1 DEFINIÇÃO DE Chamamos de derivada parcial quando temos uma função que envolve mais de uma variável e queremos derivar em relação a uma delas. De forma geral, basta derivarmos em relação à variável de interesse, ignorando as outras variáveis, como se fossem constantes. NOTAÇÃO DE DERIVADA PARCIAL Se temos uma função f(x,y), a derivada parcial com relação a x é notada da seguinte forma: (x, y) ou f x (x,y) x Exemplo: x y Determine e da função: f(x,y)= x²y + 5y³ Queremos obter a derivada parcial em relação a x, ou seja, f x. Então derivamos como se y fosse uma constante: x = f x = 2xy Para derivar em relação a y, consideramos x como constante: y = f y (x) = x² + 15y² 2 REGRA DA CADEIA Usamos a regra da cadeia quando queremos fazer a derivada parcial de uma função composta, por exemplo z= f(x,y) onde x= g(t) e y=h(t). Para fazer a regra da cadeia, é legal seguirmos os seguintes passos: 1. Montar uma arvorezinha, ou seja, desenhar a dependência entre as variáveis. 2. Nomear todas as derivadas. 3. Pintar o caminho desejado. 4. Somar caminhos. Exemplo: Sejam z= x².y, x=t² e y=t³, calcule dz dt. Vamos começar montando a árvore e nomeando as derivadas Temos: z t z dx z dy =. +. x dt y dt
Derivando as equações: z x = 2xy z x = x².1 dx dt = 2t dy dt = 3t² Agora, basta substituirmos na nossa equação: dy = 2xy.2t + x².3t² dt Para obtermos uma equação apenas em função de t, basta substituirmos x=t² e y=t³ na equação acima dy = 2t².t³.2.t+ (t²)².3.t² dt dy = 4.t⁶+3.t⁶ = 7.t⁶ dt 3 DE SEGUNDA ORDEM NOTAÇÃO DE DERIVADA PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM As derivadas parciais de segunda ordem são representadas da seguinte forma: f xx = ²f x² = x ( x ) f yy = ²f y² = y ( y ) Se derivamos primeiro em relação a x e depois em relação a y (ou vice-versa), chamamos de derivadas parciais mistas, e a notação é: f xy = f yx = ²f x y = ( ) x y ²f y x = ( ) y x O legal aqui é que tanto faz a ordem em que derivamos: o resultado será sempre o mesmo! Matematicamente, dizemos que: f xy = f yx. 4 DERIVADAS DIRECIONAIS Nos permitem determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção.
Precisamos: 1. Das derivadas parciais em relação a todas as variáveis. 2. Do ponto onde queremos saber a taxa de variação. 3. Do vetor diretor que indica o sentido da variação (deve estar normalizado). EQUAÇÃO Basta calcularmos as derivadas parciais de cada uma das variáveis e então multiplicar pela componente do vetor normalizada de cada direção. Seja o vetor û= <u1,u2>. A derivada D da função f na direção do vetor u é representada por D u f: D u f(x,y) = f x (x,y). u1 + fy(x,y). u2 Com 2 variáveis, û= <u1,u2,u3>: D u f(x,y,z) = f x (x,y,z). u1 + f y (x,y,z). u2 + f z (x,y,z). u3 5 EQUAÇÃO DO PLANO TANGENTE Queremos encontrar o plano tangente ou a reta normal à superfície f(x,y) no ponto P0. Para isso, precisamos saber onde está localizado o plano, um ponto no plano e as componentes do vetor normal n= <a,b,c>. Para 2 variáveis, ou seja, f(x,y): f x (P0).(x-x0) + f y (P0).(y-y0) - (z-z0) = 0 Para 3 variáveis, ou seja, f(x,y,z): f x (P0).(x-x0) + f y (P0).(y-y0) - f z (P0).(z-z0) = 0 6 VETOR GRADIENTE É um vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais dessa função. Ele é representado por f e indica a maior taxa de variação da função.
f(x,y) = (f x (x,y), f y (x,y)) = f x. î + f y. ĵ f(x,y,z) = (f x (x,y,z), f y (x,y,z), f z (x,y,z)) = f x. î + f y. ĵ + f z. k LEMBRETE! O crescimento/ decrescimento máximo é para onde o vetor gradiente aponta e a taxa de variação é a norma do vetor. 7 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA São duas equações que representam a mesma reta, utilizando uma incógnita t, chamada de parâmetro. Precisamos de um ponto P0 por onde a reta r passa e de um vetor diretor v que indica para onde aponta a reta. 2 DIMENSÕES Sendo: As equações paramétricas da reta são: 3 DIMENSÕES v= <a,b> P0= (x0, y0) x= x0 + a.t y= y0 + b.t
Sendo: v= <a,b,c> P0= (x0, y0, z0) As equações paramétricas da reta são: x= x0 + a.t y= y0 + b.t z= z0 + c.t Nota: também podemos montar a equação paramétrica da reta utilizando 2 pontos, pois a partir deles podemos gerar um vetor e então usá-lo para equacionar. 8 MÁXIMOS E MÍNIMOS EM FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS A ideia é usar derivadas parciais para localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis. Passos para calcularmos os pontos máximos e mínimos: 1. Achar os pontos críticos igualar as derivadas parciais a zero: x y = 0 = 0 2. Fazer o teste da derivada segunda em cada ponto crítico: ²f x² = 0 ²f y² = 0 3. Calcular D= f xx (x0,y0).f yy (x0,y0) - f² xy (x0,y0). 4. Determinar se é um ponto de máximo ou de mínimo:
D > 0 f xx (x0,y0) > 0 É UM PONTO DE MÍNIMO! D > 0 f xx (x0,y0) < 0 É UM PONTO DE MÁXIMO! D < 0 f xx (x0,y0) > 0 É UM PONTO DE SELA! D = 0 NÃO PODEMOS AFIRMAR SE É MÁXIMO OU MÍNIMO! Mas o que é um ponto de sela mesmo? Chamamos de ponto de sela quando numa direção a função atinge um máximo num ponto e em outra direção, um mínimo no mesmo ponto. 9 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Utilizamos este método para encontrarmos os extremos de funções diferenciáveis f(x,y) com variáveis submetidas a restrições g(x,y). Basicamente, introduzimos uma nova variável λ (multiplicador de Lagrange): f(x,y) = g(x,y) Passos: Escrever as funções f e g. Calcular as derivadas parciais: f e g. Substituir na equação f(x,y) = g(x,y). Montar um sistema e resolvê-lo para encontrar o valor das variáveis. Exemplo: Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12 m² de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. Sendo x o comprimento, y a largura e z a altura da caixa, queremos maximizar a seguinte função V= x.y.z, sujeita à restrição: g(x,y,z) = 2xz + 2yz + xy = 12 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, geramos as equações: V x = λ.g x V y = λ.g y V z = λ.g z Calculando as derivadas parciais, temos o sistema: yz = λ(2z + y) xz = λ(2z + x) xy= λ(2x + 2y) 2xz + 2yz + xy = 12 Agora, podemos resolver de diversas maneiras. Podemos isolar λ em cada uma das equações e depois igualar as expressões resultantes ou multiplicarmos as equações para que fiquem com os lados esquerdos idênticos. Fazendo isso, obtemos x=2, y=2 e z=1.