Faculdades Pitágoras de Uberlândia Sistemas de Informação Apostila de Lógica Matemática e Computacional Prof. Walteno Martins Parreira Júnior www.waltenomartins.com.br waltenomartins@yahoo.com 2014
Sumário 0 APRESENTAÇÃO... 4 0.1 Metodologia da Disciplina... 4 0.2 Visão geral da Disciplina... 4 0.3 Objetivos da Disciplina... 4 0.4 Atividades em grupo:... 4 0.5 Avaliação dos Alunos... 4 1 INTRODUÇÃO À LÓGICA... 5 1.1 Origens... 5 1.2 Conceitos preliminares.... 5 1.2.1 Proposição... 5 1.2.2 As três leis do pensamento... 6 1.2.3 Valores lógicos das proposições... 6 1.2.4 Sentenças abertas... 7 1.2.5 Proposições simples (atômicas)... 7 1.2.6 Conectivos lógicos... 7 1.2.7 Proposições compostas... 7 1.3 Tabelas-verdade e conectivos.... 8 1.3.1 Operação Lógica Negação... 9 1.3.2 Operação Lógica Conjunção... 9 1.3.3 Operação Lógica Disjunção... 10 1.3.4 Operação Lógica Condicional... 11 1.3.5 Operação Lógica Bi-condicional... 12 1.3.6 - Tabela Verdade dos conectores... 12 1.3.7 Ordem De Precedência Dos Conectores... 13 1.4 Exercícios... 13 2 TAUTOLOGIA, CONTINGÊNCIA E CONTRADIÇÃO... 17 2.1 Tautologia... 17 2.2 Contradição... 17 2.3 Contingência... 17 2.4 Exercícios... 18 3 EQUIVALÊNCIA E IMPLICAÇÃO LÓGICA.... 19 3.1 Introdução... 19 3.2 Conceito de implicação lógica... 19 3.3 Propriedades da implicação lógica: reflexiva e transitiva... 19 3.4 Demonstração de implicação lógica, comparando-se tabelas-verdade... 19 3.5 Demonstração de implicação lógica, substituindo-se a relação pelo conectivo... 20 3.6 Implicação entre Sentenças Abertas... 20 3.7 Propriedades das Implicações Lógicas... 20 3.8 Implicações Notáveis... 20 3.9 Teorema Contra-Recíproco... 22 3.10 Relação Entre Implicações... 22 3.11 Equivalencias entre Implicações... 22 3.12 Conceito de equivalência lógica... 22 3.13 Propriedades da equivalência lógica: reflexiva, simétrica e transitiva... 22 3.14 Demonstração de equivalência lógica, comparando-se tabelas-verdade... 23 3.15 Demonstração de equivalência lógica, substituindo-se a relação pelo conectivo... 23 3.16 Equivalencia entre Sentenças Abertas... 23 3.17 Propriedades das Equivalências Lógicas... 24 3.18 Equivalências Notáveis... 24 3.19 Álgebra das proposições.... 25 3.20 Exercícios... 26 4 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DA VALIDADE DE FÓRMULAS... 28 4.1 Método da Tabela-Verdade... 28 4.2 Árvore Semântica... 28 4.3 Negação ou Absurdo... 29 4.4 Exercícios:... 31 5 ÁLGEBRA BOOLEANA... 33 5.1 Conceitos preliminares.... 33 5.1.1 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole... 33 5.1.2 Postulados... 33 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 2
5.2 Teoremas da Álgebra de Boole.... 34 5.2.1 - Introdução... 34 5.2.2 Condições... 34 5.2.3 - Propriedades... 35 5.2.4 Teoremas de De Morgan... 36 5.2.5 Identidades Auxiliares... 36 5.2.6 - Tabela com as propriedades da Álgebra de Boole... 36 5.3 Métodos para minimização de funções: Método Algébrico e Mapa de Karnaugh.... 37 5.3.1 Método Algébrico... 37 5.3.2 Exemplos de resolução pelo método algébrico:... 37 5.3.3 Mapa de Veitch-Karnaugh... 39 5.3.4 Exemplo de resolução pelo Mapa de Karnaugh:... 39 5.3.5 - Obtendo a Simplificação de uma Expressão com 2 Variáveis... 40 5.3.6 - Simplificação de uma Expressão com 3 ou mais Variáveis... 40 5.3.7 Observações Sobre as Simplificações... 42 5.3.8 Outras Formas de Representação do Mapa de Karnaugh... 43 5.3.9 Soma de Produtos... 43 5.3.10 Produtos da Soma... 45 5.4 Exercícios... 46 6 PORTAS LÓGICAS.... 49 6.1 Introdução... 49 6.2 Circuitos Lógicos... 49 6.3 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole... 49 6.4 Postulados... 50 6.5 Representação... 50 6.6 Exemplos de exercícios de portas lógicas:... 51 6.7 Exercícios... 52 7 REGRAS DE INFERÊNCIA... 56 7.1 Argumentos... 56 7.1.1 Validade de um argumento através da Tabela-verdade... 56 7.2 Processo de inferência... 56 7.2.1 Modus Ponens (MP)... 57 7.2.2 Modus Tollens (MT)... 57 7.2.3 Silogismo Hipotético (SH)... 57 7.2.4 Silogismo Disjuntivo (SD)... 57 7.2.5 Dilema Construtivo (DC)... 57 7.2.6 Dilema Destrutivo (DD)... 58 7.2.7 Absorção (ABS)... 58 7.2.8 Simplificação (SIMP)... 58 7.2.9 Conjunção (CONJ)... 58 7.2.10 Adição (AD)... 58 7.2.11 Exemplo... 59 7.2.12 Revisão... 60 7.2.13 Exercícios resolvidos... 60 7.3 Exercícios... 61 8 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO... 62 8.1 Sistemas de Numeração Posicionais... 63 8.2 Conversões entre Bases... 65 8.2.1 Conversão entre bases 2, 8 e 16... 65 8.2.2 Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10... 66 8.2.3 Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer... 67 8.2.4 Conversão de Números entre duas Bases quaisquer... 68 8.3 Aritmética em Binário... 69 8.3.1 Operação direta... 69 8.3.2 Complemento a Base... 70 8.3.3 Multiplicação em binário... 70 8.4 Aritmética em outras bases... 71 8.4.1 Operação direta... 71 BIBLIOGRAFIA:... 73 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 3
0 APRESENTAÇÃO 0.1 Metodologia da Disciplina Aula expositiva: informação, conhecimento, aprendizagem de conceitos e princípios. Atividades de aprendizagem em grupo: desenvolvimento de habilidades e competências, não só da disciplina em questão, mas também habilidade de trabalhar em grupos e equipes. Ênfase em projetos e pesquisas dos alunos, fazendo a relação entre a teoria e o mundo real. Atividades Avaliativas (individuais e coletivas) 0.2 Visão geral da Disciplina A disciplina de Lógica Matemática e Computacional é fundamental para todos os alunos das áreas de Engenharias e da Computação diante da sua ampla aplicabilidade. A Lógica permite formalizar argumentos que podem ser validados ou refutados, usando raciocínio lógico. Estas estruturas de argumentação podem ser utilizadas na elaboração de algoritmos na área de programação. Além disso, a disciplina de Lógica Matemática e Computacional prepara os alunos para projetar sistemas digitais, utilizando os diferentes sistemas de numeração e os conceitos de álgebra booleana, temas desta disciplina. 