Universidade Federal do Rio de J a neiro Insiuo de Economia Teses de Racionalidade para Loerias no Brasil TD. 010/2004 Marcelo Resende Marcos A. M. Lima Série Texos para Discussão
Teses de Racionalidade para Loerias no Brasil Marcos A. M. Lima Faculdade de Economia e Finanças, IBMEC-RJ Av. Rio Branco 108, Cenro, 20.040-001, Rio de Janeiro-RJ, Brazil Email: mamdl@uol.com.br Marcelo Resende Insiuo de Economia, Universidade Federal do Rio de Janeiro Av. Paseur 250, Urca, 22290-240, Rio de Janeiro-RJ, Brazil Email: mresende@ie.ufrj.br Absrac The paper invesigaes he prevalence of raional expecaions in he case of wo Brazilian loeries (Quina and Mega-Sena). The esing sraegy relaes o an orhogonaliy condiion beween he condiional forecas error and he informaion se. Specifically, he residual of a equaion for ne price of a loery icke should be uncorrelaed wih sales The resuls favoured he raional expecaions hypohesis only in he case of he Mega-Sena ha is subjec o broad media coverage. Clearly he Quina loery is associaed wih a diferen profile of beers. Key-words: loeries, raional expecaions Sumário O arigo invesiga a prevalência de expecaivas racionais no caso de duas loerias brasileiras (Quina e Mega-Sena). A esraégia de ese se relaciona com uma condição de orogonalidade enre o erro condicional de previsão e o conjuno de informação. Especificamene, o resíduo de uma equação para o preço líquido de um bilhee de loeria deveria ser não correlacionado com as vendas. Os resulados favoreceram a hipóese de expecaivas racionais somene no caso da Mega-Sena que é sujeia à ampla coberura da mídia. Claramene a Quina esá associada a um perfil disino de aposadores. Palavras-chave: loeria, expecaivas racionais.
1. Inrodução A difusão de mecanismos insiucionalizados de loerias em sido recenemene expandida nos Esados Unidos e na Europa e conseqüenemene em-se ampliado o ineresse na análise econômica correspondene [ver Walker (1998) para uma resenha]. No caso brasileiro, marcado por fores desigualdades na disribuição de renda, não se pode deixar de noar o enorme fascínio causado pelos grandes acúmulos de prêmios e pode-se observar uma crescene proliferação de diferenes modalidades de loerias. Em paricular, observa-se a redução da imporância das loerias esporivas radicionais que foram sobrepujadas por diferenes formas de loerias de números ou varianes com prêmios insanâneos ( raspadinhas ). Uma primeira consaação imporane é que os monanes envolvidos são não desprezíveis e porano uma análise econômica dessa aividade é oporuna especialmene no caso brasileiro. Em ermos gerais as loerias podem ser caracerizadas em ermos de aspecos referenes às dimensões de ofera e demanda. No primeiro caso, o foco dos esudos esá no desenho óimo do mecanismo de loeria do pono de visa do provedor. Vale dizer, em que medida as modalidades de loeria aendem ao objeivo de maximização de receia. Com efeio, em uma economia como a brasileira que já esá sujeia a uma das maiores cargas ribuárias do mundo, a loeria acaba por funcionar como um mecanismo de axação volunária que em um papel relevane para viabilizar repasses para diferenes boas causas. Mais recenemene em se observado no Brasil uma políica aiva de expansão de diferenes loerias por pare das enidades esaduais e federais envolvidas, quer no conjuno de modalidades exisenes quer na freqüencia dos soreios. Denre alguns esudos pelo lado da ofera merecem menção os rabalhos de Farrell &
Walker (1998) e Walker (2001) para o Reino Unido e de Cook & Clofeler (1993) para os Esados Unidos. Uma segunda verene da lieraura empírica, mais relacionada ao presene rabalho, invesiga diferenes aspecos associados à demanda por loerias. Nessa linha desacam-se esudos que procuram deecar vício no comporameno de demanda por loerias, reforçados em paricular por grandes acúmulos de prêmios ( rollover ) como indicado por Farrell e al (1999) e ainda eses de racionalidade que enfaizam a aderência (ainda que implícia) do comporameno dos jogadores ao valor esperado associado à compra de um bilhee de loeria [ver Sco & Gulley (1995) e Forres e al (2000)]. Prima facie, poder-se-ia quesionar que a noção de racionalidade poderia ser resriiva no conexo de loerias, na medida em que muios jogadores poderiam ober um prazer relacionado ao simples ao de jogar que seja em pare dissociado da expecaiva objeiva de ganho financeiro. Conlisk (1993), por exemplo, levana al linha de argumenação para moivar o jogo em cenários auarialmene desfavoráveis. Tais observações, conudo, não invalidam necessariamene alguma noção de racionalidade. De fao, parece exisir um número significaivo de indivíduos que só jogam quando o prêmio esá acumulado e a ocorrência de prêmios acumulados não é rara como o seria o caso se os números fossem escolhidos de forma aleaória. Farrell e al (2000) enfaizam o papel da escolha consciene de números no acúmulo frequene de prêmios. Assim sendo, o aumeno do valor esperado do bilhee nessas ocasiões pode esar posiivamene associado ao aumeno de vendas que freqüenemene é induzido quando os prêmios se acumulam significaivamene. A hipóese de expecaivas racionais assume que os agenes (ainda que de forma inuiiva) não comeem erros de previsão sisemáicos. Nesse senido, uma condição chave refere-se à não correlação enre os erros de previsão
