÇÃO Para estados do tpo MVA, o valor do IMS é calculado com base no preço de compra do gás. Uma vez que uma Undade pode comprar gás de mas de uma Fonte, para efetuarmos o calculo do IMS referente à venda desta Undade para um lente, teríamos que ter um preço médo ponderado do gás nessa Undade. Este preço sera dado por: Preço Médo Ponderado = cx x Logo, o IMS va ser dado por uma função não-lnear, o que tornara o problema muto dfícl de resolver. Para resolver este problema, fo proposto uma nova modelagem de forma a lnearzar a função objetvo. Isso fo feto crando varáves que descrevem um fluxo do gás que vão desde a Fonte até o lente, sto é cada varável X tem 5 índces, um para a Fonte, um para a Undade 1, um para a Undade 2, um para o lente e um para o canal de venda do gás. O que dexa o nosso modelo da segunte forma: Seja a varável X lck gual ao fluxo de gás que é envado, através de um determnado canal k, da fonte para o clente c, passando pelas undades j e l. MnZ = ( ustogas + + FreteFonteFlal + FreteFlalFlal + IMS + FreteDstrbucao)* X j c k c k j X Oferta(), ck X apacdade( j), j ck X = demanda(, c k), c, k ck hamaremos especal atenção aqu para a questão do IMS que fo prevamente descrta neste trabalho. om esse tpo de varável adotado para a mplementação temos em mãos todo o camnho do gás, o que faclta bastante o cálculo de cada parcela e do IMS resultante pago efetvamente pela dstrbudora. Não precsamos com sso calcular preço médo ponderado do gás em cada Undade no caso em que ela é abastecda por mas de uma Fonte ou Undade, o que nos parece nvável fazer na prátca dado que é dfícl dstngur de onde veo o gás orgnalmente destnado a tal clente. ck 1935
4. Resultados omputaconas Este modelo fo desenvolvdo em ambente Mcrosoft Vsual ++ 6.0 utlzando como resolvedor de programação lnear o software PLEX 7.1. Nele fo utlzado o método smplex para redes. Abaxo se encontra um resultado ótmo para o esquema de Suprmento, as Fontes estão ndcadas como nome e as Undades são os pontos extremos das arestas. Abaxo se encontra um resultado ótmo para o esquema de dstrbução, as Undades estão ndcadas com o nome e os muncípos são os pontos extremos das arestas. 1936
Na tabela abaxo se encontram os resultados numércos obtdos sobre os dados referentes a 5 meses consecutvos de operação da empresa. As três prmeras colunas mostram o tamanho do programa lnear correspondente ao modelo para aquele mês. A coluna segunte é o tempo em segundos para a resolução do programa lnear. Fnalmente, a últma coluna ndca as economas que poderam ser obtdas, comparando-se a solução ótma oferecda pelo modelo com a solução que fo efetvamente encontrada manualmente pelos planejadores da empresa e efetvamente realzada. lnhas colunas não zeros tempo (s) economa mês 1 1794 128188 409148 5,99 1,39% mês 2 1862 133152 424992 4,65 1,83% mês 3 1882 134539 433105 6,83 1,61% mês 4 1752 113322 358853 6,50 2,55% mês 5 1721 112895 357220 5,36 2,93% Os resultados obtdos ndcam substancas ganhos com o uso da otmzação, vsto que para a empresa estudada uma economa de 1% nos custos representa grandezas de ordem de 1 mlhão de reas por mês. Bblografa [1] M. Bazaraa, J. Jarvs, H. Sheral. Lnear Programmng and Network Flows, John Wley & Sons, 1990 [2] R. K. Ahuja, T. L. Magnant and J. B. Orln, Network Flows: Theory, Algorthms, and Applcatons, Prentce Hall, 1993. [3] Gua IOB de IMS/IPI, elaborado pelo advogado trbutarsta Roberto de Squera ampos, com apoo e supervsão da IOB, 2003. 1937