0.3 Objetivos da Disciplina Desenvolver no aluno a habilidade de elaborar uma estrutura de argumentação lógica, utilizando uma linguagem formal, tanto para verbalizá-la, como para verificar equivalências e implicações. Preparar o aluno para aplicar os conceitos de lógica na modelagem e na construção de algoritmos computacionais. Capacitar o aluno a aplicar os conceitos de inferência lógica na construção de dispositivos autônomos e sistemas especialistas. Capacitar o aluno a aplicar os conceitos da álgebra booleana na construção de sistemas digitais, assim como a utilização dos diferentes sistemas de numeração. 0.4 Atividades em grupo: O aluno deve usar o material indicado pelo professor. Não é possível desenvolver satisfatoriamente uma atividade sem um mínimo de conhecimento do conteúdo ministrado nas aulas expositivas. A participação será avaliada a cada encontro. A nota de participação não é nota de presença e sim das atividades efetivamente desenvolvidas. 0.5 Avaliação dos Alunos Conhecimentos adquiridos. Habilidades e competências específicas da disciplina, principalmente, a competência argumentativa. Atitudes: abertura às idéias e aos argumentos dos outros, mostrando disponibilidade para rever suas próprias opiniões; cooperação com os outros, mostrando que a crítica só é eficaz através do diálogo justo e honesto, no seio de uma comunidade. Participação efetiva nas aulas e atividades coletivas (não é apenas presença). Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 4
1 INTRODUÇÃO À LÓGICA 1.1 Origens A lógica iniciou seu desenvolvimento na Grécia Aristóteles (384 322 AC) e os antigos filósofos gregos passaram a usar em suas discussões sentenças enunciadas nas formas afirmativa e negativa, resultando em grande simplificação e clareza. Em 1847, Augustus DeMorgam (1806-1871) publicou o tratado Formal Logic. Em 1848, George Boole (1815-1864) escreveu The Mathematical Analysis of Logic e depois publicou um livro sobre o que foi denominado posteriormente de Álgebra de Boole. Em 1879, Gotlob Frege (1848-1925) contribuiu no desenvolvimento da lógica com a obra Begriffsschrift. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. A escola italiana, que desenvolveu quase toda simbologia da matemática utilizada atualmente, é composta de Giuseppe Peano (1858-1932) e também por Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) iniciam o atual período da lógica com a publicação da obra Principia Mathematica no início do século XX. Também contribuem para o estágio atual, David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. Em 1938, Claude Shannon mostrou a aplicação da álgebra de Boole na analise de circuitos de relês. Podemos dizer que a lógica estuda as condições objetivas e ideais para justificar a verdade e não cuida da própria verdade. Ela estuda as condições formais para justificar a verdade, isto é, as condições que o pensamento deve preencher para ser coerente consigo mesmo e demonstrar a verdade já conhecida. A lógica estuda as relações do pensamento consigo mesmo para possibilitar a construção de um contexto correto de justificação, isto é, para a definição argumentativa de premissas corretamente dispostas para uma conclusão justificada. Uma das condições para se ter a verdade demonstrada, e portanto justificada, é que o pensamento seja coerente consigo mesmo, isto é, que siga as leis da razão expressa lingüisticamente. 1.2 Conceitos preliminares. 1.2.1 Proposição Definição: todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplos: Japão está situado no continente africano. A lâmpada da sala está acesa. A cidade de Recife é a capital de Pernambuco. Na linguagem natural nos acostumamos com vários tipos de proposições ou sentenças: a) Declarativas Márcio é engenheiro. Todos os homens são mortais. sen (π/ 2 ) = 1 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 5
A lua gira em torno da terra. b) Interrogativas Será que o Roberto vai ao cinema hoje? Quantos alunos faltaram hoje a aula de lógica? O Brasil ganhará a copa do mundo de 2006? c) Exclamativas Feliz Natal! Vencemos! Passamos no vestibular! d) Imperativas Não falte as aulas de lógica. Feche a porta. Fique calado. Lógica Matemática e Computacional Estudaremos somente as proposições declarativas, pois elas podem ser facilmente classificadas em verdadeiras ou falsas. 1.2.2 As três leis do pensamento A lógica adota como regras fundamentais do pensamento os seguintes princípios (ou axiomas): a) Princípio da Identidade Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. b) Princípio da Não-Contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. c) Princípio do terceiro Excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro caso. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente Exemplos de proposições falsas: O navegador Vasco da Gama descobriu o Brasil. O escritor francês Dante escreveu Os Lusíadas. número π é um número racional. O México está localizado na América do Sul. 1.2.3 Valores lógicos das proposições Definição: chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição designam-se abreviadamente pelas letras V e F respectivamente. Assim, o que os princípios (axiomas) afirmam é que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores V e F. O valor lógico de uma proposição P é a verdade (V) se P é verdadeira, escrevendo: Exemplos: v(p) = V e lê-se: o valor lógico de P é V Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 6
P: O mercúrio é mais pesado que a água. v(p) = V Q: O sol gira em torno da Terra. v(q) = F R: A lua é um satélite natural da Terra. v(r) = V 1.2.4 Sentenças abertas Lógica Matemática e Computacional Definição: quando em uma proposição substituímos alguns (ou todos os) componentes por variáveis, obtemos uma sentença (proposição) aberta. Seja a proposição Magda é Uberlandense, se substituímos o nome Magda pela variável X, obteremos a sentença aberta X é Uberlandense, que não é necessariamente verdadeira e nem falsa. Exemplos: P: X é filho de Y. Q: x y = 12 R: Se x é sobrinho de y, então, x é primo de z. 1.2.5 Proposições simples (atômicas) Definição: chama-se proposição simples, a proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si. Exemplos: P: Carlos é careca. Q: Pedro é estudante. R: O galo põe ovos. 1.2.6 Conectivos lógicos Definição: são palavras ou frases que são usadas para formar novas proposição a partir de outras proposições. Os conectivos usuais em lógica matemática são: Conectivo Palavras Símbolo Negação Não ~ ou Conjunção E Disjunção Ou Condicional Se... então... Bicondicional... Se, e somente se... 1.2.7 Proposições compostas Definição: são as proposições formadas por duas ou mais proposições simples e ligadas pelos conectivos lógicos. Exemplos: P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 7