condicionais e o conjuno de informação disponível. Tal condição de orogonalidade é imporane ambém do pono de visa práico já que a demanda por loerias ipicamene envolve agregação de aposadores que se defronam com um mesmo valor esperado de bilhee e a hipóese de expecaivas racionais seria cenral nessa aproximação [ver Walker (1998)]. O presene arigo preende efeuar um esforço inicial de invesigar economicamene as loerias de números no Brasil (Mega-Sena e Quina) no ocane a aspecos de racionalidade do comporameno da demanda. O rabalho esá organizado da seguine forma. Na segunda seção discue-se brevemene o procedimeno a ser adoado para esar racionalidade. A erceira seção discue a base de dados, a consrução das variáveis uilizadas no esudo e apresena os resulados empíricos. A quara seção raz os comenários finais e direções para pesquisas fuuras. 2- Loerias de Números: Aspecos Conceiuais O exame da racionalidade do comporameno de demanda por loerias esá direamene associado a relações bem definidas enre o valor esperado associado a um bilhee de loeria e o volume de vendas dos mesmos. Nesa seção, discuimos de forma sinéica os elemenos conceiuais básicos envolvidos, mas conexualizados para o caso brasileiro. Especificamene, consideraremos a Mega-Sena (que prevê a escolha de 6 a 15 números denre 60 números possíveis e cujo bilhee mais simples cusa R$ 1,00) e a Quina (que prevê a escolha de 5 a 8 números denre 80 possíveis, e cujo bilhee mais simples cusa R$ 0,25) 1 2.1- Valor Esperado de um Bilhee de Loeria 1 Os referidos valores de bilhees prevaleciam denro do período amosral considerado.
O primeiro auor a desenvolver uma expressão formal par o valor esperado de um bilhee de loeria foi Sprowls (1970). Esa expressão foi alerada por Lim (1995) e Scoggins (1995). No presene arigo será uilizada a expressão desenvolvida por eses dois úlimos auores modificada com a finalidade de se adequar às especificidades das loerias brasileiras (Quina e Mega-Sena no caso). A expressão que será apresenada a seguir considera que os números são selecionados aleaoriamene pelos aposadores. O valor do prêmio principal é igual à proporção 2 (fixa) da arrecadação desinada a ese prêmio, mais o prêmio acumulado do soreio anerior (se houver). Além disso, no caso específico da mega-sena, uma proporção da arrecadação de cada soreio é reservada com o inuio de ser acrescida ao prêmio principal dos soreios de final zero. Considerando C como a arrecadação no período, R como o monane acumulado do soreio anerior, e π 6 como a proporção da arrecadação desinada ao prêmio principal, define-se, o valor do prêmio principal (J ) da seguine forma: J ( π R ; C ) = R + π. C (1) 6, 6 Nos soreios de final zero para a Mega-sena ese valor será o seguine: J ( π R ; C, R ) = R + π. C (2) 6, 0 6 + R0 onde R 0 represena a monane arrecadado que é guardado para os soreios de final zero. Para a Quina a expressão é a seguine: J ( π R ; C ) = R + π. C (3) 5, 5 Uma vez definido o monane desinado ao prêmio principal, pode-se ober uma expressão para o valor esperado de um bilhee de loerias. Para ano, é necessário uilizar as probabilidades de ganhar o prêmio máximo com um bilhee, p 6 (1/50.063.860) para o caso da mega-sena e p 5 (1/24.040.016) no caso da Quina. A probabilidade do prêmio acumular é igual à probabilidade de que 2 No caso brasileiro, para a mega-sena o prêmio bruo corresponde a 46% da renda brua (arrecadação). Dese monane: 30% para os aceradores dos 6 números soreados (Sena) 25% para os aceradores de 5 dos 6 números soreados (Quina) 25% para os aceradores de 4 dos 6 números soreados (Quadra) 20% se desinam a inegrar a premiação dos aceradores dos 6 números soreados (Sena), nos concursos de final zero. Para a Quina, a proporção da arrecadação desinada à premiação ambém é de 46%, divididos como se segue: 40% para os aceradores dos 5 números soreados (Quina) 30% para os aceradores de 4 dos 5 números soreados (Quadra) 30% para os aceradores de 3 dos 5 números soreados (Terno).
