Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Complementos ao texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Julho 24

Introdução O texto apresentado tem por objectivo ser um complemento ao texto de apoio ao curso de Cálculo Diferencial e Integral I do Mestrado em Engenharia Mecânica. Consiste em três seções que complementam a matéria apresentada nas aulas teóricas da referida disciplina. Cada secção termina com um conjunto de exercícios alguns dos quais resolvidos. Amélia Bastos António Bravo

Séries de Taylor Comece-se por recordar o que é uma série de potências. Sendo a, a,..., a n uma sucessão e x uma variável real chama-se série de potências de x R, com coeficientes reais a, a,..., a n,... a série a n x n. Diz-se que a série converge em x R se e só se for convergente a série de termos numéricos a n x n ; caso contrário, será divergente. Chama-se domínio de convergência ao conjunto dos valores reais de x para os quais a série é convergente. Recorde-se também que a série de potências é absolutamente convergente no intervalo ] r, r[, em que r = lim n + n a n. Nos pontos exteriores ao mesmo intervalo a série é divergente. a n x n, em que exista lim n + n a n Tal como um polinómio define uma função de variável real em R, uma série de potências define uma função no subconjunto de R onde a série é convergente, precisamente a função que em cada ponto desse conjunto tem por valor a soma da série no ponto considerado. Analisemos essa função no que respeita à diferenciabilidade. Teorema.. Seja a n x n r > e seja f a função definida pela igualdade uma série de potências com raio de convergência f(x) = a n x n no dominio de convergência da série. Nestas condições, f é diferenciável no intervalo ] r, r[ e tem-se para x ] r, r[ f (x) = n= na n x n.

Demonstração. Observe-se, em primeiro lugar, que as séries a n x n, e raio de convergência, uma vez que lim n + n n a n = lim n + n a n. assim Seja ϕ(x) = n= na n x n. a n x n, têm o mesmo Pretende-se provar que para qualquer c ] r, r[ se tem f (c) = ϕ(c), i.e [ ] f(x) f(c) lim ϕ(c) = x c x c em que f(x) f(c) = n= f(x) f(c) x c ( a n (x n c n ) = (x c) a n x n + cx n 2 +... + c n). ϕ(c) = f(x) f(c) x c n= n= na n c n = α n (x) = a n ( x n + cx n 2 +... + c n + nc n ) Escolha-se b tal que c < b < r. Para x b tem-se n= α n (x) α n (x) a n ( b n + bb n 2 +... + b n nb n ) = 2n a n b n Como b pertence ao intervalo de convergência da série + na n x n conclui-se que a série + n a n b n é convergente. Portanto fixado arbitráriamente δ > existirá n= decerto p N tal que n=p+ 2n a n b n < δ/2 Tem-se assim imediatamente para x b α n (x) < δ/2. n=p+ Por outro lado, como a soma p α n (x) é um polinómio em x, e portanto uma função n= contínua, que se anula no ponto c visto que neste ponto se anulam todas as funções 2 n=

α j (x) existirá também sempre uma vizinhança V ɛ (c) que podemos supor contida no intervalo ] b, b[, tal que p x V ɛ (c) α n (x) < δ/2 n= Nestas condições, para todo x V ɛ (c) ter-se-á f(x) f(c) ϕ(c) x c = α n (x) p α n (x) + n= n= n=p+ o que permite reconhecer tal como se pretendia que [ ] f(x) f(c) lim ϕ(c) = x c x c α n (x) < δ/2 + δ/2 = δ Observação.2. Este teorema equivale a afirmar que nos pontos interiores ao domínio de convergência, uma série de potências pode derivar-se termo a termo. Por exemplo sendo tem-se por derivação x = + x +... + xn +..., x < ( x) 2 = + 2x +... + nxn +..., x < Este teorema permite assim obter novas demonstrações de algumas regras de derivação. Por exemplo d dx ex = d dx pois a série tem raio de convergência infinito. x n + = x n (n )! = ex As funções f : D R, com intd, que podem ser representadas nalguma vizinhança de por séries de potências de x com raio de convergência r são designadas por funções analiticas em. Mais geralmente tem-se: n= 3