R: Se Carlos é careca, então Carlos é infeliz. S: Carlos é careca se, e somente se Pedro é estudante. 1.3 Tabelas-verdade e conectivos. Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples P é verdadeira ou é falsa, isto é, tem valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade). Em uma proposição composta, a determinação do seu valor lógico é feito segundo o princípio: O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. Para aplicar este princípio na prática, recorre-se ao uso do dispositivo denominado Tabela-verdade, que apresenta todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples correspondentes. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta está em função do número de proposições simples que a compõem. A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples contém 2 n linhas. Portanto, podemos observar: a) Para uma proposição simples P, o numero de linhas da tabela-verdade será: 2 1 = 2, representando na tabela-verdade: P V F b) Para uma proposição composta cujas proposições simples componentes são P e Q, o número de linhas da tabela-verdade será: 2 2 = 4, que será representada: P V V F F Q V F V F c) Para uma proposição composta cujas proposições simples componentes são P, Q e R, o número de linhas da tabela-verdade será: 2 3 = 8, que será representada: P Q R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 8
Observe que os valores lógicos V e F se alternam de quatro (4) em quatro para a primeira proposição (P), de dois (2) em dois para a Segunda proposição (Q) e de um (1) em um para a terceira proposição (R). 1.3.1 Operação Lógica Negação Definição: chama-se negação de uma proposição P a proposição representada por Não P, cujo valor lógico é a verdade (V) quando P é falsa e a falsidade (F) quando P é verdadeira. Simbolicamente, a negação de P indica-se com a notação ~P, que se lê: NÃO P A tabela-verdade: P ~P V F v(~p) = ~ v(p) F V Para uma proposição P, podemos formar a sua negação de qualquer um dos seguintes modos: não é verdade que P é falso que P não em P Exemplo: P: Lídia é estudiosa. ~P: Não é verdade que Lídia é estudiosa. ~P: É falso que Lídia é estudiosa. ~P: Lídia não é estudiosa. Q: João não foi ao cinema. ~Q: É falso que João não foi ao cinema. Observações: Pode-se ter algumas variações, por necessidades da língua portuguesa, por exemplo: P: Todos os homens são elegantes. ~P: Nem todos os homens são elegantes. Q: Nenhum homem é elegante. ~Q: Algum homem é elegante. 1.3.2 Operação Lógica Conjunção Definição: chama-se conjunção de duas proposições P e Q a proposição representada por P e Q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições P e Q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente, a conjunção de duas proposições P e Q indica-se com a notação P Q, que se lê P E Q. A tabela-verdade: Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 9
P Q P Q V V V V F F v(p Q) = v(p) v(q) F V F F F F Exemplo: P: Pitágoras era Grego Q: Descartes era Francês P Q: Pitágoras era Grego e Descartes era Francês. v(p) = V e v(q) = V v(p Q) = V Lógica Matemática e Computacional 1.3.3 Operação Lógica Disjunção Definição: chama-se disjunção de duas proposições P e Q a proposição representada por P ou Q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições P e Q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições P e Q são ambas falsas. Simbolicamente, a conjunção de duas proposições P e Q indica-se com a notação P Q, que se lê P OU Q. A tabela-verdade: Exemplo: P Q P Q V V V V F V v(p Q) = v(p) v(q) F V V F F F P: A cidade de Paris é a capital da França Q: O sol é um satélite artificial da terra P Q: A cidade de Paris é a capital da França ou o sol é um satélite artificial da terra. v(p) = V e v(q) = F v(p Q) = V Na linguagem coloquial a palavra ou tem dois sentidos. Exemplifiquemos: P: Amilton é bombeiro ou eletricista. Q: Rosa é mineira ou goiana. Na proposição Q (Rosa é mineira ou goiana), está afirmando que somente uma das proposições é verdadeira, pois não é possível ocorrer as duas coisas: Rosa ser mineira e goiana ao mesmo tempo. Na proposição P, diz-se que o ou é inclusivo, já na proposição Q diz-se que o ou é exclusivo. Logo a proposição P é uma disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção; e a proposição Q é a disjunção exclusiva. A disjunção exclusiva de duas proposições P e Q é a proposição composta P Q, que se lê: ou P ou Q ou se lê P ou Q, mas não ambos. É a falsidade (F) quando o valor lógico das proposições P e Q forem ambos verdadeiros ou ambos falsos e a verdade (V) quando P e Q tem valores lógicos diferentes. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 10
A tabela-verdade: P Q P Q V V F V F V v(p Q) = v(p) v(q) F V V F F F 1.3.4 Operação Lógica Condicional Definição: chama-se proposição condicional de duas proposições P e Q a proposição representada por se P então Q, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que a proposição P é verdadeira e Q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Simbolicamente, a condicional de duas proposições P e Q indica-se com a notação P Q, que se lê: P SOMENTE SE Q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p implica (ou acarreta) q Na condicional P Q, diz-se que P é o antecedente e Q é o conseqüente. O símbolo é chamado de símbolo de implicação. A tabela-verdade: P Q P Q V V V V F F v(p Q) = v(p) v(q) F V V F F V Observação: Uma condicional P Q não afirma que o conseqüente Q se deduz ou é conseqüência do antecedente P; o que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente de acordo com a tabela-verdade apresentada acima. Exemplo: P: Paris é a capital da França Q: O sol é um satélite natural da terra P Q: Se Paris é a capital da França então o sol é um satélite natural da terra. v(p) = V e v(q) = F v(p Q) = F Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 11
