Disciplina: 221171 Probabilidade Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1
Revisão de conceitos Você sabe contar? (Análise Combinatória) 2
Análise combinatória É um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los, ou seja, Estuda os métodos de contagem o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. História da análise combinatória Foi à necessidade de calcular o número de possibilidades existentes e as maneiras seguras de se ganharem nos chamados jogos de azar (tais como: baralho, dados e moedas), que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Esses estudos foram iniciados no século XVI, pelo: Niccollo Fontana (ou Tartaglia) (1500-1557) - matemático italiano. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 3
a) Quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 5,6 e 7? Arranjo Dado um conjunto A formado por n elementos, e sendo p um número inteiro positivo (p n), chama-se arranjo dos n elementos dados, tomados p a p, a qualquer sequência de p elementos formada com os elementos de A. A n,p = n(n 1) (n 2)... (n p + 1) produto de p fatores 4
b) De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem viajar dentro de um Fusca se todos podem dirigir? Fusca Permutação Dado um conjunto A formado por n elementos, chama-se permutação desses n elementos a qualquer sequência de n elementos em que compareçam todos os elementos de A. P n = n. (n 1). (n 2)... 3. 2. 1 = n! produto de n fatores 5
c) Quantas comissões com 2 membros podemos formar com 3 alunos? Combinação Dado um conjunto A formado por n elementos, e sendo p um número inteiro positivo, chama-se combinação dos n elementos dados, tomados p a p a qualquer subconjunto de A que possua p elementos. C n, p A n, p n! P p!( n p n p)! p Com isso, é possível responder a questões do tipo: Quantas amostras distintas de tamanho n é possível retirar da população? 6
Revisão de conceitos Teoria de conjuntos 7
Conceitos da teoria dos conjuntos Espaço amostral É o conjunto de TODOS os possíveis resultados de um certo fenômeno aleatório. OBS: Representaremos pela letra grega Ω. Eventos São os subconjuntos de Ω. OBS: Representados por letras maiúsculas (A, B, C, ). Um subconjunto vazio do espaço amostral é representado por. 8
Representação: Eventos A B D C Elementos do espaço amostral Ω Espaço amostral 9
Exemplo 1 Determine o espaço amostral ( ): Resultados Cara (K) Coroa (C) X: n. de lançamentos (1 moeda) = {K, C} 10
Exemplo 2 Determine o espaço amostral ( ): Resultados Y: n. de lançamentos (3 moedas) (K, K, K) (K, K, C) (K, C, K) (K, C, C) (C, K, K) (C, K, C) (C, C, K) (C, C, C) = {(K, K, K), (K, K, C),..., (C, C, C)} 11
Operações com eventos A união de dois eventos A e B, denotada por A B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. A B Diagrama de Venn A intersecção do evento A com o B, denotada por A B, é a ocorrência simultânea de A e B. Ω A B Ω 12
Exemplo 3 Fenômeno aleatório: Jogar um dado duas vezes. Descreva o espaço amostral. Início : 1. a jogada 2. a jogada 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 resultados 13
Exemplo 3 Notação: (1.a jogada, 2.a jogada, ) = { (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) } Evento A: A soma dos dados é igual a 4. A={(1,3);(2,2);(3,1)} Evento B: A soma dos dados é igual a 11. Evento C: A soma é 4 ou 11 A B = C B={(5,6);(6,5)} C={(1,3);(2,2);(3,1);(5,6);(6,5)} 14
Tipos de Eventos Exemplo: Coletar uma amostra de 50 peixes de um lago, marcá-los, devolvê-los, coletar uma nova amostra de tamanho 60 e observar o número de peixes marcados. a) Evento certo A = observar 50 ou menos peixes marcados A = Ω b) Evento impossível A = observar mais do que 50 peixes marcados A = 15
c) Eventos complementares: O complemento do evento A é o conjunto de pontos amostrais que não pertencem a A. Notação: A ou A c Dois eventos A e B são chamados complementares se A B = e A B=Ω. A B 16
d) Eventos disjuntos Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) quando não têm elementos em comum. Isto é, A B A B=. Em outras palavras: Se dois eventos, associados a um mesmo espaço amostral, não podem ocorrer ao mesmo tempo, Ou A ocorrência de um deles impede a possibilidade de ocorrência do outro (intersecção vazia). 17
Propriedades Lei de DeMorgan: a) (A B) c = A c B c b) (A B) c = A c B c Tarefa 1: Utilize o diagrama de Venn para demonstrar os itens a), b), c) e d). Distributiva: c) A (B C) = (A B) (A C) d) A (B C) = (A B) (A C) e) A = f) A Ω=A g) c = Ω h) Ω c = i) A A c = j) A A c = Ω k) A Ω = Ω l) A = A 18
Exemplo 4 Fenômeno Aleatório : Jogar um dado de seis faces. Espaço Amostral : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 1 3 5 2 4 6 Ω Evento A: Sair um número par A = {2, 4, 6} Evento B: Sair o número 2 B = {2} Evento C: Sair o número ímpar C = {1, 3, 5} B c = {1,3,4,5,6} A B = 2 A B = A A c = {1,3,5} A C = A C = C c = {2,4,6} B C = B C = {1, 2, 3, 5} 19
Tarefa 2 Utilizando o mesmo procedimento do Exemplo 2 anterior, considere o lançamento de dois dados honestos (resultados equiprováveis), calcular a chance dos seguintes eventos: A: Soma dos valores igual a 7; B: Resultados do primeiro dado é igual a 6; C: Soma nos dois dados é 2. 20