Definição.3. A função f : D R diz-se analitica em a intd se e só se existir ɛ > e uma sucessão real a n, n N, tais que para qualquer x V ɛ (a) se tem f(x) = a n (x a) n Em particular no caso da série + a n x n ter raio de convergência infinito, i.e. ser convergente para x R, a função por ela definida diz-se uma função inteira. Note-se que muitas funções que intervêm nas aplicações da Matemática às outras Ciências são analiticas em todos os pontos do seu dominio, com excepção de alguns pontos criticos. Exemplo.4. Qualquer função polinomial é analítica em a R. p(x) = c + c x + c 2 x 2, c i R, i =,, 2, Qualquer que seja a R tem-se p(x) = b +b (x a)+b 2 (x a) 2, com b 2 = c 2, b = c +2ac 2, b = c +ac +a 2 c 2 p é portanto representável por uma série de potências de x a numa vizinhança de a que poderá ser fixada arbitrariamente. Exemplo.5. A função f(x) = /x para x é analítica em qualquer ponto a R, a. Com efeito tem-se f(x) = x = a + (x a) = a ( x a ), a Como + r = r n, r <, vem x = n (x a)n ( ) n ( ) = (x a a n a)n an+ desde que a e x a a <, i.e. x Vɛ (a), ɛ a. Refira-se agora um resultado importante de demonstração imediata 4

Corolário.6. Qualquer função definida por uma série de potências de x a, a n (x a) n, com raio de convergência r >, é indefinidamente diferenciável em ]a r, a+r[ e as suas derivadas podem calcular-se derivando a série termo a termo; Em particular qualquer função analítica em a é indefinidamente diferenciável em alguma vizinhança de a e todas as suas derivadas são funções analíticas em a. Pode-se colocar a seguinte questão: Poderá uma função analítica em a ser representada em alguma vizinhança desse ponto por duas séries distintas de potências de x a?. A resposta é negativa. Veja-se porquê. Se se tiver para qualquer x de certa vizinhança de a f(x) = a + a (x a) + a 2 (x a) 2 +... + a n (x a) n +... ter-se-á também na mesma vizinhança f (x) = a + 2a 2 (x a) +... + na n (x a) n +.... f (n) (x) = a n + (n + )!a n+ (x a) +... Atribuindo nas igualdades anteriores a x o valor a tem-se a = f(a), a = f (a),... a n = f (n) (a) i.e. os coeficientes a n, n N exprimem-se nos valores de f e das suas derivadas no ponto a. Como estas derivadas são univocamente determinadas o mesmo se passará com os coeficientes a n. Proposição.7. Se numa vizinhança de a então a n = b n para qualquer n. a n x n = b n x n Assim sendo f analítica em a, tem a representação única em série de potências a n (x a) n em que a n = f (n) (a), n N Qualquer que seja a função f indefinidamente diferenciável em a pode construir-se esta série. Note-se contudo que para os coeficientes da série tenham sentido não 5

é necessário supor que a função seja analítica no ponto a; Com efeito sempre que uma função seja indefinidamente diferenciável em a poderá formar-se a série f (n) (a) (x a) n que se designa por série de Taylor da função f em a intd (série de Mac-Laurin de f quando a = ). Naturalmente que se coloca a seguinte questão: Será que qualquer função indefinidamente diferenciável num ponto a é analítica nesse ponto? Ver-se-á através de um exemplo simples que a resposta a esta questão é negativa, uma vez que para a intd a existência dos valores f (n) (a), n N, embora permite escrever a série de potências + f (n) (a) (x a) n, não garante que em alguma vizinhança de a seja verificada a igualdade f(x) = f (n) (a) (x a) n (no caso da igualdade não se verificar a função f não será analítica no ponto a, visto que nenhuma série distinta da sua série de Taylor pode representar a função numa vizinhança de a). Exemplo.8. Seja Uma vez que qualquer que seja n N e x 2 se x f(x) = se x =. f (n) () = lim e x 2 p( x x ) = onde p é o polinómio de grau n + 2 determinado pelas sucessivas derivadas de f a série de Taylor de f terá todos os coeficientes a n iguais a zero e portanto a sua soma será nula para qualquer x R. Assim para x f(x) f (n) () x n o que mostra que f C (R) não é uma função analítica em. 6