1.3.5 Operação Lógica Bi-condicional Lógica Matemática e Computacional Definição: chama-se proposição bi-condicional de duas proposições P e Q a proposição representada por P se, e somente se Q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições P e Q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e a falsidade (F) nos demais casos. A conjunção da sentença P Q com a sentença Q P resulta na sentença P Q, assim temos (P Q) (Q P) equivale a (Q P). Simbolicamente, a bi-condicional de duas proposições P e Q indica-se com a notação P Q, que se lê: P SE, E SOMENTE SE Q p é equivalente a q q se, e somente se p q é equivalente a p p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p A tabela-verdade: Exemplo: P Q P Q V V V V F F v(p Q) = v(p) v(q) F V F F F V P: A cidade de Paris é a capital da França Q: O sol é um satélite natural da terra P Q: A cidade de Paris é a capital da França se, e somente se o sol é um satélite natural da terra. v(p) = V e v(q) = F v(p Q) = F 1.3.6 - Tabela Verdade dos conectores Resumindo, tem-se a seguinte tabela verdade: p q p q p q p q p q p q p ~p V V V V F V V V F V F F V V F F F V F V F V V V F F F F F F V V Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 12
1.3.7 Ordem De Precedência Dos Conectores Para reduzir o número de parêntesis necessários em uma proposição composta (fórmula lógica proposicional), estipula-se uma ordem na qual os conectores são aplicados. A ordem de precedência é: maior menor a) conectivos dentro de parêntesis, do mais interno para o mais externo b) ~ c) d) ou e) f) Quando há dois ou mais conectivos de mesma ordem de precedência, o conectivo mais a esquerda na fórmula proposicional tem prioridade sobre o conectivo à direta. Exemplos: a) p ~ q equivale a ( p ( ~ q ) ) b) p q r equivale a ( ( p q ) r ) c) p q r p q equivale a ( ( p ( q r ) ) ( p q ) ) p q r p q 1º 2º 3º 4º 1.4 Exercícios 1.4.1 - Com o intuito de abordar os conceitos preliminares estudados nesta unidade, responda às seguintes perguntas: a) Qual é a relação entre sentença e proposição? b) Toda sentença é uma proposição? E o contrário: toda proposição é uma sentença? Por quê? Dê exemplos. c) Defina, com suas próprias palavras, o valor lógico. d) De acordo com a lógica clássica, quais são os valores lógicos possíveis para uma proposição? e) Compare a teoria dos conjuntos, vista no ensino fundamental, com a lógica clássica discutida nesta unidade. f) Quais são os três postulados clássicos? Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 13
1.4.2 - Represente as seguintes frases em linguagem natural, utilizando lógica formal. Para cada resposta, devem-se especificar as proposições simples extraídas: a) João mede 1,78m e Maria pesa 60kg. b) Fortaleza é capital do Maranhão desde que Rio de Janeiro tenha mais de 250 mil habitantes. c) Ontem o dólar não fechou a R$2,18 ou o índice Bovespa fechou estável. d) Só irei ao clube se amanhã fizer sol. 1.4.3 - Sejam as seguintes proposições simples: p: Tiradentes morreu afogado e q: Jaime é gaúcho. Traduzir para linguagem natural, as seguintes proposições compostas: a) p q b) p q c) ~p q d) q ~p 1.4.4 - Determinar o valor lógico ( V ou F ) de cada uma das seguintes proposições. a) O número 23 é primo. e) π = 3 b) Goiânia é a capital de Tocantins. f) 3 > 2 c) O número 25 é quadrado perfeito. g) π > 3 d) Todo número divisível por 5 termina com 5. h) 4 = 2 1.4.5 - Sejam as proposições: p: O empregado foi demitido. q: O patrão indenizou o empregado. Escreva em notação simbólica, cada uma das proposições abaixo: a) O empregado não foi demitido. b) O patrão não indenizou o empregado. c) O empregado foi demitido e o patrão indenizou o empregado. d) É falso que o empregado foi demitido ou o patrão indenizou o empregado. e) O empregado foi demitido ou o patrão não indenizou o empregado. f) não é verdade que o empregado não foi demitido. 1.4.6 - Sejam as proposições: p: Rosas são vermelhas. q: Violetas são azuis. r: Cravos são amarelos. Escreva em notação simbólica, cada uma das proposições compostas abaixo: a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. b) Rosas são vermelhas, ou violetas são azuis ou os cravos são amarelos. c) Se violetas são azuis, então as rosas são vermelhas e os cravos são amarelos. d) Rosas são vermelhas se e somente se, as violetas não forem azuis e os cravos não são amarelos. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 14
e) Rosas são vermelhas e, se os cravos não são amarelos então as violetas não são azuis. 1.4.7 - Sejam as proposições: p: Jô Soares é gordo. q: Jô Soares é artista. r: Paulo é cantor. Escreva em notação simbólica, cada uma das proposições abaixo: a) Jô Soares não é gordo. b) Jô Soares não é artista. c) Não é verdade que Jô Soares não é gordo d) Jô Soares é gordo ou artista. e) Se Jô Soares não é artista então Paulo não é cantor. f) Jô Soares é artista se e somente se Paulo é cantor 1.4.8 - Sejam as proposições: p: João joga futebol. q: Pedro joga tênis. Traduzir as formulas lógicas para o português. a) p q b) p q c) p ~q d) p ~q e) ~p ~q f) ~~p g) ~(~p ~q) h) ~p ~q 1.4.9 - Sejam as proposições: p: A bola é vermelha. q: O bambolê é amarelo. Traduzir as formulas lógicas para o português. a) p q b) p q c) p ~q d) ~p ~q e) ~~p f) ~(~p ~q) g) ~p ~q h) p ~q i) ~(~q p) 1.4.10 - Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das proposições compostas abaixo, sabendo o valor lógico de cada proposição simples v(p) = V e v(q) = F. a) p q p b) p q p c) p ~q d) p (~p ~q) e) ~p ~q f) ~~p g) p (~p ~q) h) p ~q p i) ~p q p j) p ~q p k) p (~q p) l) ~(r ~q) p 1.4.11 - Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das proposições compostas abaixo, sabendo o valor lógico de cada proposição simples v(p) = V, v(q) = V e v(r) = F. a) p q r b) p q r c) p ~q r d) r (~p ~q) e) ~p ~q r f) ~~p g) p (~r ~q) h) p r ~q p i) ~r q p j) p ~q p k) r p (~q p) l) ~(r ~q) p 1.4.12 - Construa a tabela-verdade de cada uma das seguintes proposições: a) p q p b) p q p c) p ~q d) ~p ~q e) ~~p f) p (~p ~q) g) ~p q ~q p h) p ~q i) p (~q p) Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 15
j) ~p r ~q r k) p r ~q l) ~(r ~q) p 1.4.13 - Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) ~ p r q ~ r b) p (p ~ r) q r c) p r q ~ r d) (p q r) (~ p q ~ r) 1.4.14 - Determinar P(VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: a) P(p, q) = ~ (~ p q) b) P(p, q) = ~ p q p c) P(p, q) = (p q) ~ (p q) d) P(p, q) = (p ~ q) (~ p q) e) P(p, q) = ~ ((p q) (~p ~q)) f) P(p, q) = ~ q p q ~ p g) P(p, q) = (p q) ~ p (q p) h) P(p, q) = (p ~ q) (~ p q) p 1.4.15 - Sabendo que as proposições p, q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) p q r b) (q r) (p s) c) r s q d) ( r s) (p q) e) q p s f) (p ~ q) r g) p ~ (r s) h) ~ (( r p) (s q)) i) (q s) r Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 16
