Derivada - Parte 3 - Aplicações

Derivada - Parte 3 - Aplicações Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Câmpus Londrina Wellington D. Previero Derivada 1 / 77 Sumário 1 Taxas de variação 2 Taxas relacionadas 3 Máximos e mínimos 4 Problemas de otimização 5 Crescimento, decrescimento e concavidade Wellington D. Previero Derivada 2 / 77 1 Taxas de variação 2 Taxas relacionadas 3 Máximos e mínimos 4 Problemas de otimização 5 Crescimento, decrescimento e concavidade Wellington D. Previero Derivada 3 / 77

Taxas de variação Vimos que a derivada é utilizada para calcular a inclinação da reta tangente em um ponto. A derivada também pode ser usada para calcular a taxa de variação de uma variável em relação a outra variável. Wellington D. Previero Derivada 4 / 77 Taxas de variação Definição (Taxa de variação média) Se y = f (x), então a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x 0, x 1 ] é dado por y = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0. Wellington D. Previero Derivada 5 / 77 Taxas de variação Wellington D. Previero Derivada 6 / 77

Taxas de variação Observe que a taxa de variação y é a inclinação da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )). Wellington D. Previero Derivada 7 / 77 Taxas de variação Exemplo Se uma bola de bilhar cair de uma altura de 100cm em relação ao solo, a função posição s que dá a sua altura em função do tempo t é s(t) = 16t 2 + 100, onde s é a medida em cm e t é medido em segundos. Calcule a velocidade média nos intervalos abaixo: a) [1, 2] b) [1; 1, 5] c) [1; 1, 1] d) [1; 1 + t] Wellington D. Previero Derivada 8 / 77 Taxas de variação Definição (Taxa de variação instantânea) Se y = f (x), então a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x 0 é a inclinação m tg da reta tangente ao gráfico de f em x 0, isto é, f (x 1 ) f (x 0 ) m tg = lim. x 1 x 0 x 1 x 0 Wellington D. Previero Derivada 9 / 77

Taxas de variação Exemplo No instante t = 0, um mergulhador pula de uma plataforma de mergulho de uma altura de 24 metros do nível da água. A posição do mergulhador é dada pela função s(t) = 16t 2 + 16t + 24, onde s é medido em metros e t é medido em segundos. a) Em que instante o mergulhador atinge a superfície da água? b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? Wellington D. Previero Derivada 10 / 77 1 Taxas de variação 2 Taxas relacionadas 3 Máximos e mínimos 4 Problemas de otimização 5 Crescimento, decrescimento e concavidade Wellington D. Previero Derivada 11 / 77 Taxas relacionadas Objetivo: calcular a taxa de variação de duas ou mais variáveis relacionadas e que dependem do tempo. Wellington D. Previero Derivada 12 / 77

Taxas relacionadas Roteiro para resolver problemas de taxas relacionadas: a) Faça um esboço do problema e identifique todas as variáveis do problema. Escreva as quantidades dadas e aquelas que devem ser calculadas. b) Escreva uma equação envolvendo as variáveis cujas taxas de variação ou são dadas ou precisam ser calculadas. c) Usando a regra da cadeia, derive implicitamente ambos os lados da equação em relação à variável t. d) Substitua todos os valores dados das variáveis e de suas taxas de variação. Calcule a taxa pedida. Wellington D. Previero Derivada 13 / 77 Taxas relacionadas Exemplo 1 Suponhamos que um óleo derramado através da ruptura de um tanque de um navio se espalha em forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/segundo. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o raio for de 60 pés? Wellington D. Previero Derivada 14 / 77 Taxas relacionadas Exemplo 1 Wellington D. Previero Derivada 15 / 77

Taxas relacionadas Exemplo 2 O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é s = 50t 2, s é medido em pés e t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de 2000 pés. Calcule a velocidade angular da câmera no instante t = 10 segundos. Wellington D. Previero Derivada 16 / 77 Taxas relacionadas Exemplo 2 Wellington D. Previero Derivada 17 / 77 Taxas relacionadas Exemplo 3 As extremidades de um bastão móvel, de 1 metro de comprimento, têm coordenadas (x, 0) e (0, y) respectivamente. A função posição para a extremidade que se encontra no eixo x é x(t) = 1 2 senπt, onde t é o tempo medido em segundos. 6 a) Calcule o tempo para o bastão completar um ciclo. b) Qual o ponto mais baixo atingido pela extremidade do bastão que está sobre o eixo y? c) Calcule a velocidade da extremidade do bastão que está sobre o eixo y quando estiver no ponto (1/4, 0). Wellington D. Previero Derivada 18 / 77