Mostrada a existência de funções indefinidamente diferenciáveis que não são analíticas (em algum ponto) põe-se naturalmente a seguinte questão: Que condições suplementares devem ser impostas a uma função f indefinidamente diferenciável numa vizinhança do ponto a, para que fique garantida a analiticidade de f nesse ponto? Teorema.9. Seja f : D R, a intd e f uma função indefinidamente diferenciável em todos os pontos de uma vizinhança de a, V ɛ (a) (i.e. f C (V ɛ (a))) e seja x V ɛ (a). Designando por R n (x) o termo complementar da fórmula de Taylor de f, relativa ao ponto a e ao natural n, é necessário e suficiente para que se verifique f (n) (a) f(x) = (x a) n que se tenha lim R n(x) = n (f é analítica em a se e só se quando x, R n (x) converge para em alguma vizinhança de a). Demonstração. Sendo f : D R uma função da classe C em V ɛ (a) para cada x D e cada n N tem-se f(x) = n f (n) (a) (x a) n + R n (x) = P n (x) + R n (x) em que P n (x) é o polinómio de Taylor de f de ordem n no ponto a e R n (x) o termo complementar correspondente. Se observarmos porém que o polinómio P n (x) é precisamente a soma dos primeiros n + termos da série de Taylor de f, tornar-se-á evidente que, para que esta série convirga em determinado ponto x D e tenha por soma o valor f(x ) i.e. é necessário e suficiente que se tenha lim P n(x) = f(x ) n lim R n(x) = lim (f(x ) P n (x)) n n Na prática contudo nem sempre é fácil verificar se R n (x) converge ou não para quando n. Neste sentido é útil o seguinte resultado 7

Teorema.. Seja f C (V ɛ (a)) e suponha-se que existe p N e k R tais que para todo x V ɛ (a) e todo n > p f (n+) (x) k Então a série de Taylor de f relativa ao ponto a tem por soma f(x) para x V ɛ (a),. Demonstração. Sendo x V ɛ (a) tem-se, o termo complementar da fórmula de Taylor, como resto de Lagrange: R n (x) = (x a)n+ f (n+) (c), c ]a, x[ (n + )! Nas condições da hipótese ter-se-á então, para c V ɛ (a) R( x) x a n+ = f (n+) (c) x a n+ k (n + )! (n + )! Qualquer que seja ɛ > tem-se lim n ɛ n+ (n + )! = < k ɛn+ (n + )! Assim e pelo teorema anterior lim R n(x) = n f(x) = f (n) (a) (x a) n Mais geralmente pode mostrar-se que se f C (V ɛ (a)) e se existirem números reais M e k tais que para cada x V ɛ (a) e todo n N f (n) (x) Mk n então para x V ɛ (a) a série de Taylor de f relativa ao ponto a tem por soma f(x). Exemplo.. Seja f(x) = sen x. Tem-se f C (R) e f (n) (x) = sen(x + n π 2 ). Em particular: f (2n) () = sen( + 2n π 2 ) = 8

f (4n ) () = sen( + (4n ) π 2 ) = f (4n+) () = sen( + (4n + ) π 2 ) =. Assim o teorema anterior permite concluir que a função f coincide com a soma da sua série de Taylor para x R f(x) = ( ) n (2n + )! x2n+ Exemplo.2. Seja f(x) = e x cos x. Tem-se f C (R), Em particular f (n) (x) = ( 2) n e x cos(x + nπ/4). R n (x) = x n ( 2) n e ξn cos(ξ n + nπ/4) x n ( 2) n e ξn, ξ n ], x[ Para x > x n ( 2) n e ξn < x n ( 2) n e x n vindo do teorema anterior que a função f coincide com a soma da sua série de Taylor para x n f(x) = ( 2) n cos(nπ/4), x R Exerc.3. Indique a série de Taylor em potências de x das funções indicadas, bem como o maior intervalo de R em que a série representa a função i) f(x) = ln( + x) ii) g(x) = arctg x i) Resolução. É mais simples determinar a série de Taylor da derivada da função f por intermédio de uma substituição na série geométrica. f (x) = (ln( + x)) = + + x = ( x) = ( ) n x n, x ], [ Primitivando ambos os termos da igualdade anterior, tem-se ln( + x) = ( ) n x n+ n + De ln( + ) = deduz-se que C =. 9 + C, x ], [