2 TAUTOLOGIA, CONTINGÊNCIA E CONTRADIÇÃO Lógica Matemática e Computacional 2.1 Tautologia Definição: denomina-se tautologia a proposição composta que é sempre verdadeira. Na tabelaverdade de uma proposição tautológica, a última coluna (à direita) contém somente V s (verdade). Em outros termos, tautologia é toda proposição composta P (p,q,r,...) cujo valor lógico é sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r,... As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. Exemplo: a proposição ~( p ~p) denominado de Princípio da não contradição é tautológica, conforme se vê pela tabela-verdade: p ~p p ~p ~( p ~p ) V F F V F V F V Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro. 2.2 Contradição Definição: denomina-se contradição a proposição composta que é sempre falsa. Na tabelaverdade de uma proposição contraditória, a última coluna (à direita) contém somente F s (falsidade). Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsidade (F), ou seja, é uma contradição e vice-versa. As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. Exemplo: a proposição p ~p é uma contradição, conforme se vê pela tabela-verdade: p ~p p ~p V F F F V F 2.3 Contingência Definição: denomina-se contingência a proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa. Na tabela-verdade de uma proposição contigencial, a última coluna (à direita) contém V s (verdadeiros) e F s (falsidades), cada um pelo menos uma vez. Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia e nem contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 17
Exemplo: a proposição p ~p é uma contingência, conforme se vê na tabela-verdade: p ~p p ~p V F F F V V 2.4 Exercícios 2.4.1 - Determinar se as proposições a seguir são tautologia, contradição ou contingência, usando o método da Tabela-verdade. a) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) b) p ( p q ) p c) ~ ( p q ) ( ~ p r ) ~ r d) p ( p q ) p 2.4.2 - Determinar se as proposições a seguir são tautologia, contradição ou contingência, usando o método da Tabela-verdade. a) q r ( p q ) ( p r ) b) (p r ) ( p q ) r c) ~ p q r ~ p r ~ r d) p q p q p e) p q q r ~ p ~r f) p r q ( p q ~r Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 18
3 EQUIVALÊNCIA E IMPLICAÇÃO LÓGICA. 3.1 Introdução Diz-se que uma proposição P implica logicamente, ou simplesmente implica, uma proposição Q, se Q for verdadeira todas as vezes que P também o for. Duas proposições são consideradas logicamente equivalentes se as suas tabelas-verdade forem idênticas, em outras palavras, diz-se que uma proposição P é equivalente a uma proposição Q, se as tabelas-verdade de P e Q são idênticas. Outra alternativa é substituir as relações de implicação ( ) pela condicional ( ) e de equivalência ( ) pela bicondicional ( ) e verificar se é tautológica, ou seja, sempre verdadeiro. Nesse caso, pode-se afirmar que existe a relação entre as proposições envolvidas. Neste momento, vale destacar que as implicações e equivalências podem ser demonstradas por meio de tabelas-verdade ou por outros métodos, como dedução e indução. Nesta aula, serão utilizadas tabelas-verdade, enquanto que, na próxima unidade serão utilizadas as regras da álgebra das proposições para demonstrar equivalência e implicação lógica por método dedutivo. 3.2 Conceito de implicação lógica O estudo da implicação lógica é de grande relevância na lógica. As implicações lógicas que serão tratadas levarão em conta a condicional como implicação material. O símbolo representa uma operação entre duas proposições, resultando uma nova proposição. O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. Definição: Diz-se que uma proposição P(p, q,...) implica logicamente uma proposição Q(p, q,...), se Q é verdadeira (V) todas as vezes que P é verdadeira (V). Pode-se dizer Diz-se que uma proposição p implica logicamente uma proposição q quando, em suas tabelas-verdade, não ocorre VF nesta ordem. 3.3 Propriedades da implicação lógica: reflexiva e transitiva São: a) A condição necessária e suficiente para que uma implicação p q seja verdadeira é que uma condicional p q seja uma tautologia; b) Propriedade reflexiva (R): p p; c) Propriedade transitiva (T): Se p q e q r, então p r. 3.4 Demonstração de implicação lógica, comparando-se tabelas-verdade verificar se p q p p q q p V V V V F V F V F F F V Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 19
Comparando os valores lógicos da coluna p com os valores lógicos da coluna q p, verificamos que não ocorre VF em nenhuma linha, logo p q p é uma relação válida. 3.5 Demonstração de implicação lógica, substituindo-se a relação pelo conectivo verificar se p q p p q q p p q p V V V V V F V V F V F V F F V V Como a coluna de resultado final da tabela-verdade é uma Tautologia, então a relação é verdadeira. 3.6 Implicação entre Sentenças Abertas Diz-se que uma sentença aberta implica uma outra sentença aberta quando o conjuntoverdade de uma delas está contido no conjunto-verdade da outra. 3.6.1 - Exemplo: Julgar a sentença x 3 = 0 x 2 = 9 Resolução: Determinando o conjunto-verdade da primeira sentença aberta: x 3 = 0 temos que x = 3 logo, V 1 = { 3 } Determinando o conjunto-verdade da segunda sentença aberta: x 2 = 9 x = ± 3 logo, V 2 = { -3, 3 } Podemos observar que { 3 } { -3, 3 } Portanto, podemos dizer que a implicação é verdadeira, logo a sentença x 3 = 0 x 2 = 9 está correta 3.7 Propriedades das Implicações Lógicas São: a) A condição necessária e suficiente para que uma implicação p q seja verdadeira é que uma condicional p q seja uma tautologia; b) Propriedade reflexiva: p p; c) Propriedade transitiva: Se p q e q r, então p r. 3.8 Implicações Notáveis Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 20