Taxas relacionadas Exemplo 3 Wellington D. Previero Derivada 19 / 77 Taxas relacionadas Exemplo 4 Um bastão de conexão de 7 polegadas é acoplado a uma manivela cujo raio é de 3 polegadas. A manivela gira no sentido anti-horário a uma taxa constante de 200 rotações por minuto. Calcule a velocidade do pistão quando θ = 1 3 π. Wellington D. Previero Derivada 20 / 77 Taxas relacionadas Exemplo 4 Wellington D. Previero Derivada 21 / 77

1 Taxas de variação 2 Taxas relacionadas 3 Máximos e mínimos 4 Problemas de otimização 5 Crescimento, decrescimento e concavidade Wellington D. Previero Derivada 22 / 77 Máximo e mínimos Definição (Máximos e mínimos) Seja f uma função definida num intervalo I que contenha c. a) f (c) é o mínimo de f em I se f (c) f (x) para todo x I. b) f (c) é o máximo de f em I se f (c) f (x) para todo x I. Wellington D. Previero Derivada 23 / 77 Máximo e mínimos Figura: Gráfico de f (x) = senx, para x [0, 2π]. Valor máximo em x = π 2 e mínimo em x = 3π 2. Wellington D. Previero Derivada 24 / 77

Máximo e mínimos Figura: Gráfico de f (x) = x 2 + 1, para x ( 1, 2). Valor mínimo em x = 0. Wellington D. Previero Derivada 25 / 77 Máximo e mínimos Figura: Gráfico de f (x) = e x, para x (0, 6). A função não tem valor máximo e nem mínimo. Wellington D. Previero Derivada 26 / 77 Máximo e mínimos Teorema 16 Se f é contínua no intervalo fechado [a, b], então f tem tanto máximo quanto mínimo neste intervalo. Wellington D. Previero Derivada 27 / 77

Máximo e mínimos Figura: Gráfico de f (x) = x 3 3x 2, para x [ 0.5, 2.5]. Valor máximo em x = 0 e mínimo em x = 2. Wellington D. Previero Derivada 28 / 77 Máximo e mínimos Figura: Gráfico de f (x) = x 2 1, para x [ 2, 2]. Valor máximo em x = 2 e x = 2 e mínimo em x = 0. Wellington D. Previero Derivada 29 / 77 Máximo e mínimos Figura: Gráfico de f (x) = x + 2, para x [ 2, 2]. Valor máximo em x = 0 e mínimo em x = 2 e x = 2. Wellington D. Previero Derivada 30 / 77

Máximo e mínimos Quando o valor máximo ou mínimo de f ocorre em um intervalo aberto I, qual o valor de f nesses pontos? Wellington D. Previero Derivada 31 / 77 Máximo e mínimos Definição (Ponto crítico) Seja f uma função definida em c. Se f (c) = 0 ou se f não é diferenciável em c, então c é um número crítico de f. Teorema 17 Se f tem um máximo ou mínimo em um intervalo aberto I, tal que o valor máximo ou mínimo ocorra em c, então c é um número crítico de f. Wellington D. Previero Derivada 32 / 77 Máximo e mínimos Se c é um número crítico de f, então c é um valor máximo ou mínimo? Wellington D. Previero Derivada 33 / 77

Máximo e mínimos Procedimento para encontrar os valores de máximo e mínimo de f em um intervalo fechado [a, b]: a) Ache os números críticos de f em (a, b). b) Calcule o valor de f em cada número crítico em (a, b). c) Calcule f em a e b (extremidades de intervalo). d) O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máximo. Wellington D. Previero Derivada 34 / 77 Máximo e mínimos Exemplo 5 Ache os pontos de máximo e mínimo de f (x) = 3x 4 4x 3, no intervalo [ 1, 2]. Wellington D. Previero Derivada 35 / 77 1 Taxas de variação 2 Taxas relacionadas 3 Máximos e mínimos 4 Problemas de otimização 5 Crescimento, decrescimento e concavidade Wellington D. Previero Derivada 36 / 77

Problemas de otimização Roteiro para resolver problemas de máximo e mínimo: a) Faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema. b) Ache uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada. c) Use as condições dadas no problema para eliminar variáveis, expresse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como função de uma variável. d) Ache o intervalo de valores possíveis para esta variável a partir das restrições físicas do problema. e) Se aplicável, use as técnicas estudadas para obter o máximo ou mínimo. Wellington D. Previero Derivada 37 / 77 Problemas de otimização Exemplo 6: Caixa de papelão Um fabricante produz placas de papelão quadradas de 20cm de lados para fabricar caixas. As caixas de papelão são obtidas cortando pequenos quadrados dos cantos e dobrando para cima os lados. Determine o tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com o volume máximo. Wellington D. Previero Derivada 38 / 77 Problemas de otimização Wellington D. Previero Derivada 39 / 77