nenhum dos jogadores vença o prêmio principal, que é, i=5 ou 6. Ese cálculo leva em consideração o fao de que cada bilhee é vendido a R$ 1,00. No cálculo do valor esperado deve-se considerar ambém os prêmios menores. O valor esperado (V) pode ser represenado pela seguine expressão, apresenada em Farrell e al (1999): V ( R, π V ( R, π 6 5, π, π j j, p, p 6 5 ; C ; C ) = ) = C [ 1 ( 1 p ) ][ R + π. C ] 6 C [ 1 ( 1 p ) ][ R + π. C ] 5 C C 6 5 + + j ( 1 A equação (4) represena o valor esperado de um bilhee de loerias da Mega-sena 3, enquano a equação (5) represena a mesma medida para a Quina. Os ermos π j represenam as parcelas da arrecadação desinadas aos prêmios menores (quina e quadra para a Mega-sena, quadra e erno para a Quina). No anexo I, enconram-se os gráficos dos valores esperados dos bilhees das duas loerias para o período analisado nese arigo. O preço líquido do bilhee de loeria (P) é dado por R$ 1,00 V. O preço líquido do bilhee é a parcela do preço pago (R$ 1,00) que não é reornada ao aposador na forma de prêmios. O valor esperado do bilhee a cada soreio da Mega-Sena e Quina consiui um ingrediene-chave na implemenação de eses de racionalidade para loerias que passam a ser discuidos na próxima sub-seção j π π j j p ) i C C C (4) (5) 2.2- Teses de Expecaivas Racionais em Loerias Nesa seção será apresenada a meodologia uilizada para esar a hipóese de expecaivas racionais no mercado de loerias. Ou seja, se os aposadores exibem expecaivas racionais em suas decisões de aposar. Para ano, deve-se verificar se o aposador leva em consideração o valor esperado (e conseqüenemene o preço líquido) do bilhee em suas decisões sobre aposas. Para er uma idéia do valor esperado do bilhee (equações (4) e (5)), o aposador deve er informações sobre o prêmio acumulado, a probabilidade de ganhar o prêmio principal, a proporção da arrecadação desinada aos prêmios 3 Para os soreios de final zero a pare do valor esperado correspondene à expressão (1) é subsiuída pela equação (2).
e a arrecadação. Com exceção da arrecadação, odas as demais variáveis são observáveis, ou seja, o aposador possui esas informações no momeno em que decide sobre a aposa. Fica, porano, falando ao aposador ober informações sobre a arrecadação. Se o aposador esimar correamene a arrecadação, em média, ele esará esimando o valor esperado do bilhee correamene. A quesão a ser verificada passa enão pela forma como os aposadores esimam o valor esperado (logo, o preço líquido) e a arrecadação. O ese para expecaivas racionais consise em verificar se os erros de previsão dos indivíduos possuem alguma relação com as vendas efeivas. Traa-se, porano, de verificar uma condição de orogonalidade relacionada à hipóese de expecaivas racionais. Se os aposadores esimarem correamene as vendas, os erros de previsão não deverão ser correlacionados com as vendas efeivas. Nese caso o mercado esará em equilíbrio de expecaivas racionais, pois as expecaivas dos aposadores coincidem, em média, com a arrecadação efeiva. A implemenação dese ese seguirá meodologia desenvolvida por Sco e Gulley (1995) e uilizada ambém por Forres e al. (2000). O méodo consise de 2 eságios. No primeiro eságio é esimada uma equação para o preço líquido definida como se segue: Preço Líquido = R$ 1,00 V = F(consane, endência, endência ao quadrado, prêmio acumulado, prêmio acumulado ao quadrado, dummy para final de semana, dummy para soreios de final zero, dummy para o soreio com maior premiação) A única ressalva a ser feia é de que as úlimas duas dummies só foram uilizadas no caso da Mega-sena. Os resíduos desa regressão são uilizados como regressores na equação em que a arrecadação é a variável dependene. Esa eapa consise no segundo eságio. Ou seja: Arrecadação = f(consane, resíduos do 1º eságio)