Estas implicações são consideradas notáveis (ou clássicas), pois são argumentos válidos fundamentais, usados para fazer inferências, isto é, executar os passos de uma demonstração ou de uma dedução. Também chamadas de Regras de Inferência. 3.8.1 - Adição p p q q p q organizando a tabela-verdade tem-se que: p q p q p q p q V V V V V V V F V V F V F V V F V V F F F F F F Não há VF, logo p p q Não há VF, logo q p q 3.8.2 - Conjunção p q p e p q q q p p e q p q 3.8.3 - Simplificação p q p p q q 3.8.4 - Simplificação Disjuntiva (p q) (p ~q) p 3.8.5 - Absorção p q p (p q) 3.8.6 - Regra Modus Ponens ( p q) p q 3.8.7 - Regra Modus Tollens ( p q) ~q ~p 3.8.8 - Regra do Silogismo Disjuntivo (p q) ~p q (p q) ~q p 3.8.9 - Silogismo Hipotético (p q) (q r) p r 3.8.10 - Dilema Construtivo ( (p q) (r s) (p r) ) q s 3.8.11 - Dilema Destrutivo Provar, usando tabela-verdade as outras propriedades Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 21
( (p q) (r s) (~p ~s) ) ~p ~r 3.9 Teorema Contra-Recíproco A proposição p(x) q(x) é verdadeira se, e somente se ~q(x) ~p(x) é verdadeira. Assim, afirmar Se p, então q é o mesmo que afirmar se ~q, então ~p. Portanto, p(x) q(x) é equivalente a ~q(x) ~p(x). Exemplo: A sentença Se comeu, então matou a fome é equivalente a Se não matou a fome, então não comeu. 3.10 Relação Entre Implicações a) Implicações recíprocas p q e q p Duas proposições recíprocas não são logicamente equivalentes, uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja. b) Implicações Inversas p q e ~p ~q Duas proposições inversas não são logicamente equivalentes, uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja. c) Implicações Contrapositivas p q e ~q ~p Duas proposições contrapositivas são logicamente equivalentes, sempre que uma é verdadeira, a outra também será. 3.11 Equivalencias entre Implicações a) p q ~q ~p b) p q ~ (p ~q) c) p q ~p q 3.12 Conceito de equivalência lógica O símbolo representa uma operação entre duas proposições, resultando uma nova proposição. O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. Definição: Diz-se que uma proposição P(p, q,...) é logicamente equivalente a uma proposição Q(p, q,...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. 3.13 Propriedades da equivalência lógica: reflexiva, simétrica e transitiva a) A condição necessária e suficiente para que uma eqüivalência p q seja verdadeira é que a bicondicional p q seja uma tautologia; Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 22
b) Propriedade Reflexiva (R): p p; c) Propriedade Simétrica (S): Se p q, então q p. d) Propriedade Transitiva (T): Se p q e q r, então p r. 3.14 Demonstração de equivalência lógica, comparando-se tabelas-verdade Dadas as proposições p q e ~p q, a relação de equivalência lógica entre elas é denotada por p q ~p q. Podem-se mostrar as tabelas-verdade: p q p q p q ~p ~p q V V V V V F V V F F V F F F F V V F V V V F F V F F V V Como as tabelas-verdade possuem resultados iguais, logo a relação é verdadeira. 3.15 Demonstração de equivalência lógica, substituindo-se a relação pelo conectivo Dadas as proposições p q e ~p q, a relação de equivalência lógica entre elas é denotada por p q ~p q. Podemos mostrar na tabela-verdade: p q p q ~p ~p q (p q) (~p q) V V V F V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V Como o resultado final da tabela-verdade é uma Tautologia, logo a relação é verdadeira. 3.16 Equivalencia entre Sentenças Abertas Diz-se que uma sentença aberta é equivalente a uma outra sentença aberta quando o conjuntoverdade da primeira sentença está contido no conjunto-verdade da segunda e o conjuntoverdade do segunda está contido no conjunto-verdade da primeira. Eqüivale dizer que os conjuntos-verdade são iguais. Exemplo: Julgar a sentença 2x + 3 = x + 5 7x - 3 = 5x + 1 Resolução: Determinando o conjunto-verdade da primeira sentença aberta: 2x + 3 = x + 5 temos que x = 2 logo, V 1 = { 2 } Determinando o conjunto-verdade da segunda sentença aberta: 7x - 3 = 5x + 1 x = 2 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 23
logo, V 2 = { 2 } Podemos observar que v 1 v 2 e v 2 v 1, logo V 1 = V 2. Portanto, podemos dizer que a eqüivalência é verdadeira, logo a sentença 2x + 3 = x + 5 7x - 3 = 5x + 1 está correta. Lógica Matemática e Computacional 3.17 Propriedades das Equivalências Lógicas São: 1) A condição necessária e suficiente para que uma eqüivalência p q seja verdadeira é que a bicondicional p q seja uma tautologia; 2) Propriedade Reflexiva: p p; 3) Propriedade Simétrica: Se p q, então q p. 4) Propriedade Transitiva: Se p q e q r, então p r. 3.18 Equivalências Notáveis 3.18.1 - Dupla Negação ~~p p p ~p ~~p V F V F V F Observe que os valores lógicos das colunas p e ~~p são iguais. Logo a Dupla Negação equivale a afirmação. 3.18.2 - Leis Idempotentes p p p p p p 3.18.3 - Leis Comutativas p q q p p q q p 3.18.4 -Leis Associativas p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 3.18.5 - Leis de DeMorgan ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q 3.18.6 - Leis Distributivas p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 3.18.7 - Condicionais Provar, usando tabela-verdade as outras propriedades Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 24
Das proposições: i) p q (condicional) ii) q p (recíproca da condicional) iii) ~q ~p (contrapositivo) iv) ~p ~q (recíproca do contrapositivo) resultam as duas equivalência: p q ~q ~p q p ~p ~q 3.18.8 - Bicondicionais p q (p q) (q p) p q p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V iguais, logo equivalentes 3.19 Álgebra das proposições. Para discutir algumas regras que podem ser aplicadas em proposições compostas com o intuito de provar relações de implicação e equivalência lógica, ou mesmo para simplificar uma estrutura de argumentação muito complexa. As propriedades aqui discutidas serão novamente apresentadas em Álgebra Booleana. Algumas propriedades são válidas tanto para conjunção como para disjunção, enquanto que outras são válidas somente a uma delas, ou em situações em que ambas são envolvidas. O quadro abaixo apresenta as propriedades válidas tanto para disjunção como para conjunção. Disjunção Conjunção Propriedade p p p p p p Idempotente p q q p p q q p Comutativa (P p) r p (q r) (p p) r p (q r) Associativa p t p p f f p t t p f p Identidade Destaca-se que, na propriedade da Identidade, tem-se sempre um elemento considerado neutro, pois não influencia na decisão final da proposição, e um elemento absorvente, que por si só, define o resultado final da proposição composta. Dentre as propriedades que são aplicadas à proposição que contém tanto conjunção como disjunção, encontram-se a distributiva, a de absorção e as famosas regras de De Morgan, apresentadas no quadro abaixo. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 25