Problemas de otimização Exemplo 7: Cerca de área máxima Um fazendeiro tem 400 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está a margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? Wellington D. Previero Derivada 40 / 77 Problemas de otimização Exemplo 8: Retângulo de maior área Determine o retângulo com a maior área possível inscrito na semi circunferência de raio 1 e centro na origem. Dois vértices do retângulo devem estar no eixo-x e os dois vértices restantes no gráfico da semi circunferência. Wellington D. Previero Derivada 41 / 77 Problemas de otimização Exemplo 9: Caixa mais econômica Deseja construir uma caixa retangular com uma base quadrada e topo aberto com volume de 5m 3. Encontre as dimensões da caixa que irá minimizar a área de superfície, a fim de garantir que a caixa possa ser fabricada da maneira mais econômica. Wellington D. Previero Derivada 42 / 77

Problemas de otimização Exemplo 10: Problema de atingir a margem oposta Uma pessoa está em um ponto A na margem de um rio (de margem reta) com 3 km de largura e quer chegar ao ponto B a 8 km abaixo, na margem oposta. A pessoa pode utilizar um barco para ir ao outro lado do rio e então caminhar até B, ou remar diretamente para B. Se o pessoa reme com a velocidade de 6 km/h e caminhe a 8 km/h, como chegar ao ponto B o mais rapidamente possível? (Despreze a corrente no rio.) Wellington D. Previero Derivada 43 / 77 Problemas de otimização Exemplo 10: Janela com maior iluminação Uma janela deve ser feita de modo que sua forma consiste em um arco semi-circular acima de um retângulo e o diâmetro do arco semi-circular é igual à largura do retângulo. O perímetro da janela não deve ser superior a 10 metros. O objetivo é fazer a janela de tal forma que ela transmite a maior quantidade de luz possível, maximizando sua área. Que dimensões devem ser escolhidas para a janela, e qual é a área máxima correspondente? Wellington D. Previero Derivada 44 / 77 Problemas de otimização Wellington D. Previero Derivada 45 / 77

1 Taxas de variação 2 Taxas relacionadas 3 Máximos e mínimos 4 Problemas de otimização 5 Crescimento, decrescimento e concavidade Wellington D. Previero Derivada 46 / 77 Crescimento e decrescimento Teorema 18 (Teste para funções crescente e decrescente) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). a) Se f (x) > 0 para todo x (a, b), então f é crescente em [a, b]. b) Se f (x) < 0 para todo x (a, b), então f é decrescente em [a, b]. c) Se f (x) = 0 para todo x (a, b), então f é constante em [a, b]. Wellington D. Previero Derivada 47 / 77 Crescimento e decrescimento Figura: A função f é crescente em [ 2, 0] e [2, 4]. Wellington D. Previero Derivada 48 / 77

Crescimento e decrescimento Figura: A função f é decrescente em [0, 2]. Wellington D. Previero Derivada 49 / 77 Crescimento e decrescimento Exemplo: Determine os intervalos em que a função y = f (x) é crescente ou decrescente. a) f (x) = x 3 4 3x. b) f (x) = x 2 x + 1. Wellington D. Previero Derivada 50 / 77 Exemplo Figura: Gráfico de f (x) = x 3 4 3x. Wellington D. Previero Derivada 51 / 77

Exemplo Figura: Gráfico de f (x) = x 2 x + 1. Wellington D. Previero Derivada 52 / 77 Crescimento e decrescimento Teorema 19 (Teste da primeira derivada) Seja c um número crítico de uma função f que é contínua em um intervalo aberto I contendo c. Se f é diferenciável em I, com a possível exceção de c então f (c) pode ser classificada. a) Se f (x) muda de positivo para negativo em c, então f tem um máximo em (c, f (c)). b) Se f (x) muda de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo em (c, f (c)). c) Se f (x) é positivo dos dois lados de c, ou negativo dos dois lados de c, então f (c) não é nem um mínimo nem um máximo para a função f em I. Wellington D. Previero Derivada 53 / 77 Crescimento e decrescimento Figura: Ponto de máximo em (3, f (3)). Wellington D. Previero Derivada 54 / 77

