Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar (ou subtrair) fracções é necessário que estas estejam ao mesmo denominador. Feito isto mantém-se o denominador e somam-se (ou subtraem-se) os numeradores: 6 ( 6) 6 ( ) 0 0 0 7 0 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 6 6 0 Caso algum factor não tenha denominador considera-se que este é igual a :. Divisão de Fracções Para resolver divisões do tipo: 7 Pode-se multiplicar a fracção superior pelo inverso da inferior. Ou então, recorrer à regra do pneu em que os extremos da divisão passam (a multiplicar) para o numerador e os elementos do meio passam para o denominador. Isto é 7 Caso a divisão tenho apenas três parcelas então aconselha-se a completar a parcela de modo a obter uma situação como a anterior. Vejamos dois exemplos diferentes: x+ x+ x x x + x x+ x (x + ) (x ) (x + ) (x ) É importante saber onde está a principal divisão de modo a completar de modo conveniente.
. Simplificação em Fracções Em fracções só é permitido eliminar factores que estejam a multiplicar, por exemplo: x(x 7x) x 7x x x Em caso de soma no numerador é sempre possível separar a fracção e depois proceder à simplificação. Por exemplo: x x x x x x x. Eliminação de Denominadores Apenas em equações e inequações é permitido eliminar os denominadores, e claro que todos os elementos da fracção devem ter tal denominador: x + x 0x 0 0 + x 0 0 0 0x + x 0. Sinal Negativo Atrás de uma Fracção Na resolução de alguns problemas é usual surgir um sinal negativo antes de uma fracção. Tal sinal afecta toda os elementos da fracção. Um modo de simplificar uma situação deste tipo pode ser (por exemplo) trocar de sinal todos os elementos do numerador ficando desta forma um sinal positivo antes da fracção: x x + 7 x + + x + x 7 x + Cap. II Equações e Inequações 6. Resolução de Equações de Grau Numa equação (ou inequação) um determinado valor passa para o outro membro da igualdade (ou desigualdade) a efectuar a operação contrária. Um valor a somar passa para o outro lado a subtrair: x + x Um valor a subtrair passa para o outro lado a somar: x x + Um valor a multiplicar passa para o outro lado a dividir: x x Um valor a dividir passa para o outro lado a multiplicar: x x
7. Resolução de Equações de Grau Para resolver equações de grau do tipo ax + bx + c 0 recorre-se à fórmula resolvente: x b ± b ac a No entanto, existem duas situações especiais que não necessitam de fórmula resolvente: ax + c 0 Neste caso basta isolar x e fazer a raiz quadrada. Por exemplo: x 8 0 x 8 x 8 x 6 x ± 6 x ± ax + bx 0 Neste caso basta colocar em evidência x e recorrer à lei do anulamento do produto. Por exemplo: x + 6x 0 x(x + 6) 0 x 0 x + 6 0 x 0 x 6 x 0 x 6 x 0 x 8. Inequações de Grau A resolução de uma inequação deste tipo é muito semelhante à resolução de uma equação. É importante ter em conta que ao multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo o sinal da desigualdade vira. Por exemplo: x + 6 6 x + 6 6 6 x 6 x x x 6 O conjunto solução é S [ 6, + [. 9. Inequações de Grau Apenas para os alunos do 0 e 0 Vejamos o exemplo x + x + 9 x x +. A resolução de uma inequação deste tipo é diferente à resolução de uma equação do segundo grau. É necessário recorrer aos seguintes passos: Passar todos os termos da desigualdade para o membro do lado esquerdo e simplificar: x + x + 9 x x + x + x + 9 x + x 0 x + 6x + 8 0 Num cálculo auxiliar determinar os zeros da equação que se obtém ao substituir a desigualdade por uma igualdade: x + 6x + 8 0 x x Fazer o esboço da parábola indicando os zeros e a concavidade. Relembre que uma parábola ax + bx + c tem a concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0. Neste caso a logo a concavidade é voltada para baixo:
+ O conjunto solução é obtido tendo em conta o esboço obtido assim como a desigualdade obtida no primeiro passo. Se esta for do tipo > 0 (ou 0) conta a parte acima do eixo dos xx. Se for < 0 (ou 0) conta a parte abaixo (no caso das desigualdades dentro de parêntesis os intervalos são fechados). Neste caso x + 6x + 8 0 conta a parte negativa da parábola. A solução é S ], ] [, + [. 0. Os Casos Notáveis Caso surja alguma expressão do tipo (x ) esta deve ser resolvida recorrendo ao caso notável. Aqui fica uma lista dos três casos notáveis existentes: (a + b) a + ab + b (a b) a ab + b (a b)(a + b) a b Como alternativa é sempre possível recorrer ao facto de (por exemplo) (x ) (x )(x ) e a seguir aplica-se a propriedade distributiva da multilicação. No entanto é sempre aconselhável conhecer os casos notáveis.. Propriedades de Potências Cap. III Potências e Raizes Aqui fica uma lista das propriedades de potências e exemplos: Propriedades Potência Exemplo Produto (ab) n a n b n (x) x Divisão ( a b )n an ( x b n ) x Dupla (a n ) m a n m (x ) x x 8 Soma k a n ± k a n (k ± k )a n x x x Produto de Igual Base a n a m a n+m x x 7 x +7 x 0 a Divisão de Igual Base n n m x7 a x 7 x a m x Expoente Negativo () a n a n Expoente Negativo () ( a b ) n ( b a )n ( ) ( ). Passagem de Raiz para Potência É sempre possível passar uma raiz para potência (e vice-versa) uma vez que: m xn x n m Por exemplo x x. Desta forma todas as propriedades atrás descritas são igualmente aplicáveis às raizes.
. Resolução de Equações com Potências Na resolução de equações do tipo x n a é importante ter em atenção ao expoente n: Se este for ímpar então x n a. Por exemplo: x 9 x 9. Se este for par então x ± n a. Por exemplo: x 9 x ± 9. Note que neste caso se a for negativo tal equação é impossível uma vez que não existem raízes pares de números negativos.. Raizes e Valores sem Raiz É possível multipicar dois valores dentro de raizes desde que o índice seja igual. Por exemplo: Duas expressões a somar (ou subtrair) com a mesma raiz pode ser simplificado do seguinte modo: 6 Numa multiplificação de expressões do tipo a n b multiplicam-se os valores fora da raiz e os valores dentro da raiz separadamente (desde que os índices sejam iguais): ( 6 8) ( 6 9) 6 7. Racionalizar Denominadores Caso exista uma raiz quadrada no denominador convém retirá-lo multiplicando ambos termos da fracção por essa raiz. Por exemplo: ( ) 0