Os dois eságios são esimados por mínimos quadrados ordinários. No presene rabalho omamos o cuidado adicional de considerar erros padrão robusos a heerocedasicidade e a correlação serial associados a mariz de variância-covariância de Newey-Wes. É necessário ainda descarar a possibilidade de regressões espúrias, mediane a implemenação de eses de raiz uniária para as diferenes variáveis consideradas e evenualmene de análise de coiinegração caso não esacionariedades esejam presenes. O objeivo final do segundo eságio é analisar a significância esaísica do coeficiene da variável VENDAS. Caso a hipóese de expecaivas racionais seja válida espera-se que o referido coeficiene seja não significaivo. 3. Análise Empírica 3.1- Descrição dos Dados O rabalho uiliza dados aneriormene inexplorados referenes a loerias de números (Mega-Sena e Quina) fornecidos pela Gerência Nacional de Loerias- GELOT da Caixa Econômica Federal. Denre os dados disponíveis para cada soreio, consideramos para o presene esudo o oal de arrecadação, o prêmio acumulado e as proporções do oal arrecadado desinadas a cada faixa de prêmio (sena, quina e quadra no caso da Mega-Sena e quina, quadra e erno no caso da Quina)). Os soreios eram inicialmene semanais para a Mega-Sena (no período de 11/03/96 a 28/07/2001), mas poseriormene passaram a ocorrer 2 soreios por semana (para os quais os dados disponibilizados referem-se ao período de 01/08/2001 a 10/11/2001). Assim, a amosra compreende 312 soreios. Para a Quina, o período amosral abarca o período de 05/02/1998 a 10/11/2001, ocorrendo soreios 2 vezes por semana aé o dia 29/03/98. A parir de enão há 3 soreios semanais. Assim o oal de observações chega a 548. Os valores esperados dos bilhees para a Quina e Mega-Sena são apresenados na figura 1 em anexo.
Vale mencionar que os valores esperados só mosram elevações imporanes após sucessivos acúmulos de prêmios. Por fim, lisamos a seguir as variáveis consideradas no procedimeno de 2 eságios para Quina e Mega-Sena.. p: preço líquido de um bilhee (com o número mínimo de dezenas) definido como o preço do bilhee menos o valor esperado do bilhee; ACUM; valor do prêmio acumulado; ACUM2: valor do prêmio acumulado elevado ao quadrado; TREND: variável de endência emporal; TREND2: variável de endência emporal em forma quadráica; VENDAS: valor das vendas para o concurso sob consideração; DQF: variável dummy que assume valor 1 nos soreios realizados nas quarasfeiras e 0 caso conrário (usada somene na Mega-Sena); DFS: variável dummy que assume valor 1 nos soreios realizados no final de semana e 0 caso conrário (usada somene na Quina); DZERO: variável dummy que assume valor 1 nos concursos com final zero e 0 caso conrário; DTRES: variável que assume valor 0 aé o soreio de 29/03/98 e valor 1 a parir de enão. A especificação aqui adoada é, porano, semelhane àquela adorada por Forres e al. (2000) com as devidas adapações para o cálculo do valor esperado de um bilhee e da inrodução de variáveis dummies condizenes com o desenho insiucional brasileiro. Desaca-se, por exemplo, a variável DZERO que capa o fao de soreios com final zero erem uma alocação exra de prêmio e ainda as variáveis dummies refleindo a prevalência de múliplos soreios em cada semana.
3.2- Resulados Empíricos Nesa seção reporamos os resulados do procedimeno de 2 eságios aneriormene mencionado para a Quina e Mega-Sena. De início procede-se a eses de raiz uniária para as variáveis poencialmene não esacionárias. Os resulados correspondenes aparecem no anexo em indicam que as variáveis são I(0) e assim não se precisa empreender eses de coinegração e nem se preocupar com a possibilidade de regressões espúrias 4. Os resulados da esimação economérica para a Quina e Mega-Sena aparecem respecivamene nas abelas 1 e 2 em anexo. Os resulados obidos diferem de acordo com o ipo de loeria. Para a Quina a condição de orogonalidade é violada já que o coeficiene da variável VENDAS no segundo eságio é foremene significaivo. Para a Mega-Sena, em conrase, observa-se resulado conrário e porano consisene com a hipóese de expecaivas racionais. Com efeio, esse resulado se alinha com a evidência aneriormene obida para o Reino Unido em loeria semelhane. O resulado é sugesivo já que ao conrário da Mega-Sena, as ouras modalidades de jogos não êm grande coberura de mídia e, porano, araem um perfil disino de aposadores. 4. Comenários Finais Ese rabalho procurou empreender um esforço inicial de análise econômica da aividade loérica no caso brasileiro. Em paricular, procuramos invesigar a hipóese de comporameno racional. A evidência favoreceu a prevalência de expecaivas racionais para a Mega-Sena, mas não para a Quina. 4 A escolha do número de defasagens nos eses de raiz uniária seguiu procedimeno lisado em Enders (1995) segundo o qual deve-se parir de um número grande de defasagens e esimar o modelo com um número cada vez menor de defasagens, aé que o coeficiene da úlima defasagem seja esaisicamene significaivo.