Crescimento e decrescimento Figura: Ponto de mínimo em (3, f (3)). Wellington D. Previero Derivada 55 / 77 Crescimento e decrescimento Figura: Nem máximo e nem mínimo no ponto (3, f (3)). Wellington D. Previero Derivada 56 / 77 Crescimento e decrescimento Figura: Nem máximo e nem mínimo no ponto (3, f (3)). Wellington D. Previero Derivada 57 / 77

Crescimento e decrescimento Exemplo: Ache os números críticos de f e aplique o Teste da Primeira Derivada para identificar se representam valores de máximo ou de mínimo da função. a) f (x) = x + 1 x. b) f (x) = senx + cos x, x (0, 2π). Wellington D. Previero Derivada 58 / 77 Exemplo Figura: Gráfico de f (x) = x + 1 x. Wellington D. Previero Derivada 59 / 77 Exemplo Figura: Gráfico de f (x) = senx + cos x, x [0, 2π]. Wellington D. Previero Derivada 60 / 77

Concavidade Embora o sinal da derivada de f descreve onde o seu gráfico é crescente ou decrescente, o mesmo não revela a direção da curvatura, isto é, se o gráfico de f está curvado para cima ou para baixo. Figura: Concavidade para cima. Figura: Concavidade para baixo. Wellington D. Previero Derivada 61 / 77 Concavidade Figura: Côncava para cima. Wellington D. Previero Derivada 62 / 77 Concavidade Figura: Côncava para cima. Wellington D. Previero Derivada 63 / 77

Concavidade Figura: Côncava para baixo. Wellington D. Previero Derivada 64 / 77 Concavidade Figura: Côncava para baixo. Wellington D. Previero Derivada 65 / 77 Concavidade Definição (Concavidade) Seja f uma função diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é côncava para cima em I se f for crescente, e côncava para baixo se f for decrescente no intervalo. Wellington D. Previero Derivada 66 / 77

Concavidade Teorema (Teste para concavidade) Seja f uma função cuja derivada exista em um intervalo aberto I. a) Se f (x) > 0 em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I. b) Se f (x) < 0 em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I. Wellington D. Previero Derivada 67 / 77 Concavidade Exemplo: Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico de f (x) = x 3 3x 2 + 1 é côncava para cima ou para baixo. Wellington D. Previero Derivada 68 / 77 Exemplo Figura: Gráfico e direção da concavidade de f (x) = x 3 3x 2 + 1. Wellington D. Previero Derivada 69 / 77

Exemplo Figura: Variação do coeficiente angular da reta tangente. Wellington D. Previero Derivada 70 / 77 Exemplo Figura: Gráfico de f e f Wellington D. Previero Derivada 71 / 77 Exemplo Figura: Gráfico de f, f e f Wellington D. Previero Derivada 72 / 77

Concavidade Definição (Ponto de inflexão) Seja f uma função contínua em um intervalo aberto e seja c um ponto no intervalo. Se o gráfico de f muda a direção da concavidade em c, então dizemos que o gráfico f tem um ponto de inflexão em (c, f (c)). Figura: Gráfico de f (x) = 6 Wellington D. Previero Derivada x 2 +3. 73 / 77 Concavidade Definição (Ponto de inflexão) Seja f uma função contínua em um intervalo aberto e seja c um ponto no intervalo. Se o gráfico de f muda a direção da concavidade em c, então dizemos que o gráfico f tem um ponto de inflexão em (c, f (c)). Figura: Ponto de inflexão em ( 1, f ( 1)) e (1, f (1)). Wellington D. Previero Derivada 74 / 77 Concavidade Teorema (Ponto de inflexão) Seja (c, f (c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f, então ou f (c) = 0 ou f não existe em x = c.. Wellington D. Previero Derivada 75 / 77

Concavidade Exemplo: Considere a função f (x) = x 4 4x 3. Discuta o crescimento e a concavidade da função e determine os pontos de máximo, mínimo e de inflexão. Faça um esboço do gráfico. Wellington D. Previero Derivada 76 / 77 Concavidade Teorema (Teste da segunda derivada) Seja f uma função tal que f (c) = 0 e tal que a segunda derivada de f exista em um intervalo aberto contendo c. a) Se f (c) > 0, então f tem um mínimo em (c, f (c)). b) Se f (c) < 0, então f tem um máximo em (c, f (c)). c) Se f (c) = 0 o teste é inconcluso. Neste caso, podemos utilizar o Teste da Primeira Derivada. Wellington D. Previero Derivada 77 / 77