IRUITOS ELÉTRIOS APLIAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENIAIS DA FORMA x t x t x t x ( t) s Prof. Flávio A. M. iarrone Escola Politécnica a USP Teoria Para resolver a equação iferencial x ( t) x( t) x( t) xs( t), começamos escreveno a equação característica s s, cujas raízes fornecem as frequências comlexas rórias o sistema: s (.), Poemos istinguir ois casos, no que tange à forma a solução x(t): st. s s quano x( t) e e x ( t). s =s quano x( t) e te x ( t) one x (t) é uma solução articular a equação comleta. Nos casos e interesse rático, normalmente e moo que os ois rimeiros termos e x(t) são transitórios (ecaem a ) e x (t) é então a resosta ermanente o sistema. Além isto etermina-se x (t) e forma ineenente estes ois rimeiros termos. Por exemlo, se x s (t) for senoial, x (t) é a solução obtia or fasores, consierano o regime ermanente senoial. Seno assim, vejamos como euzir a solução no caso e s s. Escreveno x( t) e e x ( t) (.) st
torna-se necessário eterminar as constantes e. Para isto, escreveremos um sistema e equações em função as conições iniciais x () e x (), as quais everão ser obtias as equações o sistema em análise. Então: x( t) s e s e x ( t) (.3) st e o sistema fica: x () x() s s x () x() (.4) Escreveno em forma matricial: x() x () s x () x () s (.5) Definino: a x() x () b x() x () (.6) e lembrano que a inversa e uma matriz x oe ser escrita como a b b c a bc c a (.7) oemos resolver o sistema (.5) escreveno: s a sa b s s s b s s s a b (.8) Então, seno s s, a solução geral oe ser escrita como: s a b s a b x t e e x t st ( ) ( ) s s s s (.9) aso s, sejam reais (sueramortecimento) oemos izer que o roblema está resolvio, mas caso sejam comlexos conjugaos, everemos aina esenvolver (.9) um ouco mais e forma a obter x(t) como uma função real, que é o que evemos eserar. Entretanto, oemos rosseguir o esenvolvimento no caso sueramortecio efinino e forma que s,. Então temos:
( ) a b ( ) a b x t e e x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) t ( ) ( ) ou t ( a b) a t ( a b) a t x( t) e e e x ( t) t ( a b) a t ( a b) a t x( t) e e e x ( t) ou ou t ( a b) x( t) e sinh( t) a cosh( t) x ( t) Já se s, forem comlexos conjugaos (subamortecimento), e efinino fica: s j e s j (.) alculano e or (.8) com os s, aos or (.), chega-se à conclusão e que e são comlexos conjugaos. Denotano o conjugao e um comlexo z or z zt z t oe-se mostrar que ( e ) e a jb a [ecorre e e e (cosb jsin b) ] e que st ( zz ) z z. Disto resulta que e e e são conjugaos e ortanto, oemos escrever (.9) neste caso como: x t ( j ) a b a b e x t a j e t j t x t ou seja: ( ) ( ) Re j t ( ) Re t cos sin ( ) j t a b x( t) e a cost sin t x ( t) (.) Poemos escrever x(t) acima também na forma: t x( t) e cos( t ) x ( t) (.) Para isto lembre que sint cos( t 9 ) e que oemos somar uas co-senóies e mesma frequência emregano fasores. Então, conforme o iagrama abaixo: a b a 3
A maneira mais cômoa e concluir este cálculo consiste em inserir na calculaora o fasor que corresone à cossenóie (sem o amortecimento) ˆ a b a j (.3) e realizar a conversão ara a forma olar, obteno e. No entanto, se esejarmos uma exressão exlícita ara o cálculo, obtém-se: a a b a b atan, a (.4) Lembre que atan é a função arco-tangente moificaa, one temos ois argumentos (a rojeção y e a rojeção x nesta orem), e moo que esta função retorna o ângulo no quarante correto. O mesmo não se oe izer a função atan (arco-tangente comumente utilizao). Para encerrar, evemos euzir o caso one s s (amortecimento crítico) t x( t) e te x ( t) (.5) t x( t) e e te x ( t) (.6) t t t Imono t=, vem: x () x() x () x() (.7) Portanto: x() x () a x() x () b a (.8) t t x( t) ae ( b a) te x ( t) (.9) 4
Exemlos RL série V R V L i e s (t) + - V R Se alicarmos a a lei e Kirchoff ao circuito acima obteremos a equação: i L ( t) Ri( t) i( ) v e ( t) t t t s (.) Derivano novamente em relação ao temo e iviino tuo or L, vem: i R i e s ( t) ( t) i( t) ( t) (.) t L t L L t R Definino e conseguimos obter a forma e equação iferencial L L ara a qual euzimos a solução. Falta eterminar i() e i/t(), que são usaos em nossa solução. Ora, i() é o rório i o inutor. Já i/t() oe ser obtio a equação (.), visto que: i L () Ri() v es () e ortanto: t i es() v Ri () t L Daí, é so alicar as fórmulas que euzimos. Analogamente, temos ara o RL aralelo: RL aralelo i G i L i i s (t) G L V 5
Se alicarmos a a lei e Kirchoff ao circuito acima obteremos a equação: v ( t) Gv( t) v( ) i i ( t) t t L t s (.) Derivano novamente em relação ao temo e iviino tuo or L, vem: v G v i s ( t) ( t) v( t) ( t) (.3) t t L t G Definino e conseguimos obter a forma e equação iferencial L ara a qual euzimos a solução. Falta eterminar v() e v/t(), que são usaos em nossa solução. Ora, v() é o rório v o caacitor. Já v/t() oe ser obtio a equação (.), visto que: v () Gv() i is() e ortanto: t v is () () i Gv t R e seguna orem i s R V R V Poemos escrever: v v (.4) R v v v v v (.5) is R R Isolano v a (.4) e substituino em (.5), obtém-se: 6
is v v v R R R R R R (.6) Portanto: R R R R R Já v() v (que é a tensão inicial no caacitor ) enquanto que v () oe ser eterminaa a artir e (.4) como: v v v () R A artir aí, é só alicar as fórmulas que euzimos na seção teórica. Dicas: ) Para achar or exemlo v / t (), ergunte: One existe tal termo? A resosta será: na corrente o caacitor i( t) v / t. Então fotografe o circuito em t= e resolva esta corrente. ) Para eterminar e oe-se trabalhar com o circuito com os geraores ineenentes inativaos, já que estes geraores só contribuem ara o lao ireito a equação iferencial. Muitas vezes, nem é necessário escrever a equação iferencial visto que o circuito se reuz a um RL série ou a um RL aralelo. 7