No primeiro caso esamos obendo resulado análogo aquele obido para loeria semelhane no Reino Unido, indicando que mesmo que a aração por essa loeria seja em grande medida induzida por acúmulos de prêmios er-se-ia impliciamene um comporameno racional. Possíveis linhas de invesigação fuuras envolvem a deecção de padrões de vício na demanda por loerias que dependem do acúmulo de prêmios. Essa linha já foi iniciada por Farrell e al. (1999) para o Reino Unido. No caso, brasileiro a disponibilidade de dados por unidade da federação permie a invesigação de quesões não aneriormene consideradas na lieraura.
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Anexo: Teses de Raiz Uniária Quina Variável Termos da Equação Número de Defasagens Esaísica de ese Valor Críico (ADF) 5% 1% P Consane 5-8,5252-2,8672-3,4448 ACUM Consane 0-21,1568-2,8672-3,4448 ACUM2 Consane 0-19,3594-2,8672-3,4448 VENDAS Consane 5-6,9763-2,8672-3,4448 Mega-sena Variável Termos da Equação Número de Defasagens Esaísica de ese Valor Críico (ADF) 5% 1% P Consane 8-4,3321-2,8712-3,4537 ACUM Consane 3-7,8736-2,8711-3,4534 ACUM2 Consane 3-6,2023-2,8711-3,4534 VENDAS Consane 1-6,8792-2,8710-3,4533
Figura 1: Valor Esperado do Bilhee de Loeria Valor Esperado (Mega-sena) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 R$ 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199 208 217 226 235 244 253 262 271 280 289 298 307 316 Nº Soreio Valor Esperado (Quina) 0,14 0,13 0,12 R$ 0,11 0,1 0,09 0,08 371 386 401 416 431 446 461 476 491 506 521 536 551 566 581 596 611 626 641 656 671 686 701 716 731 746 761 776 791 806 821 836 851 866 881 896 911 Nº Soreio
Tabela 1: Quina 1º eságio Variável Coeficiene Erro Padrão Esaísica- signif. C 0,153908 0,000233 660,3050 0,0000 ACUM -2,83E-08 6,22E-10-45,52997 0,0000 ACUM2-6,31E-15 1,07E-15-5,910268 0,0000 TREND -1,05E-05 1,96E-06-5,356505 0,0000 TREND2 1,54E-08 3,16E-09 4,873556 0,0000 DFS -0,002891 0,000111-26,07783 0,0000 DTRES 0,003032 0,000314 9,652640 0,0000 R 2 0,919105 esaísica F = 1024,451 R 2 Ajusado 0,918208 significância: 0,000000 Quina 2º Eságio Variável Coeficiene Erro Padrão Esaísica- signif. C 0,004160 0,000226 18,38894 0,0000 VENDAS -1,21E-09 7,04E-11-17,16785 0,0000 R 2 0,384979 esaísica F = 341,7744 R 2 Ajusado 0,383852 significância:: 0,0000 Tabela 2: Mega-sena 1º Eságio Variável Coeficiene Erro Padrão Esaísica- signif. C 0,744854 0,002678 278,1359 0,0000 DZERO -0,040610 0,003758-10,80672 0,0000 DQF 0,013928 0,003549 3,924163 0,0001 ACUM -1,92E-08 6,81E-10-28,10740 0,0000 ACUM2 1,49E-16 3,62E-17 4,125293 0,0000 TREND -0,000103 4,42E-05-2,329918 0,0205 TREND2 2,50E-07 1,45E-07 1,719886 0,0865 R 2 0,977588 esaísica F = 2217,327 R 2 Ajusado 0,977147 significância: 0,0000 Mega-sena 2º Eságio Variável Coeficiene Erro Padrão Esaísica- Signif. C 0,006819 0,003876 1,759274 0,0795 VENDAS -3,84E-10 2,55E-10-1,504111 0,1336 R 2 0,104783 esaísica F = 36,28479 R 2 Ajusado 0,101895 Significância: 0,0000