ii) Procedendo de forma análoga ao exercício anterior, vem g (x) = (arctg x) = + + x = 2 ( x 2 ) = ( ) n x 2n, x ], [ Primitivando ambos os termos da igualdade anterior, tem-se arctg x = ( ) n x 2n+ 2n + + C, x ], [ De arctg = deduz-se que C =. Exerc.4. Indique a série de Taylor em potências de x associada à função f(x) = (x )3 x e o maior intervalo aberto em que a série representa a função. Determine f (2) (). Resolução. Para calcular a série de Taylor de uma função como f, deve simplesmente proceder-se por substituição na série conhecida da função exponencial e x. Assim para qualquer x R f(x) = 3(x )3 x = 3(x )e (x ) ln 3 = 3(x ) (x ) n ln n 3 = 3 (x ) n+ ln n 3. De f (n+) () (n + )! = 3 lnn 3 temos as derivadas da função f para qualquer n N f (n+) () = (n + )3 ln n 3 vindo f (2) () = 6 ln 3

2 Áreas de figuras planas Nesta secção apresenta-se um conjunto de exercícios práticos de cálculo de áreas de figuras planas. Exerc 2.. Calcule a área da região plana limitada pelas linhas definidas pelas equações y =, y = Resolução. Um esboço da região, log 2x 2x e x = e 2. Designando por A a área da região pretendida, tem-se e/2 log 2x [ ] e/2 e/2 A = dx = 2x log 2x 2x /2 /2 /2 2 2x dx = e [ 2 ] e/2 2x = 2 e. /2 Exerc 2.2. Calcule a área da região plana limitada pelas linhas definidas pelas equações x = y 2 e x 2 = 8y. Resolução. A figura seguinte descreve a fronteira da região em questão Estabelecendo x = x 2 /8 tem-se x = x = 4, assim a a seguinte expressão para aárea da região plana vindo, da fórmula de Barrow, 4 x 2 /8 ( x) dx. 4 x 2 /8 ( x) dx = 2 [ x3 24 + 2 4 x 3] = 8 3 3.

2 3 4 5.5..5 2. 2.5 3. Exerc 2.3. Calcule a área da região plana A definida por A = {(x, y) 2 : π 4 x 5π 4 Resolução. A figura seguinte descreve a fronteira da região A cos x y sen x}...5..5 2. 2.5 3. 3.5.5. A área da região A é dada por: 5π 4 Tem-se, pela fórmula de Barrow, que π 4 sen x cos x dx. 5π 4 π 4 sen x cos x dx = [ cos x sen x] 5π 4 π 4 = 2 2. Exerc 2.4. Calcule a área da região plana limitada pelo gráfico da função f(x) = arctg x pelas rectas x = e y =. Resolução. Apresentando a região plana limitada pelo gráfico da função f(x) = arctg x pelas rectas x = e y =. 2

O valor da área da região apresentada é obtido por arctg xdx arctg xdx = (Int.por partes) = [arctg x] = π [ ] 4 2 ln( + x2 ) = 2 (π ln 2) 2 x + x 2 dx = Exerc 2.5. Calcule a área da região plana situada na região x e 2 e limitada pelas curvas y = ln x/x 2 e y = /x 2. Resolução. As curvas cruzam-se em x = e na região x, e ln x < para x < e. A área da referida região é e ( x ln x ) e 2 ( ln x dx + 2 x 2 x ) dx = e ( e 2 x + 2e ) = 2 ( ). 2 2 e e uma vez que e ( x ln x 2 x 2 = e ) e dx = [ x ( ln x) ] e + ( ln x)dx = (int. por partes) = x2 e x ( [ ] e x )dx = + = x e. 3

e o segundo integral obtém-se diretamente dos cálculos anteriores. Exerc 2.6. Calcule a área da região limitada pela curva de equação y 2 = x( x) 2 e as retas x = e x = 2. Resolução. Esboçando a região tem-se, A área da região é /2 ( /2 2 x( x) 2 dx = 2 = 2 ( [2 3 x3/2 ] /2 [ 2 5 x5/2 x /2 dx ] /2 ) /2 = 7 3 2. x 3/2 dx ) =. Exerc 2.7. Calcule a área do seguinte subconjunto de R 2 : { (x, y) 2 : x y x 2 + 2 }. Resolução. A área do subconjunto de R 2 é 2 ( x 2 + 2) xdx = ] [2x x2 2 x3 = 9 3 2 2. 4

Bibliografia [] J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 25. [2] W. Trench, Introduction to Real Analysis, Trinity University, 23. [3] A. Ferreira dos Santos, Análise Matemática I e II, Texto de apoio às aulas, AEIST, 994-95. 5