Distributiva Absorção De Morgan p (q r) (p q) (p r) p (p q) p ~(p q) ~p ~q p (q r) (p q) (p r) p (p q) p ~(p q) ~p ~q 3.20 Exercícios 3.20.1 - Verifique se existe implicação lógica entre as proposições compostas P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...), ou seja, se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...), usando o método indicado na letra. Para cada letra, deve-se indicar se existe ou não implicação lógica e justificar. a) Construindo a tabela-verdade, e comparando uma proposição com a outra: P(p,q,r,...) = q Q(p,q,r,...) = p q p b) Construindo a tabela-verdade, e avaliando se a condicional é tautológica: P(p,q,r,...) = ( p q ) q e Q(p,q,r,...) = ~ p 3.20.2 - Verifique se existe equivalência lógica entre as proposições compostas P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...), ou seja, se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...), usando o método indicado na letra. Para cada letra, deve-se indicar se existe ou não equivalência lógica e justificar. a) Construindo a tabela-verdade, e comparando uma proposição com a outra: P(p,q,r,...) = p q e Q(p,q,r,...) = ( p q ) p b) Construindo a tabela-verdade, e avaliando se a bi-condicional é tautológica: P(p,q,r,...) = p q e Q(p,q,r,...) = ( p q ) ~ (p q) 3.20.3 - Julgar cada uma das seguintes proposições (dizer se são verdadeiras ou falsas as relações): a) ~p ~p ~p b) ~ p ~( p q ) p q c) ( p ~q ) ( p ~q ) p ~q d) ( p q ) r ( p ~r ) ( q r ) e) ( p ~r ) ( q ~p ) r ( p q ) f) ( p q ) r ( p ~r ) ~q 3.20.4 - Julgar cada uma das seguintes proposições (dizer se são verdadeiras ou falsas as relações): a) ~p ~p ~p b) ~ p ~( p q ) p q c) ( p ~q ) ( p ~q ) p ~q d) ( p q ) r ( p ~r ) ( q r ) e) ( p ~r ) ( q ~p ) r ( p q ) f) ( p q ) r ( p ~r ) ~q 3.20.5 - Considere as proposições: p, q, r, s dadas por: p: 5 = 8 q: 4 < 5 r: 9 > 7 s: 8 < 10 e diga se são verdadeiras ou falsas as relações abaixo: a) r s b) r q s c) ~ p s r d) p q e) ~ r ( q ~s ) f) ~ r ( s ~ q ) g) p q h) ~ r q s i) ~ r s r j) ( p p ) ( q r ) k) ~ r ( q ~s ) l) ~ r ( s ~ q ) Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 26
3.20.6 - Considere as proposições: p, q, r, s dadas por: p: 7 + 2 = 9 q: ( 7 + 2 ) 2 = 81 r: 2 0 = 1 s: 0 2 = 2 e dê o valor lógico (verdadeiro ou falso) das relações abaixo: a) r s b) r q c) ~ p s d) p q e) ~ r ( q ~s ) f) ~ r ( s ~ q ) g) p q h) ~ r q i) ~ r s j) ( p p ) ( q r ) k) ~ r ( q ~s ) l) ~ r ( s ~ q ) 3.20.7 - Usando as equivalências tautológicas, mostrar que as proposições abaixo podem ser escritas usando os conectivos, e ~. Depois simplifique as expressões o máximo possíveis. a) (r (q p) b) q r (q p) c) p r (q r) d) (r q) (~q p) e) (p q) ( p ~q) f) (p r) ((q p) r) g) ~ ( p q ) p h) ( p q ) r ( p r ) i) ~ ( p q ) ( p q ) 3.20.8 - Usando as equivalências tautológicas, mostrar que as proposições abaixo podem ser escritas usando os conectivos: e ~. Depois simplifique as expressões o máximo possíveis. a) (r q) (q p) b) (p q) p c) (p r) ((q p) r) d) (r (q p) e) q r (q p) f) p r (q r) 3.20.9 - Usando as equivalências tautológicas, simplificar as proposições abaixo: a) (~ (p q) r) (~p ~q) b) (p q) p p c) (p q) ((q p) r) d) ~ ( p q ) ~p ( ~p q ) e) (p q) (q p) f) p ( ~p q ) p q g) ( p q ) r ( p r ) h) ~ ( p q ) p i) ~ ( p q ) ( p q ) j) ( p q ) (( p r ) (p q )) k) ~ ( p r ) ((r ( q r )) Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 27
4 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DA VALIDADE DE FÓRMULAS São métodos usados para determinar ou verificar se a fórmula lógica proposicional é válida ou quais os valores lógicos apresentados. 4.1 Método da Tabela-Verdade O método da Tabela-verdade é o método da força bruta utilizado na determinação da validade de fórmulas da lógica proposicional. No método da tabela-verdade são consideradas todas as possibilidades de valores de verdade associados a esses símbolos proposicionais. Na coluna de resultado, observamos uma das três soluções: Tautologia, Contradição ou Contingência. 4.2 Árvore Semântica Definição 1: Uma árvore é um conjunto de nós ou vértices ligados por arestas ou ramos, conforme é indicado na figura abaixo. Os nós são rotulados por números inteiros, e os nós finais (na figura: 2, 6, 7 e 5) são denominados de folhas. 1 Raiz Nó 2 3 4 5 6 7 Folha Ramo Definição 2: Uma árvore semântica é uma árvore na qual os vértices internos representam proposições, as arestas representam os valores lógicos de uma proposição e as folhas representam os resultados finais e que serve para determinar a validade de uma fórmula (ou proposição) a partir da estrutura de dados do tipo árvore. 4.2.1 - Exemplos: 1) Dada a proposição p q, determinar se a proposição é tautologia, contradição ou contingência. v(q) = V 1 v(q) = F 2 3 v(p) = V v(p) = F v(p)=v v(p)=f 4 5 6 7 V V V F portanto, é uma contingência. p q p q V V V V F V F V V F F F Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 28
2) Dada a proposição p ~ ( p q ), determinar se a proposição é tautologia, contradição ou contingência. v(q)=v 1 v(q)=f 2 3 v(p)=v v(p)=f V 4 5 V V nó 2: p ~ ( p q )?? V nó 3: p ~ ( p q )?? F F V V nó 4: p ~ ( p q ) V V V V F V nó 5: p ~ ( p q ) F F V F V V CONCLUSÃO: como todas as folhas tem valor lógico V (verdade), então a fórmula proposicional é tautologia. 3) Dada a proposição p ( p ~ q ), determinar se a proposição é tautologia, contradição ou contingência. v(p)=v 1 v(p)=f 2 3 V F nó 2: p ( p ~ q ) V V? V? V nó 3: p ( p ~q ) F F? F F F CONCLUSÃO: Como aparecem V e F, logo temos uma contingência. 4.3 Negação ou Absurdo Neste método, considera-se inicialmente a negação daquilo que pretende-se demonstrar. Assim, dada uma fórmula proposicional, para demonstrar a sua validade (tautologia), supõese que a fórmula não é uma tautologia. A partir desta suposição, deve-se utilizar um conjunto de deduções corretas e concluir um fato contraditório ou absurdo. Como o resultado é um absurdo, conclui-se que a suposição inicial é falsa. Em outras palavras, se a suposição inicial diz que a fórmula não é uma tautologia, deve-se concluir após obter o absurdo que a não validade da fórmula é um absurdo, logo a fórmula é uma tautologia. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 29
Validade Supor Ocorrência Tautologia F Absurdo Contradição V Absurdo Contingência V e F Não ocorrer nenhum Absurdo Lógica Matemática e Computacional 4.3.1 - Exemplos: 1) Demonstração de uma tautologia: p ~( p q ) absurdo p ~ ( p q ) F F F V V V Como o valor lógico de p é V e F ao mesmo tempo, ocorreu um absurdo, então a fórmula é uma tautologia. Pode-se provar pela tabela verdade que: p q p q ~ (p q) p ~ (p q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V a negação da tautologia é F É absurdo, pois a proposição p não pode ser V e F ao mesmo tempo! 2) Demonstração de uma contradição: p ~p p ~ p V temos duas possibilidades: a) p ~ p b) p ~ p V V V F F V F F V absurdo V absurdo a negação da contradição é V É absurdo, pois a proposição p não pode ser V e F ao mesmo tempo! Como ocorreu absurdo nas duas possibilidades, podemos concluir que a formula é contraditória. Pode-se provar pela tabela verdade que é contradição. Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 30
3) Demonstração de uma tautologia: ( p q ) ( ~p ~q ) ( p q ) ( ~p ~q ) F Temos duas possibilidades a negação da tautologia é F Lógica Matemática e Computacional a) ( p q ) ( ~ p ~ q ) b) ( p q ) ( ~ p ~ q ) Ok!! F V F F V V F V F F V V F F V F V V Encontrado os valores de p e q. Agora levando-os para o outro lado da expressão. Como não ocorreu nenhum absurdo, podemos concluir que a fórmula não é uma tautologia, e nada além disto pode ser afirmado. Usando a tabela-verdade, podemos comprovar o resultado: F V Ok!! Pode-se observar que o valor esperado é V e é igual ao encontrado. p q p q ~ p ~ q ~p ~q ( p q ) ( ~p ~q ) V V V F F V V V F F F V V V F V V V F F F F F V V V V V Como podemos ver, a fórmula é uma contingência. 4.4 Exercícios: 4.4.1 - Determinar, usando árvore semântica, quais das proposições abaixo são tautologia, contradição ou contingência. a) ( p ( p q )) p b) ( ~p ~q ) ( p q ) c) ( p ~q ) (( p r ) q ) d) ( ~p ~q ) ( p q ) e) p ( ~p q ) f) ( ~p q ) ( p q ) Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 31
4.4.2 - Determinar, usando árvore semântica, a validade da relação abaixo: a) p q p b) ( p q ) ( p ~q ) c) ~p ~p ~p d) ~ ( ~ ( p q )) p q e) p q p Lógica Matemática e Computacional 4.4.3 - Demonstrar, usando o método da negação ou absurdo que a fórmula é uma contradição. a) ( ~p ~q ) ( p q ) b) p ( ~p q ) c) ~(( p q ) (( p q ) r )) d) ( ~p q ) ( p q ) e) ( p ( p q )) p f) ( ~p ~q ) ( p q ) 4.4.4 - Demonstrar, usando o método da negação ou absurdo que a fórmula é uma tautologia. a) ( p r ) ( ~q r ) b) (( p q ) ( q r )) ( p r ) c) ( ~p q ) ( p q ) 4.4.5 - Usando o método da negação ou absurdo para mostrar que as proposições são uma tautologia, contradição ou contingência. a) ( p ( p q )) p b) p ( p ( q ~p )) c) ( p q) r ( p q) r d) ( p q ) (( p r ) ( q r )) 4.4.6 - Determinar se as proposições a seguir são tautologia, contradição ou contingência, usando os seguintes métodos: Tabela-verdade, Árvore semântica e Negação ou absurdo. a) ~ (p q) ~ p ~ q b) (p q r) q r p c) (p q) p q d) ~ (p q) (p ~q) e) ~ ( p q) ~ ( ~ p q) f) p ( p q ) p 4.4.7 - Verificar se as proposições são tautologia, contradição ou contingência usando os métodos: tabela-verdade, árvore semântica e Negação ou absurdo. a) ~ (p q) ~p ~q b) ~ (p q) ~p ~ q c) ~ (r p) q ~ (p q) r d) (p q) r (p q) r e) ( p ~r ) ( q ~p ) r ( p q ) f) ( p q ) r ( p ~r ) ~q g) ~ ( p q) ~ ( ~ p q) h) ~ (p q) (p ~q) Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 32
5 ÁLGEBRA BOOLEANA O matemático inglês George Boole (1815-1864) desenvolveu a álgebra booleana em 1854. Boole estava interessado em regras algébricas para o raciocínio lógico, semelhante às regras algébricas para o raciocínio numérico. É uma maneira formal para escrever e manipular proposições lógicas como se fosse uma fórmula algébrica. Em 1938, Claude Shannon demonstra a aplicação da álgebra booleana na análise de circuitos à relês. A álgebra booleana, também conhecida como Álgebra de Boole, determina regras algébricas para o raciocínio lógico assim como existem regras para o raciocínio numérico. Em outras palavras, a álgebra booleana é uma maneira de se utilizar técnicas algébricas para lidar com expressões lógicas. Essas regras capturam o funcionamento das operações lógicas E (AND), OU (OR) e NÃO (NOT), bem como das operações da teoria de conjuntos: soma, produto e complemento. Na Matemática e na Ciência da Computação, a álgebra booleana é o fundamento da matemática computacional, baseada em números binários. Com a álgebra booleana, introduziu-se o conceito de portas lógicas que só processam dois tipos de entradas - verdade ou falsidade, sim ou não, aberto ou fechado, um ou zero. Atualmente, todos os computadores usam a Álgebra de Boole na construção de circuitos digitais que contêm combinações de portas lógicas que produzem os resultados das operações utilizando lógica binária. 5.1 Conceitos preliminares. A Álgebra booleana é definida como sendo um sistema que opera com funções booleanas aplicadas a variáveis de entradas. Essas variáveis podem receber somente dois valores possíveis: 1 ou 0, aberto ou fechado, sim ou não. Entre as operações básicas estão a adição lógica, ou operação OR, com o símbolo (+), a multiplicação lógica, ou operação AND, com o símbolo (.) e finalmente, a complementação lógica, ou operação NOT, que tem como símbolo uma barra sobreposta ou o (apóstrofo simples). 5.1.1 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole As variáveis booleanas, que são representadas através de letras, podem assumir apenas dois valores: 0 e 1. Expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas e seu resultado assumirá apenas dois valores: 0 e 1. 5.1.2 Postulados a) Postulado da Complementação Chama-se de A o complemento de A. Dizemos A BARRA. Poder ser: A i) se A = 0 então A = 1 ii) se A = 1 então A = 0 através do postulado da complementação, pode-se estabelecer a identidade: A = A b) Postulado da Adição i) 0 + 0 = 0 ii) 0 + 1 = 1 iii) 1 + 0 = 1 iv) 1 + 1 = 1 Lembrar que: p q através deste postulado, pode-se estabelecer as seguintes identidades: Prof. Walteno Martins Parreira Júnior Página 33